3.1 圆的基本概念和性质（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版）

3.1 圆的基本概念和性质 【考点1圆的有关概念】 【考点2 求圆中弦的条数】 【考点3求过圆内一点的最长弦】 【考点4求一点到圆上点距离的最值】 【考点5 求圆弧的度数】 【考点6点与圆的位置关系】 【考点7利用点与圆的位置关系求半径】 知识点1 ：圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个 备注：圆心确定圆的位置，半径长端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 度确定圆的大小。 【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3）半径相等的圆叫做等圆。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2） 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 知识点2 ：圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 【考点1圆的有关概念】 【典例1】如图，是的直径，是的弦，，．在图中作弦，使，并求的度数．    【变式1-1】如图，点，，在上，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，，O是边上一点，以O为圆心，为半径的圆与相交于点D，连接，且．若，则圆O半径的长为 ． 【变式1-3】如图，点A，B，C在上．若，则的度数为 【考点2 求圆中弦的条数】 【典例2】如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【变式2-1】如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （      ）    A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【变式2-2】如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式2-3】如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点3求过圆内一点的最长弦】 【典例3】已知的半径3，则中最长的弦长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3-1】如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．    【变式3-2】已知的半径为，且、是上不同的两点，则弦的范围是 ． 【变式3-3】如图，函数与函数的图象交于A，B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆C上，Q是AP的中点，则OQ长的最大值为（   ） A． B． C． D． 【考点4求一点到圆上点距离的最值】 【典例4】如图，正方形的边长为，点分别在、上，且，与相交于点，连接，则的最小值为 ． 【变式4-1】如图，四边形为矩形，，．点E是线段上一动点，连接，点F为线段上一点，连接，若，则的最小值为 ． 【变式4-2】如图，正方形的边长为8，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是 ． 【变式4-3】如图，在正方形中，，M，N分别为边 ， 的中点，E为边上一动点，以点 E为圆心，的长为半径画弧，交 于点F，P为的中点，Q为线段上任意一点，则 长度的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【考点5 求圆弧的度数】 【典例5】如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（    ）    A．30° B．25° C．20° D．10° 【变式5-2】如图，    是的直径，弦，若，则的度数是 ． 【变式5-3】如图，在中，，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，那么的度数是 ． 知识点3 点与圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内； d=r点P在⊙O上； d>r点P在⊙O外。 【考点6点与圆的位置关系】 【典例6】已知的半径是4，点到圆心的距离为方程的一个根，则点在（    ） A．的外部 B．的内部 C．上 D．无法判断 【变式6-1】已知的直径为，点P到圆心O的距离为，则点P和圆的位置关系（ ） A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．无法判断 【变式6-2】如图，长方形中，，，圆半径为1，圆与圆内切，则点、与圆的位置关系是（　　） A．点在圆外，点在圆内 B．点在圆外，点在圆外 C．点在圆上，点在圆内 D．点在圆内，点在圆外 【变式6-3】已知圆的面积为，设点到圆心的距离为，若点在圆外，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【考点7利用点与圆的位置关系求半径】 【典例7】圆外一点到圆上各点的最短距离为3，最长距离为9，那么这个圆的半径为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式7-1】若所在平面内有一点，点到上点的最大距离为，最小距离为，则的半径为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【变式7-2】若点P到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为 ． 【变式7-3】在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，则的半径是 ． 一、单选题 1．如图，直线，垂足为，线段，，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点．则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．如图，在中，点在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 3．如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知的半径是5，，则点P与的位置关系是（  ） A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．不能确定 5．