专题1-1 倍长法构造三角形全等（基础、培优、拔尖）-2024-2025学年八年级数学重难点专项训练（苏科版）

专题1-1 倍长法构造三角形全等——基础篇 一般的，延长以图形中某条线段的中点为端点的线段，使得延长的线段与原来被延长的线段相等，连 接相应线段的端点，构造“8字形”全等。 1．（2024春•武昌区校级期中）如图，AD是△ABC的中线，AB＝15，AD＝7，AC＝13，则CD的长度为 　 　． 2．（2024•商南县三模）如图，在△ABC中，D为边BC的中点，AB＝1，AD＝2，延长AD至点E，使得DE＝AD，则AC长度的可以是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（2024春•新罗区校级月考）如图，在△ABC中，BC＝6，AB＝8，AC边上的中线BD＝5，则△BCD的面积为 　 　． 4．（2024春•凉州区月考）[模型观念]如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠BAD＝90°，，，则BC的长为 　 　． 5．（2020秋•建华区期末）阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠C．求证：AB+BD＝AC．” 李老师给出了如下简要分析：要证AB+BD＝AC，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法： 方法一：“截长法”．如图2，在AC上截取AE＝AB，连接DE，只要证BD＝　 　即可，这就将证明线段和差问题　 　为证明线段相等问题，只要证出△　 　≌△　 　，得出∠B＝∠AED及BD＝　 　，再证出∠　 　＝　 　，进而得出ED＝EC，则结论成立．此种证法的基础是“已知AD平分∠BAC，将△ABD沿直线AD对折，使点B落在AC边上的点E处”成为可能． 方法二：“补短法”．如图3，延长AB至点F，使BF＝BD．只要证AF＝AC即可，此时先证∠　 　＝∠C，再证出△　 　≌△　 　，则结论成立． “截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法． 专题1-1 倍长法构造三角形全等——培优篇 6．（2024•福田区校级三模）如图，点M是线段AB的中点，AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，连接DM．若AC＝2，BD＝5，CD＝6，则DM的长为（　　） A． B． C．3 D． 7．（2024春•南昌期末）【课本再现】 探究观察图1，你能发现△ABC的中位线DE与边BC位置关系吗？度量一下，DE与BC之间有什么数量关系？ 我们猜想，DE∥BC且，下面我们对它进行证明．如图1，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点．求证：DE∥BC且． 分析：问题中既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半，我们可以用“倍长法”将DE延长一倍：即延长DE到F．使得EF＝DE，连接FC，DC，AF，通过证明四边形ADCF与四边形DBCE是平行四边形从而得出最后结论． 【定理证明】（1）请根据以上思路分析，完成“三角形中位线定理”的证明过程． 【定理应用】（2）如图2，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点，AB＝9，AC＝5，求线段EF的长． 【方法迁移】（3）在定理探究中采用“倍长法”，它体现了转化的数学思想，请运用上述方法，解决下面问题． 如图3，四边形ABCD和DEFG都是正方形，N是AG的中点，求证：． 8．（2022春•焦作期末）阅读下列材料，完成相应任务． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图1，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的中线．求证：BD＝AC． 分析：要证明BD等于AC的一半．可以用“倍长法”将BD延长一倍，如图2，延长BD到E，使得DE＝BD．连接AE，CE．可证四边形ABCE是矩形，由矩形的对角线相等得BE＝AC，这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到BD＝AC． （1）请你按材料中的分析写出证明过程； （2）上述证明方法中主要体现的数学思想是 　 　； A．转化思想 B．类比思想 C．数形结合思想 D．从一般到特殊思想 （3）如图3，点C是线段AB上一点，CD⊥AB，点E是线段CD上一点，分别连接AD，BE，点F，G分别是AD和BE的中点，连接FG．若AB＝12，CD＝8，CE＝3，则FG＝　 　． 9．（2023春•昌平区期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 三角形中位线定理的证明 如图1，△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，像DE这样，连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线．求证：DE∥BC，且DE＝BC． 证明：如图2，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF． ∵AE＝EC，DE＝EF， ∴四边形ADCF是平行四边形（依据1）． ∴CFDA． ∵DA＝BD， ∴CFBD． ∴四边形DBCF是平行四边形（依据2）． ∴DFBC． ∵DE＝DF， ∴DE∥BC，且DE＝BC． 