第1章　全等三角形模型--手拉手模型　讲义　2023——2024学年苏科版数学八年级上册

全等三角形--手拉手模型（共顶点模型） 一、知识解读 1．等边三角形共顶点 等边△ABC与等边△DCE，B、C、E三点共线． 连结BD、AE交于点F，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连结CF、GH，则： （1）△BCD≌△ACE； （2）AE＝BD；备注：（1）（2）（3）可以在学习全等三角形时进行讲解 （3）∠AFB＝∠DFE＝60°； （4）FC平分∠BFE； （5）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC； （6）△CGH为等边三角形． 证明思路： （1）由已知条件可得，则△BCD≌△ACE（SAS）． （2）由（1）得AE＝BD； （3）由（1）得∠GAF＝∠GBC，而∠AGF＝∠BGC，所以∠DFE＝∠AFB＝∠ACB＝60°． （4）方法一 如图1，过点C分别作BD、AE的垂线，垂足分别为M、N． 由（1）知S△ACE＝S△BCD，即BD·CM＝AE·CN，所以CM＝CN，故FC平分∠BFE． 方法二 由∠CAF＝∠CBF，可得A、B、C、F四点共圆，所以∠BFC＝∠BAC＝60°． 同理可得∠CFE＝∠CDE＝60°．所以FC平分∠BFE．备注：该方法可以在学了圆之后进行补充 （5）如图2，作∠FCI＝60°，交BD于点I，则△CFI为等边三角形． 易证△BCI≌△ACF，所以BI＝AF，IF＝CI＝FC． 从而BF＝BI＋IF＝AF＋CF．同理可得EF＝DF＋FC． （6）易证△ACH≌△BCG（ASA） 可得CG＝CH，而∠GCH＝60°，所以△CGH为等边三角形． 2．等腰直角三角形共顶点 等腰Rt△ABC与等腰Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°． 如图1，连结BD、AE交于点F，连结FC、AD、BE，则： （1）△BCD≌△ACE； （2）AE＝BD；备注：（1）（2）（3）可以在学习全等三角形时进行讲解 （3）AE⊥BD； （4）FC平分∠BFE； （5）AB2＋DE2＝AD2＋BE2 （6）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC； （7）如图2，若G、I分别为BE、AD的中点，则GC⊥AD、IC⊥BE（反之亦然）； （8）S△ACD＝S△BCE 证明思路： （1）（2）（3）（4）证明见“等边三角形共顶点”； （5）因为AE⊥BD，由勾股定理可得AB2＋DE2＝（AF2＋BF2）＋（DF2＋EF2）， AD2＋BE2＝（AF2＋DF2）＋（BF2＋EF2） 所以AB2＋DE2＝AD2＋BE2 （6）如图3，过点C作CK⊥FC，交BD于点K，则△CFK为等腰直角三角形． 易证△BCK≌△ACF，所以BK＝AF．从而BF＝BK＋KF＝AF＋FC， 同理可得EF＝DF＋FC． （7）①如图4，延长GC，交AD延长线于点H，延长CG至点K，使得GK＝GC，连结BK． 易证∠KBG＝∠CEG，BK＝EC＝CD． 由题意可得∠ACD＋∠BCE＝∠CBE＋∠CEB＋∠BCE＝180°， 所以∠ACD＝∠CBE＋∠CEB＝∠CBG＋∠GBK＝∠CBK． 可得△ACD≌△CBK（SAS） 则∠CAD＝∠BCK， 所以∠ACH＋∠CAH＝∠ACH＋∠BCK＝90°，故GC⊥AD． ②如图5，CJ⊥BE，延长JC交AD于点T，分别过点A，D作IJ的垂线，垂足分别为M、N．由已知可得△AMC≌△CJB；△DNC≌△CJE， 所以AM＝DN＝CJ，故有△AMI≌△DNI，所以AI＝DI，即可证． （8）在（7）中的证明过程中可得到S△ACD＝S△BCE；也可以用下面的方法来证明 如图6，过点D作DP⊥AC于点P，过点E作EQ⊥BC，交BC延长线于点Q． 易证△DPC≌△EQC（AAS）．所以DP＝EQ，故DP·AC＝ EQ·BC，即S△ACD＝S△BCE 3．等腰三角形共顶点 等腰△ACB与等腰△DCE中，AC＝BC，DC＝CE，且∠ACB＝∠DCE． 连结BD，AE交于点F，则： （1）△BCD≌△ACE； （2）AE＝BD；备注：（1）（2）（3）可以在学习全等三角形时进行讲解 （3）∠AFB＝∠ACB； （4）FC平分∠BFE． 2、 经典例题 1．（2023春•开福区校级期末）如图，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝35°，∠2＝30°，则∠3＝　　度． 2．（2022•顺城区模拟）如图，边长为4的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 　 　． 3．