第06讲 有理数的乘法与除法（5大知识点11题型，新教材）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（苏科版2024）

第06讲 有理数的乘法与除法 课程标准 学习目标 1 理解有理数乘法与除法的意义； 2 掌握有理数乘法与除法的运算方法，能正确进行运算； 3 体会有理数乘法与除法运算在解决实际问题中的应用. 1. 学生能够理解并记住有理数乘法与除法的法则，熟练运用法则进行运算； 2. 通过观察、比较、归纳等方法，培养学生的数学思维能力和运算能力； 3. 让学生体验数学的逻辑性和严谨性，培养学生对数学的兴趣和探索精神. 知识点一、有理数乘法法则 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2. 0与任何数相乘都得0； 3. 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 4. 拓展： （1） 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2） 几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0. （3） 一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分. 知识点二、有理数的乘法运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即； 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即； 3. 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即. 4. 拓展： （1） 三个或三个以上有理数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个因数相乘，积相等； （2） 乘法分配律对一个有理数同多个有理数的和相乘仍适用 知识点三、倒数 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 2求一个数的倒数的方法： （1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数； （2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置； （3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置； （4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数. 3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数. 知识点四、有理数除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 补充： （1） 两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. （2） 有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律. 知识点五、有理数乘除混合运算 1. 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2. 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 题型01 两个有理数相乘 1．计算的结果等于（　　） A． B．﹣2 C． D．2 【分析】根据有理数的乘法法则计算即可． 【解答】解：原式＝（﹣4）×（） ＝4 ＝2， 故选：D． 【点评】本题考查的是有理数的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 2．计算（﹣2024）×（﹣1）的结果为（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 【分析】根据有理数的乘法法则计算即可． 【解答】解：（﹣2024）×（﹣1）＝+（2024×1）＝2024． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解答本题的关键． 3．计算：　　． 【分析】根据两个数相乘法则：同号相乘得正，并把绝对值相乘进行计算即可． 【解答】解：原式 ＝3， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了有理数的乘法，解题关键是熟练掌握有理数的乘法法则． 题型02 多个有理数相乘 1．在五个数2，﹣1，﹣5，4，﹣3中任取三个数相乘，其中最小的积等于 　　． 【分析】先计算五个数中任取三个数相乘的积，再比较大小得结论． 【解答】解：∵五个数2，﹣1，﹣5，4，﹣3中任取三个数相乘， 共有：2×（﹣1）×（﹣5）＝10， 2×（﹣1）×4＝﹣8， 2×（﹣1）×（﹣3）＝6， 2×（﹣5）×4＝﹣40， 2×（﹣5）×（﹣3）＝30， 2×4×（﹣3）＝﹣24， （﹣1）×（﹣5）×4＝20， （﹣1）×（﹣5）×（﹣3）＝﹣15， （﹣5）×4×（﹣3）＝60， ∴积最小的是﹣40． 故答案为：﹣40． 【点评】本题主要考查了有理数的乘法和大小比较，掌握有理数的乘法法则和有理数比较大小的方法是解决本题的关键． 2．（1）﹣2×3×（﹣4）； （2）（﹣3）×（﹣1）×2×（﹣6）×0×（﹣2）． 【分析】根据多个有理数相乘的法则进行计算即可． 【解答】解：（1）﹣2×3×（﹣4） ＝2×3×4 ＝24； （2）（﹣3）×（﹣1）×2×（﹣6）×0×（﹣2）＝0． 【点评】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握多个有理数相乘的法则是解题的关键． 3．计算：． 【分析】先把带分数化为假分数，再利用有理数的乘法法则计算． 【解答】解： ＝35 ＝20． 【点评】本题考查了有理数的乘法运算，掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键． 题型03 倒数的概念及应用 1．的倒数是（　　） A． B． C．﹣3 D．3 【分析】根据倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数．据此进行解题即可． 【解答】解：﹣（）， 故的倒数是3． 故选：D． 【点评】本题主要考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 2．一个数的倒数是它的本身，这个数是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1 【分析】乘积是1的两个数互为倒数．根据倒数的意义，可知一个数的倒数是它的本身，这个数一定是1或﹣1，由此进行选择． 【解答】解：一个数的倒数是它的本身，这个数是1或﹣1． 