第08讲 有理数的混合运算（2大知识点6题型，新教材）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（苏科版2024）

第08讲 有理数的混合运算 课程标准 学习目标 1 理解有理数混合运算的顺序； 2 能正确进行有理数的混合运算； 3 能用运算律进行简便计算. 1. 知识与技能目标：学生能够掌握有理数混合运算的法则和顺序，熟练进行各种运算； 2. 过程与方法目标：通过练习和实践，培养学生分析问题、解决问题的能力，提升运算的准确性和速度； 3. 情感态度与价值观目标：让学生体验数学运算的严谨性和逻辑性，培养学生的耐心和细心. 知识点一、有理数的混合运算顺序 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3. 如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. PS：在有理数混合运算中，通常情况下，带分数要先化成假分数，小数要先化成分数，再进行计算，有些计算是可以同时进行的. 知识点二、利用运算律简便计算 1. 有理数运算律包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律及乘法分配律等； 2. 一些计算优先结合会简便很多，如下所示： （1） 相反数结合； （2） 凑整结合； （3） 正、负分别结合； （4） 同分母结合； （5） 倒数结合 题型01 有理数的混合运算（简单） 1．（1）﹣12+5+（﹣16）﹣（﹣17）； （2）． 2．计算： （1）15+（﹣27）+（﹣5）+27； （2）； （3）； （4）． 题型02 有理数的混合运算（复杂） 1．计算：． 2．计算： （1）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13； （2）（）×13+（）×2﹣（）×5 （3）﹣22+5×（﹣3）﹣（﹣4）÷4； （4）﹣14﹣（1﹣0.5）[2﹣（﹣3）2]． 3．计算 （1）（）（）÷（） （2）﹣3﹣[﹣5+（1﹣0.2）÷（﹣2）] （3）（43）×（﹣2）﹣2（） （4）[50﹣（）×（﹣6）2]÷（﹣7）2． 题型03 简便计算 1．用简便方法计算 （1）（﹣36）×（） （2）999． 2．用简便方法计算： （1）190.4×（﹣18）（﹣19） （2）（﹣9）×50． 3．请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： 999×118999×（）﹣999×18． 题型04 数字游戏：速算24 1．“算24点”的游戏规则是：用“+﹣×÷”四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24．例如，给出2，2，2，8这四个数，可以列式（2÷2+2）×8＝24．以下的4个数用“+﹣×÷”四种运算符号不能算出结果为24的是（　　） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 2．“算24”是我国民间传统的益智游戏，游戏规则为：随机给出四个数，每个数必用且仅能用一次，只利用“加号、减号、乘号、除号”（可以重复使用）及括号（含小括号、中括号）连接，使得四个数的运算结果等于24．如：给出1、2、3、4四个数，则得到24的式子可以是：（1+2+3）×4＝24．现给出“3、3、8、8”四个数，则得到24的式子可以是 　 　． 3．有一种扑克牌游戏叫做“24点”．要求是可以用加、减、乘、除、乘方五种运算把扑克牌牌面上的数算成24．每张牌必须用且只能用一次．如果有四张牌如图所示，请列出一种“24点”算式 　 　． 题型05 有理数混合运算中的新定义问题 1．对于任意正整数a，b定义一种新运算：F（a+b）＝F（a）•F（b）．比如F（2）＝5，则F（4）＝F（2+2）＝5×5＝52，F（6）＝F（2+4）＝5×52＝53，那么F（2024）的结果是（　　） A．2024 B．52024 C．51012 D．1012 2．设a，x为有理数，定义新运算：a※x＝﹣a×|x|．例如：2※3＝﹣2×|3|＝﹣6，若3※（a+1）＝﹣4，则a的值为 　 　． 3．已知a、b为有理数，如果规定一种新的运算“*”，定义a*b＝a2﹣ab+a﹣1，请根据“*”的意义，计算1*2＝　　． 题型06 程序计算题 1．按如图所示的程序分别输入﹣2进行计算，请写出输出结果（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 2．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将（101）2，（1001）2换算成十进制数应为： ； ． 按此方式，将二进制（1011）2换算成十进制数和将十进制数13转化为二进制的结果分别为（　　） A．17，（1101）2 B．