（2023秋•涪城区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△A'BC'，连接AC'、AA'，则∠CAC'的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 4．（2023秋•河东区期末）如图，已知：AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，∠EBD＝38°，现有下列结论：①△BDC≌△AEC；②∠AEB＝128°；③BD＝AE；④AE⊥BD．其中不正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个 5．（2024春•市北区期中）如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上一点，BE＝BA，过点E作EF⊥AB于点F，则下列结论正确的为（　　） ①△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到； ②∠BCE+∠BCD＝180°； ③∠ABE＝∠DAE； ④BA+BC＝2BF． A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④ 6．（2023秋•殷都区期末）如图，△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，BC＝10cm，点D在边AB上，以CD为边在CD右上方作等边△CDE，若∠ACD＝45°，则点E到BC边的距离为 　 　cm． 7．（2021秋•滨湖区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝．D是边AB上一动点，连接CD，以CD为直角边在CD左侧作等腰直角△CDE，且∠DCE＝90°，连接AE，则DE长度的最小值为 　　；△ADE面积的最大值为 　 　． 8．（2021秋•宣化区期末）已知：如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，连接CD，C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②∠ACE+∠ABD＝45°；③∠BAE+∠DAC＝180°；④BD⊥CE．其中正确的是 　 　．（只填序号） 9．（2024春•松江区期末）如图，已知△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，点D在边BC边上（不与B、C重合），且∠B＝∠ADE，DE交AC于F． （1）试说明∠BAD与∠CAE相等的理由； （2）联结CE，若CD＝CE，说明DF与EF相等的理由； （3）若∠BAD＝20°，当△DAF是等腰三角形时，直接写出∠B的度数． 10．（2023秋•钢城区期末）【初步感知】： 如图①，△ABC和△CDE都是等边三角形，连接AD、BE．小组同学发现： （1）△ACD与△BCE全等，依据是 　 　（填写全等三角形判定定理）； （2）线段BE＝AD，依据是 　 　； 【拓展探究】： 如图②，△ABC和△CDE都是等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM． （3）线段BE与AD之间是否仍存在（2）中的结论？若存在，请说明理由； （4）∠AMB＝　 　（用含α的式子表示），并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全等三角形--手拉手模型（共顶点模型） 一、知识解读 1．等边三角形共顶点 等边△ABC与等边△DCE，B、C、E三点共线． 连结BD、AE交于点F，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连结CF、GH，则： （1）△BCD≌△ACE； （2）AE＝BD；备注：（1）（2）（3）可以在学习全等三角形时进行讲解 （3）∠AFB＝∠DFE＝60°； （4）FC平分∠BFE； （5）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC； （6）△CGH为等边三角形． 证明思路： （1）由已知条件可得，则△BCD≌△ACE（SAS）． （2）由（1）得AE＝BD； （3）由（1）得∠GAF＝∠GBC，而∠AGF＝∠BGC，所以∠DFE＝∠AFB＝∠ACB＝60°． （4）方法一 如图1，过点C分别作BD、AE的垂线，垂足分别为M、N． 由（1）知S△ACE＝S△BCD，即BD·CM＝AE·CN，所以CM＝CN，故FC平分∠BFE． 方法二 由∠CAF＝∠CBF，可得A、B、C、F四点共圆，所以∠BFC＝∠BAC＝60°． 同理可得∠CFE＝∠CDE＝60°．