一个点到圆的最小距离为4，最大距离为8，则该圆的半径是（    ） A．4或12 B．2 C．6 D．2或6 6．下列命题正确的是（   ） A．同位角相等 B．平方根等于它本身的数是0 C．对角线相等的四边形是矩形 D．三角形的外心在三角形内部 7．已知的半径为2，若为外一点，则的长可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．直径为的圆中有一条长为的弦，则圆心到这条弦的距离为（    ）． A． B． C． D． 9．如图，，，两两相外切，的半径，的半径，的半径，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 二、填空题 10．如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的一动点，过作，、都在轴上，且关于原点对称，则的最小值为 ．    11．如图，点，，，都在上，，，，则 度． 12．如图，为的直径，C是延长线上一点，且，的延长线交于点E，，则的度数为 ． 13．已知点A，B之间的距离为，现在画一个半径为、且经过点A，B的圆，则这样的圆能画出 个． 三、解答题 14．如图，是的直径，是圆心，是圆上一点，且，是延长线上一点，与圆交于另一点，且，求的度数． 15．如图，在中，是直径，是弦，延长相交于点P，且，，连接，求的度数．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1 圆的基本概念和性质 【考点1圆的有关概念】 【考点2 求圆中弦的条数】 【考点3求过圆内一点的最长弦】 【考点4求一点到圆上点距离的最值】 【考点5 求圆弧的度数】 【考点6点与圆的位置关系】 【考点7利用点与圆的位置关系求半径】 知识点1 ：圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个 备注：圆心确定圆的位置，半径长端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 度确定圆的大小。 【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3）半径相等的圆叫做等圆。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2） 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 知识点2 ：圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 【考点1圆的有关概念】 【典例1】如图，是的直径，是的弦，，．在图中作弦，使，并求的度数．    【答案】图见解析，的度数为或 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定与性质，以及圆有关的概念，注意有两种情况，不要漏解 以点A为圆心，以长为半径画圆交于点、，连接，，则或即为所求作的弦．由作图与圆的的有关概念得出，从而得是等边三角形，进而得出，，进而得出答案． 【详解】解：如图，以点A为圆心，以长为半径画圆交于点、，连接，，则或即为所求作的弦．    连接，． ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴． 同理：． 综上所述，的度数为或． 【变式1-1】如图，点，，在上，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的半径相等，等边对等角，平行线的性质与判定；根据半径相等可得，根据角平分线的定义可得得出，即可判断，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1-2】如图，在中，，O是边上一点，以O为圆心，为半径的圆与相交于点D，连接，且．若，则圆O半径的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，等边对等角，连接，由等腰三角形的性质得，，由可证 ，则，设半径为x，则，在直角三角形中，，利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴， 设半径为x，则， 在直角三角形中，由勾股定理得，即， ∴． ∴半径的长为3， 故答案为：3． 【变式1-3】如图，点A，B，C在上．若，则的度数为 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 利用等腰直角三角形的性质可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质，即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【考点2 求圆中弦的条数】 【典例2】如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 【变式2-1】如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （      ）    A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【答案】A 【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有，共2条． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了弦的定义，理解弦的定义是解决本题的关键． 【变式2-2】如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据弦的定义即可求解． 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里最长的弦． 【详解】解：图中有弦共3条， 故选C． 【点睛】本题考查了弦的定义，理解弦的定义是解题的关键． 【变式2-3】如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据弦的定义求解即可． 【详解】解：根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数为3， 故选：B． 【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫圆的弦． 【考点3求过圆内一点的最长弦】 【典例3】已知的半径3，则中最长的弦长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】此题考查了圆的性质，根据直径是圆中最长的弦解答即可． 【详解】解：∵直径是圆中最长的弦，的半径为3， ∴最长的弦为6， 故选：B． 