17，（1110）2 C．11，（1101）2 D．11，（1110）2 3．如图是一个计算程序，若输入的值为1，则输出的值应为 　　． 1．如图，A，B两点在数轴上表示的数分别为a，b，下列式子成立的是（　　） A．ab＞o B．a+b＜0 C．（b﹣a）（a+1）＞0 D．（b﹣1）（a﹣1）＞0 2．﹣1的倒数乘以的相反数，其值为（　　） A．5 B．﹣5 C． D． 3．下列计算正确的是（　　） A．2﹣（﹣1）3＝2﹣1＝1 B．74﹣4÷70＝70÷70＝1 C． D．23﹣32＝8﹣9＝﹣1 4．如果有4个不同的正整数a、b、c、d满足（2019﹣a）（2019﹣b）（2019﹣c）（2019﹣d）＝9，那么a+b+c+d的值为（　　） A．0 B．9 C．8048 D．8076 5．计算：4×992+4＝　 　． 6．你会玩“二十四点”游戏吗？请你在“2，﹣4，12，1”这四个数中利用有理数的混合运算，使四个数的运算结果为24（每个数只能用一次），写出你的算式　 　． 7．已知a、b、c都是有理数，其中a为正数，若代数式的值为﹣1，则代数式的值为 　 　． 8．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，则a+b﹣2m2﹣4cd的值为 　 　． 9．如图是一个运算程序，若输入x的值为﹣5，则输出y的值为　 　． 10．数学家发明了一个魔术盒，当任意有理数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的有理数：a2﹣b﹣5．例如把（3，﹣2）放入其中，就会得到32﹣（﹣2）﹣5＝6．现将有理数对（﹣2，3）放入其中得到有理数m，再将有理数对（m，﹣10）放入其中后，得到的有理数是 　 　． 11．（1）计算：． （2）计算：． 12．用简便方法计算： （1）； （2）． 13．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝5．求4（a+b﹣2）+（﹣cd）2024﹣3m的值． 14．某地区高度每增加100米，气温降低0.9℃，昊恩和美琪两名同学想出一个测量山峰高度的办法，美琪在山脚，吴恩跑到山顶，他们在同一时刻测得山脚的温度是3.8℃，山顶的温度是﹣1.6℃，求山峰的高度． 15．定义一种运算：ad﹣bc，如1×0﹣（﹣2）×3＝6，那么当a＝﹣12，b＝（﹣2）2﹣1，c＝﹣32+5，d时，求 的值． 16．已知算式“（﹣2）×4﹣8”． （1）请你计算上式结果； （2）嘉嘉将数字“8”抄错了，所得结果为﹣11，求嘉嘉把“8”错写成了哪个数； （3）淇淇把运算符号“×”错看成了“+”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？ 17．观察下面三行数： ﹣3，9，﹣27，81，﹣243，…； ﹣5，7，﹣29，79，﹣245，…； 1，﹣3，9，﹣27，81，…． （1）第一行数按什么规律排列？ （2）第二、三行数与第一行数分别有什么关系？ （3）取每行第6个数计算他们的和． 18．生活中我们使用的数是十进制数，有时候也会用到其它进制数，如计算机使用的数是二进制数，二进制数可以转化为十进制数．如，二进制数1101换算成十进制数是1×23+1×22+0×21+1×20＝13． 第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）在中国上海举行，会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份． （1）八进制数3747换算成十进制数是 　 　； （2）小颖设计了一个m进制数156，换算成十进制数是90，求m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 有理数的混合运算 课程标准 学习目标 1 理解有理数混合运算的顺序； 2 能正确进行有理数的混合运算； 3 能用运算律进行简便计算. 1. 知识与技能目标：学生能够掌握有理数混合运算的法则和顺序，熟练进行各种运算； 2. 过程与方法目标：通过练习和实践，培养学生分析问题、解决问题的能力，提升运算的准确性和速度； 3. 情感态度与价值观目标：让学生体验数学运算的严谨性和逻辑性，培养学生的耐心和细心. 知识点一、有理数的混合运算顺序 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3. 如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. PS：在有理数混合运算中，通常情况下，带分数要先化成假分数，小数要先化成分数，再进行计算，有些计算是可以同时进行的. 知识点二、利用运算律简便计算 1. 有理数运算律包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律及乘法分配律等； 2. 