精品解析：重庆市育才中学校2023-2024学年高一下学期期末复习（四）数学试题

重庆市育才中学校高2026届2023—2024学年（下）期末复习四 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 本试卷为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分． 注意事项：1．作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，答题卡、试卷、草稿纸一并收回． 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 2i 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法可得，结合复数概念即可得到答案． 【详解】，则虚部为 故选：A． 2. 黔江中学现有高一学生1236人，高二学生1296人，高三学生1332人，现准备采用比例分配的分层随机抽样的方法调查学生的饮食情况，从每个年级抽取一定人数的学生，其中在高二年级需抽取108人，则全校一共需要抽取的人数为（ ） A. 300 B. 322 C. 346 D. 360 【答案】B 【解析】 【分析】借助分层抽样的性质计算即可得. 【详解】全校一共需要抽取的人数为 人． 故选：B. 3. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积运算律，，与同向的单位向量为，进而转化求解即可. 【详解】解：因为，且，所以， 即，所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 4. 如图所示是水平放置的的直观图，其中，则原是一个（ ） A 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则求解即可. 【详解】 将水平放置的的直观图还原，可知， 由勾股定理有，注意到， 所以三角形是等腰三角形，不是等边三角形， 由大边对大角可知，三角形中最大角的余弦， 即三角形中最大角是锐角，三角形是锐角三角形，不是直角三角形， 综上所述，只有C选项符合题意， 故选：C. 5. 在中，的角平分线交于点，若，，则的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可得，由基本不等式可得，然后可得面积最小值. 【详解】在中，记所对的边为， 因为， 所以， 即 ，所以，即， 当且仅当时等号成立， 所以. 故选：D 6. 下图为抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．如图：在解放碑的水平地面上的点A处测得其顶点P的仰角为45°、点B处测得其顶点P的仰角为30°，若米，且，则解放碑的高度为（ ） A 米 B. 55米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】设，由直角三角形中三角函数定义可得，再在中利用余弦定理可解. 【详解】设，由已知，，，， 则，又， 在中：，则 解得或（舍去），所以解放碑的高度为米. 故选：A. 7. 已知非零不共线向量满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设，根据条件求出，利用向量减法的几何意义和三角形三边关系定理求出的范围，再结合二次函数的单调性即可求得. 【详解】设，则，由两边平方得，，整理得，， 因是非零不共线向量，则，即，解得，， 此时函数是增函数，故，即的取值范围为. 故选：D. 8. 如图所示，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为6，体积为，点E为AD中点，过点E的平面α与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先过点作于点，结合已知得，由棱台体积公式得，由勾股定理得，再求出的长，最终根据相似三角形对应边成比例即可得解. 【详解】如图所示，点作于点，因为，所以， 则四棱台的高为，则四棱台的体积为， 解得，所以侧棱长为. 如图所示：作于点，作于点，连接， 由对称性可知，， 所以，而， 所以，所以， 同理， 分别在棱上取中点，则平面即为平面， ， 所以截面多边形的周长为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对按比例得分，有选错的得0分 9. 已知平面向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用平面向量的坐标表示及数量积的坐标运算公式计算即可. 【详解】由题意可知，即， 所以，即A，C，D正确，B错误. 故选：ACD 10. 甲、乙两人在5次体育测试中的成绩（成绩为整数，满分为100分）如下表，其中乙的第5次成绩的个位数被污损，用代替，则 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 91 86 88 92 93 乙 87 85 86 99 A. 甲的平均成绩为91分 B. 从甲的5次成绩中任取2次成绩，均大于甲的平均成绩的概率是 C. 当时，甲、乙两人的平均成绩相等 D. 