归纳总结： 上述证明过程中运用了“倍长线段法”，也有人称材料中的方法为“倍长法”（延长了三角形中位线的一倍），该方法是解决初中数学几何题的一种常用方法． 任务（1） 上述材料证明过程中的“依据1”是指：　 　； “依据2”是指：　 　； 类比探究 数学学习小组发现还可以用“倍长线段法”证明定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图3，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，E为AB边的中点，求证：CE＝AB． 证明：延长CE到点F，使EF＝CE，连接BF，AF，如图4． 任务（2）请将证明过程补充完整． 10．（2023春•龙泉驿区期末）《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的中线．求证：． 分析：如图2，要证明BD等于AC的一半，可以用“中线倍长法”延长BD到E，使得DE＝BD，连接AE，可证△ADE≌△CDB，再证明△ABE≌△BAC，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，延长BC到E，使得，D是AB边的中点，连接ED，求证：∠B＝2∠E； 【模型构造】如图4，在△ABC中，∠B＝30°，延长BC到D，使得CD＝BC，连接AD，求∠D的度数． 专题1-1 倍长法构造三角形全等——拔尖篇 11．[问题背景] ①如图1，CD为△ABC的中线，则有S△ACD＝S△BCD； ②如图2，将①中的∠ACB特殊化，使∠ACB＝90°，则可借助“面积法”或“中线倍长法”证明AB＝2CD； [问题应用] 如图3，若点G为△ABC的重心（△ABC的三条中线的交点），CG⊥BG，若AG×BC＝16，则△BGC面积的最大值是（　　） A．2 B．8 C．4 D．6 12．综合与实践 问题背景： 我们知道，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，如何证明三角形中位线定理呢？ 已知：如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点． 求证：DE∥BC，DE＝BC 分析：问题中既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另条线段长的一半，所以可以用“倍长法”将DE延长一倍：延长DE到F，使得EF＝DE，连接FC、DC、AF，这样只需证明DF∥BC，且DF＝BC．由于E是AC的中点，容易证明四边形ADCF、四边形DBCF是平行四边形… 证明： 问题解决： （1）上述材料中“倍长法”体现的数学思想主要是　 　．（填入选项前的字母代号即可） A．数形结合思想 B．转化思想 C．分类讨论思想 D．方程思想 （2）证明四边形DBCF是平行四边形的依据是　 　． 反思交流： “智慧小组”在证明中位线定理时，在图1的基础上追加了如上辅助线作法：如图3，分别过点A、B、C作DE的垂线，垂足分别为F、H、G… （3）请你根据“智慧小组”添加的辅助线，证明三角形的中位线定理． 方法迁移： （4）如图4，四边形ABCD和DEFG都是正方形，N是AG的中点，求证：DN＝CE 13．（2023秋•泉山区校级期中）阅读下列材料，然后解决问题：截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． （1）如图，AD平分∠BAC，∠B＝2∠C，探究AB、BD与AC之间的关系．解决此问题可以用如下方法：在AC上截AM＝AB，易证△ABD≌△AMD，则BD＝DM，∠B＝∠AMD＝2∠C，利用三角形的外角定理及等腰三角形的判定，可以得到AB、BD及AC的数量关系是 　 　；（此方法为截长法，当然我们也可以考虑延长AB） （2）问题解决：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC，边CD上的两点，且∠EAF＝∠BAD，求证：BE+DF＝EF； （3）问题拓展：如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2AC，AD平分△ABC的外角∠BAE，DE⊥AC交CA延长线于点E，F是AC上一点，且DF＝DB．求证：AC﹣AE＝AF． 14．[阅读理解]截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是AD的中点，BE平分∠ABC，试判断BC，AB，CD之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长BE交CD的延长线于点F，构造全等三角形即可判断． [问题解决]（1）①参考小颖的方法，判断BC，AB，CD之间的等量关系，并说明理由； ②请用截长法，在BC上截取一点G使BG＝AB，连接EG，DG，判断BC，AB，CD之间的等量关系，并说明理由； [问题拓展]（2）如图③，在△ABC中，D是BC的中点，点E在AC上，连接BE交AD于点F，AE＝EF．试说明：AC＝BF． 15．小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围． 小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决． 