专题10 解三角形【好题汇编】-五年（2020-2024）高考数学真题分类汇编（全国通用）

专题10 解三角形 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点01 正弦余弦定理应用 2024 甲卷 2023 北京 天津 甲 ⅠⅡ卷 2022 Ⅰ卷 2021甲卷 乙卷 浙江 Ⅰ卷 2020 Ⅰ 卷 三角形针线余弦定理求基本量运算是高考必考知识点，边角转化，最值问题与不等式相结合等都是高考高频考点。 考点02三角形中面积周长应用 2024 Ⅰ Ⅱ 北京卷 2023 乙卷 2022 Ⅱ 卷 北京 浙江 乙卷 2021 Ⅱ 北京卷 2020Ⅱ卷 解三角形在高考解答题中，周长面积问题是高考中常考题型，难度一般，容易出现结构不良试题以及与三线相结合，注重常规方法以及常规技巧 考点01 正弦余弦定理应用 1．（2024·全国·高考甲卷）在中,内角所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则.故选：C. 2．(2023年北京卷·)在中，，则 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以由正弦定理得，即， 则，故，又，所以．故选：B． 2．(2020年高考课标Ⅲ卷)在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB= (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，，， 根据余弦定理： 可得 ，即 由故．故选：A． 3．(2021年高考全国乙卷题)魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高 (　　) (　　) A．表高 B．表高 C．表距 D．表距 【答案】A 【解析】如图所示： 由平面相似可知，，而，所以 ，而， 即＝．故选：A． 4．(2021年高考全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A．B．C三点，且A．B．C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A．C两点到水平面的高度差约为() (　　) A．346 B．373 C．446 D．473 【答案】B 【解析】 过作，过作， 故， 由题，易知为等腰直角三角形，所以． 所以． 因为，所以 在中，由正弦定理得： ， 而， 所以， 所以．故选：B． 二 填空题 5．(2021年高考全国乙卷理科)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________． 【答案】 【解析】由题意，， 所以， 所以，解得(负值舍去)．故答案为：． 6．(2021年高考浙江卷）在中，，M是中点，，则___________，___________． 【答案】(1)． (2)． 解析:由题意作出图形，如图， 在中，由余弦定理得， 即，解得(负值舍去)，所以， 在中，由余弦定理得， 所以；在中，由余弦定理得． 故答案为；． 7．(2020年高考课标Ⅰ卷)如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________． 【答案】 【解析】，，， 由勾股定理得， 同理得，， 在中，，，， 由余弦定理得， ， 在中，，，， 由余弦定理得．故答案为：． 8．(2023年全国甲卷)在中，，的角平分线交BC于D，则_________． 【答案】 【解析】 如图所示：记， 方法一：由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得：．故答案为：． 方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由正弦定理可得，，解得：，， 因为，所以，， 又，所以，即．故答案为：． 三 解答题 9．(2023年天津卷·第16题)在中，角所对边分別是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】(1)由正弦定理可得，，即，解得：； (2)由余弦定理可得，，即， 解得：或(舍去)． (3)由正弦定理可得，，即，解得：，而， 所以都为锐角，因此，， 故． 10．(2023年新课标全国Ⅰ卷)已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 【答案】(1) (2)6 【解析】(1)， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， ． (2)由(1)知，， 由， 由正弦定理，，可得，， ． 11．(2023年新课标全国Ⅱ卷)记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1)； (2)． 【解析】(1)方法1：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以． 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以． (2)方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以． 12．(2021年新高考Ⅰ卷)记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，． (1)证明：； (2)若，求． 【答案】【解析】 (1)由题设，，由正弦定理知：，即， ∴，又，∴，得证． (2)由题意知：， ∴，同理， ∵， ∴，整理得，又， ∴，整理得，解得或， 由余弦定理知：， 当时，不合题意；当时，； 综上，． 13．(2022新高考全国I卷)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【解析】(1)因为，即， 而，所以； (2)由(1)知，，所以， 而， 所以，即有． 所以 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 15．(2020天津高考)在中，角所对的边分别为．已知． (Ⅰ)求角的大小； (Ⅱ)求的值； (Ⅲ)求的值． 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)． 【解析】(Ⅰ)在中，由及余弦定理得 ，又因为，所以； (Ⅱ)在中，由，及正弦定理，可得； (Ⅲ)由知角为锐角，由，可得， 进而， 所以． 16(2020年新高考全国Ⅰ卷)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】解法一： 由可得：， 不妨设， 则：，即． 选择条件①的【解析】 据此可得：，，此时． 选择条件②的【解析】 据此可得：， 则：，此时：，则：． 选择条件③的【解析】 可得，， 与条件矛盾，则问题中的三角形不存在． 解法二：∵, ∴, ， ∴,∴,∴,∴, 若选①，,∵,∴,∴c=1; 若选②，,则,;若选③,与条件矛盾． 17．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】【解析】解法一： 由可得：，不妨设， 则：，即． 选择条件①的【解析】 据此可得：，，此时． 选择条件②的【解析】 据此可得：， 则：，此时：，则：． 选择条件③的【解析】 可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在． 解法二：∵, ∴, ， ∴,∴,∴,∴, 若选①，,∵,∴,∴c=1; 若选②，,则,; 若选③,与条件矛盾． 考点02 三角形中面积周长应用 1（2024·全国·高考Ⅰ卷）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即，注意到，所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得，所以. 2．（2024·全国·高考Ⅱ卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得，又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即，又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式，， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，，又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得，故的周长为 3．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)；(2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为. 【详解】（1）由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. （2）选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 4．(2023年全国乙卷)在中，已知，，． (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积． 【答案】(1)； (2)．【解析】(1)由余弦定理可得： ， 则，， ． (2)由三角形面积公式可得， 则． 5．