故选：D． 【点评】此题考查1或﹣1的倒数的特殊性：明确1或﹣1的倒数是它的本身是解题的关键． 3．若a，b互为倒数，求abc﹣（c﹣2023）值． 【分析】直接利用倒数的定义分析得出答案． 【解答】解：∵a，b互为倒数， ∴ab＝1， ∴abc﹣（c﹣2023） ＝c﹣（c﹣2023） ＝c﹣c+2023 ＝2023． 【点评】此题主要考查了倒数，正确掌握相关定义是解题关键． 4．已知：有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数． 求：2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m的值． 【分析】直接利用相反数以及互为倒数的性质得出a+b＝0，cd＝1，进而分类讨论得出答案． 【解答】解：∵有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位， ∴m＝﹣5或3， ∵a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数， ∴a+b＝0，cd＝1， 当m＝﹣5时， ∴2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m ＝2（a+b）+（a+b）﹣3cd﹣m ＝﹣3﹣（﹣5） ＝2， 当m＝3时， 2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m ＝2（a+b）+（a+b）﹣3cd﹣m ＝﹣3﹣3 ＝﹣6 综上所述：原式＝2或﹣6． 【点评】此题主要考查了倒数与相反数，正确把握相关定义是解题关键． 题型04 有理数除法运算 1．下列运算，结果正确的是（　　） A．﹣7÷7＝1 B． C．﹣36÷（﹣9）＝4 D． 【分析】根据有理数的两个除法法则进行计算即可作出判断． 【解答】解：A、﹣7÷7＝﹣1≠1，故计算错误； B、，故计算错误； C、﹣36÷（﹣9）＝4，故计算正确； D、，故计算错误； 故选：C． 【点评】本题考查有理数的除法运算，熟悉两个除法法则是关键． 2．计算4÷（）的结果是（　　） A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8 【分析】根据有理数除法法则，求出计算4÷（）的结果即可． 【解答】解：4÷（）＝4×（﹣2）＝﹣8． 故选：A． 【点评】此题主要考查了有理数的除法问题，解答此题的关键是要明确有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数． 3．计算：　　． 【分析】先化成分数再进行计算即可． 【解答】解：原式（） ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查有理数的除法，熟练掌握有理数的除法的运算法则是解题的关键． 题型05 有理数乘除法混合运算 1．计算：（　　） A．﹣3 B． C． D． 【分析】根据有理数的乘除法法则进行解题即可． 【解答】解： ． 故选：D． 【点评】本题考查有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．计算：的结果是（　　） A．﹣9 B．﹣1 C．3 D．9 【分析】先把除法运算统一成乘法运算，然后根据有理数的乘法法则计算即可． 【解答】解： ＝9， 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键． 3．计算： 　． 【分析】根据有理数乘除法按从左到右的顺序计算即可． 【解答】解：原式＝（﹣2）×4×4＝﹣32， 故答案为：﹣32． 【点评】本题考查了有理数的乘除运算，解题的关键是掌握乘除运算的顺序及相关运算的法则． 4．计算：． 【分析】根据有理数的乘除法法则进行解题即可． 【解答】解：原式（） ． 【点评】本题考查有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 题型06 运用乘法运算律简便计算 1．在简便运算时，把变形成最合适的形式是（　　） A．24×（﹣100） B．24×（﹣100） C．24×（﹣99） D．24×（﹣99） 【分析】根据有理数的乘法分配律即可得出答案． 【解答】解：∵﹣100（100）， ∴根据有理数的乘法分配律，把变形成最合适的形式为24×（﹣100）＝﹣24×100+24，可以简便运算． 故选：A． 【点评】本题考查有理数的乘法，正确掌握运算法则是解题的关键． 2．用简便方法计算： （1）； （2）． 【分析】（1）利用有理数乘法的交换律与结合律计算即可得； （2）将改写成，再利用有理数乘法分配律计算即可得． 【解答】解：（1）原式 ＝5×（﹣1） ＝﹣5． （2）原式 ＝﹣1800+2 ＝﹣1798． 【点评】本题考查了有理数乘法的交换律与结合律、分配律，熟练掌握有理数乘法的运算律是解题关键． 3．阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是a（b+c）＝ab+ac，反过来ab+ac＝a（b+c）．这就是说，当ab+ac中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到ab+ac＝a（b+c），进而可使运算简便．例如：计算17，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得40＝﹣25，这样计算就简便得多． 计算： （1）﹣29×588+28×588； （2）﹣2023． 【分析】（1）逆用分配律把原式化为588（﹣29+28），再计算即可； （2）逆用分配律把原式化为，再计算即可． 【解答】解：（1）﹣29×588+28×588 ＝588（﹣29+28） ＝588×（﹣1） ＝﹣588； （2） ＝2023×（﹣1） ＝﹣2023． 【点评】本题考查的是有理数的乘法运算，掌握乘法分配律进行简便运算是解本题的关键． 题型07 有理数乘除法与数轴综合 1．如图，已知a，b是数轴上的两个数，下列不正确的式子是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣b＞0 C．ab＜0 D． 【分析】根据各点在数轴上的位置判断出a、b的符号及绝对值的大小，再对各选项进行分析即可． 【解答】解：由数轴图可知，a＞0，b＜0，a＜|b|， ∴ab＜0，a+b＜0，a﹣b＞0，0， ∴ABC选项正确，D选项错误． 故选：D． 【点评】本题考查的是数轴，熟知上右边的数总比左边的数大是解答此题的关键． 2．如图，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，且a+b＜0，ab＜0，则原点O的位置在（　　） A．点A的右边 B．点B的左边 C．A、B两点之间，且靠近点A D．A、B两点之间，且靠近点B 【分析】利用有理数的乘法，加法法则判断即可． 