请回答：（1）小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：　 　（用字母表示） （2）AD的取值范围是　 　 小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造． 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长． 16．（2024•新荣区二模）小明在学习矩形性质之后，对直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明思路做了深入的思考与总结．阅读小明的笔记，并完成相应任务． 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的中线． 求证：． 分析：要证明BD等于AC的一半，可以用“倍长法”将BD延长一倍，如图2，延长BD到点E，使得DE＝BD，连接CE，只需通过证明三角形全等即可证明AC＝BE． 证明：延长BD到点E，使得DE＝BD，连接CE，如图2所示． … 【问题解决】请根据小明的分析过程，在不添加其他辅助线的情况下，完成该定理的证明； 【问题再探】如图3，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE是边AB的中线，DG垂直平分CE，若∠BAD＝42°，则∠AEC的度数为 　 　； 【拓展提升】如图4，BD，CE是△ABC的两条高，M，N分别是BC，DE的中点，若BC＝6，ED＝2，试求线段MN的长． 17．（2023春•平城区校级期中）阅读与思考：小明同学在学习矩形性质之后，对直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明思路做了及时的梳理与总结．阅读小明同学的笔记，并完成相应任务 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图1，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的中线．求证：． 分析：要证明BD等于AC的一半．可以用“倍长法”将BD延长一倍，如图2，延长BD到E，使得DE＝BD．连接AE，CE．可证四边形ABCE是矩形，由矩形的对角线相等得BE＝AC，这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到． 证明：延长BD到E，使得DE＝BD，连接AE、CE，如图2所示： ∵BD是斜边AC上的中线， ∴AD＝CD， 又∵DE＝BD， ∴四边形ABCE是平行四边形（①依据：　 　） 任务： （1）①依据为：　 　； （2）请补小明的全证明过程； （3）上述证明方法中主要体现的数学思想是 　 　； A．转化思想 B．类比思想 C．数形结合思想 D．从一般到特殊思想 （4）将Rt△ABC和Rt△BDE按图3放置，其中∠ABC＝90°，∠DBE＝90°，点A、B、D在一直线上，分别取AC和DE的中点F和G，连接GF．若AB＝3，BC＝4，BD＝BE＝1，则GF＝　 　． 18．（2023秋•慈溪市期末）[方法储备]如图1，在△ABC中，CM为△ABC的中线，若AC＝2，BC＝4，求CM的取值范围．中线倍长法：如图2，延长CM至点D，使得MD＝CM，连结BD，可证明△ACM≌△BDM，由全等得到BD＝AC＝2，从而在△BCD中，根据三角形三边关系可以确定CD的范围，进一步即可求得CM的范围． 在上述过程中，证明△ACM≌△BDM的依据是 　 　，CM的范围为 　 　； [思考探究]如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，M为AB中点，D、E分别为AC、BC上的点，连结MD、ME、DE，∠DME＝90°，若BE＝1，AD＝2，求DE的长； [拓展延伸]如图4，C为线段AB上一点，AC＞BC，分别以AC、BC为斜边向上作等腰Rt△ACD和等腰Rt△CBE，M为AB中点，连结DM，EM，DE． ①求证：△DME为等腰直角三角形； ②若将图4中的等腰Rt△CBE绕点C转至图5的位置（A，C，B不在同一条直线上），连结AB，M为AB中点，且D，E在AB同侧，连结DM，EM．若AD＝5，EB＝3，求△DAM和△EBM的面积之差． 19．（2018春•孝义市期末）综合与实践 问题背景： 我们知道，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 如何证明三角形中位线定理呢？ 已知：如图1，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，求证：DE∥BC，DE＝BC． 分析：问题中既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半．所以可以用“倍长法”将DE延长一倍：延长DE到F，使得EF＝DE，连接FC，DC，AF这样只需证明DF∥BC，且DF＝BC，由于E是AC的中点，容易证明四边形ADCF、四边形DBCF是平行四边形，…． 证明：… 问题解决： （1）上述材料中“倍长法”体现的数学思想主要是　 　．（填入选项前的字母代号即可） A．数形结合思想 B．转化思想 C．分类讨论思想 （2）证明四边形DBCF是平行四边形的依据是　 　． 反思交流 “智慧小组”在证明中位线定理时，在图1的基础上添加了如下辅助线作法：如图3，分别过点A，B，C作DE的垂线，垂足分别为F，B，C，… （3）请你根据“智慧小组”添加的辅助线，证明三角形的中位线定理． 