1.2 一元二次方程的解法（分层练习，5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

1.2 一元二次方程的解法（五大题型提分练） 题型一 用直接开平方法解一元二次方程 1．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东滨州·三模）方程的解为（    ） A． B．2 C． D． 3．（2020·江苏扬州·中考真题）方程的根是 ． 4．（2024九年级下·江苏·专题练习）解方程：； 5．（2022·湖北荆州·一模）解下列方程：； 6．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：（直接开平方法） 题型二 用配方法解一元二次方程 1．（2023·新疆·中考真题）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·四川雅安·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．9 3．（2022·山东东营·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 4．（2022·湖北荆州·中考真题）一元二次方程配方为，则k的值是 ． 5．（2022·江苏无锡·中考真题）解方程）； 6．（2024·江西景德镇·二模）小明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： (1)小明的解题过程从第__________步开始出现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程． 题型三 用公式法解一元二次方程 1．（24-25九年级上·安徽·假期作业）用求根公式解一元二次方程时，，的值是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（2024·河北石家庄·一模）若是一元二次方程的根，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 3．（23-24九年级下·安徽安庆·阶段练习）当用公式法解方程时，的值为（   ） A．2 B． C．17 D． 4．（2019·西藏·中考真题）一元二次方程的根是 ． 5．（2019·山东威海·中考真题）一元二次方程的解是 ． 6．（2023·江苏无锡·中考真题）解方程：）       题型四 用因式分解法解一元二次方程 1．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2022·广西梧州·中考真题）一元二次方程的根是 ． 3．（23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）解方程：． 4．（22-23九年级·江苏·假期作业）解关于的方程： （因式分解法）． 5．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程： 解：方程两边除以，得第一步 移项，合并同类项，得第二步 系数化为1，得第三步 任务： (1)小明的解法从第__________步开始出现错误； (2)此题的正确结果是__________； (3)用因式分解法解方程：． 题型五 一元二次方程根的判别式 1．（2023·吉林·中考真题）一元二次方程根的判别式的值是（    ） A．33 B．23 C．17 D． 2．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川泸州·中考真题）关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数的取值有关 4．（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 5．（2024·河南·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为 ． 6．（2022·江苏扬州·中考真题）请填写一个常数，使得关于的方程 有两个不相等的实数根． 7．（2023·浙江杭州·中考真题）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①；②；③；④． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 8．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 9．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）已知：关于的方程． (1)求证：无论取任何实数值，方程总有两个实数根． (2)若等腰三角形的底边长为，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 1．（2022·广西贵港·中考真题）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（    ） A．0， B．0，0 C．， D．，0 2．（2022·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 3．（2022·内蒙古·中考真题）对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程 的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 4．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 5．（2023·山东济南·中考真题）关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）． 6．（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为 ． 7．（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是 ． 8．（2024·河北张家口·三模）若关于的一元二次方程的两个根均为正整数，写出满足条件的一个的值为 ． 9．（2023·湖北荆州·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解方程． 10．（2022·贵州贵阳·中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示． 用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0； （2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程． ①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0． 11．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）【课本再现】 材料一：解方程：． 解：把常数项移到方程的右边，得． 两边都加，得，即． 两边开方，得，即或， 所以，． 在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法． 材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题． 例如：． ∵， ∴，即有最小值1． 【尝试运用】 （1）解一元二次方程，配方后可变形为（    ） A．    B．    C．  D． （2）利用配方法求的最值． 【拓展应用】 （3）已知方程，求的值． 12．（23-24九年级上·甘肃天水·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，其中分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 13．（2024·北京·三模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值． 14．（2022·云南昆明·一模）我们可以用以下方法求代数式的最小值． ∵ ∴ ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时x的值； (3)求证：无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数． 15．（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 16．（2024·江苏泰州·一模）大约于公元前2000年，古巴比伦人用“长”，“宽”及“面积”来代表未知数及它们的乘积．如图1，长代表，宽代表，长方形的面积代表．大约于公元830年，阿尔·花拉子米（）在《代数学》中介绍了用几何学方式求方程的解． (1)某实践小组对《代数学》的内容进行研习后，也尝试用几何学方式解，并形成以下操作步骤： 第一步：将方程变形成； 第二步：构造边长为的正方形（如图2）； 第三步：求得右下角正方形面积的值是①； 第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积 将代入， 可得②， ， ③． 请补全该实践小组求解过程中①②③所缺的内容； (2)请参照上述方法解方程． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 一元二次方程的解法（五大题型提分练） 题型一 用直接开平方法解一元二次方程 1．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B、，解得：，故本选项符合题意； C、，，解得，故本选项不符合题意； D、，，解得，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（2024·山东滨州·三模）方程的解为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】解： ∴， ． 故选D． 3．（2020·江苏扬州·中考真题）方程的根是 ． 【解析】解：由原方程，得． 解得． 故答案是：． 4．（2024九年级下·江苏·专题练习）解方程：； 【解析】解： 移项得，， 系数化为1得，， 直接开平方得，， . 5．（2022·湖北荆州·一模）解下列方程：； 【解析】（1）解：移项，得：， 开方，得：， 解得：，． 6．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：（直接开平方法） 【解析】解：∵ ∴或 解得，． 题型二 用配方法解一元二次方程 1．（2023·新疆·中考真题）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 2．（2022·四川雅安·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．9 【答案】C 【解析】解：x2+6x+c＝0， 移项得： 配方得： 而（x+3）2＝2c， 解得： 故选C 3．（2022·山东东营·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选D． 4．（2022·湖北荆州·中考真题）一元二次方程配方为，则k的值是 ． 【解析】解： ∴ 故答案为：1． 5．（2022·江苏无锡·中考真题）解方程； 【解析】解：（1）方程移项得：x2-2x=5， 配方得：x2-2x+1=6，即（x-1）2=6， 开方得：x-1=±， 解得：x1=1+，x2=1-. 6．（2024·江西景德镇·二模）小明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： (1)小明的解题过程从第__________步开始出现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程． 【解析】（1）解：上述过程中，从第二步开始出现了错误， 故答案为：二； （2）解：， 移项，得， ， 配方，得，即， ∴， ∴，． 题型三 用公式法解一元二次方程 1．（24-25九年级上·安徽·假期作业）用求根公式解一元二次方程时，，的值是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】解：， ， 则，，， 故选：C 2．（2024·河北石家庄·一模）若是一元二次方程的根，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 【答案】D 【解析】解：∵是一元二次方程方程的根， ∴，，， ∴， 故选：D 3．（23-24九年级下·安徽安庆·阶段练习）当用公式法解方程时，的值为（   ） A．2 B． C．17 D． 【答案】C 【解析】解：原方程可变形为， ，，， ． 故选：C 4．（2019·西藏·中考真题）一元二次方程的根是 ． 【解析】， a=1，b=－1，c=－1， ， ， 所以， 故答案为． 5．（2019·山东威海·中考真题）一元二次方程的解是 ． 【解析】， ， 则， 故， 解得：，． 故答案为，． 6．（2023·江苏无锡·中考真题）解方程：）       【解析】（1） 解：∵， ∴ ， ∴ 解得：，. 题型四 用因式分解法解一元二次方程 1．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】解∶ ， ∴， ∴或， ∴，， 故选∶B． 2．（2022·广西梧州·中考真题）一元二次方程的根是 ． 【解析】解：由题意可知：或， ∴或， 故答案为：或． 3．（23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）解方程：． 【解析】解：， ， 所以； 4．（22-23九年级·江苏·假期作业）解关于的方程： ． 【解析】整理得：=0， ∴[][]=0， ∴=0或， ∴，． 5．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程： 解：方程两边除以，得第一步 移项，合并同类项，得第二步 系数化为1，得第三步 任务： (1)小明的解法从第__________步开始出现错误； (2)此题的正确结果是__________； (3)用因式分解法解方程：． 【解析】（1）解：由题意可知小明的解法从第一步开始出现错误； 故答案为一； （2）解： 或 ∴； 故答案为； （3）解： 解得：． 题型五 一元二次方程根的判别式 1．（2023·吉林·中考真题）一元二次方程根的判别式的值是（    ） A．33 B．23 C．17 D． 【答案】C 【解析】解：∵，，， ∴． 故选：C． 2．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意； B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意； C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意； D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意； 故选：D． 3．（2023·四川泸州·中考真题）关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数的取值有关 【答案】C 【解析】解：∵， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故C正确． 故选：C． 4．（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ， ， 的取值范围是：且． 故选：A． 5．（2024·河南·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为 ． 【解析】解∶∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2022·江苏扬州·中考真题）请填写一个常数，使得关于的方程 有两个不相等的实数根． 【解析】解：设这个常数为a， ∵要使原方程有两个不同的实数根， ∴， ∴， ∴满足题意的常数可以为0， 故答案为：0（答案不唯一）． 7．（2023·浙江杭州·中考真题）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①；②；③；④． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 【解析】解：中， ①时，，方程有两个相等的实数根； ②时，，方程有两个不相等的实数根； ③时，，方程有两个不相等的实数根； ④时，，方程没有实数根； 因此可选择②或③． 选择②时， ， ， ， ，； 选择③时， ， ， ， ，． 8．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 【解析】（1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 9．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）已知：关于的方程． (1)求证：无论取任何实数值，方程总有两个实数根． (2)若等腰三角形的底边长为，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【解析】（1）证明：， ， 无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：依题意有，则， 方程化为， 解得， 故的周长． 1．（2022·广西贵港·中考真题）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（    ） A．0， B．0，0 C．， D．，0 【答案】B 【解析】解：根据题意， ∵是一元二次方程的一个根， 把代入，则 ， 解得：； ∴， ∴， ∴，， ∴方程的另一个根是； 故选：B 2．（2022·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】解：∵， ∴，， 则，即， ∴，， ∴． 故选：B． 3．（2022·内蒙古·中考真题）对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程 的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 4．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【解析】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 5．（2023·山东济南·中考真题）关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）． 【解析】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 即， 解得：， ∴的值可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 6．（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为 ． 【解析】解：∵， ∴， 将代入 得，， 即：， ， ∴或， ∵， ∴舍， ∴， 故答案为：3． 7．（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是 ． 【解析】∵a－b2＝4 ∴ 将代入a2－3b2＋a－14中 得： ∵ ∴ 当a=4时，取得最小值为6 ∴的最小值为6 ∵ ∴的最小值6 故答案为：6． 8．（2024·河北张家口·三模）若关于的一元二次方程的两个根均为正整数，写出满足条件的一个的值为 ． 【解析】解：∵， ∴， ∴，， ∵关于的一元二次方程的两个根均为正整数， ∴ ，且为正整数， 解得，且为正整数， ∴可以为 故答案为：（答案不唯一）． 9．（2023·湖北荆州·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解方程． 【解析】（1）解：依题意得：， 解得且； （2）解：当时，原方程变为：， 则有：， ， ， 方程的根为，． 10．（2022·贵州贵阳·中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示． 用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0； （2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程． ①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0． 【解析】解：（1）由题意可知：a＜0，b＞0， ∴a＜b，ab＜0； 故答案为：＜，＜； （2）①x2+2x−1=0； 移项得x2+2x=1， 配方得x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2， 则x+1=±， ∴x1=-1+，x2=-1-； ②x2−3x=0； 因式分解得x(x-3)=0， 则x=0或x-3=0， 解得x1=0，x2=3； ③x2−4x=4； 配方得x2-4x+4=4+4，即(x-2)2=8， 则x-2=±， ∴x1=2+，x2=2-； ④x2−4=0． 因式分解得(x+2) (x-2)=0， 则x+2=0或x-2=0， 解得x1=-2，x2=2． 11．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）【课本再现】 材料一：解方程：． 解：把常数项移到方程的右边，得． 两边都加，得，即． 两边开方，得，即或， 所以，． 在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法． 材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题． 例如：． ∵， ∴，即有最小值1． 【尝试运用】 （1）解一元二次方程，配方后可变形为（    ） A．    B．    C．  D． （2）利用配方法求的最值． 【拓展应用】 （3）已知方程，求的值． 【解析】解：（1）， ， ， ， 故答案为：D； （2） ， ， ，即有最大值14； （3）， ， ， ，， ，， ． 12．（23-24九年级上·甘肃天水·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，其中分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【解析】（1）解：是等腰三角形， 理由如下： 是方程的根， ， ， ，即， 是等腰三角形； （2）解：是直角三角形， 理由如下： 方程有两个相等的实数根， ， ， ， 是直角三角形； （3）解：当是等边三角形时，， 原方程可化为， ， 解得：，． 13．（2024·北京·三模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值． 【解析】（1）解：证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； （2）∵， ∴， ∴或， ∴， ∵方程的根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍， ∴或， 解得或（舍去）， ∴a的值为4． 14．（2022·云南昆明·一模）我们可以用以下方法求代数式的最小值． ∵ ∴ ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时x的值； (3)求证：无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数． 【解析】（1）解：由题意得： ， ∵ ∴ ∴当时，有最小值． （2）解：由题意得：， ∵ ∴ ∴当时，有最大值． （3）解：由题意得： = =； ∵ ∴， ∴无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数． 15．（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 【解析】解：（1）①当时，，，则， ②当时，，，则， ③当时，，，则． 故答案为：；；； （2）无论取什么值，判断与有， 理由如下： ， 无论取什么值，总有； （3）拓展： ， 故． 16．（2024·江苏泰州·一模）大约于公元前2000年，古巴比伦人用“长”，“宽”及“面积”来代表未知数及它们的乘积．如图1，长代表，宽代表，长方形的面积代表．大约于公元830年，阿尔·花拉子米（）在《代数学》中介绍了用几何学方式求方程的解． (1)某实践小组对《代数学》的内容进行研习后，也尝试用几何学方式解，并形成以下操作步骤： 第一步：将方程变形成； 第二步：构造边长为的正方形（如图2）； 第三步：求得右下角正方形面积的值是①； 第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积 将代入， 可得②， ， ③． 请补全该实践小组求解过程中①②③所缺的内容； (2)请参照上述方法解方程． 【解析】（1）解：①， ； ② 将代入，可得； ③， ， 或， ， ； （2）解：第一步：将方程变形成， 第二步：构造边长为的正方形如图， 第三步：求得右下角正方形面积的值是； 第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积 将代入，可得， ， 或， ， ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$