【解答】解：∵如图，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，且a+b＜0，ab＜0， ∴a与b异号且b绝对值大，即a＞0，b＜0，|b|＞|a|， 则原点O的位置在A、B两点之间，且靠近点A， 故选：C． 【点评】此题考查了有理数的乘法，加法，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．已知有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式成立的是（　　） A．a+b＞0 B．a+2＞b+2 C．﹣2a＞﹣2b D．ab＞0 【分析】先观察数轴得到﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，|a|＞|b|，然后根据不等式的基本性质、有理数的加法和乘法法则判断各个选项的正误即可． 【解答】解：观察数轴可知：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，|a|＞|b|， ∴a＜b， ∴a+b＜0，a+2＜b+2，ab＜0，﹣2a＞﹣2b， ∴A，B，D选项错误，C选项正确， 故选：C． 【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握不等式的基本性质、有理数的加法和乘法法则． 4．如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题： （1）如果点A，B表示的数是互为相反数，请标出原点O的位置，并写出A，B，C，D，E表示的数分别是多少； （2）如果点E，C表示的数互为相反数，那么图中5个点表示的数的乘积是多少？ 【分析】（1）根据互为相反数的定义确定出点O的位置，再根据数轴写出点A，B，C，D，E表示的数即可； （2）根据互为相反数的定义确定出点O的位置，再根据数轴写出点C、D表示的数即可． 【解答】解：（1）如图，因为点A、B表示的数是互为相反数，原点就应该是线段AB的中点，即在C点右边一格， ∴A点表示数﹣3，B点表示数3，C点表示数﹣1，D点表示数﹣6，E点表示数﹣5； （2）因为点C、E表示的数是互为相反数，原点就应该点A的位置， ∵点A表示的数是0， ∴图中5个点表示的数的乘积是0． 【点评】本题考查了相反数，数轴，熟练掌握相反数的定义并确定出原点的位置是解题的关键． 题型08 有理数乘除法与绝对值综合 1．若ab≠0，则的取值不可能是（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣2 【分析】根据绝对值的意义，分情况讨论进行分析判断． 【解答】解：若ab≠0， 当a＞0，b＞0时，原式＝1+1＝2； 当a＜0，b＜0时，原式＝﹣1﹣1＝﹣2； 当a＞0，b＜0时，原式＝1﹣1＝0； 当a＜0，b＞0时，原式＝﹣1+1＝0， ∴若ab≠0，则的值为0或±2， 故选：B． 【点评】本题考查绝对值的意义，理解绝对值的意义，利用分类讨论思想解题是关键． 2．三个有理数a、b、c满足abc＞0，求的值． 【分析】根据绝对值的性质分几种情况解答即可． 【解答】解：∵abc＞0， ∴a，b，c都是正数或两个为负数数， ①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时， 则：1+1+1＝3； ②a，b，c有一个为正数数，另两个为负数时，设a＜0，b＜0，c＞0， 则1﹣1+1＝﹣1． 【点评】本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法．能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键． 3．我们知道：在研究和解决数学问题时．当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”，这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解答问题． 例如，我们在讨论|a|的值时，就会对a进行分类讨论，当a≥0时，|a|＝a；当a＜0时，|a|＝﹣a；现在请你利用这一思想解决下列问题： （1）填空：　 　（a≠0）；　 　（ab≠0） （2）若|abc|＝﹣abc≠0，求的值． 【分析】（1）分别利用a＞0或a＜0分析得出答案；分a＞0，b＞0或a＞0，b＜0或a〈0，b〉0或a＜0，b＜0等情况讨论得出答案； （2）由|abc|＝﹣abc≠0得出a、b、c中有两个为正数，一个为负数或a、b、c三个都为负数等情况讨论得出答案． 【解答】解：（1）若有理数a不等于零， 当a＞0时，， 当a＜0时，； ∵ab≠0， ∴a≠0，b≠0， 当a＞0，b＞0时，； 当a＞0，b＜0时，； 当a＜0，b＞0时，； 当a＜0，b＜0时，； 故答案为：1或﹣1；﹣2或2或0； （2）∵|abc|＝﹣abc≠0， ∴a、b、c中有两个为正数，一个为负数或a、b、c三个都为负数， ∴当a、b、c中有两个为正数，一个为负数时， ， 当a、b、c三个都为负数时， ， ∴的值为1或﹣3． 【点评】本题主要考查了绝对值以及有理数的除法等知识点，正确分类讨论得出答案是解题关键． 题型09 程序计算题 1．有一个程序，当输入任意一个有理数时，显示屏上的结果总是1与输入的有理数的倒数差，若第一次输入3，并将显示的结果第二次输入，则此时显示的结果是（　　） A．3 B． C． D．﹣3 【分析】直接利用已知得出第一次与第二次输出的结果即可． 【解答】解：由题意可得：1，则输出， 故第二次输入，得到：1，输出． 故选：B． 【点评】此题主要考查了倒数以及新运算，正确理解题意是解题关键． 2．按如图程序计算，如果输入的数是﹣2，那么输出的数是 　　． 【分析】根据有理数的乘法，可得答案． 【解答】解：﹣2×（﹣3）＝6，6×（﹣3）＝﹣18，﹣18×（﹣3）＝54，54×（﹣3）＝﹣162， 故答案为：﹣162． 【点评】本题考查了有理数的乘法，有理数的乘法：同号得正异号得负，绝对值相乘． 3．小明同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序． （1）若输入的数是﹣4，那么执行了程序后，输出的数是多少？ （2）若输入的数是2，那么执行了程序后，输出的数是多少？ 【分析】（1）根据题意，把﹣4输入，得（﹣4﹣8）×9＝﹣108，其绝对值大于100，所以﹣108就是输出的数． （2）根据题意，把2输入，得（2﹣8）×9＝﹣54，其绝对值小于100，所以再把﹣54从头输入，计算输出的数． 【解答】解：（1）（﹣4﹣8）×9＝﹣12×9＝﹣108． 答：输出的数是﹣108． （2）把2输入，得（2﹣8）×9＝﹣54， ∵|﹣54|＜100， ∴再把﹣54从头输入，得（﹣54﹣8）×9＝﹣558． 答：输出的数是﹣558． 【点评】解决此类问题的关键是理解题目中所给的程序，当计算的结果的绝对值小于100时，要从头再输入，直到绝对值大于100才可以输出结果． 题型10 关于有理数乘除法的新定义问题 1．在数学中定义了一种运算符号“！”