方法迁移： （4）如图4，四边形ABCD和DEFG都是正方形，N是AG的中点，求证：DN＝CE． 20．（2017秋•澄海区期末）阅读下列材料，然后解决问题： 截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． （1）如图①，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是　 　； （2）问题解决： 如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF； （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1-1 倍长法构造三角形全等——基础篇 一般的，延长以图形中某条线段的中点为端点的线段，使得延长的线段与原来被延长的线段相等，连 接相应线段的端点，构造“8字形”全等。 1．（2024春•武昌区校级期中）如图，AD是△ABC的中线，AB＝15，AD＝7，AC＝13，则CD的长度为 　　． 【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，过点D作CF⊥AE于F，证△CDE和△BDA全等得CE＝AB，设DF＝x，则AF＝AD﹣DF＝7﹣x，EF＝DE+DF＝7+x，在Rt△ACF和Rt△CEF中，由勾股定理得132﹣（7﹣x）2＝152﹣（7+x）2，由此解出x＝2，则DF＝2，CF＝12，然后在Rt△CDF中由勾股定理求出CD即可． 【详解】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，过点D作CF⊥AE于F，如下图所示： ∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝BD， 在△CDE和△BDA中， ， ∴△CDE≌△BDA（SAS）， ∴CE＝AB， 设DF＝x， ∵AB＝15，AD＝7，AC＝13， ∴CE＝AB＝15，AD＝DE＝7， ∴AF＝AD﹣DF＝7﹣x，EF＝DE+DF＝7+x， 在Rt△ACF中，由勾股定理得：CF2＝AC2﹣AF2＝132﹣（7﹣x）2， 在Rt△CEF中，由勾股定理得：CF2＝CE2﹣EF2＝152﹣（7+x）2， ∴132﹣（7﹣x）2＝152﹣（7+x）2， 解得：x＝2， ∴DF＝x＝2，CF＝＝12， 在Rt△CDF中，由勾股定理得：CD＝＝． 故答案为：． 2．（2024•商南县三模）如图，在△ABC中，D为边BC的中点，AB＝1，AD＝2，延长AD至点E，使得DE＝AD，则AC长度的可以是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据SAS证明△ADB与△EDC全等，进而利用全等三角形的性质和三角形三边关系详解即可． 【详解】解：∵D为边BC的中点， ∴BD＝DC， 在△ADB与△EDC中， ， ∴△ADB≌△EDC（SAS）， ∴AB＝CE＝1， 在△ACE中，4﹣1＜AC＜4+1， 即3＜AC＜5， 故选：A． 3．（2024春•新罗区校级月考）如图，在△ABC中，BC＝6，AB＝8，AC边上的中线BD＝5，则△BCD的面积为 　　． 【分析】延长BD到点E，使DE＝BD＝5，连接EC，证明△ABD≌△CDE，得CE＝AB＝8，再根据勾股定理逆定理证明△BCE是直角三角形，得S△ABC＝S△BCE＝24，最后根据中线的意义可得出． 【详解】解：延长BD到点E，使DE＝BD＝5，连接EC，如图， ∵D点为AC的中点， ∴AD＝CD， 又∠ADC＝∠CDE， ∴△ABD≌△CED（SAS）， ∴CE＝AB＝8， 又BE2＝（BD+ED）2＝（5+5）2＝100，BC2＝62＝36，CE2＝82＝64， ∴BC2+CE2＝BE2， ∴△BCE是直角三角形， ∴， ∴S△ABC＝S△BCE＝24， ∴． 故答案为：12． 4．（2024春•凉州区月考）[模型观念]如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠BAD＝90°，，，则BC的长为 　　． 【分析】如图：作CE⊥AD交AD的延长线于点E，∠E＝∠BAD＝90°，再证△ADB≌△EDC可得，AD＝ED，BD＝CD；再运用勾股定理可得，最后根据三角形的中线的定义即可详解． 【详解】解：作CE⊥AD交AD的延长线于点E，∠E＝∠BAD＝90°， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∵∠ADB＝∠EDC， ∴△ADB≌△EDC， ∴，AD＝ED，BD＝CD， ∴， ∴， ∴， ∵BD＝CD ∴． 故答案为：． 5．（2020秋•建华区期末）阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠C．求证：AB+BD＝AC．” 李老师给出了如下简要分析：要证AB+BD＝AC，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法： 方法一：“截长法”．如图2，在AC上截取AE＝AB，连接DE，只要证BD＝　　即可，这就将证明线段和差问题　　为证明线段相等问题，只要证出△　　≌△　　，得出∠B＝∠AED及BD＝　　，再证出∠　　＝　　，进而得出ED＝EC，则结论成立．此种证法的基础是“已知AD平分∠BAC，将△ABD沿直线AD对折，使点B落在AC边上的点E处”成为可能． 方法二：“补短法”．如图3，延长AB至点F，使BF＝BD．