精品解析：重庆市万州区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023~2024学年度（下）教学质量监测七年级数学试题卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑） 1. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 一个等腰三角形的两边长分别为5，10，那么这个等腰三角形的周长为（ ） A. 20 B. 25 C. 20或25 D. 不确定 5. 下列不等式变形正确的有（ ） ①若，则；②，则；③，且，则；④若，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 关于的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 7. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房．若设该店有客房x间，则列出关于x的一元一次方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，点A在边上，，ED与AB交于点F，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 若关于x的不等式组无解，且关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数a的和为（ ） A. 12 B. 7 C. 5 D. 3 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分，请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上） 11. 若是关于x的一元一次方程，则m的值是____． 12. 若单项式与是同类项，则____． 13. 小马在体育场卖饮料（只有脉动和红牛两种），脉动每瓶4元，红牛每罐7元．他一共卖出100瓶（罐）饮料，销售总收入超过了600元，那么小马最多卖出了_____瓶脉动． 14. 若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的值为____． 15. 如图，的面积为18，为的中线，E、F为的两个三等分点，连接，则图中阴影部分的面积和为_____． 16. 若关于x，y的方程组和的解相同，则_____． 17. 如图，，点、分别为两边上的点，连接，将沿翻折，翻折后点的对应点落在内部．在的右侧作，使，的边与射线交于点，如果有，则_____． 18. 已知三个数a，b，c，任取其中两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择可得到三个结果，，，称为第一次操作；按照上述方法对，，再进行一次操作，可得到三个结果，，，称为第二次操作；……，以此类推，第n次操作后得到三个结果记为，，．给出下列说法： ①若，，，则，，三个数中最大的数是8； ②若，，，当，，中最小值为1时或或2； ③对于三个数，，，第10次操作后的结果，，，满足； ④对于三个数，，（，且x，y为整数），若，，三个数中最大者与最小者差为10，则y的值共有4个． 其中正确的个数有____个． 三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上） 19. 解方程（组）： （1）； （2）． 20. 解不等式组，并把解集表示在数轴上，最后写出的正整数解． 21. 如图，在正方形网格中，的三个顶点均在格点上，请按照下列要求作图： （1）将先向下平移7个单位，再向右平移3个单位，得到，画出平移后的； （2）画出关于直线l成轴对称的； （3）在直线l上确定点P，使最小． 22. 为了提高学生学习英语的兴趣，检测学生词汇掌握情况，万州区某中学举办了“英语词汇竞赛活动”，学校英语组准备给每个获奖学生颁发一种售价为30元/个的奖品．由于需要的奖品数量较多，商家给出两种优惠方案，方案一：所有奖品按售价打8折；方案二：免费赠送10个奖品，其余奖品按售价打9折． （1）负责购买奖品的老师发现，按方案一购买奖品比按方案二购买奖品可以节约30元钱，求需要购买多少个奖品？ （2）购买的奖品数量在什么范围时，按方案一购买比按方案二购买要划算？ 23. 两个多边形，一个多边形记为A，另一个多边形记为B，多边形A的边数是多边形B的边数的2倍． （1）若多边形A的内角和是多边形B的内角和的3倍，求多边形A和多边形B的边数； （2）利用边长相等的正多边形A型瓷砖和正多边形B型瓷砖能够镶嵌（不重叠、无缝隙地密铺）地面，在一个顶点的周围有a块正多边形A型和b块正多边形B型瓷砖，求的值． 24. 如图，在锐角中，两条高线相交于点O． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，，，与的角平分线交于点M，求的度数； （3）如图3，对任意的锐角，与的角平分线交于点M，直接写出的度数是__________． 25. 某公司共有530台A、B两种型号的机器可出租，其中B型机器数量的2倍比A型机器数量多10台． （1）求A型、B型机器各多少台？ （2）去年，A、B两种型号的机器全部租出．今年，由于成本提高，公司决定对A、B两种型号机器的租金适当上涨（上涨金额为整数元），若每台机器的租金在去年租金基础上上涨1元，A型机器就会少租出5台，B型机器就会少租出3台．根据市场需求，今年出租A、B两种型号的机器总数量不超过去年出租总数量的，其中B型机器出租的数量会超过A型机器出租数量的一半．求今年租金最多可以上涨多少元？ 26. 如图所示，直线，直角的直角顶点A在直线上，边在直线上，的平分线与的外角的平分线交于点． （1）如图，__________； （2）如图，的平分线交于点，请判断与数量关系，并说明理由； （3）如图，，与交于点，将绕点顺时针以每秒的速度旋转，同时绕点顺时针以每秒的速度旋转，当旋转一周时两个三角形同时停止旋转．请直接写出，在旋转过程中边与的边平行时旋转的时间的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年度（下）教学质量监测七年级数学试题卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑） 1. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 利用移项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解：， 移项，， 系数化为1得：， 故选：B． 2. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项A、C、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 选项B不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 故选：B． 3. 下列等式变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等式的基本性质，掌握等式两边加同一个数(或式子)结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键， 根据等式的性质对每个选项一一判断即可． 【详解】A．若，两边同除以3得，原式计算错误，故本选项不符合题意； B．若，等式两边同时乘以无意义，故本选项不符合题意； C．若，两边同时减去得，原式计算错误，故本选项不符合题意； D．若，等式两边同时乘以6，得，计算正确，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 一个等腰三角形的两边长分别为5，10，那么这个等腰三角形的周长为（ ） A. 20 B. 25 C. 20或25 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义，理解三角形三边关系，等腰三角形的定义是解题的关键． 根据题目给出等腰三角形有两条边长为5和10，而没有明确腰、底分别是多少，所以分两种情况进行讨论，并利用三角形的三边关系进行判断，再计算其周长即可． 【详解】解：①当10为腰长时，三角形的三边长为：10、10、5，满足三角形的三边关系，其周长为10＋10＋5＝25； ②当5为腰长时，三角形的三边长为：5、5、10，此时，不满足三角形的三边关系，不合题意． 综上所述，该等腰三角形的周长为25． 故选：B． 5. 下列不等式变形正确的有（ ） ①若，则；②，则；③，且，则；④若，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：①若，则，故①正确； ②，则，故②错误； ③，且，则，故③错误； ④若，则，故④正确； 故选：B． 6. 关于的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，然后对比数轴求解即可． 【详解】解：解得， 由数轴得：， 解得：， 故选：B． 【点睛】题目主要考查求不等式的解集及参数，熟练掌握求不等式解集的方法是解题关键． 7. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房．若设该店有客房x间，则列出关于x的一元一次方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：A． 8. 如图，，点A在边上，，ED与AB交于点F，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，反证法，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 根据全等三角形的性质可判断A，根据全等三角形的性质和得可判断B，根据全等三角形的性质和对顶角相等可判断C，可假设，通过推理说明D是错误的． 【详解】， ，故选项A不符合题意； ， ， ， ， ，故选项B不符合题意； ，， ， ， ，， ，故选项C不符合题意； ，连接，则， ， ， ，， ， 故，故D选项符合题意， 故选：D． 9. 如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理，关键是运用多边形的内角和定理求出的度数． 利用四边形的内角和定理求出，再利用三角形的内角和定理可得结果． 【详解】，， ， ． 故选：B． 10. 若关于x的不等式组无解，且关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数a的和为（ ） A. 12 B. 7 C. 5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况，求参数的范围．根据不等式组无解，求出的取值范围，再根据方程的解为整数，确定整数的值，进而求和即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组无解， ∴； ∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴ ∴ ∴满足条件的所有整数a的和为． 故选B． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分，请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上） 11. 若是关于x的一元一次方程，则m的值是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义可得，，求解即可． 【详解】由题意得：，解得： ∵，即 ∴ 故答案为：． 12. 若单项式与是同类项，则____． 【答案】29 【解析】 【分析】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同．根据同类项的概念求解． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ，， ∴，， 则． 故答案为：． 13. 小马在体育场卖饮料（只有脉动和红牛两种），脉动每瓶4元，红牛每罐7元．他一共卖出100瓶（罐）饮料，销售总收入超过了600元，那么小马最多卖出了_____瓶脉动． 【答案】33 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式， 根据销售总收入超过了600瓶，可列出相应的不等式，然后求出最大正整数即可． 【详解】解：设小马卖了脉动x瓶，则卖了红牛罐，根据题意得： ， 解得：， x为整数， x得最大值为33， 即小马最多卖出了33瓶脉动． 