它表示的含义如下：如：1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…，由此，请同学们思考的值为（　　） A． B．99! C．2010 D．2！ 【分析】根据运算符号“！”的算法，列出计算即可得解． 【解答】解：2010． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的乘法，有理数的除法，读懂题目信息，理解运算符号“！”的运算方法是解题的关键． 2．若定义新运算：a△b＝（﹣2）×a×3×b，请利用此定义计算：（1△2）△（﹣3）＝　　． 【分析】根据运算规则先求得1△2的值，然后再将1△2的值代入计算即可． 【解答】解：1△2＝（﹣2）×1×3×2＝﹣12， （1△2）△（﹣3）＝（﹣12）△（﹣3）＝（﹣2）×（﹣12）×3×（﹣3）＝﹣216． 故答案为：﹣216． 【点评】本题主要考查的是有理数的乘法，理解定义新运算的运算法则是解题的关键． 3．阅读以下材料，完成相关的填空和计算． （1）根据倒数的定义我们知道，若（a+b）÷c＝﹣2，则c÷（a+b）＝　　． （2）计算． （3）根据以上信息可知：　　． 【分析】（1）根据倒数的定义解答即可； （2）根据有理数的除法法则计算即可； （3）由（2）中的计算结果，结合倒数的定义即可求值． 【解答】解：（1）∵（a+b）÷c＝﹣2， ∴c÷（a+b）， 故答案为：； （2） ＝15﹣4+24 ＝35； （3）由（2）知， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的混合运算以及倒数，熟知乘积是1的两个数互为倒数是解题的关键． 4．若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24． （1）求3*（﹣4）的值； （2）求（﹣2）*（6*3）的值． 【分析】分别根据运算“*”的运算方法列式，然后进行计算即可得解． 【解答】解：（1）3*（﹣4）， ＝4×3×（﹣4）， ＝﹣48； （2）（﹣2）*（6*3）， ＝（﹣2）*（4×6×3）， ＝（﹣2）*（72）， ＝4×（﹣2）×（72）， ＝﹣576． 【点评】本题考查了有理数的乘法，是基础题，理解新运算的运算方法是解题的关键． 题型11 规律探究题 1．探究与发现：两数之间有时很默契，请你观察下面的一组等式： （﹣1）（﹣1）；（﹣2）（﹣2）；（﹣3）（﹣3）；… 你能按此等式的规律，再写出符合这个规律的一个等式吗？　 　． 【分析】观察上述算式，找出其中的规律，然后根据规律写出一个算式即可 【解答】解：观察上述算式发现：各算式中第二个因数的分子与第一个因数互为相反数，分母比分子大1． 符合上述规律的一个算式可知是；（﹣4）（﹣4）． 故答案为：（﹣4）（﹣4）（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查的是数字的变化规律，找出其中的规律是解题的关键． 2．（1）1×2×3×4＝　　； （2）（﹣1）×2×3×4＝　　； （3）（﹣1）×（﹣2）×3×4＝　； （4）（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）×4＝　　； （5）（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）×（﹣4）＝　　． 通过上面的计算，填写表： 算式 （1） （2） （3） （4） （5） 负因数的个数 积的符号 ㅤㅤ根据表中填写的结果，探究几个不为0的数相乘时，积的符号与负因数个数之间的关系． 【分析】根据有理数的乘法法则进行计算即可． 【解答】解：（1）1×2×3×4＝24； （2）（﹣1）×2×3×4＝﹣24； （3）（﹣1）×（﹣2）×3×4＝24； （4）（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）×4＝﹣24； （5）（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）×（﹣4）＝24． 故答案为：24，﹣24，24，﹣24，24． 故答案为：0，1，2，3，4，+，﹣，+，﹣，+． 几个不为0的数相乘时，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正． 【点评】本题考查有理数的乘法，掌握运算法则是解题的关键． 3．1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n，其中n是正整数． 现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+3×4+…n（n+1）＝？ 观察下面三个特殊的等式 1×2（1×2×3﹣0×1×2） 2×3（2×3×4﹣1×2×3） 3×4（3×4×5﹣2×3×4） 将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×43×4×5＝20 读完这段材料，请你思考后回答： （1）直接写出下列各式的计算结果： ①1×2+2×3+3×4+…10×11＝　 　 ②1×2+2×3+3×4+…n（n+1）＝　 　 （2）探究并计算： 1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）＝　 　 （3）请利用（2）的探究结果，直接写出下式的计算结果： 1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12＝　 　． 【分析】（1）观察已知的三个等式，得出一般性的规律即可， （2）由（1）总结出一般性规律，将各项变形后，去括号合并即可得到结果． 【解答】解：（1）直接写出下列各式的计算结果： ①1×2+2×3+3×4+…10×11＝440， ②1×2+2×3+3×4+…n（n+1）n（n+1）（n+2）， （2）探究并计算： 1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）n（n+1）（n+2）（n+3） （3）请利用（2）的探究结果，直接写出下式的计算结果： 1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12＝4290． 故答案为：440，n（n+1）（n+2），n（n+1）（n+2）（n+3），4290． 【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，其中弄清题意，得出一般性的规律是解本题的关键． 1．如图，数轴上A，B两点所表示的两数的（　　） A．和为正数 B．和为负数 C．积为正数 D．积为负数 【分析】A、B两点表示一对相反数，到原点距离相等，其和为0，积为负数． 【解答】解：从图中可以看出A、B两点表示的数分别为﹣3和3， 它们的和为0，积为﹣9是负数． 故选：D． 【点评】本题考查点在数轴上的表示及有理数的运算，并巧妙地与数轴结合起来，先由数轴获取A、B表示的数，然后求两数的和与积． 2．一个数与﹣4的乘积等于，这个数是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据有理数的除法法则进行计算即可． 