只要证AF＝AC即可，此时先证∠　　＝∠C，再证出△　　≌△　　，则结论成立． “截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法． 【分析】方法一、如图2，在AC上截取AE＝AB，由“SAS”可证△ABD≌△AED，可得∠B＝∠AED，BD＝DE，由角的数量关系可求DE＝CE，即可求解； 方法二、如图3，延长AB至点F，使BF＝BD，由“AAS”可证△AFD≌△ACD，可得AC＝AF，可得结论． 【详解】解：方法一、在AC上截取AE＝AB，连接DE，如图2： ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC， 在△ABD和△AED中， ， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴∠B＝∠AED，BD＝DE， 又∵∠B＝2∠C， ∴∠AED＝2∠C， 而∠AED＝∠C+∠EDC＝2∠C， ∴∠C＝∠EDC， ∴DE＝CE， ∴AB+BD＝AE+CE＝AC， 故答案为：EC，转化，ABD，AED，DE，EDC，∠C； 方法二、如图3，延长AB至点F，使BF＝BD， ∴∠F＝∠BDF， ∴∠ABD＝∠F+∠BDF＝2∠F， ∵∠ABD＝2∠C， ∴∠F＝∠C， 在△AFD和△ACD中， ， ∴△AFD≌△ACD（AAS）， ∴AC＝AF， ∴AC＝AB+BF＝AB+BD， 故答案为F，AFD，ACD． 专题1-1 倍长法构造三角形全等——培优篇 6．（2024•福田区校级三模）如图，点M是线段AB的中点，AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，连接DM．若AC＝2，BD＝5，CD＝6，则DM的长为（　　） A． B． C．3 D． 【分析】延长DM，AC交于点E，证明△BDM≌△AEM，得到BD＝AE＝5，DM＝EM，再利用勾股定理求出DE，即可求出DM． 【详解】解：延长DM，AC交于点E， ∵AC⊥l，BD⊥l， ∴BD∥AE， ∴∠B＝∠A， ∵点M是线段AB的中点， ∴BM＝AM， 在△BDM和△AEM中， ， ∴△BDM≌△AEM（ASA）， ∴BD＝AE＝5，DM＝EM， ∵AC＝2， ∴CE＝AE﹣AC＝5﹣2＝3， 在Rt△DCE中， ∵CD＝6，CE＝3， ∴由勾股定理，得DE＝＝＝， ∴DM＝DE＝， 故选：A． 7．（2024春•南昌期末）【课本再现】 探究观察图1，你能发现△ABC的中位线DE与边BC位置关系吗？度量一下，DE与BC之间有什么数量关系？ 我们猜想，DE∥BC且，下面我们对它进行证明．如图1，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点．求证：DE∥BC且． 分析：问题中既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半，我们可以用“倍长法”将DE延长一倍：即延长DE到F．使得EF＝DE，连接FC，DC，AF，通过证明四边形ADCF与四边形DBCE是平行四边形从而得出最后结论． 【定理证明】（1）请根据以上思路分析，完成“三角形中位线定理”的证明过程． 【定理应用】（2）如图2，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点，AB＝9，AC＝5，求线段EF的长． 【方法迁移】（3）在定理探究中采用“倍长法”，它体现了转化的数学思想，请运用上述方法，解决下面问题． 如图3，四边形ABCD和DEFG都是正方形，N是AG的中点，求证：． 【分析】（1）延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，先证明四边形ADCF是平行四边形，四边形DBCF为平行四边形，则DF＝BC，DF∥BC，进而证明即可； （2）解：分别延长BE、AC交于点H，证明△AEB≌△AEH（ASA），BE＝EH，AH＝AB＝9，EF是△BHC的中位线，EF＝CH＝（AH﹣AC），代入计算即可； （3）证明：如图3，延长DN到点M，使得NM＝DN，连接AM、MG，四边形ADGM是平行四边形，AD＝DC，DG＝DE，∠ADG+∠EDC＝180°，进而△MAD≌△EDC （SAS），则DM＝EC，证明即可． 【详解】（1）证明：如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF， ∵AE＝CE，DE＝EF， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∴CF∥AD，CF＝AD， ∴CF∥BD，CF＝BD， ∴四边形DBCF为平行四边形， ∴DF＝BC，DF∥BC， ∵DE＝DF， ∴DE＝BC，DE∥BC； （2）解：分别延长BE、AC交于点H， 在△AEB和△AEH中， ， ∴△AEB≌△AEH（ASA）， ∴BE＝EH，AH＝AB＝9， ∵BE＝EH，BF＝FC ∴EF是△BHC的中位线， ∴EF＝CH＝（AH﹣AC）＝2， ∴线段EF的长为2； （3）证明：如图3，延长DN到点M，使得NM＝DN，连接AM、MG， ∵点N是AG的中点，AN＝NG， ∴四边形ADGM是平行四边形， ∴AM∥DG，AM＝DG， ∴∠MAD+∠ADG＝180°， ∵四边形ABCD和DEFG都是正方形， ∴AD＝DC，DG＝DE，∠ADG+∠EDC＝180°， ∴∠MAD＝∠EDC，AD＝CD，DE＝AM， ∴△MAD≌△EDC （SAS）， ∴DM＝EC， ∴DN＝CE． 