第07讲 有理数的乘方（3大知识点9题型，新教材）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（苏科版2024）

第07讲 有理数的乘方 课程标准 学习目标 1 理解有理数乘方的意义； 2 掌握有理数乘方的运算. 1. 理解有理数乘方的概念，了解幂、底数、指数的概念及其表示； 2. 掌握有理数乘方的运算方法及运算规则； 3. 能正确进行有理数的乘方运算； 4. 能运用有理数乘方解决实际问题. 知识点一、有理数乘方的意义 求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”. 1. 乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果； 2. 一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写； 3. 底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来； 4. 当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来； 5. 一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方. 知识点二、有理数乘方的运算 1. 有理数乘方运算的符号法则 （1） 正数的任何次幂都是正数； （2） 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； （3） 0的任何正整数次幂都是0； （4） 任何一个数的偶数次幂都是非负数. 2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 3. 拓展： （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 知识点三、科学记数法 1. 科学计数法的定义：一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中，n是正整数，这种记数方法称为科学记数法. 2. 如何确定科学记数法中的a和n （1） a是一个整数数位只有一位的数，即； （2） 确定n的两种方法：①若这个数是大于10的数，则n等于原数的整数位数减1；②按小数点移动的位数来确定n的值，小数点向左移动了几位，n就等于几. a) 用科学记数法表示的数只是改变数的形式，而没有改变数的性质和大小； b) 用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示的结果也应带有单位，并且前后要一致； c) 用科学记数法表示负数的方法和正数一样，就是要在前面多一个“－”号； d) 对用科学记数法表示的数进行还原时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉. 题型01 有理数乘方的概念 1．下列说法正确的是（　　） A．23表示2×3 B．﹣22与（﹣2）2互为相反数 C．（﹣2）2中﹣2是底数，2是幂 D．a3＝（﹣a）3 2．﹣43的意义是（　　） A．3个﹣4相乘 B．3个﹣4相加 C．﹣4乘3 D．43的相反数 3．下列对于式子（﹣4）2的说法，错误的是（　　） A．指数是2 B．底数是﹣4 C．幂为﹣16 D．表示2个﹣4相乘 题型02 将积的形式改写成幂的形式 1．代数式53×53×53×53×53×53可表示为（　　） A．6×53 B．53+6 C．（53）6 D．（5×6）3 2．计算的结果是（　　） A．3m+4ⁿ B．m3+4n C．3m+4n D．3m+n4 3．计算（）3的结果是（　　） A．a5 B．a6 C．aa+3 D．a3a 题型03 有理数乘方运算 1．计算：（　　） A． B． C． D． 2．下列各组乘方的运算中，结果不相等的是（　　） A．（﹣5）2与52 B．﹣12013与（﹣1）2013 C．42与24 D．23与32 3．有理数（﹣1）2、﹣24、、0、﹣|﹣3|、﹣（﹣5）中正数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．计算：﹣（﹣5）2＝　　． 题型04 用科学记数法表示数 1．国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近300000亿元，同比增长5.3%，国家高质量发展取得新成效．将数据300000用科学记数法表示是（　　） A．0.3×105 B．0.3×106 C．3×105 D．3×106 2．月亮离地球的平均距离约384000千米，这个数值用科学记数法表示为（　　） A．384×103 B．38.4×104 C．3.84×105 D．0.384×106 3．有理数80900000用科学记数法表示为 　　． 4．刘慈欣科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约42000000光年，它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三体星系”．其中数字42000000用科学记数法表示为 　　． 题型05 还原科学记数法表示的数 1．2024年某市计划重点工程建设项目投资总额为整数262310…0用科学记数法表示为2.6231×109，则原数中0的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知2.73×10n是一个7位数，则n＝　　，原数为 　　． 题型06 非负数的性质：偶次方 1．已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣2|＝0，则（a+b）2024的值是（　　） A．﹣2024 B．0 C．1 D．2024 2．若（x+1）2+|y﹣2024|＝0，则xy＝　　． 3．若，则2x+3y的值为 　　． 