所以FC平分∠BFE．备注：该方法可以在学了圆之后进行补充 （5）如图2，作∠FCI＝60°，交BD于点I，则△CFI为等边三角形． 易证△BCI≌△ACF，所以BI＝AF，IF＝CI＝FC． 从而BF＝BI＋IF＝AF＋CF．同理可得EF＝DF＋FC． （6）易证△ACH≌△BCG（ASA） 可得CG＝CH，而∠GCH＝60°，所以△CGH为等边三角形． 2．等腰直角三角形共顶点 等腰Rt△ABC与等腰Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°． 如图1，连结BD、AE交于点F，连结FC、AD、BE，则： （1）△BCD≌△ACE； （2）AE＝BD；备注：（1）（2）（3）可以在学习全等三角形时进行讲解 （3）AE⊥BD； （4）FC平分∠BFE； （5）AB2＋DE2＝AD2＋BE2 （6）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC； （7）如图2，若G、I分别为BE、AD的中点，则GC⊥AD、IC⊥BE（反之亦然）； （8）S△ACD＝S△BCE 证明思路： （1）（2）（3）（4）证明见“等边三角形共顶点”； （5）因为AE⊥BD，由勾股定理可得AB2＋DE2＝（AF2＋BF2）＋（DF2＋EF2）， AD2＋BE2＝（AF2＋DF2）＋（BF2＋EF2） 所以AB2＋DE2＝AD2＋BE2 （6）如图3，过点C作CK⊥FC，交BD于点K，则△CFK为等腰直角三角形． 易证△BCK≌△ACF，所以BK＝AF．从而BF＝BK＋KF＝AF＋FC， 同理可得EF＝DF＋FC． （7）①如图4，延长GC，交AD延长线于点H，延长CG至点K，使得GK＝GC，连结BK． 易证∠KBG＝∠CEG，BK＝EC＝CD． 由题意可得∠ACD＋∠BCE＝∠CBE＋∠CEB＋∠BCE＝180°， 所以∠ACD＝∠CBE＋∠CEB＝∠CBG＋∠GBK＝∠CBK． 可得△ACD≌△CBK（SAS） 则∠CAD＝∠BCK， 所以∠ACH＋∠CAH＝∠ACH＋∠BCK＝90°，故GC⊥AD． ②如图5，CJ⊥BE，延长JC交AD于点T，分别过点A，D作IJ的垂线，垂足分别为M、N．由已知可得△AMC≌△CJB；△DNC≌△CJE， 所以AM＝DN＝CJ，故有△AMI≌△DNI，所以AI＝DI，即可证． （8）在（7）中的证明过程中可得到S△ACD＝S△BCE；也可以用下面的方法来证明 如图6，过点D作DP⊥AC于点P，过点E作EQ⊥BC，交BC延长线于点Q． 易证△DPC≌△EQC（AAS）．所以DP＝EQ，故DP·AC＝ EQ·BC，即S△ACD＝S△BCE 3．等腰三角形共顶点 等腰△ACB与等腰△DCE中，AC＝BC，DC＝CE，且∠ACB＝∠DCE． 连结BD，AE交于点F，则： （1）△BCD≌△ACE； （2）AE＝BD；备注：（1）（2）（3）可以在学习全等三角形时进行讲解 （3）∠AFB＝∠ACB； （4）FC平分∠BFE． 2、 经典例题 1．（2023春•开福区校级期末）如图，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝35°，∠2＝30°，则∠3＝　65　度． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】由角的和差得∠1＝∠4，边角边证明△ABD≌△ACE，其性质得∠ADB＝∠AEC，再由三角形的内角和定理，邻补角的性质求出∠3＝65°． 【解答】解：如图所示： ∵∠BAC＝∠DAE， ∠BAC＝∠1+∠DAC，∠DAE＝∠DAC+∠4， ∴∠1＝∠4， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ADB＝∠AEC， 又∵∠2+∠4+∠AEC＝180°， ∴∠AEC＝115°， ∴∠ADB＝115°， 又∠ADB+∠3＝180°， ∴∠3＝65°， 故答案为65． 【点评】本题综合考查了角的和差，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，邻补角的性质等相关知识，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点是灵活运用证明三角形全等的方法解决实际问题，易错点是学生将结果加上度的符号． 2．（2022•顺城区模拟）如图，边长为4的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 　1　． 【考点】旋转的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；轴对称的性质．版权所有 【分析】取AC的中点G，则CG＝CD，利用SAS证明△CDE≌△CGF，得∠FGC＝∠EDC＝90°，则点F在直线BG上运动，根据垂线段最短从而解决问题． 