8．（2022春•焦作期末）阅读下列材料，完成相应任务． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图1，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的中线．求证：BD＝AC． 分析：要证明BD等于AC的一半．可以用“倍长法”将BD延长一倍，如图2，延长BD到E，使得DE＝BD．连接AE，CE．可证四边形ABCE是矩形，由矩形的对角线相等得BE＝AC，这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到BD＝AC． （1）请你按材料中的分析写出证明过程； （2）上述证明方法中主要体现的数学思想是 　　； A．转化思想 B．类比思想 C．数形结合思想 D．从一般到特殊思想 （3）如图3，点C是线段AB上一点，CD⊥AB，点E是线段CD上一点，分别连接AD，BE，点F，G分别是AD和BE的中点，连接FG．若AB＝12，CD＝8，CE＝3，则FG＝　　． 【分析】（1）延长BD到E，使得DE＝BD，连接AE、CE，证四边形ABCE是平行四边形，再由∠ABC＝90°，得平行四边形ABCE是矩形，则BE＝AC，进而得出结论； （2）由（1）的证明方法即可得出结论； （3）过点A在AB上方作AH⊥AB，过点D作DH⊥AH于H，过点B在AB上方作BR⊥AB，过点E作ER⊥BR于R，连接CH、CR、HR，延长RE交AH于Q，证四边形HQED、四边形QACE均为矩形，得HQ＝DE＝CD﹣CE＝5，QR＝AB＝12，再由勾股定理得HR＝13，然后证FG是△CHR的中位线，即可求解． 【详解】（1）证明：延长BD到E，使得DE＝BD，连接AE、CE，如图2所示： ∵BD是斜边AC上的中线， ∴AD＝CD， 又∵DE＝BD， ∴四边形ABCE是平行四边形， 又∵∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCE是矩形， ∴BE＝AC， ∵DE＝BD＝BE， ∴BD＝AC； （2）解：由上述证明方法中主要体现的数学思想是转化思想， 故答案为：A； （3）解：过点A在AB上方作AH⊥AB，过点D作DH⊥AH于H，过点B在AB上方作BR⊥AB，过点E作ER⊥BR于R，连接CH、CR、HR，延长RE交AH于Q，如图3所示： 则四边形ACDH、四边形CBRE、四边形ABRQ都为矩形， ∴四边形HQED、四边形QACE均为矩形， ∴HQ＝DE＝CD﹣CE＝8﹣3＝5，QR＝AB＝12， 在Rt△HQR中，由勾股定理得：HR＝＝＝13， ∵点F，G分别是AD和BE的中点，四边形ACDH、四边形CBRE都是矩形， ∴点F，G分别是CH和CR的中点， ∴FG是△CHR的中位线， ∴FG＝HR＝， 故答案为：． 9．（2023春•昌平区期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 三角形中位线定理的证明 如图1，△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，像DE这样，连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线．求证：DE∥BC，且DE＝BC． 证明：如图2，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF． ∵AE＝EC，DE＝EF， ∴四边形ADCF是平行四边形（依据1）． ∴CFDA． ∵DA＝BD， ∴CFBD． ∴四边形DBCF是平行四边形（依据2）． ∴DFBC． ∵DE＝DF， ∴DE∥BC，且DE＝BC． 归纳总结： 上述证明过程中运用了“倍长线段法”，也有人称材料中的方法为“倍长法”（延长了三角形中位线的一倍），该方法是解决初中数学几何题的一种常用方法． 任务（1） 上述材料证明过程中的“依据1”是指：　 　； “依据2”是指：　 　； 类比探究 数学学习小组发现还可以用“倍长线段法”证明定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图3，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，E为AB边的中点，求证：CE＝AB． 证明：延长CE到点F，使EF＝CE，连接BF，AF，如图4． 任务（2）请将证明过程补充完整． 【分析】（1）由平行四边形的判定方法可得出答案； （2）延长CE到点F，使EF＝CE，连接BF，AF，证明四边形ACBF是平行四边形，由矩形的判定方法可得出四边形ACBF是矩形，由矩形的性质得出AB＝CF，则可得出结论． 【详解】解：（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形， 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 故答案为对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （2）延长CE到点F，使EF＝CE，连接BF，AF， ∵E为AB的中点， ∴AE＝BE， ∴四边形ACBF是平行四边形， ∵∠ACB＝90°， ∴平行四边形ACBF是矩形， ∴AB＝CF， ∵CE＝CF， ∴CE＝AB． 10．（2023春•龙泉驿区期末）《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的中线．求证：． 