题型07 用有理数的乘方解决实际问题 1．有一张厚度为0.1毫米的纸，将它对折1次后，厚度为2×0.1毫米．请在下面括号内填上适当的数： （1）对折2次后，厚度为 　　×0.1毫米；对折3次后，厚度为 　　×0.1毫米； （2）对折20次后，厚度为多少毫米？大约有多少层楼高？（友情提示：219＝524288，220＝1048576，221＝2097152．设每层楼高度为3米） 2．某药厂生产了一批新药，装箱后存放在仓库中，为了方便清点，按10×10×10箱一堆的方式摆放，共摆放了10堆，已知每箱装100瓶药，每瓶药装100片． （1）这批药共有多少箱？ （2）这批药共有多少片？ 3．水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） （1）假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 5n 总株数 2 4 … … （2）假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 题型08 与乘方有关新定义问题 1．定义：对任意有理数a，b都有a∇b＝﹣a﹣b2，例如：2∇1＝﹣2﹣12＝﹣3，求（2027∇1）∇3＝　　． 2．若定义有理数x，y有x⋆y＝xy，则﹣2⋆5＝　． 3．小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子，学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．规定：若干个相同有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5记作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）． （1）直接写出计算结果：f（4，）＝　　 ，f（5，3）＝　 　； （2）计算：f（5，3）×f（4，）+f（5，﹣2）×f（6，）． 题型09 与乘方有关的规律探究题 1．计算：21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，…．归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测22006﹣1的个位数字是　　． 2．小聪学习了有理数后，对知识进行归纳总结． （1）【知识呈现】根据所学知识，完成下列填空． ①|﹣2|＝2，|2|＝2： ②（﹣3）2＝9，32＝9； ③若|x|＝4，则x＝　　； ④若x2＝16，则x＝　　； （2）[知识归纳]根据上述知识，你能发现的结论是： 绝对值等于一个正数的数有 　　个，它们互为 　　； 平方等于一个正数的数有 　　个，它们互为 　　； （3）[知识运用]运用上述结论解答：已知|x+1|＝1，（y+2）2＝25，求x+y的值． 3．先阅读下列材料，然后解答问题． 探究：用的幂的形式表示am•an的结果（m、为正整数）． 分析：根据乘方的意义，am•an•am+n． （1）请根据以上结论填空：36×38＝　　，52×53×57＝　　，（a+b）3•（a+b）5＝　　； （2）仿照以上的分析过程，用的幂的形式表示（am）n的结果（提示：将am看成一个整体）． 1．下列各式，①﹣（﹣2）； ②﹣|﹣2|； ③﹣23； ④﹣（﹣2）2．计算结果为负数的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 3．比较（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（　　） A．它们底数相同，指数也相同 B．它们底数相同，但指数不相同 C．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同 D．虽然它们底数不同，但运算结果相同 4．一台机器有大、小齿轮用同一传送带连接，若大小齿轮的齿数分别为36和12个，大齿轮每分钟2.5×103转，则小齿轮10小时转（　　） A．1.5×106转 B．5×105转 C．4.5×106转 D．15×106转 5．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和．如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19．……，若m3的“分裂数”中有一个是119，则m＝（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 6．（1）将写成幂的形式是 　 　，底数是 　 　，指数是 　 　． （2）（﹣2）4表示的意义是 　 　，底数是 　 　，指数是 　 　；﹣24表示的意义是 　 　，底数是 　 　，指数是 　 　． 7．有下列各数：（﹣2）2，﹣24，0，﹣|﹣2|，﹣（﹣3），（﹣2）3，其中负数有 　 　个． 8．若（a﹣2）2+|b+3|＝0，则ab3＝　 　． 9．用“☆”、“★”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有a☆b＝ab和a★b＝ba，那么[（﹣3）☆2]★（﹣1）＝　 　． 10．已知|x|＝5，y2＝4，且x﹣y＜0，则x+y的值为 　 　． 11．将一张长方形的纸对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到15条折痕，如果对折n次，可以得到　 　条折痕． 12．计算： （1）（﹣4）2÷（）； （2）（﹣2）4÷4×（﹣1）100×5． 13．一颗人造地球卫星的速度是2.844×107米/时，一辆汽车的速度是100公里/时，试问这颗人造地球卫星的速度是这辆汽车的多少倍？ 14．现规定一种新的运算“*”：a*b＝ab，如3*2＝32＝9，则*3＝　 　． 15．我们平常用的数都是十进制的，如：3456＝3×103+4×102+5×101+6．