乙的平均成绩低于甲的平均成绩的概率是 【答案】BCD 【解析】 【分析】直接求出甲的平均成绩，可判断A选项；列举出从甲的5次成绩中任取2次成绩样本空间，从而得出均大于甲的平均成绩的样本点，再根据古典概型求出概率，即可判断B选项；当时，求出乙的平均成绩，即可判断C选项；列举出乙的第5次成绩的所有可能情况，从而得出低于甲的平均成绩的情况，从而求出概率，即可判断D选项. 【详解】解：对于A，甲的平均成绩为分，故A错误； 对于B，从甲的5次成绩中任取2次成绩样本空间有 ，共10个样本点， 其中均大于甲的平均成绩的样本点有3个，为，，，故所求概率为，故B正确； 对于C，由于甲的平均成绩为分， 当时，则乙的平均成绩为分， 此时甲、乙两人的平均成绩相等，故C正确； 对于D，乙的第5次成绩可能是90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，共10种可能， 可知当时，甲、乙两人的平均成绩相等， 所以当乙的第5次成绩为90，91，92时，乙的平均成绩低于甲的平均成绩， 所以乙的平均成绩低于甲的平均成绩的概率是，故D正确． 故选：BCD. 11. 如图，四面体ABCD的各个面都是全等的三角形，且，若A，B，C，D在同一个球面上，则下列正确的是（ ） A. 直线AB，CD所成角为 B. 二面角的余弦值为 C. 四面体ABCD的体积为 D. 四面体外接球的半径为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由线面垂直可得A正确；由线面垂直结合余弦定理可得B正确；由同角的三角函数，棱锥的体积公式，三角形的面积公式可得C正确；补入长方体中，求出长方体外接球半径可得D错误； 【详解】A：取的中点，连接， 由题意四面体ABCD的各个面都是全等的三角形， 可得，又平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以AB，CD所成角为，故A正确； B：取的中点，连接， 则，所以为二面角的平面角， 在中，，， 由余弦定理可得，故B正确； C：由B可得， 由，故C正确； D：将四面体放入长方体中，如图 可得长方体与四棱锥共圆，所以外接球半径一样，设为， 所以，故D错误； 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键是把图形放入长方体中，利用共圆模长求长方体的外接圆半径即可. 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】在等式两边同时平方，求出的值，再结合等式可求得的值. 【详解】因为，则，所以，， 又因为，故. 故答案为：. 13. 自然对数的底数，也称为欧拉数，它是数学中重要的常数之一，和一样是无限不循环小数，的近似值约为.若从欧拉数的前4位数字中任选2个，则至少有1个偶数被选中的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】可以列举出从前4位数字中任选2个所有的可能结果，再选出至少有1个偶数被选中的总数，即可求得结果. 【详解】由题可知，总的事件包括这6种情况， 至少有1个偶数被选中的事件包括这5种情况， 故所求的概率为. 故答案为： 14. 已知圆锥底面圆的直径为12，高为8，若球在圆锥内，则球的表面积的最大值为______，若在圆锥内放置一个棱长为的正四面体，且正四面体能任意转动，则的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】画出截面图，当球的表面积最大时，此时球为圆锥的内切球，即可求解； 四面体可以在圆锥内任意转动，则该正四面体内接于圆锥的内切球，由内切球半径，即可求正四面体的棱长的的最大值 【详解】当球的表面积最大时，此时球为圆锥的内切球， 记球的最大半径为，如图画出截面图， 底面圆的直径，高，圆锥母线长， ， 球的表面积的最大值为. 四面体可以在圆锥内任意转动，则该正四面体内接于圆锥的内切球， 正四面体可以从正方体中截得，如图： 从图中可以得到，当正四面体的棱长为时，截得它的正方体的棱长为， 而正四面体的四个顶点都在正方体上，于是正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球， 取最大值时，，即， 所以的最大值为﹒ 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知为钝角，，为第一象限角，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平方关系求得、，再应用差角正弦公式求值即可； （2）先求出，再应用二倍角正切公式求值即可. 【小问1详解】 因为为钝角，，所以， 因为为第一象限角，，所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 所以. 16. 已知内角的对边分别为，， （1）求的取值范围 （2）求内切圆的半径的最大值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换的化简计算可得，求得，结合正弦定理、三角恒等变换的化简和三角函数的性质即可求解； （2）由（1），利用余弦定理和基本不等式的应用可得，的面积为，进而，即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 即， 得，所以或， 解得或（舍去），又， 所以，又，由正弦定理得，则， 所以（）， 由知，当时，取到最大值， 又，所以； 【小问2详解】 由（1），由余弦定理得，即， 得，即， 得，当且仅当时等号成立，所以 的面积为，设的内切圆半径为， 则的面积为，所以， 又，所以， 则， 即最大值为. 