【解答】解：取AC的中点G，则CG＝CD， ∵将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF， ∴CE＝CF，∠ECF＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∴∠DCE＝∠ACF， ∴△CDE≌△CGF（SAS）， ∴∠FGC＝∠EDC＝90°， ∴点F在直线BG上运动， 作DH⊥BG时，此时DF的最小值即为DH， ∵BD＝＝2， ∴DH＝1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，确定点F的运动路径是解题的关键． 3．（2023秋•涪城区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△A'BC'，连接AC'、AA'，则∠CAC'的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【考点】旋转的性质；等腰直角三角形．版权所有 【分析】根据题意可得∠BAC＝∠ABC＝45°，由旋转的性质可得AB＝A′B，BC′＝A′C′，∠ABA′＝60°，则△ABA′为等边三角形，易证明△ABC′≌△AA′C′，根据全等三角形的性质得∠BAC′＝∠A′AC′＝30°，则∠CAC′＝∠BAC﹣∠BAC′，以此即可求解． 【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC， ∴∠BAC＝∠ABC＝45°， ∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△A'BC'， ∴AB＝A′B，BC′＝A′C′，∠ABA′＝60°， ∴△ABA′为等边三角形， ∴AB＝AA′， 在△ABC′和△AA′C′中， ， ∴△ABC′≌△AA′C′， ∴∠BAC′＝∠A′AC′， ∵∠BAA′＝∠BAC′+∠A′AC′＝60°， ∴∠BAC′＝∠A′AC′＝30°， ∴∠CAC′＝∠BAC﹣∠BAC′＝15°． 故选：A． 【点评】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，灵活运用旋转的性质是解题关键． 4．（2023秋•河东区期末）如图，已知：AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，∠EBD＝38°，现有下列结论：①△BDC≌△AEC；②∠AEB＝128°；③BD＝AE；④AE⊥BD．其中不正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．版权所有 【分析】延长AE交BD于点F，交BC于点G，根据等式的性质可得∠ACE＝∠BCD，从而利用SAS证明△BDC≌△AEC，进而可得BD＝AE，∠EAC＝∠DBC，再根据已知可得∠DBC+∠EBC＝38°，从而可得∠EAC+∠EBC＝38°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ABE+∠BAE＝52°，从而利用三角形内角和定理可得∠AEB＝128°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠AGC+∠EAC＝90°，最后根据对顶角相等可得∠BGF＝∠AGC，从而可得∠BGF+∠CBD＝90°，从而利用三角形内角和定理可得：∠BFG＝90°，即可解答． 【解答】解：延长AE交BD于点F，交BC于点G， ∵∠ACB＝∠ECD＝90°， ∴∠ACB﹣∠BCE＝∠ECD﹣∠BCE， ∴∠ACE＝∠BCD， ∵AC＝BC，DC＝EC， ∴△BDC≌△AEC（SAS）， ∴BD＝AE，∠EAC＝∠DBC， ∵∠EBD＝38°， ∴∠DBC+∠EBC＝38°， ∴∠EAC+∠EBC＝38°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ABE+∠BAE＝90°﹣（∠EAC+∠EBC）＝52°， ∴∠AEB＝180°﹣（∠ABE+∠BAE）＝128°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠AGC+∠EAC＝90°， ∵∠BGF＝∠AGC， ∴∠BGF+∠CBD＝90°， ∴∠BFG＝180°﹣（∠BGF+∠CBD）＝90°， ∴AF⊥BD， 即AE⊥BD， 所以，上列结论，其中不正确的有0个， 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 5．