表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．电子计算机中用的二进制只有两个数码：0，1．二进制数可以转化为十进制数，如：二进制数101＝1×22+0×21+1，等于十进制数5；二进制数10110＝1×24+0×23+1×22+1×21+0，等于十进制数22，那么二进制数11010等于十进制数多少呢？ 16．观察下列两组算式： ①22×32与（2×3）2； ②（）2×22与[（）×2]2． （1）每组两个算式的结果是否相等？ （2）根据（1）的结果猜想anbn等于什么？ （3）用（2）的结论计算（）2020×（﹣5）2020． 17．记M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，M（n）（其中n为正整数）． （1）求M（5）+M（6）的值； （2）求2M（2020）+M（2021）的值． 18．我国约有9.6×106平方千米的土地，平均1平方千米的土地一年从太阳得到的能相当于燃烧1.5×105吨煤所产生的能量 （1）一年内我国土地从太阳得到的能量相当于燃烧多少吨煤？（用科学记数法表示） （2）若1吨煤大约可以发出8×103度电，那么（1）中的煤大约发出多少度电？（用科学记数法表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 有理数的乘方 课程标准 学习目标 1 理解有理数乘方的意义； 2 掌握有理数乘方的运算. 1. 理解有理数乘方的概念，了解幂、底数、指数的概念及其表示； 2. 掌握有理数乘方的运算方法及运算规则； 3. 能正确进行有理数的乘方运算； 4. 能运用有理数乘方解决实际问题. 知识点一、有理数乘方的意义 求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”. 1. 乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果； 2. 一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写； 3. 底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来； 4. 当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来； 5. 一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方. 知识点二、有理数乘方的运算 1. 有理数乘方运算的符号法则 （1） 正数的任何次幂都是正数； （2） 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； （3） 0的任何正整数次幂都是0； （4） 任何一个数的偶数次幂都是非负数. 2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 3. 拓展： （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 知识点三、科学记数法 1. 科学计数法的定义：一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中，n是正整数，这种记数方法称为科学记数法. 2. 如何确定科学记数法中的a和n （1） a是一个整数数位只有一位的数，即； （2） 确定n的两种方法：①若这个数是大于10的数，则n等于原数的整数位数减1；②按小数点移动的位数来确定n的值，小数点向左移动了几位，n就等于几. a) 用科学记数法表示的数只是改变数的形式，而没有改变数的性质和大小； b) 用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示的结果也应带有单位，并且前后要一致； c) 用科学记数法表示负数的方法和正数一样，就是要在前面多一个“－”号； d) 对用科学记数法表示的数进行还原时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉. 题型01 有理数乘方的概念 1．下列说法正确的是（　　） A．23表示2×3 B．﹣22与（﹣2）2互为相反数 C．（﹣2）2中﹣2是底数，2是幂 D．a3＝（﹣a）3 【分析】根据有理数的乘法和乘方、相反数、幂的意义，即可得结论． 【解答】解：A.23表示2×2×2，不符合题意； B．﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，﹣4与4互为相反数，符合题意； C．（﹣2）2中﹣2是底数，2是指数，（﹣2）2是幂，不符合题意； D．（﹣a）3＝﹣a3≠a3，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的乘法和乘方、相反数、幂的意义，熟练运用以上知识是关键． 2．﹣43的意义是（　　） A．3个﹣4相乘 B．3个﹣4相加 C．﹣4乘3 D．43的相反数 【分析】根据有理数的乘方的意义解答即可． 【解答】解：﹣43的意义是43的相反数， 故选：D． 【点评】此题考查有理数的乘方和相反数，关键是根据有理数的乘方的意义解答． 3．下列对于式子（﹣4）2的说法，错误的是（　　） A．指数是2 B．底数是﹣4 C．幂为﹣16 D．表示2个﹣4相乘 【分析】根据乘方的意义解答即可． 【解答】解：式子（﹣4）2中，指数为2，底数为﹣4，意义为2个﹣4相乘，幂为16， 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的乘方，求n个相同因数的积的运算叫做乘方． 题型02 将积的形式改写成幂的形式 1．代数式53×53×53×53×53×53可表示为（　　） A．6×53 B．53+6 C．（53）6 D．（5×6）3 【分析】求n个相同因数的积的运算叫做有理数的乘方，由此解答即可． 