17. 随着人们环保意识的日益增强，越来越多的人开始关注自己的出行方式，绿色出行作为一种环保、健康的出行方式，正逐渐受到人们的青睐，在可能的情况下，我们应当尽量采用绿色出行的方式，如步行、骑自行车或使用公共交通工具．某单位统计了本单位职工两个月以来上下班的绿色出行情况，绘制出了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该单位职工两个月以来上下班的绿色出行天数的中位数； （2）若该单位有职工200人，从绿色出行天数大于25的3组职工中用分层随机抽样的方法选取6人参加绿色出行社会宣传活动，再从6人中选取2人担任活动组织者，求这2人的绿色出行天数都在区间（25，30]的概率． 【答案】（1），18.75 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中矩形的面积和为1求出，再求绿色出行天数的中位数即可； （2）先求出绿色出行天数在区间中的人数，再计算出各个区间内所抽取的人数，再利用古典概型的概率公式求出绿色出行天数都在区间的概率. 【小问1详解】 由题意得，解得． 由，， 知中位数位于（15,20]内． 设中位数为， 则，解得， 则中位数为． 【小问2详解】 绿色出行天数大于25的共有（人）， 则在区间（25,30]中的有（人），抽取人数为， 在区间（30,35]中的有（人），抽取人数为， 在区间（35,40]中的有（人），抽取人数为． 设从绿色出行天数在（25，30]中抽取的职工为，，，， 从绿色出行天数在（30,35]中抽取的职工为B，从绿色出行天数在（35,40]中抽取的职工为C， 全部可能的结果有（,），（,），（,），（,B），（,C）， （,），（,），（,B），（,C），（,），（,B）， （,C），（,B），（,C），（B,C），样本点总数， 满足要求的样本点个数， 则两人均来自（25，30]的概率为， 故2人的绿色出行天数都在区间（25,30]的概率为． 18. 如图，平面平面是等腰直角三角形，，四边形ABDE是直角梯形，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线BO和平面所成角的正弦值； （3）能否在EM上找一点，使得平面ABDE?若能，请指出点的位置，并加以证明;若不能，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在，是中点. 【解析】 【分析】（1）取AC中点F，连接，可证四边形是平行四边形，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题. （2）连接，求出，再利用等体积法求出点到平面的距离即可得解. （3）取中点，连接，通过证明平面，再证明即可求解． 【小问1详解】 取中点，连接，如图， 由是中点，为中点，得且，又且， 则，，即四边形是平行四边形， 于是，又平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 连接，由，得，而平面平面， 平面平面，而平面，则平面， 于是平面，， 由，为中点，得，又平面平面， 平面平面，平面，则平面， 而平面，于是，又，， ，设点到平面的距离为， 由，得，解得，又， 则，设直线BO和平面所成的角为，， 所以直线BO和平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 当是中点时，平面, 取中点，连接，而为中点，则， 由，为中点，得，又平面平面， 平面平面，平面，则平面， 于是平面，所以当是中点时，平面. 19. 给出定义：对于函数，则称向量为函数的特征向量，同时称函数为向量的特征函数． （1）设向量分别为函数与函数的特征向量，求； （2）设向量的特征函数为，且，求的值； （3）已知分别为三个内角的对边，，设函数的特征向量为，且分别是边的中点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据特征向量定义可得的坐标，利用数量积的坐标公式计算即得； （2）利用特征函数定义可得，由条件求得，继而求出，最后利用与和角正弦公式即可求得； （3）由可推得，设利用余弦定理求得和，得，最后利用余弦函数的值域求得的取值范围. 【小问1详解】 依题，，则； 【小问2详解】 依题，，由整理得， 因，则，故， 因, 则 ； 【小问3详解】 如图，由题意，，且，由可得，， 不妨设则，， 由余弦定理，,， 于是，, 因，则，于是，有， 则得，即的取值范围为. 【点睛】思路点睛：本题主要考查新定义函数与新定义向量在求值上的应用，属于难题. 在求解（2）时，注意运用进行拆角变换；在求时，要通过设，将相关边长用表示，便于应用余弦定理时的化简，最后运用常数分离法和余弦函数的值域即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市育才中学校高2026届2023—2024学年（下）期末复习四 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 本试卷为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分． 