分析：如图2，要证明BD等于AC的一半，可以用“中线倍长法”延长BD到E，使得DE＝BD，连接AE，可证△ADE≌△CDB，再证明△ABE≌△BAC，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，延长BC到E，使得，D是AB边的中点，连接ED，求证：∠B＝2∠E； 【模型构造】如图4，在△ABC中，∠B＝30°，延长BC到D，使得CD＝BC，连接AD，求∠D的度数． 【分析】（1）利用倍长中线BD，证明三角形ADE≌三角形BDC，得AE＝BC，J进而证明三角形ABE≌三角形ABC得AC＝BE即可得证； （2）连接CD，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到CD＝BD＝AD，再证明三角形CDE与三角形BDC是等腰三角形可得∠CDE＝∠E，利用三角形外角的性质可得结论； （3）作DH⊥AB，利用含30°角的直角三角形的性质可得CB＝CD＝DH，证明三角形DCH是等边三角形，求出∠ACH＝15°，进而可得AH＝DH，根据等腰三角形的性质可得的结论． 【详解】解：（1）如图所示： 延长BD到E，使得DE＝BD，连接AE． 在△ADE和△CDB中， ， ∴△ADE≌△CDB（SAS）， ∴AE＝BC，∠AED＝∠CBD， ∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行）， ∠ABC+∠BAE＝180° （两直线平行，同旁内角互补）． ∵∠ABC＝90°， ∴∠BAE＝90°， 在△ABE和△BAC中， ， ∴△ABE≌△CBA（SAS）， ∴AC＝EB． ， （2）证明：连接CD． ∵∠ACB＝90°，且D为AB的中点， ， ∠B＝∠DCB， ， ∴CE＝CD， ∴∠E＝∠CDE， ∴∠DCB＝2∠E， ∴∠B＝2∠E； （3）解：如图所示，过D作DH⊥AB于H，连接CH． ∵∠DHB＝90°，且CD＝BC， HC＝BC＝CD． ∴∠CHB＝∠B． ∠B＝30°． ∠CHB＝30°， ∠CHD＝60°， ∴△HCD为等边三角形． ∴CH＝DH，∠HCD＝60°， ∠ACD＝∠B+∠BAC＝45°． ∴∠ACH＝∠HCD﹣∠ACD＝15°， ∴∠ACH＝∠CAH． ∴AH＝CH＝DH． ∴△AHD为等腰直角三角形． ∠HDA＝45°， ∠ADB＝∠ADH+∠BDH＝105°． 专题1-1 倍长法构造三角形全等——拔尖篇 11．[问题背景] ①如图1，CD为△ABC的中线，则有S△ACD＝S△BCD； ②如图2，将①中的∠ACB特殊化，使∠ACB＝90°，则可借助“面积法”或“中线倍长法”证明AB＝2CD； [问题应用] 如图3，若点G为△ABC的重心（△ABC的三条中线的交点），CG⊥BG，若AG×BC＝16，则△BGC面积的最大值是（　　） A．2 B．8 C．4 D．6 【分析】[问题背景]①由三角形面积公式可求解； ②延长CD至Q，使DQ＝CD，连接BQ，由“SAS”可证△ACB≌△QBC，可得AB＝CQ＝2CD； [问题应用]由三角形的面积关系可证AG＝2GD，即可求解． 【详解】解：[问题背景] ①如图1，过点C作CH⊥AB于H， ∵CD为△ABC的中线， ∴AD＝BD， ∵S△ACD＝AD×CH，S△BCD＝×BD×CH， ∴S△ACD＝S△BCD； ②延长CD至Q，使DQ＝CD，连接BQ， ∵AD＝BD，∠ADC＝∠BDQ，CD＝DQ， ∴△ACD≌△BQD（SAS）， ∴AC＝BQ，∠ACD＝∠Q， ∴AC∥BQ， ∴∠ACB＝∠CBQ＝90°， 又∵BC＝BC， ∴△ACB≌△QBC（SAS）， ∴CQ＝AB， ∴AB＝2CD； [问题应用] ∵点G为△ABC的重心， ∴BE，AD是△ABC的中线， ∴AE＝CE，CD＝DB，S△ACD＝S△ABC＝S△BCE， ∴S△AEG＝S△BDG， ∴S△AEG＝S△CEG＝S△CDG＝S△BDG， ∴S△AGC＝2S△CDG， ∴AG＝2GD， ∵CG⊥BG， ∴当GD⊥BC时，△BGC面积有最大值， ∴△BGC面积的最大值＝×BC×GD＝×BC×AG＝4， 故选：C． 12．（2019春•偏关县期中）综合与实践 问题背景： 我们知道，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，如何证明三角形中位线定理呢？ 已知：如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点． 求证：DE∥BC，DE＝BC 分析：问题中既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另条线段长的一半，所以可以用“倍长法”将DE延长一倍：延长DE到F，使得EF＝DE，连接FC、DC、AF，这样只需证明DF∥BC，且DF＝BC．由于E是AC的中点，容易证明四边形ADCF、四边形DBCF是平行四边形… 证明： 问题解决： （1）上述材料中“倍长法”体现的数学思想主要是　　．（填入选项前的字母代号即可） A．数形结合思想 B．转化思想 C．分类讨论思想 D．方程思想 （2）证明四边形DBCF是平行四边形的依据是　 　． 反思交流： “智慧小组”在证明中位线定理时，在图1的基础上追加了如上辅助线作法：如图3，分别过点A、B、C作DE的垂线，垂足分别为F、H、G… （3）请你根据“智慧小组”添加的辅助线，证明三角形的中位线定理． 