【变式3-1】如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．    【答案】2 【分析】如图，连接并延长，交圆于点D，连接，由中位线定理，得，点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长．于是的最大值为． 【详解】解：如图，连接并延长，交圆于点D，连接， ∵点M，N分别是AB，BC中点， ∴． 点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长． ∵是直径， ∴． ∴的最大值为． 故答案为：2    【点睛】本题考查中位线定理，圆的基本概念弦与直径；掌握中位线定理是解题的关键． 【变式3-2】已知的半径为，且、是上不同的两点，则弦的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的认识，掌握弦、直径的概念是解题的关键．根据“连接圆上任意两点之间的线段就是圆的弦，直径是圆中最长的弦”，可以求出弦的范围． 【详解】解：、是上不同的两点，， ， 的半径为，， 的直径为，直径是圆中最长的弦， ， 故答案为：． 【变式3-3】如图，函数与函数的图象交于A，B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆C上，Q是AP的中点，则OQ长的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立正比例函数y=2x与反比例函数，求出点A，B的坐标，连接BP，连接BC并延长，交圆C于点D．根据已知条件可得，所求OQ长的最大值，即求PB长的最大值，即当点P运动到点D时，BP取得最大值，为BD的长．过点B作BE⊥x轴于点E，由勾股定理可得BC=的长，进而可得BD=BC+CD的长，即可得出答案． 【详解】解：联立正比例函数y=2x与反比例函数， 得，解得，， ∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（-1，−2）， 连接BP，连接BC并延长，交⊙C于点D． 由反比例函数图象的对称性可知，点O为AB的中点， ∵点Q为AP的中点， ∴OQ=PB， ∴所求OQ长的最大值，即求PB长的最大值， 则当点P运动到点D时，BP取得最大值，即为BD的长． 过点B作BE⊥x轴于点E， 则OE=1，BE=2， ∵C点坐标为（-2，0）， ∴OC=2，CE=CO-OE=1， 由勾股定理得BC=， ∴BD=BC+CD=， ∴OQ=． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、中位线的性质、圆的性质、勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 【考点4求一点到圆上点距离的最值】 【典例4】如图，正方形的边长为，点分别在、上，且，与相交于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握的圆周角所对的弦是直径是解答本题的关键．通过证明，可证，则点在以为直径的一段弧上运动，当点在与弧的交点处时，最短，然后根据勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解∶四边形是正方形， ， 在和中 ， ， ， ， ∴， 点在以为直径的一段弧上运动， 设的中点为，则当点在与弧的交点处时，最短， ， ， ∴， ， 故答案为：． 【变式4-1】如图，四边形为矩形，，．点E是线段上一动点，连接，点F为线段上一点，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了圆外一点到圆上各点的最小距离，勾股定理，矩形的性质，关键是构造圆．由可得，，点在以为直径的圆弧上，点在圆外，可求的最小值． 【详解】解：作的中点，连接． 矩形中，， ， ， ， ， 当点移动时，点在以为直径的圆弧上移动，当点在上时，有最小值． ，，， ， ， 有最小值为4． 故答案为：4． 【变式4-2】如图，正方形的边长为8，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了圆的性质，正方形和折叠的性质，勾股定理，确定当点G、F、A三点共线时，最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度． 由翻折知，得点F在以B为圆心，8为半径的圆上运动，可知当点G、F、A三点共线时，最小，连接，再勾股定理求出的长，然后利用等面积法即可求出． 【详解】解：∵正方形的边长为8， ∴，， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴点F在以B为圆心，8为半径的圆上运动， ∴当点G、F、A三点共线时，最小，如图，连接     ∵点G是边的中点， ∴， 由勾股定理得， ， ∵ ∴ ∴ 解得． 故答案为：． 【变式4-3】如图，在正方形中，，M，N分别为边 ， 的中点，E为边上一动点，以点 E为圆心，的长为半径画弧，交 于点F，P为的中点，Q为线段上任意一点，则 长度的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，为的中点，可得，则在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当四点共线时，最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵正方形，， ∴，， ∵分别，的中点， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴在以为圆心，为半径的圆弧上运动， 当四点共线时，最小， 此时，， ∴， ∴， 即的最小值为：， 故选B 【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，正方形的性质，圆的确定，熟练的确定P的运动轨迹是解本题的关键． 【考点5 求圆弧的度数】 【典例5】如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，圆心角等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 如图，连接，由三角形内角和求，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为， 故选：C． 【变式5-1】如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（    ）    A．30° B．25° C．20° D．10° 【答案】C 【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴的度数20°． 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键． 