（2024春•市北区期中）如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上一点，BE＝BA，过点E作EF⊥AB于点F，则下列结论正确的为（　　） ①△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到； ②∠BCE+∠BCD＝180°； ③∠ABE＝∠DAE； ④BA+BC＝2BF． A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④ 【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】由BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA，可证△ABD≌△EBC，所以△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到，由△ABD≌△EBC可得∠BCE＝∠BDA，因为BD＝BC，∠BDC＝∠ADE，可得∠BCD＝∠ADE，因为∠BDA+∠ADE＝180°，等量代换∠BCE+∠BCD＝180°，因为BE＝BA，所以∠BAE＝∠BEA＝（180°﹣∠ABE），因为∠ABD＝∠DBC，∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣∠DBC），∠BDC＝∠ADE，所以∠BAE＝∠BEA＝∠BDC＝∠BCD，即∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠ABE），因为∠DAE＝180°﹣2∠AED，可得∠ABE＝∠DAE，过E作EM⊥BC，交BC延长线于点M，可证Rt△AEF≌Rt△CEM，Rt△BEF≌Rt△BEM，所以AF＝CM，BF＝BM，所以BA+BC＝BF+AF+BM﹣CM＝BF+AF+BF﹣AF＝2BF． 【解答】解：∵BD为△ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵BD＝BC，BE＝BA， ∴△ABD≌△EBC（SAS）， ∴△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到，故①符合题意， ∴∠BCE＝∠BDA， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD， ∵∠BDC＝∠ADE， ∴∠BCD＝∠ADE， ∵∠BDA+∠ADE＝180°， ∴∠BCE+∠BCD＝180°，故②符合题意， ∵BE＝BA， ∴∠BAE＝∠BEA＝（180°﹣∠ABE）， ∵∠ABD＝∠DBC，∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣∠DBC）， ∴∠BAE＝∠BEA＝∠BDC＝∠BCD， ∵∠BDC＝∠ADE， ∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠ABE）， ∵∠DAE＝180°﹣2∠AED， ∴∠ABE＝∠DAE，故③符合题意， 过E作EM⊥BC，交BC延长线于点M， ， ∵BD为△ABC的角平分线， ∴EF＝EM， ∵△ABD≌△EBC， ∴CE＝DA， ∵∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE， ∴CE＝AE， ∴Rt△AEF≌Rt△CEM（HL）， ∴AF＝CM， ∵EF＝EM，BE＝BE， ∴Rt△BEF≌Rt△BEM（HL）， ∴BF＝BM， ∴BA+BC＝BF+AF+BM﹣CM＝BF+AF+BF﹣AF＝2BF，故④符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了旋转的性质，关键是掌握全等三角形的判定条件与性质． 6．（2023秋•殷都区期末）如图，△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，BC＝10cm，点D在边AB上，以CD为边在CD右上方作等边△CDE，若∠ACD＝45°，则点E到BC边的距离为 　5　cm． 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．版权所有 【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，根据垂直定义可得∠CFE＝90°，再在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质可得AC＝5cm，∠ACB＝60°，然后根据已知易得△ACD是等腰直角三角形，从而可得AC＝CD＝5cm，再根据等边三角形的性质可得∠DCE＝60°，CD＝CE，从而可得∠ACB＝∠DCE＝60°，最后利用等式的性质可得：∠ACD＝∠FCE，从而利用AAS证明△CAD≌△CFE，进而利用全等三角形的性质即可解答． 