专题1.9 勾股定理的应用（专项练习）（培优练）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.9 勾股定理的应用（专项练习）（培优练） 特别提醒：本专题涉及二次根式的运算，建议学习第2章《实数》后再巩固练习 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在离水面点A高度为的岸上点C处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点D的位置，则船向岸边移动了（    ）（假设绳子是直的）． A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 2．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）学校操场边有一根垂直于地面l的旗杆，一根无弹力、不能伸缩的绳子m紧系于旗杆顶端A处(打结处忽略不计)．聪明的小陶同学通过操作、测量发现：如图1，当绳子m紧靠在旗杆上拉紧到底端B后，还多出1米，即 米；如图2，当离开旗杆底端 B 处5米后，绳子恰好拉直且绳子末端D 处恰好接触地面，即 米．请你跟小陶同学一起算一算旗杆的高度是（   ） A．12 米 B．10 米 C．6 米 D．15米 3．在水平地面上有一棵高米的大树， 和一棵高米的小树，两树之间的水平距离是米，一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行(   )    A．12米 B．13米 C．9米 D．17米 4．（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）我国秦汉时期，数学成就十分显著．当时流传这样一个数学题：今有竹高十二尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？类似的问题被写入《九章算术》．它的意思是：一根竹子原本高12尺，从处折断，竹梢触地处离竹根的距离尺，试问折断处与地面的距离（    ）尺． A． B． C．4 D． 5．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）已知一轮船以18海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另有一轮船以12海里/时的速度也从港口A出发向东南方向航行，都离开港口2小时后，两船相距多少海里？（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·天津河西·期中）如图，池塘边有两点A、B，点是与方向成直角的方向上一点，测得，，则A，B两点间的距离是（    ）. A． B． C．30 D．70 8．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 9．（20-21九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过(    )小时它就会进入台风影响区    A．10 B．7 C．6 D．12 10．（2020·山西·模拟预测）刘徽是我国三国时期杰出的数学大师，他的一生是为数学刻苦探究的一生，在数学理论上的贡献与成就十分突出，被称为“中国数学史上的牛顿”．刘徽精编了九个测量问题，都是利用测量的方法来计算高、深、广、远问题的，这本著作是（    ）． A．《周髀算经》 B．《九章算术》 C．《孙子算经》 D．《海岛算经》 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24八年级下·吉林白山·阶段练习）如图，一根长为米的梯子斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端与墙根之间的距离为米，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动米至处，则梯子的顶端将沿墙向下移动 ． 12．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面处断裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，旗杆折断之前的高度是 m．    13．（23-24八年级下·重庆江津·阶段练习）《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则 尺． 14．（23-24八年级下·山东临沂·期中）一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，则A，C两港之间的距离为 ． 15．（22-23九年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，河岸，互相平行，桥垂直于两岸，从处看桥的两端，，夹角，测得，则桥长 m（结果精确到）．    16．（22-23八年级下·安徽宣城·期中）为庆祝“党的二十大”胜利召开，市活动中心组建合唱团进行合唱表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，站台宽为，则购买这种地毯至少需要 元． 17．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图，铁路和公路在点处交汇，，公路上处距离点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以72千米/小时的速度行驶时，处受到噪音影响的时间为 秒． 18．（20-21八年级下·广东广州·期中）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是 米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是 秒． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 20．（8分）（陕西省安康市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）2023年8月18日，世界机器人大会在北京亦庄召开．某科技公司展示了首款人形通用机器人．乐乐爸爸是机器人研发工程师，其中一次机器人的跑步测试方案如下：在滑梯上的乐乐从滑梯顶端D处沿着方向滑下，同时机器人从乐乐对面的A处向B处跑去，恰好在点B处与乐乐相遇，并且机器人的跑步速度与乐乐的下滑速度相同．已知滑梯的高度米，滑梯底部与机器人的出发点之间的距离米．请问，机器人跑步多少米与乐乐相遇？ 21．（10分）（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 22．（10分）（重庆市巴南区2020-2024学年八年级下学期期末数学试题）某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮，经勘测规划，修缮后的健身步道（局部）如图，从A地分别往北偏东方向和东南方向各修一步道，从A地的正东方向（水域对面）的C地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B、D两地，若测得米．（参考数据：） (1)求A、C两地之间距离．（结果精确到1米） (2)小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A地跑步到C地，小华决定选择路线，小明决定选择路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C地？ 23．（10分）（23-24八年级下·云南昭通·期中）6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A、B的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C受台风影响吗?为什么? (2)若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长? 24．（12分）（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）随着人们生活水平的不断提升，汽车已成为每个家庭的常用交通工具．随着车辆的增多，道路交通管理更需要科学规范，如图，一辆家用小汽车在城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方的C处，过了小汽车到达B点，测得B与A距离为． 根据“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过． 通过计算说明，这辆家用小汽车是否超速了？（，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理问题成为解题的关键． 先在中运用勾股定理求得，再运用勾股定理求得，最后根据线段的和差求得即可解答． 【详解】解:在中，，, ∴， ∵此人以的速度收绳，后船移动到点D的位置， ∴， ∴， ∴，即船向岸边移动了． 故选A． 2．A 【分析】本题考查了勾股定理．设旗杆米，则米，根据勾股定理列方程即可求出旗杆的高度．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】设旗杆米，则米，根据勾股定理可得， ， ， 解得． 故选：A 3．B 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】如图，设大树高为AB=9m，小树高为CD=4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，    ∴EB=4m，EC=12m，AE=AB-EB=9-4=5m， 在Rt△AEC中，． 故小鸟至少飞行13m． 故选：B. 【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 4．B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理得出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解：由题意知，尺，尺， ∴， 由勾股定理得，， 即， 解得． 故选：B． 5．A 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键．