【解答】解：53×53×53×53×53×53＝（53）6， 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的乘方，熟知有理数乘方的意义是解题的关键． 2．计算的结果是（　　） A．3m+4ⁿ B．m3+4n C．3m+4n D．3m+n4 【分析】根据乘法的定义：m个3相加表示为3m，根据乘方的定义：n个4相乘表示为4n，由此求解即可． 【解答】解：m个3相加表示为3m，根据乘方的定义：n个4相乘表示为4n， 故的结果是3m+4n． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方法则是关键． 3．计算（）3的结果是（　　） A．a5 B．a6 C．aa+3 D．a3a 【分析】先根据乘方的意义把括号内的乘法写成乘方的形式，然后根据幂的乘方法则进行计算即可． 【解答】解：原式＝（aa）3＝a3a， 故选：D． 【点评】本题主要考查了有理数的乘方，解题关键是熟练掌握乘方的意义和幂的乘方法则． 题型03 有理数乘方运算 1．计算：（　　） A． B． C． D． 【分析】根据有理数的乘方计算法则即可得出答案． 【解答】解：原式． 故选：D． 【点评】本题主要考查有理数的乘方计算，熟练掌握有理数的乘方计算的运算法则即可得出答案． 2．下列各组乘方的运算中，结果不相等的是（　　） A．（﹣5）2与52 B．﹣12013与（﹣1）2013 C．42与24 D．23与32 【分析】利用有理数的乘方进行计算，逐一进行判断即可． 【解答】解：A．（﹣5）2＝25＝52，不符合题意； B．﹣12013＝﹣1＝（﹣1）2013，不符合题意； C．42＝16＝24，不符合题意； D．∵23＝8，32＝9， ∴23≠32，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查有理数的乘方．熟练掌握有理数的乘方运算是解题的关键． 3．有理数（﹣1）2、﹣24、、0、﹣|﹣3|、﹣（﹣5）中正数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【解答】解：（﹣1）2＝1＞0，是正数； ﹣24＝﹣16＜0，是负数； ，是负数； 0既不是正数，也不是负数； ﹣|﹣3|＝﹣3＜0，是负数； ﹣（﹣5）＝5＞0，是正数； ∴正数有（﹣1）2，﹣（﹣5），共2个． 故选：B． 【点评】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 4．计算：﹣（﹣5）2＝　　． 【分析】根据有理数的乘方法则进行解题即可． 【解答】解：﹣（﹣5）2＝﹣25． 故答案为：﹣25． 【点评】本题考查有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 题型04 用科学记数法表示数 1．国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近300000亿元，同比增长5.3%，国家高质量发展取得新成效．将数据300000用科学记数法表示是（　　） A．0.3×105 B．0.3×106 C．3×105 D．3×106 【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【解答】解：300000＝3×105， 故选：C． 【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．月亮离地球的平均距离约384000千米，这个数值用科学记数法表示为（　　） A．384×103 B．38.4×104 C．3.84×105 D．0.384×106 【分析】把384000写成3.84×100000，然后把100000写成幂的形式即可． 【解答】解：384000＝3.84×100000 ＝3.84×105， 故答案为：C． 【点评】本题主要考查科学记数法，解题关键是熟练掌握科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 3．有理数80900000用科学记数法表示为 　　． 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可． 【解答】解：80900000＝8.09×107， 故答案为：8.09×107． 【点评】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数． 4．刘慈欣科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约42000000光年，它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三体星系”．其中数字42000000用科学记数法表示为 　　． 【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案． 【解答】解：42000000＝4.2×107． 故答案为：4.2×107． 【点评】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 题型05 还原科学记数法表示的数 1．2024年某市计划重点工程建设项目投资总额为整数262310…0用科学记数法表示为2.6231×109，则原数中0的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【解答】解：2.6231×109＝2623100000， 即原数中0的个数为5． 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2．已知2.73×10n是一个7位数，则n＝　　，原数为 　　． 【分析】根据科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，进而得出答案． 【解答】解：∵2.73×10n是一个7位数， ∴n＝6，原数为 2730000． 