一些计算优先结合会简便很多，如下所示： （1） 相反数结合； （2） 凑整结合； （3） 正、负分别结合； （4） 同分母结合； （5） 倒数结合 题型01 有理数的混合运算（简单） 1．（1）﹣12+5+（﹣16）﹣（﹣17）； （2）． 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则即可求解； （2）根据有理数的乘除混合运算法则即可求解． 【解答】解：（1）﹣12+5+（﹣16）﹣（﹣17） ＝﹣7﹣16+17 ＝﹣6； （2） ， ＝1． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 2．计算： （1）15+（﹣27）+（﹣5）+27； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）根据有理数的加法计算法则求解即可； （2）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可； （3）先去括号，然后利用乘法分配律的逆运算法则求解即可； （4）把原式变形为，进一步变形得到，据此计算求解即可． 【解答】解：（1）15+（﹣27）+（﹣5）+27 ＝15﹣27﹣5+27 ＝10； （2） ＝﹣1+1 ＝0； （3） ＝7×1 ＝7； （4） ． 【点评】本题主要考查了有理数的混合计算，熟练掌握有理数混合运算法则是关键． 题型02 有理数的混合运算（复杂） 1．计算：． 【分析】先算乘方和括号里面的除法，再算加法，再算乘方，再算乘法，最后算减法． 【解答】解：原式＝﹣1﹣[12]2×（） ＝﹣1﹣（）2×（） ＝﹣1（） ＝﹣1 ． 【点评】此题考查有理数的混合运算，注意运算顺序和运算结果的符号判定． 2．计算： （1）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13 （2）（）×13+（）×2﹣（）×5 （3）﹣22+5×（﹣3）﹣（﹣4）÷4 （4）﹣14﹣（1﹣0.5）[2﹣（﹣3）2]． 【分析】（1）从左向右依次计算即可． （2）应用乘法分配律，求出算式的值是多少即可． （3）首先计算乘方和乘除法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可． （4）首先计算乘方和括号里面的运算，然后计算乘法和减法，求出算式的值是多少即可． 【解答】解：（1）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13 ＝﹣34+18﹣13 ＝﹣29 （2）（）×13+（）×2﹣（）×5 ＝（）×（13+2﹣5） ＝（）×10 ＝﹣8 （3）﹣22+5×（﹣3）﹣（﹣4）÷4 ＝﹣4﹣15+1 ＝﹣18 （4）﹣14﹣（1﹣0.5）[2﹣（﹣3）2] ＝﹣1（﹣7） ＝﹣1 【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 3．计算 （1）（）（）÷（） （2）﹣3﹣[﹣5+（1﹣0.2）÷（﹣2）] （3）（43）×（﹣2）﹣2（） （4）[50﹣（）×（﹣6）2]÷（﹣7）2． 【分析】（1）原式从左到右依次计算即可得到结果； （2）原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可得到结果； （3）原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可得到结果； （4）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果． 【解答】解：（1）原式； （2）原式＝﹣3+5+（1）3+52； （3）原式73； （4）原式＝（50﹣28+33﹣6）491． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型03 简便计算 1．用简便方法计算 （1）（﹣36）×（） （2）999． 【分析】（1）运用乘法分配律展开后，先计算乘法，再计算加减可得； （2）将原式变形为（100）×9，再运用乘法分配律计算可得． 【解答】解：（1）原式＝﹣36（﹣36）（﹣36） ＝﹣27+30﹣28 ＝﹣25； （2）原式＝（100）×9 ＝900 ＝899． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则、运算律等． 2．用简便方法计算： （1）190.4×（﹣18）（﹣19） （2）（﹣9）×50． 【分析】根据有理数混合运算的运算方法，求出每个算式的值各是多少即可． 【解答】解：（1）190.4×（﹣18）（﹣19） ＝19×0.4+0.4×18﹣0.4×19 ＝0.4×（19+18﹣19） ＝0.4×18 ＝7.2 （2）（﹣9）×50 ＝（﹣9）×50 ＝（﹣9）×5050 ＝﹣450﹣48 ＝﹣498 【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 3．