【解答】解：根据题意得： 1（﹣4）； 故选：B． 【点评】此题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则是本题的关键，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 3．下列说法中正确的有（　　） ①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③互为相反数的两数相乘，积一定为负；④两个有理数的积的绝对值，等于这两个有理数的绝对值的积；⑤任何正数都大于它的倒数． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据有理数的运算法则即可求出答案． 【解答】解：①同号两数相乘，符号为正，故①错误； ②异号两数相乘，积取负号，故②正确； ③互为相反数的两数相乘，积一定为非负数，故③错误； ④两个有理数的积的绝对值，等于这两个有理数的绝对值的积，故④正确； ⑤任何正数不一定大于它的倒数，故⑤错误； 故选：C． 【点评】本题考查有理数的运算，解题的关键是熟练运用有理数的运算法则，本题属于基础题型． 4．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是1，﹣1的差倒数是．已知a1，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，a2021的差倒数a2022的值为（　　） A． B． C．4 D．2022 【分析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2022÷3，根据余数的情况确定出与a2022相同的数即可得解． 【解答】解：∵a1， a2， a3， a4， …， ∴数列以，，4三个数依次不断循环， ∵2022÷3＝674， ∴a2022＝a3＝4， 故选：C． 【点评】本题是对数字变化规律的考查，理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环组依次循环是解题的关键． 5．已知|a|＝4，|b|＝5，且ab＜0，则a+b的值是（　　） A．±9 B．±1或±9 C．±1 D．﹣1或﹣9 【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义，以及乘法法则判断确定出a与b的值，即可求出a+b的值． 【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝5，且ab＜0， ∴a＝4，b＝﹣5；a＝﹣4，b＝5， 则a+b＝1或﹣1， 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的乘法，绝对值，以及有理数的加法，解题的关键是熟练掌握加减法则． 6．的倒数与的相反数的商是　　． 【分析】首先表示出的倒数是，的相反数是，再根据有理数的除法进行计算即可． 【解答】解：的倒数是， 的相反数是， （）＝﹣（4）， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了倒数、相反数，以及有理数的除法，关键是掌握有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数． 7．因强冷空气南下，预计某地平均每小时降温1.5℃，如果上午10时测得气温为8℃，那么下午5时该地的气温是 　﹣2.5　℃． 【分析】根据题意列出算式，计算即可求出值． 【解答】解：根据题意得：8﹣（17﹣10）×1.5＝﹣2.5（℃）． 故答案为：﹣2.5 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8．在3，﹣5，6，﹣6这四个数中，任取两个数相乘，所得的乘积最大是 　30　． 【分析】根据两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘可得﹣5和﹣6的积最大． 【解答】解：﹣5×（﹣6）＝30， 故答案为：30． 【点评】本题考查有理数的乘法，掌握运算法则是解题的关键． 9．有理数a，b，c，d使1，则的最大值是　2　． 【分析】根据绝对值的运用判断出有理数a，b，c，d中负数的个数，然后分别讨论求出最大值． 【解答】解：∵1， ∴有理数a，b，c，d中负数为奇数个． ①若有理数a，b，c，d有一个负三个正， 则2； ②若有理数a，b，c，d有三个负一个正， 则2； 所以的最大值是2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了绝对值的运用，采用分类讨论的思想进行解题． 10．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是3，e是最大的负整数，则x﹣（a+b+cd+e）的值为 　3或﹣3　． 【分析】根据a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是3，e是最大的负整数，可以得到a+b＝0，cd＝1，x＝±3，e＝﹣1，然后代入所求式子计算即可． 【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是3，e是最大的负整数， ∴a+b＝0，cd＝1，x＝±3，e＝﹣1， 当x＝3时，x﹣（a+b+cd+e） ＝3﹣（0+1﹣1） ＝3﹣0 ＝3； 当x＝﹣3时，x﹣（a+b+cd+e） ＝﹣3﹣（0+1﹣1） ＝﹣3﹣0 ＝﹣3； 故答案为：3或﹣3． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是求出a+b，cd，x，e的值． 11．计算． （1）（﹣8.46）×2.5×（﹣4）； （2）（﹣0.75）． 【分析】（1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的除法法则计算即可． 【解答】解：（1）（﹣8.46）×2.5×（﹣4） ＝8.46×2.5×4 ＝8.46×（2.5×4） ＝8.46×10 ＝84.6； （2）（﹣0.75） ＝0.75 ． 【点评】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键． 12．已知有理数a＞0，ab＞0，bc＜0，且|b|＜|c|＜|a|． （1）在如图所示的数轴上将a，b，c三个数表示出来； （2）化简：|c+a|﹣2|b﹣a|+|b+c|+|a|． 【分析】（1）先根据已知条件，判断a，b，c的正负，然后根据绝对值的大小，确定在数轴上的位置，把它们在数轴上表示出来即可； （2）根据a，b，c的大小，判断c+a，b﹣a，b+c的正负，然后利用绝对值的性质化简即可． 