根据杯子内牙刷长度的取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵将，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中， ∴在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于牙刷斜边长度， ∴当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，， 最长时等于牙刷斜边长度是：， ∴h的取值范围是：， 即， 故选：A． 6．A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，方向角，熟练运用勾股定理进行计算是解题的关键． 根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程速度时间，得两条船分别走了36，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：如图， 两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ， 两小时后， (海里)，(海里)， 根据勾股定理得：(海里)． 故选：A． 7．A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理问题成为解题的关键． 根据题意直接运用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：在中，根据勾股定理得：． 故选：A． 8．B 【分析】本题主要考查平面展开最短路径问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力，将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答，解题的关键是能将侧面展开成长方形，从而用勾股定理求解． 【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的边长， ∴长为米；宽为米． 于是最短路径为：米． 故选：B．    9．B 【分析】首先根据题意结合题目条件画出图形，进而利用勾股定理得出等式计算即可． 【详解】解：由题意，作图如下：    设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出： CE=40x千米，BB′=20x千米， ∵BC=500km，AB=300km， ∴AC=400km， ∴AE=400-40x，AB′=300-20x， ∴AE2+AB′2=EB′2， 即（400-40x）2+（300-20x）2=2002， 解得：x1=，x2=（不符合题意，舍去）． 故答案为：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x的等式是解题关键． 10．D 【分析】运用《九章算术注》相关知识即可直接解答． 【详解】解：由于《九章算术注》是我国学者编撰的最早的一部测量数学著作，该书第一卷的第一个问题是求海岛上的山峰的高度，故本书的名称是《海岛算经》． 故答案为D． 【点睛】本题主要考查了数学常识，了解一定的数学史以及数学著作是解答本题的关键． 11．米 【分析】此题考查了勾股定理的应用，用移动前梯子顶端到地面的距离减去移动后梯子顶端到地面的距离即可得到答案． 【详解】解：梯子的顶端沿墙向下移动的距离为（米） 故答案为：米 12．18 【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用，旗杆的长，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为，旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的， 所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形． 根据勾股定理，， 所以旗杆折断之前高度为， 故答案为：． 13．12 【分析】本题考查勾股定理与实际问题，熟练掌握勾股定理是解此题的关键，利用竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 故答案为：12． 14．40 【分析】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键． 根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，根据题意，得，，，，    ∵ ∴ ∴ ∴在中， 即A，C两港之间的距离为． 故答案为：40． 15．24 【分析】由含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：， ，为直角三角形． ， ， ， ， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握勾股定理，由含角的直角三角形的性质求出的长是解题的关键． 16．2100 【分析】利用勾股定理求出水平的直角边长，然后求出需要地毯的总长度，进而可得需要地毯的总面积，然后可得答案． 【详解】解：由勾股定理得，水平的直角边， 所以地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长， 所以需要地毯的总长度为， 所以需要地毯的总面积为， 所以购买这种地毯至少需要元， 故答案为：2100． 【点睛】本题考查了勾股定理，平移的应用，解题的关键是结合图形分析得出地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长． 17．9 【分析】过点作，求出最短距离的长度，然后在上取点，，使得米，根据勾股定理得出，的长度，即可求出的长度，然后计算出时间即可． 【详解】解：过点作， ，米， 米， 在上取点，，使得米，当火车到点时对处产生噪音影响， 米，米， 由勾股定理得：米，米，即米， 千米/小时米/秒， 影响时间应是：秒． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于准确找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度． 18． 80 12 【分析】作于，求出的长即可解决问题，如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间计算即可． 【详解】解：作于， ，m， m， 即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m． 如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点， ， ， 在中，m， m， 重型运输卡车的速度为36千米时米秒， 重型运输卡车经过的时间（秒， 故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒． 故答案为：80，12． 【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 19．(1)米 (2)小鸟下降的距离为米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握勾股定理是解题的关键． （1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答； （2）在中，根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）由题意知， ∵米，米． 在中 米， （2）设， 到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同， 则，， 在中，， ， 解得， 小鸟下降的距离为米． 20．5米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设机器人跑步x米与乐乐相遇，在中，利用勾股定理构建关于x的方程求解即可． 【详解】解：设机器人跑步x米与乐乐相遇，则米，米， ∵机器人的跑步速度与乐乐的下滑速度相同， ∴米， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴机器人跑步5米与乐乐相遇． 21．(1)12尺 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； 即尺； 答：水池的深度为12尺； （2）证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 22．(1)A、C两地之间距离为1930米 (2)小华先到达C地 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，含30度直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，方位角等知识，构造直角三角形是解题的关键． （1）连接，过D作于E；分别在，中利用勾股定理求出，即可求得结果； （2）设两人速度为1，由（1）的计算可得的长；由题意得是等腰直角三角形，由（1）的结论及勾股定理求得，即可求得；比较即可谁先到达C地． 【详解】（1）解：如图，连接，过D作于E； 由题意得：； 在中，则， ， 由勾股定理得：， 米； 则米； 在中，， 则米，由勾股定理得：米， (米)； （2）解：由（1）的计算知，米， 米； 由题意得分别在东南方向、西南方向，则， ， 即是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， 米， 米； ， ，即小华的路程更小， 又∵两人速度相同， 所以小华先到达C地． 23．(1)会受到影响，理由见解析 (2)小时 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）海港受台风影响，理由： ，，， ， 是直角三角形，； 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （2）如图， 当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为20千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为10小时． 24．未超速，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，利用勾股定理解得是解题的关键． 由题意知，为直角三角形，且是斜边，已知根据勾股定理可以求，然后求得速度与比较即可． 【详解】解：未超速，理由如下： 由题意知，， 由勾股定理可得， 则． 所以． 所以这辆家用小汽车未超速． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$