请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： 999×118999×（）﹣999×18． 【分析】根据乘法分配律可以解答本题． 【解答】解：999×118999×（）﹣999×18 ＝999×[] ＝999×100 ＝99900． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 题型04 数字游戏：速算24 1．“算24点”的游戏规则是：用“+﹣×÷”四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24．例如，给出2，2，2，8这四个数，可以列式（2÷2+2）×8＝24．以下的4个数用“+﹣×÷”四种运算符号不能算出结果为24的是（　　） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【分析】首先认真分析找出规律，然后根据有理数的运算法则列式． 【解答】解：A、用“+—×÷”四种运算符号不能算出结果为24，符合题意； B、1×2×3×4＝24，不符合题意； C、（10×10﹣4）÷4 ＝（100﹣4）÷4 ＝96÷4 ＝24，不符合题意； D、（﹣6+3×3）×8 ＝（﹣6+9）×8 ＝3×8 ＝24，不符合题意． 故选：A． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，具有一定的开放性，答案不唯一，关键是掌握有理数的运算能力及括号的正确使用． 2．“算24”是我国民间传统的益智游戏，游戏规则为：随机给出四个数，每个数必用且仅能用一次，只利用“加号、减号、乘号、除号”（可以重复使用）及括号（含小括号、中括号）连接，使得四个数的运算结果等于24．如：给出1、2、3、4四个数，则得到24的式子可以是：（1+2+3）×4＝24．现给出“3、3、8、8”四个数，则得到24的式子可以是 　 　． 【分析】根据有理数的运算法则即可求得答案． 【解答】解：8÷（3﹣8÷3） ＝8÷（3） ＝8 ＝8×3 ＝24， 故答案为：8÷（3﹣8÷3）． 【点评】本题考查有理数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 3．有一种扑克牌游戏叫做“24点”．要求是可以用加、减、乘、除、乘方五种运算把扑克牌牌面上的数算成24．每张牌必须用且只能用一次．如果有四张牌如图所示，请列出一种“24点”算式 　 　． 【分析】根据题意和图形，可以写出一个结果为24的算式． 【解答】解：5×5﹣15 ＝5×5﹣1 ＝25﹣1 ＝24， 故答案为：5×5﹣15． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式． 题型05 有理数混合运算中的新定义问题 1．对于任意正整数a，b定义一种新运算：F（a+b）＝F（a）•F（b）．比如F（2）＝5，则F（4）＝F（2+2）＝5×5＝52，F（6）＝F（2+4）＝5×52＝53，那么F（2024）的结果是（　　） A．2024 B．52024 C．51012 D．1012 【分析】根据新定义运算法则和同底数幂运算法则进行计算即可 【解答】解：∵F（a+b）＝F（a）•F（b），且F（2）＝5，F（4）＝F（2+2）＝5×5＝52，F（6）＝F（2+4）＝5×52＝53， ⋯， F（2n）＝5n， ∵2024÷2＝1012， ∴F（2024）＝51012， 故选：C． 【点评】本题主要考查新定义运算和同底数幂的乘法，理解新定义是关键． 2．设a，x为有理数，定义新运算：a※x＝﹣a×|x|．例如：2※3＝﹣2×|3|＝﹣6，若3※（a+1）＝﹣4，则a的值为 　 　． 【分析】本题考查新定义，解一元一次方程，根据新定义列方程求解即可． 【解答】解：∵a※x＝﹣a×|x|，3※（a+1）＝﹣4， ∴﹣3×|a+1|＝﹣4， ∴， ∴， ∴或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键． 3．已知a、b为有理数，如果规定一种新的运算“*”，定义a*b＝a2﹣ab+a﹣1，请根据“*”的意义，计算1*2＝　　． 【分析】根据题目中的新定义和运算顺序计算即可． 【解答】解：由题意得：1*2＝12﹣1×2+1﹣1＝﹣1 故答案为：﹣1． 【点评】此题考查了新运算，有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是关键． 题型06 程序计算题 1．按如图所示的程序分别输入﹣2进行计算，请写出输出结果（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据运算程序，先计算输入﹣2时的结果，然后观察是否大于2，如果大于2就输出，如果不大于2，就将结果继续代入运算程序计算，知道结果大于2输出． 