【解答】解：（1）∵a＞0，ab＞0，bc＜0， ∴b＞0，c＜0， ∴将a，b，c三个数在数轴上表示为： （2）∵由（1）可知：a＞0，b＞0，c＜0，|b|＜|c|＜|a|， ∴c+a＞0，b﹣a＜0，b+c＜0， |c+a|﹣2|b﹣a|+|b+c|+|a| ＝c+a﹣2（a﹣b）+（﹣b﹣c）+a ＝c+a﹣2a+2b﹣b﹣c+a ＝c﹣c+a+a﹣2a+2b﹣b ＝b． 【点评】本题主要考查了数轴和绝对值的性质，解题关键是熟练掌握把有理数中数轴上表示出来，正确利用绝对值性质进行化简． 13．如果a，b，c是非零有理数，求式子的所有可能的值． 【分析】根据绝对值的性质和有理数的乘法法则分情况讨论即可． 【解答】解：根据题意， 当a＞0，b＞0，c＞0时， 2+2+2﹣1＝5； 当a＞0，b＞0，c＜0时， 2+2﹣2+1＝3； 当a＞0，b＜0，c＞0时， 2﹣2+2+1＝3； 当a＜0，b＞0，c＞0时， 2+2+2+1＝3； 当a＜0，b＜0，c＞0时， 2﹣2+2﹣1＝﹣3； 当a＞0，b＜0，c＜0时， 2﹣2﹣2﹣1＝﹣3； 当a＜0，b＞0，c＜0时， 2+2﹣2﹣1＝﹣3； 当a＜0，b＜0，c＜0时， 2﹣2﹣2+1＝﹣5； 综上所述，式子的所有可能的值为±3或±5． 【点评】本题考查了有理数的乘法和绝对值，熟练掌握绝对值的性质以及有理数的乘法法则是解题的关键． 14．若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24． （1）求3*（﹣4）的值； （2）求（﹣2）*（6*3）的值． 【分析】分别根据运算“*”的运算方法列式，然后进行计算即可得解． 【解答】解：（1）3*（﹣4）， ＝4×3×（﹣4）， ＝﹣48； （2）（﹣2）*（6*3）， ＝（﹣2）*（4×6×3）， ＝（﹣2）*（72）， ＝4×（﹣2）×（72）， ＝﹣576． 【点评】本题考查了有理数的乘法，是基础题，理解新运算的运算方法是解题的关键． 15．阅读下列材料，计算：50÷（）． 解法1思路：原式＝5050×3﹣50×4+50×12；对吗？答：　不对　； 解法2提示：先计算原式的倒数，（）÷50，故原式等于300． （1）请你用解法2的方法计算：（）÷（）； （2）（）÷（）+（）÷（）现在这个题简单了吧？来吧，试试吧！ 【分析】解法1根据除法没有分配律进行判断； （1）仿照解法2先计算原式的倒数，然后即可得出原式的结果； （2）先计算原式前半部分的结果，然后根据倒数的定义求出后半部分的结果，即可求出原式的值． 【解答】解法1：不对； 理由：除法没有分配律，故解法1不对； 故答案为：不对； （1）先计算原式的倒数， ＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12） ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10， 故原式等于； （2） ＝﹣2﹣（﹣1） ， ∴， ∴原式． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，倒数的定义，关键是根据题中给出的计算方法举一反三． 16．如图，已知点A在数轴上，从点A出发，沿数轴向右移动3个单位长度到达点C，点B所表示的有理数是﹣3的相反数，按要求完成下列各小题． （1）请在数轴上标出点B和点C； （2）求点B所表示的有理数与点C所表示的有理数的乘积； （3）若将该数轴进行折叠，使得点A和点B重合，则点C和数 　0　所表示的点重合． 【分析】（1）将点向右移动3个单位长度得到点C的位置，根据相反数的定义得到点B的位置； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）找出AB的中点，然后可得到与点C重合的数． 【解答】解：（1）如图所示： （2）3×2＝6； （3）∵点A和点B重合， ∴AB的中点所表示的数是1， ∴点C和数0所表示的数重合， 故答案为：0． 【点评】本题考查了数轴，相反数，有理数的乘法等，在数轴上确定出A、B、C的位置是解题的关键． 17．如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左侧，|a|＝20，a+b＝100，ab＜0 （1）求出a，b的值； （2）现有一只蚂蚁P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，5秒钟之后另一只蚂蚁Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动． ①设两只电子蚂蚁在数轴上的点C处相遇，求点C对应的数； ②蚂蚁P出发多长时间后，两只蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？ 【分析】（1）根据两个数乘积小于0说明两数异号即可求解； （2）①根据相遇问题列一元一次方程即可求解； ②分两种情况讨论：相遇前相距和相遇后相距20个单位长度列一元一次方程即可求解． 【解答】解：（1）∵|a|＝20 ∴a＝20或﹣20 ∵ab＜0，∴a，b异号， 当a＝20时，b＝80，不合题意，舍去． 当a＝﹣20时，b＝120，符合题意． 答：a＝﹣20，b＝120． （2）①方法一：120﹣（﹣20）＝140 140﹣3×5＝125 125÷（3+2）＝25 120﹣25×2＝70． ∴点C对应的数是120﹣2t＝70． 方法二：设Q从B出发t秒在点C处与P相遇． 根据题意，得15+3t+2t＝140， 解得t＝25， ∴点C对应的数是120﹣2t＝70 答：点C对应的数是70． ②方法一：（1）相遇前相距 120﹣（﹣20）＝140 140﹣3×5＝125 125﹣20＝105 105÷（3+2）＝21 21+5＝26 （2）相遇后相距 120﹣（﹣20）＝140 140﹣3×5＝125 （125+20）÷（3+2）＝29 29+5＝34 ∴蚂蚁P出发26秒或者34秒后，两只蚂蚁在数轴上相距20个单位长度． 方法二：根据题意，得 相遇前：15+3t+20+2t＝140，解得t＝21，∴21+5＝26； 相遇后：15+3t+2t﹣20＝140，解得t＝29，∴29+5＝34． 答：蚂蚁P出发26秒或者34秒后，两只蚂蚁在数轴上相距20个单位长度． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是分情况讨论相遇前后的距离变化． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 有理数的乘法与除法 课程标准 学习目标 1 理解有理数乘法与除法的意义； 2 掌握有理数乘法与除法的运算方法，能正确进行运算； 3 体会有理数乘法与除法运算在解决实际问题中的应用. 1. 学生能够理解并记住有理数乘法与除法的法则，熟练运用法则进行运算； 2. 通过观察、比较、归纳等方法，培养学生的数学思维能力和运算能力； 3. 让学生体验数学的逻辑性和严谨性，培养学生对数学的兴趣和探索精神. 知识点一、有理数乘法法则 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2. 0与任何数相乘都得0； 3. 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 4. 