【变式5-2】如图，    是的直径，弦，若，则的度数是 ． 【答案】/30度 【分析】连接，根据平行线的性质可得，由可得，再根据三角形内角和定理可求得的度数，即的度数． 【详解】 连接， ， ． ， ， ， ∴的度数是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了弧的度数：圆中，弧的度数即弧所对的圆心角的度数，掌握这一点知识是解题的关键． 【变式5-3】如图，在中，，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，那么的度数是 ． 【答案】/度 【分析】连接，根据三角形内角和定理求出的度数，根据等边对等角得出的度数，然后根据三角形外角的性质得出的度数，则结果可得． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，弧的度数，熟练掌握相关知识点是解本题的关键． 知识点3 点与圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内； d=r点P在⊙O上； d>r点P在⊙O外。 【考点6点与圆的位置关系】 【典例6】已知的半径是4，点到圆心的距离为方程的一个根，则点在（    ） A．的外部 B．的内部 C．上 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解一元二次方程，若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此解方程求出即可得到答案． 【详解】解：解方程得， ∴， ∴点在的内部， 故选：B． 【变式6-1】已知的直径为，点P到圆心O的距离为，则点P和圆的位置关系（ ） A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆位置关系的判断方法． 根据点P到圆心的距离和半径的关系得出点P与圆的位置关系． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为， ∵点P到圆心O的距离为大于半径， ∴点P在圆外， 故选：B． 【变式6-2】如图，长方形中，，，圆半径为1，圆与圆内切，则点、与圆的位置关系是（　　） A．点在圆外，点在圆内 B．点在圆外，点在圆外 C．点在圆上，点在圆内 D．点在圆内，点在圆外 【答案】C 【分析】两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，得圆的半径等于5，由勾股定理得，由点与圆的位置关系，可得结论．本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置． 【详解】解：两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值， 设圆的半径为， 则：， ，圆半径为1， ，即圆的半径等于5， ，， 由勾股定理可知， ，， 点在圆上，点在圆内， 故选：C． 【变式6-3】已知圆的面积为，设点到圆心的距离为，若点在圆外，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，圆的面积，理解点与圆的位置关系定理，熟练掌握圆的面积公式是解决问题的关键．设圆的半径为，根据圆的面积可求出，再根据点与圆的位置关系可得出的取值范围． 【详解】解：设圆的半径为， 圆的面积为， ， ， 点到圆心的距离为，且点在圆外， ． 故选：C． 【考点7利用点与圆的位置关系求半径】 【典例7】圆外一点到圆上各点的最短距离为3，最长距离为9，那么这个圆的半径为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，过这个点和圆心的直线与圆的两个交点得到这个点到圆周上一点的最长距离和最短距离，则它们的差为圆的直径，由此计算出直径，即可得出答案． 【详解】解：∵圆外一点到圆上各点的最短距离为3，最长距离为9， ∴的直径， ∴半径为3； 故选：B． 【变式7-1】若所在平面内有一点，点到上点的最大距离为，最小距离为，则的半径为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，分点在圆外和圆内两种情况解答即可求解，运用分类讨论解答是解题的关键． 【详解】解：设的半径为， 当点在圆外时，； 当点在圆内时，； ∴的半径为或， 故选：． 【变式7-2】若点P到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为 ． 【答案】或者 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点P在外和内两种情况讨论，当点P在外时，最大距离与最小距离之差等于直径；当点P在内时，最大距离与最小距离之和等于直径，即可得． 【详解】解：点P在外时， 外一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是， 的半径长等于； 点P在内时， 内一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是， 的半径长等于， 故答案为：或者． 【变式7-3】在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，则的半径是 ． 【答案】3或8 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 由题意知，分点在内，点在外两种情况求解即可． 【详解】解：由题意知，分点在内，点在外两种情况求解； 当点在内，如图1， ∴， ∴， ∴半径为8； 当点在外，如图2， ∴， ∴， ∴半径为3； 综上所述，的半径是3或8； 故答案为：3或8． 一、单选题 1．如图，直线，垂足为，线段，，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点．则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理以及圆的性质，根据勾股定理求出，再根据半径相等可得出，最后利用线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点． ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，在中，点在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，圆可以看作是所有到定点的距离等于定长的点的集合，根据弦的定义进行判断即可，掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）是解题关键 【详解】 解：弦为，共有3条， 故选：B． 3．