故答案为：6，2730000． 【点评】此题主要考查了科学记数法，正确表示一个较大数是解题关键． 题型06 非负数的性质：偶次方 1．已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣2|＝0，则（a+b）2024的值是（　　） A．﹣2024 B．0 C．1 D．2024 【分析】根据非负数的性质列出方程，求出a、b的值，再代入所求所占计算即可． 【解答】解：由题意得，a+2＝0，b﹣2＝0， 解得a＝﹣2，b＝2， 所以（a+b）2024＝02024＝0． 故选：B． 【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 2．若（x+1）2+|y﹣2024|＝0，则xy＝　　． 【分析】根据偶次方、绝对值的非负性分别求出x、y，根据有理数的乘方法则计算，得到答案． 【解答】解：∵（x+1）2+|y﹣2024|＝0，（x+1）2≥0，|y﹣2024|≥0， ∴x+1＝0，y﹣2024＝0， ∴x＝﹣1，y＝2024， 则xy＝（﹣1）2024＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查的是非负数的性质、熟记偶次方、绝对值具有非负性是解题的关键． 3．若，则2x+3y的值为 　　． 【分析】根据绝对值和偶次方根的非负性，得出x、y的值，代入2x+3y中即可． 【解答】解：根据题意得：，y+2＝0， ∴，y＝﹣2， ∴． 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查了非负数的性质，代数式求值，掌握几个非负数的和等于0，每个非负数都为0这个性质是解题的关键． 题型07 用有理数的乘方解决实际问题 1．有一张厚度为0.1毫米的纸，将它对折1次后，厚度为2×0.1毫米．请在下面括号内填上适当的数： （1）对折2次后，厚度为 　　×0.1毫米；对折3次后，厚度为 　　×0.1毫米； （2）对折20次后，厚度为多少毫米？大约有多少层楼高？（友情提示：219＝524288，220＝1048576，221＝2097152．设每层楼高度为3米） 【分析】（1）根据有理数的乘方的定义解答； （2）根据对折后2的次数与对折次数相同，表示出对折20次后的高度，再转化为单位米即可． 【解答】解：（1）对折2次后，厚度为4×0.1＝22×0.1毫米； 对折3次后，厚度为8×0.1＝23×0.1毫米； （2）对折20次后，厚度为：220×0.1＝1048576×0.1＝104857.6毫米， 104857.6毫米＝104.8576米， 104.8576÷3≈35． 【点评】此题考查的是有理数的乘方，掌握其意义是解决此题的关键． 2．某药厂生产了一批新药，装箱后存放在仓库中，为了方便清点，按10×10×10箱一堆的方式摆放，共摆放了10堆，已知每箱装100瓶药，每瓶药装100片． （1）这批药共有多少箱？ （2）这批药共有多少片？ 【分析】（1）用箱数乘以堆数，然后根据有理数的乘方的意义解答； （2）用箱数乘以瓶数和片数，然后进行计算即可得解． 【解答】解：（1）10×10×10×10＝104（箱）； （2）10×10×10×10×100×100＝108（片）． 答：（1）这批药共有104箱，（2）这批药共有108片． 【点评】本题考查了有理数的乘方的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 3．水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） （1）假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 5n 总株数 2 4 … … （2）假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 【分析】（1）根据有理数乘方的定义填写即可； （2）根据（1）的结论列出方程求出n，然后乘以5即可． 【解答】解：（1）分别填入：8，32，2n； （2）根据题意得，10×2n＝1280， 解得n＝7， 7×5＝35（天）． 答：按照上述生长速度，35天时有1280株水葫芦． 【点评】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义并读懂图表信息是解题的关键． 题型08 与乘方有关新定义问题 1．定义：对任意有理数a，b都有a∇b＝﹣a﹣b2，例如：2∇1＝﹣2﹣12＝﹣3，求（2027∇1）∇3＝　　． 【分析】先利用新定义得到2027∇1＝﹣2027﹣12，利用乘方的意义计算得到2027∇1＝﹣2028，再计算（﹣2028）∇3＝﹣（﹣2028）﹣32即可． 【解答】解：2027∇1＝﹣2027﹣12＝﹣2028， （2027∇1）∇3＝（﹣2028）∇3＝﹣（﹣2028）﹣32＝2028﹣9＝2019． 故答案为2019． 【点评】本题考查了有理数的乘方：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． 2．若定义有理数x，y有x⋆y＝xy，则﹣2⋆5＝　． 【分析】根据题中所给新定义运算可进行求解． 【解答】解：由题意得：﹣2⋆5＝（﹣2）5＝﹣32； 故答案为：﹣32． 【点评】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算是解题的关键． 3．小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子，学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．规定：若干个相同有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5记作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）． （1）直接写出计算结果：f（4，）＝　　 ，f（5，3）＝　 　； （2）计算：f（5，3）×f（4，）+f（5，﹣2）×f（6，）． 