拓展： （1） 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2） 几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0. （3） 一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分. 知识点二、有理数的乘法运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即； 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即； 3. 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即. 4. 拓展： （1） 三个或三个以上有理数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个因数相乘，积相等； （2） 乘法分配律对一个有理数同多个有理数的和相乘仍适用 知识点三、倒数 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 2求一个数的倒数的方法： （1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数； （2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置； （3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置； （4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数. 3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数. 知识点四、有理数除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 补充： （1） 两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. （2） 有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律. 知识点五、有理数乘除混合运算 1. 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2. 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 题型01 两个有理数相乘 1．计算的结果等于（　　） A． B．﹣2 C． D．2 2．计算（﹣2024）×（﹣1）的结果为（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 3．计算：　　． 题型02 多个有理数相乘 1．在五个数2，﹣1，﹣5，4，﹣3中任取三个数相乘，其中最小的积等于 　　． 2．（1）﹣2×3×（﹣4）； （2）（﹣3）×（﹣1）×2×（﹣6）×0×（﹣2）． 3．计算：． 题型03 倒数的概念及应用 1．的倒数是（　　） A． B． C．﹣3 D．3 2．一个数的倒数是它的本身，这个数是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1 3．若a，b互为倒数，求abc﹣（c﹣2023）值． 4．已知：有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数． 求：2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m的值． 题型04 有理数除法运算 1．下列运算，结果正确的是（　　） A．﹣7÷7＝1 B． C．﹣36÷（﹣9）＝4 D． 2．计算4÷（）的结果是（　　） A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8 3．计算：　　． 题型05 有理数乘除法混合运算 1．计算：（　　） A．﹣3 B． C． D． 2．计算：的结果是（　　） A．﹣9 B．﹣1 C．3 D．9 3．计算： 　． 4．计算：． 题型06 运用乘法运算律简便计算 1．在简便运算时，把变形成最合适的形式是（　　） A．24×（﹣100） B．24×（﹣100） C．24×（﹣99） D．24×（﹣99） 2．用简便方法计算： （1）； （2）． 3．阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是a（b+c）＝ab+ac，反过来ab+ac＝a（b+c）．这就是说，当ab+ac中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到ab+ac＝a（b+c），进而可使运算简便．例如：计算17，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得40＝﹣25，这样计算就简便得多． 计算： （1）﹣29×588+28×588； （2）﹣2023． 题型07 有理数乘除法与数轴综合 1．如图，已知a，b是数轴上的两个数，下列不正确的式子是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣b＞0 C．ab＜0 D． 2．如图，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，且a+b＜0，ab＜0，则原点O的位置在（　　） A．点A的右边 B．点B的左边 C．A、B两点之间，且靠近点A D．A、B两点之间，且靠近点B 3．已知有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式成立的是（　　） A．a+b＞0 B．a+2＞b+2 C．﹣2a＞﹣2b D．ab＞0 4．如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题： （1）如果点A，B表示的数是互为相反数，请标出原点O的位置，并写出A，B，C，D，E表示的数分别是多少； （2）如果点E，C表示的数互为相反数，那么图中5个点表示的数的乘积是多少？ 题型08 有理数乘除法与绝对值综合 1．若ab≠0，则的取值不可能是（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣2 2．三个有理数a、b、c满足abc＞0，求的值． 3．我们知道：在研究和解决数学问题时．当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”，这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解答问题． 例如，我们在讨论|a|的值时，就会对a进行分类讨论，当a≥0时，|a|＝a；当a＜0时，|a|＝﹣a；现在请你利用这一思想解决下列问题： （1）填空：　 　（a≠0）；　 　（ab≠0） （2）若|abc|＝﹣abc≠0，求的值． 