故答案为：33． 14. 若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的值为____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，能够根据方程组中未知数的系数特点灵活选取恰当的方法进行求解是关键．根据题意得出新的二元一次方程组，解方程组即可得出，把代入到，即可得出a的值． 【详解】解：根据题意可得出， 解得：， 把代入得：， 解得：， 故答案为：1． 15. 如图，的面积为18，为的中线，E、F为的两个三等分点，连接，则图中阴影部分的面积和为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积等知识．根据三角形的中线的性质即可解决问题． 【详解】解：是的中线， ， ， 、为的两个三等分点 ，， ， 故答案为：6． 16. 若关于x，y的方程组和的解相同，则_____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解一定能使方程左右相等是解题的关键； 首先把和组成方程组求得x、y的值，再把x、y的值代入， 可得关于a、b的方程组，求值然后再次代入进而完成解答． 【详解】解：解方程组， 解得． 将代入方程得， 解得：， ． 故答案为：16． 17. 如图，，点、分别为两边上的点，连接，将沿翻折，翻折后点的对应点落在内部．在的右侧作，使，的边与射线交于点，如果有，则_____． 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．首先在中，解得，进而可得；由折叠的性质可得，，故有，进一步可知；由等腰三角形“等边对等角”的性质可得，易得，设，则，结合，可解得的值，即可获得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∵将沿翻折，翻折后点的对应点落在内部， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 18. 已知三个数a，b，c，任取其中两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择可得到三个结果，，，称为第一次操作；按照上述方法对，，再进行一次操作，可得到三个结果，，，称为第二次操作；……，以此类推，第n次操作后得到三个结果记为，，．给出下列说法： ①若，，，则，，三个数中最大的数是8； ②若，，，当，，中最小值为1时或或2； ③对于三个数，，，第10次操作后的结果，，，满足； ④对于三个数，，（，且x，y为整数），若，，三个数中最大者与最小者差为10，则y的值共有4个． 其中正确的个数有____个． 【答案】3 【解析】 【分析】根据定义，计算得，，，最大的数是， ，可判断①正确； 当时，当时，当时，解答即可判断②； 根据，得到最大数是；最小数是，根据题意，得，得，于是的得到了，根据y为整数，得到符合题意的y值有，有4个，可以判断④正确； ③对于三个数，，，计算确定规律，可判定第10次操作后的结果，，，满足的正误； 本题考查了新定义问题中的整式的加减计算，熟练掌握定义，正确列式解答是解题的关键． 【详解】根据定义，当，，，最大的数是， ， 故①正确； 当时，解得；当时，解得；当时，解得；当时，，不合适； 判断②错误； ∵， ∴最大数是；最小数是，根据题意，得，得， ∴， 根据y为整数，得到符合题意的y值有，有4个， 故④正确； 对于三个数，，， 得， 计算，得，，，由此可得第10次操作后的结果，，，满足， 故③正确； 故答案为：3． 三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上） 19. 解方程（组）： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程和解二元一次方程组，能正确根据等式的性质进行变形是解（1）的关键，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解（2）的关键． （1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可； （2）得出，求出，把代入①求出y即可． 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得． 【小问2详解】 解： 得：， ． 把带入①得：． 原方程的解为． 20. 解不等式组，并把解集表示在数轴上，最后写出的正整数解． 【答案】，数轴表示见解析，正整数解为或． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，求不等式组的整数解，先求出不等式组的解，再把解集在数轴上表示出来，最后根据数轴写出的正整数解即可，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式的解集为：， 解集表示在数轴上如下： ∴正整数解为或． 21. 如图，在正方形网格中，的三个顶点均在格点上，请按照下列要求作图： （1）将先向下平移7个单位，再向右平移3个单位，得到，画出平移后的； （2）画出关于直线l成轴对称的； （3）在直线l上确定点P，使最小． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平移变换、轴对称变换，轴对称最短路径问题．熟练掌握平移变换、轴对称变换的性质是解题的关键． （1）利用平移变换的性质分别作出A、B、C的对应点，再连接即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出A、B、C的对应点，再连接即可； （3）连接与直线l的交点即为点P的位置． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，点P即为所求 22. 为了提高学生学习英语的兴趣，检测学生词汇掌握情况，万州区某中学举办了“英语词汇竞赛活动”，学校英语组准备给每个获奖学生颁发一种售价为30元/个的奖品．由于需要的奖品数量较多，商家给出两种优惠方案，方案一：所有奖品按售价打8折；方案二：免费赠送10个奖品，其余奖品按售价打9折． （1）负责购买奖品的老师发现，按方案一购买奖品比按方案二购买奖品可以节约30元钱，求需要购买多少个奖品？ （2）购买的奖品数量在什么范围时，按方案一购买比按方案二购买要划算？ 