【分析】（1）按小聪的“除方”规定计算即可； （2）按有理数的运算顺序，先计算“除方”，再算乘法，最后算加减． 【解答】解：（1）f（4，）2×2×2＝4； f（5，3）＝3÷3÷3÷3÷3＝3． 故答案为：4，； （2）∵f（5，3），f（4，）3×3×3＝9， f（5，﹣2）＝（﹣2）×（）×（）×（）×（）， f（6，）2×2×2×2×2＝16， f（5，3）×f（4，）+f（5，﹣2）×f（6，） 9+（）×16 2 ． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则，理解新定义运算的规定是解决本题的关键． 题型09 与乘方有关的规律探究题 1．计算：21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，…．归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测22006﹣1的个位数字是　　． 【分析】由21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，…而题目中问22006﹣1的个位数字，可以猜想个位数字呈现一定的规律． 【解答】解：21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15， 25﹣1＝31，26﹣1＝63，27﹣1＝127，28﹣1＝255， 由此可以猜测个位数字以4为周期按照1，3，7，5的顺序进行循环， 知道2006除以4为501余2，而第二个数字为3， 所以可以猜测22006﹣1的个位数字是3． 故答案为3． 【点评】本题考查学生对于数字变化规律型的题目要有一定总结和发现规律的能力．需要学生有一定的数学思想． 2．小聪学习了有理数后，对知识进行归纳总结． （1）【知识呈现】根据所学知识，完成下列填空． ①|﹣2|＝2，|2|＝2： ②（﹣3）2＝9，32＝9； ③若|x|＝4，则x＝　　； ④若x2＝16，则x＝　　； （2）[知识归纳]根据上述知识，你能发现的结论是： 绝对值等于一个正数的数有 　　个，它们互为 　　； 平方等于一个正数的数有 　　个，它们互为 　　； （3）[知识运用]运用上述结论解答：已知|x+1|＝1，（y+2）2＝25，求x+y的值． 【分析】（1）利用绝对值以及平方根的定义计算即可得到结果； （2）根据运算结果归纳即可； （3）利用绝对值以及平方根的定义求出x与y的值，即可确定出x+y的值． 【解答】解：（1）若|x|＝4，则x＝±4； 若x2＝16，则x＝±4； 故答案为：±4，±4； （2）根据上述知识，能发现的结论是： 绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数； 平方等于一个正数的数有两个，它们互为相反数； 故答案为：两，相反数；两，相反数． （3）|x+1|＝1，（y+2）2＝25 根据题意得：x+1＝1或﹣1，y+2＝5或﹣5， 解得：x＝0或﹣2，y＝3或﹣7， 当x＝0，y＝3时，x+y＝3； 当x＝0，y＝﹣7时，x+y＝﹣7； 当x＝﹣2，y＝3时，x+y＝1； 当x＝﹣2，y＝﹣7时，x+y＝﹣9． 综上所述，x+y的值是3，﹣7，1，﹣9． 【点评】此题考查了有理数的乘方，绝对值，有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．先阅读下列材料，然后解答问题． 探究：用的幂的形式表示am•an的结果（m、为正整数）． 分析：根据乘方的意义，am•an•am+n． （1）请根据以上结论填空：36×38＝　　，52×53×57＝　　，（a+b）3•（a+b）5＝　　； （2）仿照以上的分析过程，用的幂的形式表示（am）n的结果（提示：将am看成一个整体）． 【分析】（1）根据结论，同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可得解； （2）将am看成一个整体，根据乘方的意义解答． 【解答】解：（1）36×38＝36+8＝314； 52×53×57＝52+3+7＝512； （a+b）3•（a+b）5＝（a+b）3+5＝（a+b）8； 故答案为：314；512；（a+b）8； （2）（am）namn． 【点评】本题考查了有理数的乘方，有理数的乘法，读懂题目信息，理解有理数的乘方的意义是解题的关键． 1．下列各式，①﹣（﹣2）； ②﹣|﹣2|； ③﹣23； ④﹣（﹣2）2．计算结果为负数的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据相反数的定义，乘方的意义，可化简各数，根据小于零的数是负数，可得答案． 【解答】解：，①﹣（﹣2）＝2是正数； ②﹣|﹣2|＝﹣2是负数； ③﹣23＝﹣8是负数； ④﹣（﹣2）2＝﹣4是负数， 故选：B． 【点评】本题考查了正数和负数，利用相反数、乘方化简各数是解题关键． 2．如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 【分析】根据有理数的乘方法则进行判断即可． 【解答】解：由正数的任何次幂是正数，负数的奇次幂数负数，0正整数次幂是0可知：这个数一定是正数． 故选：A． 【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方运算法则是解本题的关键． 3．比较（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（　　） A．它们底数相同，指数也相同 B．它们底数相同，但指数不相同 C．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同 D．虽然它们底数不同，但运算结果相同 【分析】（﹣4）3表示三个﹣4的乘积，﹣43表示3个4乘积的相反数，计算得到结果，即可做出判断． 