题型09 程序计算题 1．有一个程序，当输入任意一个有理数时，显示屏上的结果总是1与输入的有理数的倒数差，若第一次输入3，并将显示的结果第二次输入，则此时显示的结果是（　　） A．3 B． C． D．﹣3 2．按如图程序计算，如果输入的数是﹣2，那么输出的数是 　　． 3．小明同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序． （1）若输入的数是﹣4，那么执行了程序后，输出的数是多少？ （2）若输入的数是2，那么执行了程序后，输出的数是多少？ 题型10 关于有理数乘除法的新定义问题 1．在数学中定义了一种运算符号“！”它表示的含义如下：如：1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…，由此，请同学们思考的值为（　　） A． B．99! C．2010 D．2！ 2．若定义新运算：a△b＝（﹣2）×a×3×b，请利用此定义计算：（1△2）△（﹣3）＝　　． 3．阅读以下材料，完成相关的填空和计算． （1）根据倒数的定义我们知道，若（a+b）÷c＝﹣2，则c÷（a+b）＝　　． （2）计算． （3）根据以上信息可知：　　． 4．若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24． （1）求3*（﹣4）的值； （2）求（﹣2）*（6*3）的值． 题型11 规律探究题 1．探究与发现：两数之间有时很默契，请你观察下面的一组等式： （﹣1）（﹣1）；（﹣2）（﹣2）；（﹣3）（﹣3）；… 你能按此等式的规律，再写出符合这个规律的一个等式吗？　 　． 2．（1）1×2×3×4＝　　； （2）（﹣1）×2×3×4＝　　； （3）（﹣1）×（﹣2）×3×4＝　； （4）（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）×4＝　　； （5）（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）×（﹣4）＝　　． 通过上面的计算，填写表： 算式 （1） （2） （3） （4） （5） 负因数的个数 积的符号 ㅤㅤ根据表中填写的结果，探究几个不为0的数相乘时，积的符号与负因数个数之间的关系． 3．1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n，其中n是正整数． 现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+3×4+…n（n+1）＝？ 观察下面三个特殊的等式 1×2（1×2×3﹣0×1×2） 2×3（2×3×4﹣1×2×3） 3×4（3×4×5﹣2×3×4） 将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×43×4×5＝20 读完这段材料，请你思考后回答： （1）直接写出下列各式的计算结果： ①1×2+2×3+3×4+…10×11＝　 　 ②1×2+2×3+3×4+…n（n+1）＝　 　 （2）探究并计算： 1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）＝　 　 （3）请利用（2）的探究结果，直接写出下式的计算结果： 1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12＝　 　． 1．如图，数轴上A，B两点所表示的两数的（　　） A．和为正数 B．和为负数 C．积为正数 D．积为负数 2．一个数与﹣4的乘积等于，这个数是（　　） A． B． C． D． 3．下列说法中正确的有（　　） ①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③互为相反数的两数相乘，积一定为负；④两个有理数的积的绝对值，等于这两个有理数的绝对值的积；⑤任何正数都大于它的倒数． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是1，﹣1的差倒数是．已知a1，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，a2021的差倒数a2022的值为（　　） A． B． C．4 D．2022 5．已知|a|＝4，|b|＝5，且ab＜0，则a+b的值是（　　） A．±9 B．±1或±9 C．±1 D．﹣1或﹣9 6．的倒数与的相反数的商是　 　． 7．因强冷空气南下，预计某地平均每小时降温1.5℃，如果上午10时测得气温为8℃，那么下午5时该地的气温是 　 　℃． 8．在3，﹣5，6，﹣6这四个数中，任取两个数相乘，所得的乘积最大是 　 　． 9．有理数a，b，c，d使1，则的最大值是　 　． 10．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是3，e是最大的负整数，则x﹣（a+b+cd+e）的值为 　 　． 11．计算． （1）（﹣8.46）×2.5×（﹣4）； （2）（﹣0.75）． 12．已知有理数a＞0，ab＞0，bc＜0，且|b|＜|c|＜|a|． （1）在如图所示的数轴上将a，b，c三个数表示出来； （2）化简：|c+a|﹣2|b﹣a|+|b+c|+|a|． 13．如果a，b，c是非零有理数，求式子的所有可能的值． 14．若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24． （1）求3*（﹣4）的值； （2）求（﹣2）*（6*3）的值． 15．阅读下列材料，计算：50÷（）． 解法1思路：原式＝5050×3﹣50×4+50×12；对吗？答：　 　； 解法2提示：先计算原式的倒数，（）÷50，故原式等于300． （1）请你用解法2的方法计算：（）÷（）； （2）（）÷（）+（）÷（）现在这个题简单了吧？来吧，试试吧！ 16．如图，已知点A在数轴上，从点A出发，沿数轴向右移动3个单位长度到达点C，点B所表示的有理数是﹣3的相反数，按要求完成下列各小题． （1）请在数轴上标出点B和点C； （2）求点B所表示的有理数与点C所表示的有理数的乘积； （3）若将该数轴进行折叠，使得点A和点B重合，则点C和数 　 　所表示的点重合． 17．如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左侧，|a|＝20，a+b＝100，ab＜0 （1）求出a，b的值； （2）现有一只蚂蚁P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，5秒钟之后另一只蚂蚁Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动． ①设两只电子蚂蚁在数轴上的点C处相遇，求点C对应的数； ②蚂蚁P出发多长时间后，两只蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$