【解答】解：由题意可得， 当输入﹣2时，﹣2+4+（﹣3）+1＝0＜2， 0+4+（﹣3）+1＝2＝2， 2+4+（﹣3）+1＝4＞2， 即当输入﹣2时，输出结果为4， 故选：A． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 2．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将（101）2，（1001）2换算成十进制数应为： ； ． 按此方式，将二进制（1011）2换算成十进制数和将十进制数13转化为二进制的结果分别为（　　） A．17，（1101）2 B．17，（1110）2 C．11，（1101）2 D．11，（1110）2 【分析】根据题意，可以将二进制数和十进制数相互转化，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， （1011）2＝1×23+0×22+1×2+1＝11， ∵13＝1×23+1×22+0×2+1， ∴13＝（1101）2， 故选：C． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 3．如图是一个计算程序，若输入的值为1，则输出的值应为 　　． 【分析】把1代入计算程序中计算即可得到结果． 【解答】解：把1代入得：12×2﹣4＝1×2﹣4＝2﹣4＝﹣2＜0， 把﹣2代入得：（﹣2）2×2﹣4＝4×2﹣4＝8﹣4＝4＞0， 故输出的值应为4． 故答案为：4． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握计算程序和运算法则是解本题的关键． 1．如图，A，B两点在数轴上表示的数分别为a，b，下列式子成立的是（　　） A．ab＞o B．a+b＜0 C．（b﹣a）（a+1）＞0 D．（b﹣1）（a﹣1）＞0 【分析】根据a、b两点在数轴上的位置判断出其取值范围，再对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：a、b两点在数轴上的位置可知：﹣1＜a＜0，b＞1， ∴ab＜0，a+b＞0，故A、B错误； ∵﹣1＜a＜0，b＞1， ∴b﹣a＞0，b﹣1＞0，a+1＞0，a﹣1＜0，故C正确，D错误． 故选：C． 【点评】本题考查的是数轴的特点，根据a、b两点在数轴上的位置判断出其取值范围是解答此题的关键． 2．﹣1的倒数乘以的相反数，其值为（　　） A．5 B．﹣5 C． D． 【分析】根据倒数的定义和相反数的定义列式，再根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解． 【解答】解：﹣1的倒数是，的相反数是， 所以（）×（）． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的乘法，相反数的定义，倒数的定义，是基础题，熟记运算法则和概念是解题的关键． 3．下列计算正确的是（　　） A．2﹣（﹣1）3＝2﹣1＝1 B．74﹣4÷70＝70÷70＝1 C． D．23﹣32＝8﹣9＝﹣1 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、原式＝2+1＝3，不符合题意； B、原式＝7473，不符合题意； C、原式＝6÷（）＝6×（﹣6）＝﹣36，不符合题意； D、原式＝8﹣9＝﹣1，符合题意， 故选：D． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．如果有4个不同的正整数a、b、c、d满足（2019﹣a）（2019﹣b）（2019﹣c）（2019﹣d）＝9，那么a+b+c+d的值为（　　） A．0 B．9 C．8048 D．8076 【分析】根据a、b、c、d是四个不同的正整数可知四个括号内的值分别是：±1，±3，据此可得出结论． 【解答】解：∵a、b、c、d是四个不同的正整数， ∴四个括号内的值分别是：±1，±3， ∴2019+1＝2020，2019﹣1＝2018，2019+3＝2022，2019﹣3＝2016， ∴a+b+c+d＝2020+2018+2022+2016＝8076． 故选：D． 【点评】本题考查的是有理数的混合运算，根据题意得出四个括号中的数是解答此题的关键． 5．计算：4×992+4＝　39208　． 【分析】根据有理数的乘方、乘法和加法可以解答本题． 【解答】解：4×992+4 ＝4×9801+4 ＝39204+4 ＝39208， 故答案为：39208． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 6．你会玩“二十四点”游戏吗？请你在“2，﹣4，12，1”这四个数中利用有理数的混合运算，使四个数的运算结果为24（每个数只能用一次），写出你的算式　[12+（﹣4）]×（2+1）＝24　． 