【解答】解：比较（﹣4）3＝（﹣4）×（﹣4）×（﹣4）＝﹣64，﹣43＝﹣4×4×4＝﹣64， 底数不相同，表示的意义不同，但是结果相同， 故选：D． 【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 4．一台机器有大、小齿轮用同一传送带连接，若大小齿轮的齿数分别为36和12个，大齿轮每分钟2.5×103转，则小齿轮10小时转（　　） A．1.5×106转 B．5×105转 C．4.5×106转 D．15×106转 【分析】大、小齿轮用同一传送带连接，则大小齿轮转的距离相等，大齿轮每分钟2.5×103，每小时转60×2.5×103转． 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【解答】解：小齿轮10小时转60×2.5×103×10×（36÷12）＝4.5×106转． 故选：C． 【点评】解决本题的关键是计算出小齿轮10小时转的转数，然后用科学记数法表示． 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和．如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19．……，若m3的“分裂数”中有一个是119，则m＝（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【分析】观察规律，分裂成的数都是奇数，且第一个数是底数乘以与底数相邻的前一个数的积再加上1，奇数的个数等于底数，然后找出119所在的奇数的范围，即可得解． 【解答】解：∵23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19， … ∴m3分裂后的第一个数是m（m﹣1）+1，共有m个奇数， ∵11×（11﹣1）+1＝111，12×（12﹣1）+1＝133， ∴奇数119是底数为11的数的立方分裂后的一个奇数， ∴m＝11． 故选：B． 【点评】本题考查数字的变化类、有理数的乘方，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出相应的数字的值． 6．（1）将写成幂的形式是 　（）4　，底数是 　　，指数是 　4　． （2）（﹣2）4表示的意义是 　4个﹣2相乘　，底数是 　﹣2　，指数是 　4　；﹣24表示的意义是 　4个2相乘的相反数　，底数是 　2　，指数是 　4　． 【分析】（1）根据题意，可以将题目中的数据写成幂的形式，再写出相应的底数和指数即可； （2）根据题意，可以将题目中的数据表示的意义、底数及指数即可． 【解答】解：（1）（）4，底数是，指数是4， 故答案为：（）4，，4； （2）（﹣2）4表示的意义是4个﹣2相乘，底数是﹣2，指数是4； ﹣24表示的意义是4个2相乘的相反数，底数是2，指数是4， 故答案为：4个﹣2相乘，﹣2，4；4个2相乘的相反数，2，4． 【点评】本题考查有理数的乘方，熟练掌握乘方的知识是解答本题的关键． 7．有下列各数：（﹣2）2，﹣24，0，﹣|﹣2|，﹣（﹣3），（﹣2）3，其中负数有 　3　个． 【分析】负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正． 【解答】解：（﹣2）2＝4， ﹣24＝﹣16， ﹣|﹣2|＝﹣2， ﹣（﹣3）＝3， （﹣2）3＝﹣8， 负数有3个， 故答案为：3． 【点评】本题考查了有理数乘方、正负数、相反数、绝对值，掌握这几个知识点的综合应用是解题的关键． 8．若（a﹣2）2+|b+3|＝0，则ab3＝　﹣54　． 【分析】根据偶次方和绝对值的非负数的性质列出算式求出a、b的值，计算即可． 【解答】解：由题意的，a﹣2＝0，b+3＝0， 解得a＝2，b＝﹣3， 则ab3＝2×（﹣3）3＝2×（﹣27）＝﹣54， 故答案为：﹣54． 【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键． 9．用“☆”、“★”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有a☆b＝ab和a★b＝ba，那么[（﹣3）☆2]★（﹣1）＝　﹣1　． 【分析】本题考查的是有理数的乘方，根据题意把原式化为（﹣3☆2）★1＝[（﹣3）2]★（﹣1）＝9★（﹣1）＝（﹣1）9的形式是解答此题的关键． 【解答】解：∵a☆b＝ab和a★b＝ba， ∴（﹣3☆2）★（﹣1）＝[（﹣3）2]★（﹣1）＝9★（﹣1）＝（﹣1）9＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查的是有理数的乘方，根据题意把原式化为（﹣3☆2）★1＝[（﹣3）2]★（﹣1）＝9★（﹣1）＝（﹣1）9的形式是解答此题的关键． 10．已知|x|＝5，y2＝4，且x﹣y＜0，则x+y的值为 　﹣3或﹣7　． 【分析】根据绝对值的意义，乘方的意义，结合x﹣y＜0，求出x，y的值，代入代数式计算即可． 【解答】解：∵|x|＝5，y2＝4， ∴x＝±5，y＝±2， ∵x﹣y＜0， ∴x＝﹣5，y＝±2， ∴x+y＝﹣5+2＝﹣3或x+y＝﹣5﹣2＝﹣7； 故答案为：﹣3或﹣7． 【点评】本题考查了有理数的加减法，有理数的乘方，绝对值，熟记运算法则是解题的关键． 11．将一张长方形的纸对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到15条折痕，如果对折n次，可以得到　2n﹣1　条折痕． 【分析】先求出第一次对折的折痕长，再求第二次，从而找出规律求出5第n次即可． 【解答】解：根据题意可知， 第1次对折，折痕为1； 第2次对折，折痕为1+2； 第3次对折，折痕为1+2+22； 第n次对折，折痕为1+2+22+…+2n﹣1＝2n﹣1． 故答案为：2n﹣1． 【点评】主要考查了有理数的乘方和学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点． 12．计算： （1）（﹣4）2÷（）； （2）（﹣2）4÷4×（﹣1）100×5． 【分析】（1）先根据乘方法则计算乘方，再根据乘除法则计算乘除法； （2）先根据乘方法则计算乘方，再根据乘除法则计算乘除． 【解答】解：（1）（﹣4）2÷（） ； （2）（﹣2）4÷4×（﹣1）100×5 ＝16÷4×1×5 ＝4×1×5 ＝20． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，关键是熟记运算法则与运算顺序，注意每步的符号确定，容易在符号上出问题． 13．一颗人造地球卫星的速度是2.844×107米/时，一辆汽车的速度是100公里/时，试问这颗人造地球卫星的速度是这辆汽车的多少倍？ 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：人造地球卫星速度：2.844×107米/时＝28 440 000米/时 汽车速度：100公里/时＝100 000米/时 这颗人造地球卫星的速度是这辆汽车的284.4倍． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 14．现规定一种新的运算“*”：a*b＝ab，如3*2＝32＝9，则*3＝　　． 【分析】根据a*b＝ab，可以计算出所求式子的值． 【解答】解：∵a*b＝ab， ∴*3 ＝（）3 ， 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 15．我们平常用的数都是十进制的，如：3456＝3×103+4×102+5×101+6．表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．电子计算机中用的二进制只有两个数码：0，1．二进制数可以转化为十进制数，如：二进制数101＝1×22+0×21+1，等于十进制数5；二进制数10110＝1×24+0×23+1×22+1×21+0，等于十进制数22，那么二进制数11010等于十进制数多少呢？ 【分析】根据题目信息，参照题中两个二进制数转化为十进制数的方法，可得11010＝1×24+1×23+0×22+1×21+0，利用有理数的乘方法则及加法法则得出结果． 【解答】解：根据二进制数转化为十进制数的方法，可得， 二进制数11010＝1×24+1×23+0×22+1×21+0 ＝16+8+2 ＝26． 故二进制数11010等于十进制数26． 【点评】本题考查了二进制数转化为十进制数的方法，掌握二进制数转化十进制数之间的规则是关键． 16．观察下列两组算式： ①22×32与（2×3）2； ②（）2×22与[（）×2]2． （1）每组两个算式的结果是否相等？ （2）根据（1）的结果猜想anbn等于什么？ （3）用（2）的结论计算（）2020×（﹣5）2020． 【分析】（1）根据乘方的定义分别计算可得； （2）根据（1）中计算结果可得anbn＝（ab）n； （3）根据所得结论得出（）2020×（﹣5）2020＝（﹣5）2020，再进一步计算可得． 【解答】解：（1）①∵22×32＝4×9＝36，（2×3）2＝62＝36， ∴22×32＝（2×3）2； ②∵（）2×224＝1，[（）×2]2＝（﹣1）2＝1， ∴（）2×22＝[（）×2]2； ∴每组两个算式的计算结果相等． （2）anbn＝（ab）n； （3）（）2020×（﹣5）2020 ＝（﹣5）2020 ＝（﹣1）2020 ＝1． 【点评】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数乘方的定义和运算法则． 17．记M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，M（n）（其中n为正整数）． （1）求M（5）+M（6）的值； （2）求2M（2020）+M（2021）的值． 【分析】（1）根据有理数的乘方定义可得M（5）+M（6）＝（﹣2）5+（﹣2）6，再求解即可； （2）根据有理数的乘方定义可得2×（﹣2）2020+（﹣2）2021，再求解即可． 【解答】解：（1）M（5）+M（6） ＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）+（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2） ＝（﹣2）5+（﹣2）6 ＝﹣32+64 ＝32； （2）2M（2020）+M（2021） ＝2×（﹣2）2020+（﹣2）2021 ＝22021﹣22021 ＝0． 【点评】本题考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方的定义是解题的关键． 18．我国约有9.6×106平方千米的土地，平均1平方千米的土地一年从太阳得到的能相当于燃烧1.5×105吨煤所产生的能量 （1）一年内我国土地从太阳得到的能量相当于燃烧多少吨煤？（用科学记数法表示） （2）若1吨煤大约可以发出8×103度电，那么（1）中的煤大约发出多少度电？（用科学记数法表示） 【分析】（1）根据乘法的意义列出算式（9.6×106）×（1.5×105）计算，再用科学记数法表示即可； （2）用（1）的结果乘以8×103，求出结果后再用科学记数法表示即可． 【解答】解：（1）（9.6×106）×（1.5×105） ＝（9.6×1.5）×（106×105） ＝1.44×1012（吨）． 答：一年内我国土地从太阳得到的能量相当于燃烧1.44×1012吨煤． （2）（1.44×1012）×（8×103） ＝（1.44×8）×（1012×103） ＝1.152×1016（度）． 答：（1）中的煤大约发出1.152×1016度电． 【点评】此题主要考查了科学记数法﹣表示较大的数，整式的混合运算，熟练应用运算法则是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$