(2021年新高考全国Ⅱ卷)在中，角、、所对的边长分别为、、，，．． (1)若，求的面积； (2)是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】解析:(1)因为，则，则，故，， ，所以，锐角，则， 因此，； (2)显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则， 由三角形三边关系可得，可得，，故． 6．(2020年高考课标Ⅱ卷)中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． (1)求A； (2)若BC=3，求周长的最大值． 【答案】(1)；(2)． 【解析】(1)由正弦定理可得：， ， ， (2)由余弦定理得：， 即． (当且仅当时取等号)， ， 解得：(当且仅当时取等号)， 周长，周长的最大值为． 7．(2022高考北京卷)在中，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】解析:因为，则，由已知可得， 可得，因此，． 解：由三角形的面积公式可得，解得． 由余弦定理可得，， 所以，的周长为． 8．(2022年浙江省高考数学试题·)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【答案】解析:(1)由于， ，则．因为， 由正弦定理知，则． (2)因为，由余弦定理，得， 即，解得，而，， 所以的面积． 9．(2022新高考全国II卷)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求面积；(2)若，求b． 【答案】(1) (2) 【解析】由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则； (2)由正弦定理得：，则，则，． 10．(2022年高考全国乙卷数学)记的内角的对边分别为，已． (1)证明：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【解析】【小问1详解】 证明：因为， 所以， 所以， 即，所以； 【小问2详解】 解：因为， 由(1)得由余弦定理可得， 则，所以， 故，所以，所以的周长为． 11．(2021高考北京)在中，，． (1)求角B的大小； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：； 条件②：周长为；条件③：的面积为； 【答案】(1)；(2)答案不唯一，具体见解析． 【解析】(1)，则由正弦定理可得， ，，，，，解得； (2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得， 与矛盾，故这样的不存在； 若选择②：由(1)可得，设的外接圆半径为， 则由正弦定理可得，， 则周长， 解得，则，由余弦定理可得边上的中线的长度为： ；若选择③：由(1)可得，即， 则，解得，则由余弦定理可得边上的中线的长度为： ． 12．(2020北京高考)在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： (Ⅰ)的值： (Ⅱ)和的面积． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择条件①(Ⅰ) (Ⅱ) 由正弦定理得： 选择条件②(Ⅰ) 由正弦定理得： (Ⅱ) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 解三角形 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点01 正弦余弦定理应用 2024 甲卷 2023 北京 天津 甲 ⅠⅡ卷 2022 Ⅰ卷 2021甲卷 乙卷 浙江 Ⅰ卷 2020 Ⅰ 卷 三角形针线余弦定理求基本量运算是高考必考知识点，边角转化，最值问题与不等式相结合等都是高考高频考点。 考点02三角形中面积周长应用 2024 Ⅰ Ⅱ 北京卷 2023 乙卷 2022 Ⅱ 卷 北京 浙江 乙卷 2021 Ⅱ 北京卷 2020Ⅱ卷 解三角形在高考解答题中，周长面积问题是高考中常考题型，难度一般，容易出现结构不良试题以及与三线相结合，注重常规方法以及常规技巧 考点01 正弦余弦定理应用 1．（2024·全国·高考甲卷）在中,内角所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 2．(2023年北京卷·)在中，，则 (　　) A． B． C． D． 2．(2020年高考课标Ⅲ卷)在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB= (　　) A． B． C． D． 3．(2021年高考全国乙卷题)魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高 (　　) (　　) A．表高 B．表高 C．表距 D．表距 4．(2021年高考全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A．B．C三点，且A．B．C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A．C两点到水平面的高度差约为() (　　) A．346 B．373 C．446 D．473 二 填空题 5．(2021年高考全国乙卷理科)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________． 6．(2021年高考浙江卷）在中，，M是中点，，则___________，___________． 7．(2020年高考课标Ⅰ卷)如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________． 8．(2023年全国甲卷)在中，，的角平分线交BC于D，则_________． 三 解答题 9．(2023年天津卷)在中，角所对边分別是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求． 10．(2023年新课标全国Ⅰ卷)已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 11．(2023年新课标全国Ⅱ卷)记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 12．(2021年新高考Ⅰ卷)记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，． (1)证明：； (2)若，求． 13．(2022新高考全国I卷)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 15．(2020天津高考)在中，角所对的边分别为．已知． (Ⅰ)求角的大小； (Ⅱ)求的值； (Ⅲ)求的值． 16(2020年新高考全国Ⅰ卷)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 17．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 考点02 三角形中面积周长应用 1（2024·全国·高考Ⅰ卷）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 2．（2024·全国·高考Ⅱ卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 3．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 4．(2023年全国乙卷)在中，已知，，． (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积． 5．(2021年新高考全国Ⅱ卷)在中，角、、所对的边长分别为、、，，．． (1)若，求的面积； (2)是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 6．(2020年高考课标Ⅱ卷)中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． (1)求A； (2)若BC=3，求周长的最大值． 7．(2022高考北京卷)在中，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 8．(2022年浙江省高考数学试题·)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求的值； (2)若，求的面积． 9．(2022新高考全国II卷)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求面积；(2)若，求b． 10．(2022年高考全国乙卷数学)记的内角的对边分别为，已． (1)证明：； (2)若，求的周长． 11．(2021高考北京)在中，，． (1)求角B的大小； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：； 条件②：周长为；条件③：的面积为； 12．(2020北京高考)在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： (Ⅰ)的值： (Ⅱ)和的面积． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$