【分析】首先将12与﹣4相加得8，然后和2与1的和相乘，结果得24． 【解答】解：∵12+（﹣4）＝8， 2+1＝3， ∴[12+（﹣4）]×（2+1）＝24． 【点评】认真读题，完全掌握2，﹣4，12，1各数之间的相互计算的结果，培养学生的计算能力． 7．已知a、b、c都是有理数，其中a为正数，若代数式的值为﹣1，则代数式的值为 　1　． 【分析】根据a为正数，得出：b，c中有一个负数，进而即可求解． 【解答】解∵a为正数， ∴b，c中有一个负数，一个正数， 设b＞0，c＜0， ∴1+1﹣1＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查的是绝对值的性质以及有理数的加法运算，掌握绝对值的性质是关键． 8．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，则a+b﹣2m2﹣4cd的值为 　﹣12　． 【分析】根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，可以得到a+b＝0，cd＝1，m2＝4，然后代入所求式子计算即可． 【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2， ∴a+b＝0，cd＝1，m2＝4， ∴a+b﹣2m2﹣4cd ＝0﹣2×4﹣4×1 ＝0﹣8﹣4 ＝﹣12， 故答案为：﹣12． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 9．如图是一个运算程序，若输入x的值为﹣5，则输出y的值为　﹣10　． 【分析】由题意可得[（x+4）﹣（﹣3）]×（﹣5）＝y，然后令x＝﹣5即可得到y的值． 【解答】解：由题意可得， [（x+4）﹣（﹣3）]×（﹣5）＝y， 当x＝﹣5时， [（﹣5+4）﹣（﹣3）]×（﹣5）＝﹣10， 故答案为：﹣10． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确题意，根据题意可以列出相应的关系式． 10．数学家发明了一个魔术盒，当任意有理数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的有理数：a2﹣b﹣5．例如把（3，﹣2）放入其中，就会得到32﹣（﹣2）﹣5＝6．现将有理数对（﹣2，3）放入其中得到有理数m，再将有理数对（m，﹣10）放入其中后，得到的有理数是 　21　． 【分析】根据当任意有理数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的有理数：a2﹣b﹣5，可以解答本题． 【解答】解：∵当任意有理数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的有理数：a2﹣b﹣5， ∴将有理数对（﹣2，3）放入其中，得到的数为：m＝（﹣2）2﹣3﹣5＝4﹣3﹣5＝﹣4， 将有理数对（m，﹣10）放入其中后，得到有理数是：（﹣4）2﹣（﹣10）﹣5＝16+10﹣5＝21． 故答案为：21． 【点评】本题考查有理数的混合运算和新定义问题，解答本题的关键是明确新的有理数与a、b的关系． 11．（1）计算：． （2）计算：． 【分析】（1）把除法变乘法后用乘法分配律进行求解即可； （2）根据有理数混合运算的顺序和法则进行计算即可． 【解答】解：（1）原式 ＝27+20﹣21 ＝26； （2）原式 ． 【点评】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 12．用简便方法计算： （1）； （2）． 【分析】（1）根据加法的交换律即可解决问题； （2）利用有理数的乘法分配律即可得答案． 【解答】解：（1） ＝﹣5﹣2 ＝﹣7； （2） ． 【点评】本题考查了有理数的四则运算，掌握有理数的乘法的分配律是解答本题的关键． 13．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝5．求4（a+b﹣2）+（﹣cd）2024﹣3m的值． 【分析】根据a，b互为相反数，则a+b＝0，c，d互为倒数，则cd＝1，再根据|m|＝5，分类讨论m的值进行计算即可． 【解答】解：∵a，b互为相反数， ∴a+b＝0， ∵c，d互为倒数， ∴cd＝1， ∵|m|＝5， ∴m＝5或m＝﹣5； ∴4（a+b﹣2）+（﹣cd）2024﹣3m＝4×（0﹣2）+（﹣1）2024﹣3m＝﹣8+1﹣3m， 当m＝﹣5时，﹣8+1﹣3m＝﹣7+15＝8； 当m＝5时，﹣8+1﹣3m＝﹣7﹣15＝﹣22． 【点评】本题考查相反数、倒数、绝对值的定义，有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是关键． 14．