【解答】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F， ∴∠CFE＝90°， ∵∠A＝90°，∠B＝30°，BC＝10cm， ∴AC＝BC＝5（cm），∠ACB＝90°﹣∠B＝60°， ∵∠ACD＝45°， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴AC＝CD＝5cm， ∵△CDE是等边三角形， ∴∠DCE＝60°，CD＝CE， ∴∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB， ∴∠ACD＝∠FCE， ∵∠A＝∠CFE＝90°， ∴△CAD≌△CFE（AAS）， ∴EF＝AD＝5cm， 故答案为：5． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握手拉手模型﹣旋转型全等是解题的关键． 7．（2021秋•滨湖区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝．D是边AB上一动点，连接CD，以CD为直角边在CD左侧作等腰直角△CDE，且∠DCE＝90°，连接AE，则DE长度的最小值为 　　；△ADE面积的最大值为 　　． 【考点】垂线段最短；三角形三边关系；等腰三角形的性质；勾股定理．版权所有 【分析】要求DE最小值，只需求出CD的最小值，过点C作CF⊥AB于点F，根据垂线短最短即可得出CF即为CD的最小值，然后用勾股定理求出DE的最小值；利用手拉手全等模型可得△ACE≌△BCD（SAS），从而得∠DAE＝90°，设AE＝x，则AD＝2﹣x，从而表示出△ADE面积，即可求解． 【解答】解：∵△CDE是等腰直角三角形， ∴DE＝， ∴CD取得最小值时，DE取得最小值， 如图，过点C作CF⊥AB于点F，此时CF即为CD的最小值， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝， ∴CF＝1，AB＝2， ∴CD的最小值为1， ∴DE的最小值为． ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴∠EAC＝∠B＝45°，AE＝BD， ∴∠EAD＝90°， 设BD＝x，则AE＝x，AD＝2﹣x， ∴S△ADE＝ ＝， ∴当x＝1时，S△ADE的最大值为， 故答案为，． 【点评】本题考查等腰三角形的性质、垂线段最短、全等三角形，其中判断出手拉手模型得全等是解题关键． 8．（2021秋•宣化区期末）已知：如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，连接CD，C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②∠ACE+∠ABD＝45°；③∠BAE+∠DAC＝180°；④BD⊥CE．其中正确的是 　①③④　．（只填序号） 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．版权所有 【分析】①由AB＝AC，AD＝AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出△ABD≌△ACE，由全等三角形的对应边相等得到BD＝CE； ②由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC＝45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC＝45°； ③根据周角的定义即可判断； ④由△ABD≌△AEC得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE； 【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE，故①正确； ②∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠ABD+∠DBC＝45°， ∵∠ABD＝∠ACE， ∴∠ACE+∠DBC＝45°，故②错误； ③∵∠BAC＝∠EAD＝90°， ∴∠BAE+∠CAD＝180°，故③正确； ④∵△BAD≌△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠ABD+∠DBC＝45°， ∴∠ACE+∠DBC＝45°， ∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°， 则BD⊥CE，故④正确； 综上所述，正确的结论有3个． 故答案为：①③④． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 9．（2024春•松江区期末）如图，已知△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，点D在边BC边上（不与B、C重合），且∠B＝∠ADE，DE交AC于F． （1）试说明∠BAD与∠CAE相等的理由； （2）联结CE，若CD＝CE，说明DF与EF相等的理由； （3）若∠BAD＝20°，当△DAF是等腰三角形时，直接写出∠B的度数． 【考点】三角形综合题．版权所有 【分析】（1）利用等角减去公共角即可证出； （2）证出△ABD≌△ACE（SAS），再利用等腰三角形三线合一即可证出； （3）分类讨论，分别就某一种情况进行计算，要先得出∠FDC＝∠BAD＝20°，再建立关于α的方程即可． 【解答】（1）证明：∵∠B＝∠ADE，AB＝AC，AD＝AE ∴∠BAC＝180°﹣2∠B，∠DAE＝180°﹣2∠ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， （2）证明：如图， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ACE＝∠ABD， ∵AB＝AC， ∴∠ABD＝∠ACD， ∴∠ACE＝∠ACD， ∵CD＝CE， ∴DF＝EF（等腰三角形三线合一）． （3）①DA＝DF时，如图， 设∠B＝α，则∠ADF＝∠C＝α， ∵∠ADC＝∠ADF+∠FDC＝∠B+∠BAD， ∴∠FDC＝∠BAD＝20°， ∵DA＝DF， ∴∠DAF＝∠DFA＝＝90°﹣α， ∵∠DFA＝∠FDC+∠C，即90°﹣α＝α+20， 解得α＝，此时∠B＝． ②AF＝DF时，如图， 由①知∠FDC＝∠BAD＝20°，设∠B＝α，则∠ADF＝∠C＝α， ∵AF＝DF， ∴∠DAF＝∠ADF＝α， ∴∠AFD＝180﹣2α＝α+20， 解得α＝，此时∠B＝． ③AD＝AF时，因为AD＝AE，点F在DE上，所以此种情况不存在． 综上，∠B的度数为（）°或（）°． 【点评】本题主要考查了三角形综合以及全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点以及分类讨论思想是解题关键． 10．（2023秋•钢城区期末）【初步感知】： 如图①，△ABC和△CDE都是等边三角形，连接AD、BE．小组同学发现： （1）△ACD与△BCE全等，依据是 　SAS　（填写全等三角形判定定理）； （2）线段BE＝AD，依据是 　全等三角形的对应边相等　； 【拓展探究】： 如图②，△ABC和△CDE都是等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM． （3）线段BE与AD之间是否仍存在（2）中的结论？若存在，请说明理由； （4）∠AMB＝　α　（用含α的式子表示），并说明理由． 【考点】三角形综合题．版权所有 【分析】（1）由等边三角形的性质得AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，再证明∠ACD＝∠BCE，然后由SAS证明△ACD≌△BCE即可； （2）由全等三角形的性质即可得出结论； （3）先证明∠ACD＝∠BCE，再证明△CBE≌△CAD（SAS），然后由全等三角形的性质即可得出结论； （4）由全等三角形的性质得∠CAD＝∠CBE，再由三角形内角和定理得∠BAC+∠ABC＝180°﹣α，则∠BAM+∠ABM＝180°﹣α，然后由三角形内角和定理即可得出结论． 【解答】解：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∵∠BCE＝∠ACB﹣∠ECA，∠ACD＝∠DCE﹣∠ECA， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， 故答案为：SAS； （2）由（1）可知，△ACD≌△BCE， ∴BE＝AD（全等三角形的对应边相等）， 故答案为：全等三角形的对应边相等； （3）存在（2）的结论BE＝AD，理由如下： ∵∠ACB＝∠DCE＝α，∠ACD＝α+∠BCD，∠BCE＝α+∠BCD ∴∠ACD＝∠BCE， 在△CBE和△CAD中， ， ∴△CBE≌△CAD（SAS）， ∴BE＝AD； （4）∠AMB＝α，理由如下： ∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD＝∠CBE， ∵∠BAC+∠ABC＝180°﹣α， ∴∠BAM+∠ABM＝180°﹣α， ∴∠AMB＝180°﹣（180°﹣α）＝α， 故答案为：α． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 学科网（北京）股份有限公司 $$