如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由是直径得是中最长的弦，且，故有，所以可得结论． 【详解】解：是直径， ∴是中最长的弦， ∴， ∵ ∴ ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 4．已知的半径是5，，则点P与的位置关系是（  ） A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．直接根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：的半径是5，的长为4，， 点在圆内． 故选：B 5．一个点到圆的最小距离为4，最大距离为8，则该圆的半径是（    ） A．4或12 B．2 C．6 D．2或6 【答案】D 【分析】设此点为点，圆为，最大距离为，最小距离为，有两种情况：①当此点在圆内；②当此点在圆外；分别求出半径值即可． 【详解】解：设此点为点，圆为，最大距离为，最小距离为， 此点与圆心的连线所在的直线与圆的交点即为此点到圆心的最大、最小距离， 有两种情况： 当此点在圆内时，如图所示，    半径； 当此点在圆外时，如图所示，    半径． 故圆的半径为或． 故选：D． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键． 6．下列命题正确的是（   ） A．同位角相等 B．平方根等于它本身的数是0 C．对角线相等的四边形是矩形 D．三角形的外心在三角形内部 【答案】B 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角；矩形的判定；命题与定理；三角形的外接圆与外心；平方根，根据平行线的性质、平方根的定义、矩形的判定和三角形的外心性质等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题； B、平方根等于它本身的数是0，是真命题； C、对角线平分且相等的四边形不一定是矩形，原命题是假命题； D、三角形的外心可能在三角形内部，也可能在三角形的外部，原命题是假命题； 故选：B． 7．已知的半径为2，若为外一点，则的长可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】 本题考查了点和圆的位置关系； 根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径可得答案． 【详解】解：∵的半径为2，点P在外， ∴， ∴的长可能是3， 故选：D． 8．直径为的圆中有一条长为的弦，则圆心到这条弦的距离为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆，等边三角形，含的直角三角形，熟练掌握圆直径与半径的关系，等边三角形判定和性质，含的直角三角形性质，是解决问题的关键 画图，根据半径等于直径的一半求出、的值，结合的值推出是等边三角形， 推出， ，根据含的直角三角形性质即得 【详解】如图，设的直径为，弦为，于点C，连接， 则， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 9．如图，，，两两相外切，的半径，的半径，的半径，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，圆与圆的位置关系，利用两圆外切圆心距等于两半径之和和勾股定理的逆定理来判定即可． 【详解】解：由题意得，，，， 即， 是直角三角形， 故选：B． 二、填空题 10．如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的一动点，过作，、都在轴上，且关于原点对称，则的最小值为 ．    【答案】6 【分析】由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，据此求解可得． 【详解】解：连接， ， ， ， ， 若要使取得最小值，则需取得最小值， 连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值， 过点作轴于点，    则、， ， 又， ， ， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置． 11．如图，点，，，都在上，，，，则 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边对等角，三角形内角和定理，连接，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，，进而根据周角的定义求出，则由等边对等角可得． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．如图，为的直径，C是延长线上一点，且，的延长线交于点E，，则的度数为 ． 【答案】/57度 【分析】 先利用等边对等角的性质得出，再利用三角形外角的定义得出，同理，再利用三角形内角和定理得出，最后根据角的和差关系即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了圆的性质、三角形外角的定义，等边对等角的性质，以及三角形内角和定理，掌握圆的性质和三角形外角的定义是解题的关键． 13．已知点A，B之间的距离为，现在画一个半径为、且经过点A，B的圆，则这样的圆能画出 个． 【答案】2 【分析】本题考查确定圆．作线段的垂直平分线l，则所求圆心在直线l上，直线l上到点A的距离为的点即为所求圆心，据此即可解答． 【详解】 如图，作线段的垂直平分线l，再以点A为圆心，为半径长作圆，交l于点和点，然后分别以点和点为圆心，以为半径长作圆，则和为所求， ∴这样的圆能画出2个． 故答案为：2． 三、解答题 14．如图，是的直径，是圆心，是圆上一点，且，是延长线上一点，与圆交于另一点，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解答本题的关键． 连接，利用等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及等量代换得到，由三角形外角性质可得，进而求解即可． 【详解】如图，连接 ． ∵，， ∴， ∴， ∴． 又∵ ， ∴， ∴ ∴， ∴． 15．如图，在中，是直径，是弦，延长相交于点P，且，，连接，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查的是圆的认识，根据半径出等腰，得到等腰三角形，利用等腰三角形及三角形外角的性质求解是解答此题的关键．由可得出故可得出的度数，根据三角形外角的性质求出的度数，由等边对等角求出的度数，即可得出结论． 【详解】解：    ∵， ∴ ∴． ∵是的外角， ∴． ∵， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$