某地区高度每增加100米，气温降低0.9℃，昊恩和美琪两名同学想出一个测量山峰高度的办法，美琪在山脚，吴恩跑到山顶，他们在同一时刻测得山脚的温度是3.8℃，山顶的温度是﹣1.6℃，求山峰的高度． 【分析】求出山脚与山顶的温度差，再根据高度每增加100米，气温降低0.9℃进行求解即可． 【解答】解：[3.8﹣（﹣1.6）]÷0.9×100 ＝（3.8+1.6）÷0.9×100 ＝5.4÷0.9×100 ＝600（米）， ∴山峰的高度为600米． 【点评】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出算式求解是解题的关键． 15．定义一种运算：ad﹣bc，如1×0﹣（﹣2）×3＝6，那么当a＝﹣12，b＝（﹣2）2﹣1，c＝﹣32+5，d时，求 的值． 【分析】首先计算出a＝﹣12，＝﹣1，b＝（﹣2）2﹣1＝3，c＝﹣32+5＝﹣4，d3，进一步利用定义的运算方法化为有理数的混合运算计算得出答案即可． 【解答】解：a＝﹣12，＝﹣1，b＝（﹣2）2﹣1＝3，c＝﹣32+5＝﹣4，d3， 则1×（﹣3）﹣3×（﹣4）＝3+12＝15． 【点评】此题考查有理数的混合运算，理解题意，掌握定义运算的方法是解决问题的关键． 16．已知算式“（﹣2）×4﹣8”． （1）请你计算上式结果； （2）嘉嘉将数字“8”抄错了，所得结果为﹣11，求嘉嘉把“8”错写成了哪个数； （3）淇淇把运算符号“×”错看成了“+”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？ 【分析】（1）先算乘法，再算减法； （2）列方程可解得答案； （3）先算出淇淇的结果，再列式计算即可． 【解答】解：（1）（﹣2）×4﹣8 ＝﹣8﹣8 ＝﹣16； （2）设嘉嘉把“8”错写成了x， 根据题意得：（﹣2）×4﹣x＝﹣11， 解得：x＝3， ∴嘉嘉把“8”错写成了3； （3）淇淇的结果为 （﹣2）+4﹣8 ＝2﹣8 ＝﹣6， ﹣6﹣（﹣16）＝10， ∴淇淇的计算结果比原题的正确结果大10． 【点评】本题考查有理数混合运算，涉及一元一次方程，解题的关键是掌握有理数相关运算法则． 17．观察下面三行数： ﹣3，9，﹣27，81，﹣243，…； ﹣5，7，﹣29，79，﹣245，…； 1，﹣3，9，﹣27，81，…． （1）第一行数按什么规律排列？ （2）第二、三行数与第一行数分别有什么关系？ （3）取每行第6个数计算他们的和． 【分析】（1）根据题目中的数据，可以写出第一行数按什么规律排列； （2）根据题目中的数据，可以发现第二、三行数与第一行数分别有什么关系； （3）根据前面的发现，可以写出每行第6个数，然后相加即可解答本题． 【解答】解：（1）∵﹣3，9，﹣27，81，﹣243，…， ∴这一行数的第n个数为（﹣3）n， 即第一行数按（﹣3）n规律排列； （2）∵﹣3，9，﹣27，81，﹣243，…； ﹣5，7，﹣29，79，﹣245，…； 1，﹣3，9，﹣27，81，…． ∴第二行的数字是第一行对应的数字减去2得到的，第三行的数是第一行对应的数字除以﹣3得到的； （3）由（2）可得， 第一行的第6个数为（﹣3）6，第二行的第6个数为（﹣3）6﹣2，第三行的第6个数为（﹣3）5， （﹣3）6+（﹣3）6﹣2+（﹣3）5 ＝729+729﹣2+（﹣243） ＝1213． 【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值． 18．生活中我们使用的数是十进制数，有时候也会用到其它进制数，如计算机使用的数是二进制数，二进制数可以转化为十进制数．如，二进制数1101换算成十进制数是1×23+1×22+0×21+1×20＝13． 第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）在中国上海举行，会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份． （1）八进制数3747换算成十进制数是 　2023　； （2）小颖设计了一个m进制数156，换算成十进制数是90，求m的值． 【分析】（1）根据已知，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以80，81，82，83，再把所得结果相加即可得解； （2）根据m进制数和十进制数的计算方法得到关于m的方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）3747＝3×83+7×82+4×81+7×80 ＝1536+448+32+7 ＝2023． 故答案为：2023； （2）依题意有： 1×m2+5×m1+6×m0＝90， 解得m1＝7，m2＝﹣12（舍去）， 故m的值是7． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是弄清各个进制数转化为十进制数的计算方法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$