注意事项：1．作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，答题卡、试卷、草稿纸一并收回． 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 2i 2. 黔江中学现有高一学生1236人，高二学生1296人，高三学生1332人，现准备采用比例分配的分层随机抽样的方法调查学生的饮食情况，从每个年级抽取一定人数的学生，其中在高二年级需抽取108人，则全校一共需要抽取的人数为（ ） A 300 B. 322 C. 346 D. 360 3. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示是水平放置的的直观图，其中，则原是一个（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 5. 在中，的角平分线交于点，若，，则的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 下图为抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．如图：在解放碑的水平地面上的点A处测得其顶点P的仰角为45°、点B处测得其顶点P的仰角为30°，若米，且，则解放碑的高度为（ ） A. 米 B. 55米 C. 米 D. 米 7. 已知非零不共线向量满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为6，体积为，点E为AD中点，过点E的平面α与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对按比例得分，有选错的得0分 9. 已知平面向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙两人在5次体育测试中的成绩（成绩为整数，满分为100分）如下表，其中乙的第5次成绩的个位数被污损，用代替，则 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 91 86 88 92 93 乙 87 85 86 99 A. 甲的平均成绩为91分 B. 从甲的5次成绩中任取2次成绩，均大于甲的平均成绩的概率是 C. 当时，甲、乙两人的平均成绩相等 D. 乙的平均成绩低于甲的平均成绩的概率是 11. 如图，四面体ABCD的各个面都是全等的三角形，且，若A，B，C，D在同一个球面上，则下列正确的是（ ） A. 直线AB，CD所成角为 B. 二面角的余弦值为 C. 四面体ABCD的体积为 D. 四面体外接球的半径为 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则______． 13. 自然对数的底数，也称为欧拉数，它是数学中重要的常数之一，和一样是无限不循环小数，的近似值约为.若从欧拉数的前4位数字中任选2个，则至少有1个偶数被选中的概率为__________. 14. 已知圆锥底面圆的直径为12，高为8，若球在圆锥内，则球的表面积的最大值为______，若在圆锥内放置一个棱长为的正四面体，且正四面体能任意转动，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知为钝角，，为第一象限角，. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知内角对边分别为，， （1）求的取值范围 （2）求内切圆的半径的最大值 17. 随着人们环保意识日益增强，越来越多的人开始关注自己的出行方式，绿色出行作为一种环保、健康的出行方式，正逐渐受到人们的青睐，在可能的情况下，我们应当尽量采用绿色出行的方式，如步行、骑自行车或使用公共交通工具．某单位统计了本单位职工两个月以来上下班的绿色出行情况，绘制出了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该单位职工两个月以来上下班的绿色出行天数的中位数； （2）若该单位有职工200人，从绿色出行天数大于25的3组职工中用分层随机抽样的方法选取6人参加绿色出行社会宣传活动，再从6人中选取2人担任活动组织者，求这2人的绿色出行天数都在区间（25，30]的概率． 18. 如图，平面平面是等腰直角三角形，，四边形ABDE是直角梯形，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线BO和平面所成角的正弦值； （3）能否在EM上找一点，使得平面ABDE?若能，请指出点位置，并加以证明;若不能，请说明理由． 19. 给出定义：对于函数，则称向量为函数的特征向量，同时称函数为向量的特征函数． （1）设向量分别为函数与函数的特征向量，求； （2）设向量的特征函数为，且，求的值； （3）已知分别为三个内角的对边，，设函数的特征向量为，且分别是边的中点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$