【答案】（1）需要购买100个奖品 （2）购买的奖品数量多于90个时，按方案一购买要划算 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用： （1）设需要购买x个奖品，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设需要购买y个奖品，根据题意，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设需要购买x个奖品， 根据题意得， 解得． 答：需要购买100个奖品． 【小问2详解】 解：设需要购买y个奖品， 根据题意得， 解得． 答：购买的奖品数量多于90个时，按方案一购买要划算． 23. 两个多边形，一个多边形记为A，另一个多边形记为B，多边形A的边数是多边形B的边数的2倍． （1）若多边形A的内角和是多边形B的内角和的3倍，求多边形A和多边形B的边数； （2）利用边长相等的正多边形A型瓷砖和正多边形B型瓷砖能够镶嵌（不重叠、无缝隙地密铺）地面，在一个顶点的周围有a块正多边形A型和b块正多边形B型瓷砖，求的值． 【答案】（1）多边形A的边数是8，多边形B的边数是4 （2）3或4或5 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和公式，正多边形的镶嵌，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键； （1）设多边形B的边数为n，多边形A的边数为，根据多边形内角和公式即可列方程求解； （2）根据平面图形能够密铺应具备的条件：如果正多边形的内角度数的整数倍是即可解答． 【小问1详解】 解：设多边形B的边数为n，多边形A的边数为， 则， 解得：，． 则多边形A的边数是8，多边形B的边数是4． 【小问2详解】 多边形A的边数是多边形B的边数的2倍， 能够镶嵌的正多边形A和正多边形B只能是正六边形和正三角形组合， 或正八边形和正方形组合． 若是正六边形和正三角形组合，则，或，，则或5； 若是正八边形和正方形组合，则，，则． 所以，的值为3或4或5． 24. 如图，在锐角中，两条高线相交于点O． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，，，与的角平分线交于点M，求的度数； （3）如图3，对任意的锐角，与的角平分线交于点M，直接写出的度数是__________． 【答案】（1）的度数为； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和定理，三角形的高． （1）利用垂直的性质求得，，再利用三角形内角和定理即可求解； （2）利用垂直的性质结合角平分线有关的三角形内角和定理，计算即可求解； （3）同（2）计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵锐角中，两条高线相交于点O， ∴，， ∴ ， 答：的度数为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ， ∵与的角平分线交于点M， ∴，， ∴； ∴； 【小问3详解】 解：∵锐角中，两条高线相交于点O， ∴， ， ∵与的角平分线交于点M， ∴，， ∴ ； ∴． 25. 某公司共有530台A、B两种型号的机器可出租，其中B型机器数量的2倍比A型机器数量多10台． （1）求A型、B型机器各多少台？ （2）去年，A、B两种型号的机器全部租出．今年，由于成本提高，公司决定对A、B两种型号机器的租金适当上涨（上涨金额为整数元），若每台机器的租金在去年租金基础上上涨1元，A型机器就会少租出5台，B型机器就会少租出3台．根据市场需求，今年出租A、B两种型号的机器总数量不超过去年出租总数量的，其中B型机器出租的数量会超过A型机器出租数量的一半．求今年租金最多可以上涨多少元？ 【答案】（1）A型350台、B型机器180台 （2）每台机器的租金最多上涨9元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组，是解题的关键． （1）设A型、B型机器各x、y台，根据共有530台A、B两种型号的机器，B型机器数量的2倍比A型机器数量多10台，列出方程组进行求解即可； （2）设每台机器的租金上涨a元，根据，今年出租A、B两种型号的机器总数量不超过去年出租总数量的，其中B型机器出租的数量会超过A型机器出租数量的一半，列出方程组进行求解即可． 【小问1详解】 解：设A型、B型机器各x、y台， 则，解得． 所以，A型350台、B型机器180台． 【小问2详解】 设每台机器的租金上涨a元， 则， 解得． 为整数， 的最大值为9． 所以，每台机器的租金最多上涨9元． 26. 如图所示，直线，直角的直角顶点A在直线上，边在直线上，的平分线与的外角的平分线交于点． （1）如图，__________； （2）如图，的平分线交于点，请判断与数量关系，并说明理由； （3）如图，，与交于点，将绕点顺时针以每秒的速度旋转，同时绕点顺时针以每秒的速度旋转，当旋转一周时两个三角形同时停止旋转．请直接写出，在旋转过程中边与的边平行时旋转的时间的值． 【答案】（1）； （2） 解：，理由如下： 如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）秒或秒或秒． 【解析】 【分析】（1）先根据角平分线定义得到，再由三角形外角的性质推出，则； （2）过点P作，则，由平行线的性质推出，再由角平分线的定义得到，进而可得，则； （3）分图3-1，图3-2，图3-3三种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3所示，没有旋转时， ∵，， ∴， ∴； 如图3-1所示，当时，延长分别交于T、F，设交于S， ∴， ∵， ∴， 由题意得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图3-2所示，当时，延长交于S，设交于T， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得； 当时，延长交于T，延长交于S， 由题意得，，， ∴， 又∵， ∴， ， ∴， ∴ ∴此时； 综上所述，秒或秒或秒时，在旋转过程中边与的边平行． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $