第03讲 正方形的性质与判定（3大知识6题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（北师大版）

第03讲 正方形的性质与判定 课程标准 学习目标 1 理解正方形的概念以及它与其它四边形之间的关系； 2 正方形既是矩形，又是菱形;理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系． 1. 正方形的定义； 2. 正方形的性质； 3. 正方形的判定； 知识点一：正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 补充：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 【即学即练】 1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等 2．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（    ） A．①有一个角是直角 B．②有一组邻边相等 C．③对角线互相垂直 D．④对角线互相平分 知识点二：正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 【即学即练】 3．已知正方形中，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，正方形的对角线相交于点，的度数是 ． 5．如图，已知正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为 ． 6．正方形的一条边长是4，那么它的面积是 ，对角线长是 ． 知识点三：正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 【即学即练】 7．已知在四边形中，与相交于点，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（　　） A．，， B．， C．， D．，， 8．四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（    ） A．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD B．AB∥CD，AC＝BD C．AD∥BC，∠A＝∠C D．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC 9．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，且为的平分线，求证：平行四边形为正方形．    题型01 用正方形的性质求角度 例：如图，点在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 11．如图，在正方形的外侧，作等边，则为（    ）    A． B． C． D． 12．如图正方形ABCD中以CD为边向外作等边三角形CDE，连接AE、AC，则∠CAE度数为(　　) A．15° B．30° C．45° D．20° 13．如图，在正方形内作等边三角形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型02 用正方形的性质求面积 例：如图，正方形的面积为4，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为 ．    【变式训练】 15．如图，，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的面积是 ． 16．如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是，则图中阴影图形的周长是（    ）    A． B． C． D． 17．如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为（    ） A．36 B．42 C．55 D．25 18．将两个边长为a的小正方形放置在边长为b的大正方形内，三个正方形均重叠部分的面积记为，无重叠部分的面积记为，如图所示，若a和b分别是一等腰直角三角形的一条直角边和斜边的长，则与的大小关系是（    ） A．＝ B．＜ C．＞ D．无法确定 19．如图，正方形的边长为4，则图中阴影部分的面积之和为 ． 题型03 用正方形的性质求线段长 例：如图，正方形的边长为，将该正方形沿方向平移，得到正方形，交于点，交于点，则的长为 ． 【变式训练】 21．如图，边长为4的正方形中，E，F分别为边，上的点，连接，．若，则的最小值是 ． 22．在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，如图所示，点B在y轴上，且坐标是，点C在x轴上，则点C的坐标为 ；点D的坐标为 ． 23．如图，设四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方再以对角线为边作第三个正方形，如此下去，则第n个正方形的边长为 ．    题型04 用正方形的性质证明 例：如图，四边形、都是正方形，连接、．求证：    (1)； (2)． 【变式训练】 25．如图，在正方形中，点，在对角线上，且，连接，，以及，．求证：四边形为菱形． 26．如图，在正方形中，点E在上，连接． (1)用尺规完成以下基本作图：过点B作的垂线，分别与交于点F，G．（不写作法和证明，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，求证： 27．已知：如图，中，，是的平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形． 题型05 正方形的判定 例：如图，在四边形中，对角线相交于点，延长至点E，使，连接． (1)当时，求证：； (2)当，且时，求证：四边形是正方形． 【变式训练】 28．如图，已知四边形是平行四边形，下列说法正确的是（   ） A．若，则▱是菱形 B．若，则▱是正方形 C．若，则▱是矩形 D．若，则▱是正方形 29．在矩形中，对角线与交于点Q，请添加一个条件： 使得矩形是正方形．（只写一个） 30．如图，在中，E、M分别为的中点，，延长交的延长线于点N，连接． (1)证明：四边形是菱形； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形，说明理由． 题型06 正方形性质与判定 例：如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，， ①求的长； ②求的长． 【变式训练】 33．如图，在四边形中，，，，是边上一点，且，则的长度是（   ） A．8 B．7.4 C．7 D．6.8 34．矩形第一次沿折叠得到四边形，展开后第二次沿折叠，使得点C与点F重合．若，，则 ． 35．（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形中，E是边上一点， 于点 F，，试猜想四边形的形状，并说明理由； （2）小明受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点 F，于点 H，，交于点G，可以用等式表示线段的数量关系，请你思考并解答这个问题． 36．综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形D与边长为的正方形按图1位置放置，与在同一直线上，与在同一直线上．连接，，易得且(不需要说明理由)． (1)如下图，小明将正方形绕点A逆时针旋转，旋转角为． ①连接，，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②在旋转过程中，如下图，连接，，，，求四边形面积的最大值． (2)如下图，分别取，，，的中点M，N，P，Q，连接，，，，则四边形的形状为______，四边形面积的最大值是______． （建议用时45分钟） 37．下列说法：①矩形的对角线互相垂直平分；②四条边相等的四边形是菱形；③对角线相等，且互相垂直的四边形是正方形；④平行四边形的两条对角线将平行四边形分成四个全等的三角形．其中正确的个数是（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 38．如图，在平面直角坐标系中，动点A，B分别在y，x轴上，以为边长在第一象限内作正方形，连接．若，则的最大值是（    ）    A． B． C． D．8 39．如图，点E，F，G，H分别是四边形的边的中点，则下列说法中正确的个数是（    ） ①若四边形是平行四边形，则四边形为矩形； ②四边形为平行四边形； ③若四边形是菱形，则四边形是菱形； ④若四边形中与互相垂直且相等，则四边形是正方形．    A．1 B．2 C．3 D．4 40．如图，正方形的边长为，点是的中点，点是上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 41．在中，对角线相交于点O，E是近上的一个动点（不与A、B重合）连接并延长，交于点F，连接，下列四个结论中： 甲：对于动点E，四边形始终是平行四边形； 乙：若，则至少存在一个点E，使得四边形是矩形； 丙：若，则至少存在一个点E，使得四边形是菱形； 丁：若，，则至少存在一个点E，使得四边形是正方形．以上所有正确说法的序号是（   ） A．甲、丙、丁正确，乙错误 B．甲、乙、丙、丁都正确 C．甲、乙、丙正确，丁错误 D．甲、乙、丙错误，丁正确 42．七巧板是一种开发智力的玩具，为提高学生的感知能力，老师投影演示如下：在正方形纸板中，为对角线，，分别为，的中点，分别交，于，两点，，分别为，的中点，连接，，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．通过观察演示过程， 甲同学得出：图中的三角形都是等腰直角三角形； 乙同学得出：四边形是菱形； 丙同学得出：四边形的面积占正方形面积的． 则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 43．如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 44．伸缩枪是孩子们喜欢的玩具，它巧妙运用了平行四边形的不稳定性．如图1它由几个相同的菱形连续组成．如图2是对它抽象简化图，点A是位于枪口内垂直平分线的拉伸控制点．已知枪口宽，菱形边长，当时， ；如图3当点A被向枪管更内侧拉至点，且时，点A移动的长度 ． 45．如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的纵坐标为，则正方形的边长为 ． 46．如图正方形中，，点E在上，且，将沿对折至，延长交于点G，连接，则 ． 47．如图，在中，于点D，，，，是的角平分线 (1)求证：是直角三角形； (2)求点D到、的距离之和 (3)求线段的长． 48．已知：是的角平分线，点在边上，，过点作，交于点，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为的度数2倍的角． 49．如图，在中，O是上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于的直线l分别与、的外角的平分线交于点E、F． (1)与相等吗？证明你的结论； (2)试确定点O的位置，使四边形是矩形，并加以证明； (3)在（2）的条件下，满足什么条件，四边形是正方形？证明你的结论． 50．【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点， 交于点E， 交于点F，则与的数量关系为______； 【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图②：直线m、n经过正方形的对称中心O，直线m分别与交于点E、F，直线n分别与交于点G、H，且 ，若正方形边长为8，求四边形的面积； 【问题三】在图②中，连接E、G、F、H四点，请证明四边形是正方形． 51．下面图片是八年级教科书中的一道题． 如图，四边形是正方形，点是边边上一点，，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：在上取点，使，连接．） (1)请你思考题中“提示”，并进行证明； (2)如图1，连接交于，判断与的数量关系，并证明你的结论； (3)若正方形的边长为4，交于，直接写出的最小值： ． 52．如图1，点E为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点A逆时针方向旋转度（）点B、E的对应点分别为点、． 【感知】如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； 【探究】若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F，试判断四边形的形状，并说明理由； 【应用】在直角三角形绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 试卷第2页，共53页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 正方形的性质与判定 课程标准 学习目标 1 理解正方形的概念以及它与其它四边形之间的关系； 2 正方形既是矩形，又是菱形;理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系． 1. 正方形的定义； 2. 正方形的性质； 3. 正方形的判定； 知识点一：正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 补充：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 【即学即练】 1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形、矩形、菱形的性质，矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质． 【详解】解：矩形、菱形、正方形都是平行四边形，都具有的性质是：对角线互相平分． 故选：A． 2．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（    ） A．①有一个角是直角 B．②有一组邻边相等 C．③对角线互相垂直 D．④对角线互相平分 【答案】D 【分析】本题考查矩形，菱形，正方形的判定，由矩形，菱形，正方形的判定，即可判断． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，故A不符合题意； B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，故B不符合题意； C、对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，故C不符合题意； D、对角线互相平分在菱形不是正方形，故D错误，符合题意， 故选：D． 知识点二：正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 【即学即练】 3．已知正方形中，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正方形的性质可得，，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，， ∴， 解得：，（负根舍去） 故选C 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，熟记勾股定理的含义是解本题的关键． 4．如图，正方形的对角线相交于点，的度数是 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了正方形的性质，熟悉掌握正方形的性质是解题的关键． 根据正方形对角线相互垂直的特点求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴； 故答案为：． 5．如图，已知正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】8 【分析】根据正方形的面积公式求出结果即可． 【详解】解：∵图中阴影部分的面积之和正好等于正方形面积的一半，且正方形的边长为， ∴图中阴影部分的面积为：． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了正方形面积的计算，根据图形得出阴影部分的面积正好为正方形面积的一半，是解题的关键． 6．正方形的一条边长是4，那么它的面积是 ，对角线长是 ． 【答案】 16 【分析】（1）利用正方形面积等于边长的平方求解； （2）利用勾股定理求对角线长． 【详解】解：如图， 在正方形ABCD中，，， 因此它的面积为：， 对角线长为：， 故答案为：16，． 【点睛】本题考查正方形的性质及勾股定理，熟练应用勾股定理是解题的关键． 知识点三：正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 【即学即练】 7．已知在四边形中，与相交于点，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（　　） A．，， B．， C．， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是正方形的判定，解题关键是熟练掌握正方形的判定方法． 根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案． 【详解】解：选项，不能，只能判定为矩形，选项错误； 选项，不能，只能判定为平行四边形，选项错误； 选项，能，可判定为正方形，选项正确； 选项，不能，只能判定为菱形，选项错误． 故选：． 8．四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（    ） A．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD B．AB∥CD，AC＝BD C．AD∥BC，∠A＝∠C D．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC 【答案】A 【分析】根据正方形的性质以及判定定理对各项进行分析即可． 【详解】A. OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，能判定； B. AB∥CD，AC＝BD，不能判定； C. AD∥BC，∠A＝∠C，不能判定； D. OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC，不能判定； 故答案为：A． 【点睛】本题考查了正方形的判定问题，掌握正方形的性质以及判定定理是解题的关键． 9．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，且为的平分线，求证：平行四边形为正方形．    【答案】详见解析 【分析】先证明，则平行四边形为矩形，再证明，即可得到结论． 【详解】证明：四边形为平行四边行， ，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 平行四边形为矩形， 为的平分线， ， ∴， ， ∴平行四边形为正方形 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、矩形的判定、正方形的判定、等角对等边等知识，熟练掌握正方形的判定是解题的关键． 题型01 用正方形的性质求角度 例：如图，点在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，根据正方的性质，同角的余角，进行求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 【变式训练】 11．如图，在正方形的外侧，作等边，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题题主要考查了正方形和等边三角形的性质，由四边形是正方形，是正三角形可得，即可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵是正三角形， ∴， ∴． 故选：B． 12．如图正方形ABCD中以CD为边向外作等边三角形CDE，连接AE、AC，则∠CAE度数为(　　) A．15° B．30° C．45° D．20° 【答案】B 【分析】由正方形的性质可知∠CAD的度数,由等边三角形的性质可知∠CDE的度数,由角度变形求出∠DAE的度数即可求出∠CAE． 【详解】∵四边形ABCD为正方形, ∴DA=DC,∠CAD=45°,∠ADC=90°． ∵△CDE为等边三角形, ∴DE=DC,∠CDE=60°, ∴DA=DE,∠ADE=90°+60°=150°, ∴∠DAE=∠DEA,∴∠DAE=(180°﹣150°)=15°, ∴∠CAE=45°﹣15°=30°． 故选：B． 【点睛】本题考查正方形和等边三角形的性质,关键在于角度的推导和变化． 13．如图，在正方形内作等边三角形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，先根据正方形、等边三角形的性质得出，，，从而可求出的度数，然后利用等边对等角和三角形内角和定理可求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可. 【详解】解：∵在正方形内作等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 题型02 用正方形的性质求面积 例：如图，正方形的面积为4，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为 ．    【答案】2 【分析】本题考查正方形性质，线段中点的性质，根据正方形性质和线段中点的性质得到，进而得到，同理可得，最后利用四边形的面积正方形的面积个小三角形面积求解，即可解题． 【详解】解：正方形的面积为4， ，， 点，，，分别为边，，，的中点， ， ， 同理可得， 四边形的面积为． 故答案为：2． 【变式训练】 15．如图，，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的面积是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定，菱形的面积，解题的关键是连接，根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形．连接交于点，则可证得，，可证四边形为平行四边形，且，可证得四边形为菱形． 【详解】解：如图，连接交于点， 四边形为正方形， ，， ， ，即， 四边形为平行四边形，且， 四边形为菱形， ， ，， 菱形的面积， 故答案为：16． 16．如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是，则图中阴影图形的周长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平移的性质，利用平移的性质将阴影部分的周长转化为边长是的正方形的周长加上边长是的正方形的两条边长再减去，由此解答即可． 【详解】解：由图可得：阴影部分的周长为边长是的正方形的周长加上边长是的正方形的两条边长再减去， 阴影图形的周长是：， 故选：A． 17．如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为（    ） A．36 B．42 C．55 D．25 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用以及根据正方形的性质求面积，设阴影部分的小正方形边长为a， 阴影部分的大正方形边长为b， 白色正方形的边长为C．根据题意有，又，即可得出答案． 【详解】解：设阴影部分的小正方形边长为a， 阴影部分的大正方形边长为b， 白色正方形的边长为C． 则阴影部分的面积为：, 根据题意有：， 又∵， ∴， 故阴影部分的面积之和为：． 故选：D． 18．将两个边长为a的小正方形放置在边长为b的大正方形内，三个正方形均重叠部分的面积记为，无重叠部分的面积记为，如图所示，若a和b分别是一等腰直角三角形的一条直角边和斜边的长，则与的大小关系是（    ） A．＝ B．＜ C．＞ D．无法确定 【答案】A 【分析】求出，，而，故，，即得．本题考查正方形的性质，解题的关键是用含的代数式表示，． 【详解】解：由图可知，，， 和分别是一等腰直角三角形的一条直角边和斜边的长， ， ，， ； 故选：A． 19．如图，正方形的边长为4，则图中阴影部分的面积之和为 ． 【答案】8 【分析】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，将阴影面积转化为三角形面积是解题的关键，学会利用转化的思想思考问题．根据正方形的轴对称的性质可得阴影部分的面积等于正方形的面积的一半，然后列式进行计算即可得解． 【详解】解：由图可知：阴影部分的面积之和； 故答案为：8． 题型03 用正方形的性质求线段长 例：如图，正方形的边长为，将该正方形沿方向平移，得到正方形，交于点，交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，正方形的性质，勾股定理．连接，则，得出是等腰直角三角形，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，则， ∴， ∴是等腰直角三角形， 依题意，，， 又， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 21．如图，边长为4的正方形中，E，F分别为边，上的点，连接，．若，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 如图所示，作D关于直线的对称点，连接，，先证明得到，则，从而推出当C、F、三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，作D关于直线的对称点，连接，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当C、F、三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为， 在中，． 故答案为：． 22．在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，如图所示，点B在y轴上，且坐标是，点C在x轴上，则点C的坐标为 ；点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质； 求出，过点作轴于点，证明，得到，，求出即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作轴于点；   四边形为正方形， ，，而， ， ； 在与中， ， ， ， ∴， 点的坐标为， 故答案为：；． 23．如图，设四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方再以对角线为边作第三个正方形，如此下去，则第n个正方形的边长为 ．    【答案】 【分析】首先求出、、的长度，然后归纳命题中隐含的数学规律，即可解决问题．本题主要考查图形的变化规律，利用勾股定理找出的规律是解题的关键． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， 即， 同理可求：， ， ． 第个正方形的边长为， 故答案为：． 题型04 用正方形的性质证明 例：如图，四边形、都是正方形，连接、．求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是根据三角形全等的判定方法，证明． （1）利用正方形的性质得，，再利用得，即可证明； （2）由（1）知，再结合条件证得，即． 【详解】（1）证明：∵四边形、都是正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：设与相交于点，与相交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴．    【变式训练】 25．如图，在正方形中，点，在对角线上，且，连接，，以及，．求证：四边形为菱形． 【答案】见详解 【分析】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定．连接交于点，由四边形是正方形得，由得，故四边形是平行四边形，再由对角线互相垂直即可． 【详解】证明：如图，连接交于点， 四边形是正方形 四边形是平行四边形 四边形是正方形 平行四边形是菱形． 26．如图，在正方形中，点E在上，连接． (1)用尺规完成以下基本作图：过点B作的垂线，分别与交于点F，G．（不写作法和证明，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，求证： 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，垂线的尺规作图： （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）只需要证明即可证明结论． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）证明∶∵四边形是正方形， 在和中． ∴， ∴． 27．已知：如图，中，，是的平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，正方形的判定，角平分线的性质，解题关键是掌握正方形的判定方法，并利用角平分线的性质证得．由，得，结合已知，根据矩形的判定“有三个角是直角的四边形是矩形”，可得四边形为矩形，再根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得，然后根据正方形的判定“一组邻边相等的矩形是正方形”，即可证得结论． 【详解】证明：∵，， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∵是的平分线，且，， ∴， ∴矩形为正方形． 题型05 正方形的判定 例：如图，在四边形中，对角线相交于点，延长至点E，使，连接． (1)当时，求证：； (2)当，且时，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的判定，特殊四边形的判定和性质，掌握特殊四边形的判定定理和性质定理是解题关键． （1）根据平行线的性质可证，结合题意可证四边形为菱形，即得出，再结合，即得出； （2）由（1）可知四边形为平行四边形，即得出，，．再结合题意即证明四边形是正方形． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴平行四边形为菱形， ∴． ∵， ∴； （2）证明：如图，，， 由（1）可知四边形为平行四边形， ∴，，． ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴， ∴平行四边形为菱形． ∵， ∴， ∴菱形为正方形． 【变式训练】 28．如图，已知四边形是平行四边形，下列说法正确的是（   ） A．若，则▱是菱形 B．若，则▱是正方形 C．若，则▱是矩形 D．若，则▱是正方形 【答案】C 【分析】此题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． 根据已知及各个特殊四边形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后答案． 【详解】解：、错误，有一个角为的平行四边形是矩形； B、错误，对角线互相垂直的平行四边形是菱形； C、正确，对角线相等的平行四边形是矩形； D、错误，一组邻边相等的平行四边形是菱形； 故选：C． 29．在矩形中，对角线与交于点Q，请添加一个条件： 使得矩形是正方形．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查正方形的判定，根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形添加条件． 【详解】解：根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：或或或或， 故答案为：（答案不唯一）． 30．如图，在中，E、M分别为的中点，，延长交的延长线于点N，连接． (1)证明：四边形是菱形； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形时，四边形是正方形，理由见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，可得，可证，可得，可证四边形是平行四边形，由直角三角形的性质可得，可得四边形是菱形； （2）由菱形的性质可得，可得，则四边形是正方形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，为的中点， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：当是等腰直角三角形时，四边形是正方形，理由如下：∵四边形是菱形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴菱形是正方形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定，直角三角形斜边中线的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 题型06 正方形性质与判定 例：如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，， ①求的长； ②求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①2；② 【分析】（1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）①根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论；②由（1）知，四边形是正方形，得出．由（2）（ⅰ）知，，，求出，勾股定理得出，得出．再证明，即可得出． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ． ， 四边形是矩形． 平分， ， 四边形的正方形． （2）解：（ⅰ）平分， ． 在和中， ， ， ， ． （ⅱ）由（1）知，四边形是正方形， ． 由（2）（ⅰ）知，， ， ，， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，角平分线的性质，勾股定理，掌握全等三角形和勾股定理是解决问题的关键． 【变式训练】 33．如图，在四边形中，，，，是边上一点，且，则的长度是（   ） A．8 B．7.4 C．7 D．6.8 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，作于，延长至，使，证明四边形为正方形，得出，，，证明以及，得出，设，则，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，作于，延长至，使， ∵，， ∴四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 34．矩形第一次沿折叠得到四边形，展开后第二次沿折叠，使得点C与点F重合．若，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，根据矩形和折叠的性质，得到四边形为正方形，求出，设，在中，利用勾股定理求出的值，进一步求出的长即可． 【详解】解：∵矩形第一次沿折叠得到四边形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∵第二次沿折叠，使得点C与点F重合， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴； 故答案为：． 35．（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形中，E是边上一点， 于点 F，，试猜想四边形的形状，并说明理由； （2）小明受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点 F，于点 H，，交于点G，可以用等式表示线段的数量关系，请你思考并解答这个问题． 【答案】（1）四边形是正方形，证明见解析；（2） 【分析】（1）证明，可得，从而可得结论； （2）证明四边形是矩形，可得，同理可得：，证明，，，证明四边形是正方形，可得，从而可得结论． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． （2）∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可得：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解本题的关键． 36．综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形D与边长为的正方形按图1位置放置，与在同一直线上，与在同一直线上．连接，，易得且(不需要说明理由)． (1)如下图，小明将正方形绕点A逆时针旋转，旋转角为． ①连接，，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②在旋转过程中，如下图，连接，，，，求四边形面积的最大值． (2)如下图，分别取，，，的中点M，N，P，Q，连接，，，，则四边形的形状为______，四边形面积的最大值是______． 【答案】(1)①，，理由见解析；② (2)正方形， 【分析】（1）①由“”可证，可得，，可证； ②由“”可证，可得，由面积和差关系可求解； （2）根据正方形的判定可判断四边形是正方形，其面积最大为时，根据三角形的中位线定理可求出其边长，进一步求出其最大面积． 【详解】（1）解：（1）①，，理由如下： 如图2，设与的交点为， 四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， ，， 又， ， ； ②如图3，过点作于，过点作直线于， ， ， 又， ， ， ， 当有最大值时，四边形面积有最大值， 即当时，有最大值为， 四边形面积的最大值为； （2）解：如图4，连接，， 点，，，分别是，，，的中点， ，，，，，，，， 由（1）知，， ， 四边形为菱形， 由（1）知， ， 菱形为正方形； 如图5，当，，三点在同一条直线上时，，，三点也在同一条直线上， 此时正方形的面积最大， ， ， 故答案为：正方形，． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质和判定，菱形的判定，中位线性质等，解题关键是在图形的变化过程中要弄清所存在的不变量及关系． （建议用时45分钟） 37．下列说法：①矩形的对角线互相垂直平分；②四条边相等的四边形是菱形；③对角线相等，且互相垂直的四边形是正方形；④平行四边形的两条对角线将平行四边形分成四个全等的三角形．其中正确的个数是（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定及性质，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质进行逐一判断即可．熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①矩形的对角线相等，故原说法错误； ②四条边相等的四边形是菱形，故原说法正确； ③对角线相等，且互相垂直的平行四边形是正方形，故原说法错误； ④正方形的两条对角线将正方形分成四个全等的三角形，故原说法错误． 综上，正确的只有②，共1个， 故选：A． 38．如图，在平面直角坐标系中，动点A，B分别在y，x轴上，以为边长在第一象限内作正方形，连接．若，则的最大值是（    ）    A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】取的中点E，连接，则，根据正方形的性质及勾股定理得出，，结合图形得出当点E在线段上时，线段的长最大，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点E，连接，则，    ∵四边形是正方形，边长为4， ∴，则， 在中，，由勾股定理，得， ∵在中， ，点E是斜边的中点， ∴， 由图可知：，当点E在线段上时，线段的长最大，最大值是， 故选A． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理解三角形及三角形三边关系，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 39．如图，点E，F，G，H分别是四边形的边的中点，则下列说法中正确的个数是（    ） ①若四边形是平行四边形，则四边形为矩形； ②四边形为平行四边形； ③若四边形是菱形，则四边形是菱形； ④若四边形中与互相垂直且相等，则四边形是正方形．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形． 先证明一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形，再逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵点E，F，G，H分别是四边形的边的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形，故②正确，但是证明不出四边形是矩形，故①错误， 若四边形是菱形，则， 同理可得，而 ∴，证明不出四边形是菱形，故③错误， 当与互相垂直且相等，如图：    ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， 同上可知， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形，故④正确， 故选：B． 40．如图，正方形的边长为，点是的中点，点是上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，根据，即可得出，进而得到当，，在同一直线上时，的最小值等于线段的长，再根据勾股定理求得的长，即可得出的最小值为，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，当，，在同一直线上时，的最小值等于线段的长， ∵点是边的中点， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 故选：． 41．在中，对角线相交于点O，E是近上的一个动点（不与A、B重合）连接并延长，交于点F，连接，下列四个结论中： 甲：对于动点E，四边形始终是平行四边形； 乙：若，则至少存在一个点E，使得四边形是矩形； 丙：若，则至少存在一个点E，使得四边形是菱形； 丁：若，，则至少存在一个点E，使得四边形是正方形．以上所有正确说法的序号是（   ） A．甲、丙、丁正确，乙错误 B．甲、乙、丙、丁都正确 C．甲、乙、丙正确，丁错误 D．甲、乙、丙错误，丁正确 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形以及几种特殊平行四边形的判定．熟悉平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法是解答此题的关键． 由于经过平行四边形的中心，故四边形一定也是平行四边形，这可以通过证明与相等来说明．然后只要让平行四边形再满足适当的特殊条件就可以变成对应的特殊平行四边形． 【详解】解：如图1， ∵四边形为平行四边形，对角线与交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又：∵， ∴四边形为平行四边形， 即在上任意位置(不与、重合)时，四边形形为平行四边形，故选项甲正确； 如图2， 如图3， 当时，点不在边上，故选项乙错误． 当时，四边形为菱形，故选项丙正确． 由丙知，若，则至少存在一个点，使得四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴若，则至少存在一个点，使得四边形是正方形，故选项丁正确． 故选：A． 42．七巧板是一种开发智力的玩具，为提高学生的感知能力，老师投影演示如下：在正方形纸板中，为对角线，，分别为，的中点，分别交，于，两点，，分别为，的中点，连接，，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．通过观察演示过程， 甲同学得出：图中的三角形都是等腰直角三角形； 乙同学得出：四边形是菱形； 丙同学得出：四边形的面积占正方形面积的． 则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形的中位线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确识别图形是解题的关键． 先根据正方形的性质和三角形中位线的定义与性质证明图中所有三角形是等腰直角三角形，再证明四边形是平行四边形但不是菱形，最后再证明 即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴、是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线，，， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴、、是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴点是正方形的对称中心， ∴点、、、在同一直线上， ∵，分别为，的中点， ∴，， ∴， 如图，延长到点， ∴是的中位线， ∴， ， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴、是等腰直角三角形， ∴图中的三角形都是等腰直角三角形，故甲同学正确， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， 在中，， ∴， ∴四边形不是菱形，故乙同学错误， ∵，， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， 故丙同学正确， 综上所述，正确的是甲同学和丙同学， 故选：B． 二、填空题 43．如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，根据正方形的性质得出，，，推出，证出可得答案，证明是解此题的关键． 【详解】∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 44．伸缩枪是孩子们喜欢的玩具，它巧妙运用了平行四边形的不稳定性．如图1它由几个相同的菱形连续组成．如图2是对它抽象简化图，点A是位于枪口内垂直平分线的拉伸控制点．已知枪口宽，菱形边长，当时， ；如图3当点A被向枪管更内侧拉至点，且时，点A移动的长度 ． 【答案】 【分析】①连接，可知点A、C和H在同一条直线上，得到四边形为正方形，求得，则； ②连接和交于点M，可得是等腰直角三角形和是等边三角形，可知，利用求得，求得，可得即可． 【详解】解：①连接，如图， 则点A、C和H在同一条直线上， ∵， ∴四边形为正方形， ∵， ∴， 则； 故答案为：． ②连接和交于点M，如图， ∵点A是位于枪口内垂直平分线上一点，，， ∴是等腰直角三角形、是等边三角形，点、A和点在同一条直线上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴,, 则． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是找对对应的边角关系和变量之间的等式关系． 45．如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的纵坐标为，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质，得到点B与点D关于直线对称，连接，交于点Q，根据题意，得此时取得最小值，且最小值为的长，结合图象上最低点的纵坐标为，得到，设，结合点是的中点，得到，利用勾股定理解答即可． 本题考查了正方形的性质，轴对称性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】根据正方形的性质，得到点B与点D关于直线对称，连接，交于点Q，根据题意，得此时取得最小值，且最小值为的长，结合图象上最低点的纵坐标为， ∴， 设， ∵点是的中点， ∴， ∴， 解得（舍去）， 故， 故答案为：6． 46．如图正方形中，，点E在上，且，将沿对折至，延长交于点G，连接，则 ． 【答案】6 【分析】由折叠的性质可得，即可得到，利用翻折变换对应边关系得出，，利用定理得出，得到，从而得到，由，，得到，设，则，，利用勾股定理得出，即可求出． 【详解】解：在正方形中，，， 由折叠的性质可得， ，，， ，， 又， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，三角形全等的判定与性质，正方形的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题的关键． 三、解答题 47．如图，在中，于点D，，，，是的角平分线 (1)求证：是直角三角形； (2)求点D到、的距离之和 (3)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)16.8 (3) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，角平分线的性质定理，正方形的判定和性质： （1）用勾股定理解，求出，，再利用勾股定理的逆定理可判断是直角三角形； （2）过点D作，，利用三角形面积法求出，，相加即可； （3）过点E作，，由角平分线的性质定理可得，再证四边形是正方形，利用求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在中，，即， ∴； 在中，，即， ∴， ∵，，，， 即， ∴是直角三角形； （2）解：如图，过点D作，，垂足分别为点M、N， ∵，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴． （3）解：过点E作，，垂足分别为点P、Q， 由（1）知是直角三角形， ， ，， 四边形是矩形， 是的角平分线，，， ， 四边形是正方形， 是等腰直角三角形； ， ， 即， 解得， 由勾股定理得，． 48．已知：是的角平分线，点在边上，，过点作，交于点，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为的度数2倍的角． 【答案】(1)见解析 (2)度数为的度数2倍的角有：,，， 【分析】（1）直接由得出，得出，．再由证明，得出．由得出，从而，根据等角对等边得出，从而，由菱形的判定可知四边形是菱形； （2）如图2，利用正方形的性质可得，求得，再求得，然后利用三角形的外角性质求得，即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴； ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：由（1）知四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由三角形的外角性质得：， ∴度数为的度数2倍的角有：,，，． 【点睛】本题主要考查了全等三角形、菱形的判定，正方形的性质，三角形的外角性质等知识．关键是由得出． 49．如图，在中，O是上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于的直线l分别与、的外角的平分线交于点E、F． (1)与相等吗？证明你的结论； (2)试确定点O的位置，使四边形是矩形，并加以证明； (3)在（2）的条件下，满足什么条件，四边形是正方形？证明你的结论． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2)当点O是的中点时，四边形是矩形，证明过程见解析 (3)满足时，四边形是正方形，证明过程见解析 【分析】（1）根据平行线性质和角平分线定义推出，根据等腰三角形的判定推出，然后运用等量代换即可解答； （2）根据平行四边形的判定得出平行四边形，根据对角线相等的平行四边形是矩形推出即可解答； （3）令，证明四边形是菱形，再结合四边形是矩形，即可证明． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵直线， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴． （2）解：当O在的中点上时，四边形是矩形，证明如下： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． （3）满足时，四边形是正方形， 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴平行四边形是菱形． ∵平行四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质，正方形的判定等知识点，灵活应用相关性质、判定定理是解答本题的关键． 50．【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点， 交于点E， 交于点F，则与的数量关系为______； 【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图②：直线m、n经过正方形的对称中心O，直线m分别与交于点E、F，直线n分别与交于点G、H，且 ，若正方形边长为8，求四边形的面积； 【问题三】在图②中，连接E、G、F、H四点，请证明四边形是正方形． 【答案】【问题一】；【问题二】；【问题三】证明见解析 【分析】本题考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等． 问题一：证明，即可得到结论； 问题二：连接，由正方形的性质可得，，由（1）中结论可得，等量代换即可得到； 问题三：先证明四边形是菱形，再证明，即可得证． 【详解】问题一： ， 证明如下：在 和 中， 因为 ， 且 ， 所以 ，又因为 ， ， 所以 ，所以 ； 问题二： 如图，连接， 因为点O是正方形的中心，所以， 又由问题一可知，，所以， 所以； 问题三：四边形是正方形， 证明如下：由问题一知，，所以， 所以由勾股定理知，所以四边形是菱形， 又因为在和中，对应边均相等，所以两个三角形全等，所以， 所以，所以，所以四边形是正方形． 51．下面图片是八年级教科书中的一道题． 如图，四边形是正方形，点是边边上一点，，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：在上取点，使，连接．） (1)请你思考题中“提示”，并进行证明； (2)如图1，连接交于，判断与的数量关系，并证明你的结论； (3)若正方形的边长为4，交于，直接写出的最小值： ． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)，证明过程见详解 (3) 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，中位线知识，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． （1）根据题中条件证明，从而证明； （2）作辅助线，连接，证明，从而判断与的数量关系； （3）作的外接圆，圆心为O，作交于R，作交于H，先根据圆周角定理得到，设圆O半径为r，得到，再根据正方形的性质求出，列出不等式，求出，最后根据作答即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 为正方形外角角平分线， ， ， ， ， 在和中， ，，， ， （2）连接，如图所示： 由（1）得， 为等腰直角三角形， ，， ， （3）如图，作的外接圆，圆心为O，作交于R，作交于H， ∵，， ∴， ∴， 设圆O半径为r，则，， 由图可知，， ∵正方形的边长为4， ∴， ∴， 解得：， ∴的最小值． 故答案为： 52．如图1，点E为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点A逆时针方向旋转度（）点B、E的对应点分别为点、． 【感知】如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； 【探究】若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F，试判断四边形的形状，并说明理由； 【应用】在直角三角形绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 【答案】【感知】；【探究】四边形是正方形，理由见解析；【应用】 【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键.【感知】根据求出，进而求出，结合即可求解；【探究】由旋转的性质得，，，即可求解；【应用】当时，与E重合，最短； 当落在的延长线上时，最长．据此即可求解； 【详解】解：【感知】∵，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴； 【探究】四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质得：，，， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； 图3 【应用】∵直角三角形绕点A逆时针方向旋转度（）， 点B、E的对应点分别为点、， ∴当时，与E重合，最短； 当落在的延长线上时，，最长， ∴线段长度的取值范围是． 试卷第2页，共53页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！55 学科网（北京）股份有限公司 $$