方法迁移： （4）如图4，四边形ABCD和DEFG都是正方形，N是AG的中点，求证：DN＝CE 【分析】（1）根据解题方法知，将证明“DE∥BC，DE＝BC”的问题转化为矩形的性质的问题； （2）由平行四边形的判定定理填空； （3）利用“AAS”证明ADF≌△BDH，根据全等三角形对应边相等可得BH＝AF，DF＝DH，同理 CG＝AF，EF＝GE，则BH＝CG．然后判断出四边形BCGH是矩形，根据矩形的性质可得； （4）如图4，延长DN到点M，使得NM＝DN，连接AM、MG．易证，四边形ADGM是平行四边形，结合该平行四边形和图中正方形的性质，证得△MAD≌△EDC，故DM＝EC，所以DN＝CE． 【详解】解：（1）根据上述材料中“倍长法”体现的数学思想主要是转化思想． 故选：B； （2）证明四边形DBCF是平行四边形的依据是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （3）证明：如图3， 在△ADF与△BDH中， ， ∴△ADF≌△BDH（AAS）， ∴BH＝AF，DF＝DH． 同理 CG＝AF，EF＝GE， ∴BH＝CG． 又BH⊥DE，AF⊥DE，CG⊥DE， ∴BH∥AF∥CG， ∴四边形BCGH是矩形， ∴GH＝BC，GH∥BC， ∴DE＝DF+EF＝GH＝BC，DE∥BC； （4）如图4，延长DN到点M，使得NM＝DN，连接AM、MG ∵点N是AG的中点， ∴AN＝NG， ∴四边形ADGM是平行四边形， ∴AM∥DG，AM＝DG， ∴∠MAD+∠ADG＝180°． ∵四边形ABCD和DEFG都是正方形， ∴AD＝DC，DG＝DE，∠ADG+∠EDC＝180°， ∴∠MAD＝∠EDC，AD＝CD，DE＝AM， ∴△MAD≌△EDC（SAS）， ∴DM＝EC， DN＝CE． 13．（2023秋•泉山区校级期中）阅读下列材料，然后解决问题：截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． （1）如图，AD平分∠BAC，∠B＝2∠C，探究AB、BD与AC之间的关系．解决此问题可以用如下方法：在AC上截AM＝AB，易证△ABD≌△AMD，则BD＝DM，∠B＝∠AMD＝2∠C，利用三角形的外角定理及等腰三角形的判定，可以得到AB、BD及AC的数量关系是 　 　；（此方法为截长法，当然我们也可以考虑延长AB） （2）问题解决：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC，边CD上的两点，且∠EAF＝∠BAD，求证：BE+DF＝EF； （3）问题拓展：如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2AC，AD平分△ABC的外角∠BAE，DE⊥AC交CA延长线于点E，F是AC上一点，且DF＝DB．求证：AC﹣AE＝AF． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到BD＝DM，根据等腰三角形的性质得出DM＝MC，进而即可求解； （2）延长CB到G，使BG＝DF，证明△ABG≌△ADF，根据全等三角形的性质得到AG＝AF，∠GAB＝∠FAD，证明△AEG≌△AEF，根据全等三角形的性质证明； （3）作DH⊥AB于H，在AB上截取BR＝AF，分别证明Rt△DEF≌Rt△DHB，△DAF≌△DRB，根据全等三角形的性质证明． 【详解】（1）解：AC＝AB+BD，理由如下： 在AC上截AM＝AB， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAB＝∠DAM，又AD＝AD ∴△ABD≌△AMD； ∴BD＝DM， ∵∠B＝∠AMD＝2∠C，∠AMD＝∠C+∠MDC， ∴∠MDC＝∠C， ∴MD＝MC ∴AC＝AM+MC＝AB+BD， 故答案为：AC＝AB+BD； （2）证明：延长CB到G，使BG＝DF， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°， ∴∠ADC＝∠ABG， 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴AG＝AF，∠GAB＝∠FAD， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠FAD+∠BAE＝∠GAB+∠BAE＝∠BAD， ∴∠GAE＝∠FAE， 在△AEG和△AEF中， ， ∴△AEG≌△AEF（SAS）， ∴EF＝GE， ∴EF＝BE+BG＝BE+DF； （3）证明：作DH⊥AB于H，在AB上截取BR＝AF， ∵点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC，DH⊥AB， ∴DE＝DH，AH＝AE， 在Rt△DEF和Rt△DHB中， ， ∴Rt△DEF≌Rt△DHB（HL）， ∴∠DFA＝∠DBA， 在△DAF和△DRB中， ， ∴△DAF≌△DRB（SAS）， ∴DA＝DR， ∴AH＝HR＝AE＝AR， ∵AB＝2AC， 则AF＝BR＝AB﹣AR＝2AC﹣2AE， ∴AC﹣AE＝AF． 14．[阅读理解]截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是AD的中点，BE平分∠ABC，试判断BC，AB，CD之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长BE交CD的延长线于点F，构造全等三角形即可判断． [问题解决]（1）①参考小颖的方法，判断BC，AB，CD之间的等量关系，并说明理由； ②请用截长法，在BC上截取一点G使BG＝AB，连接EG，DG，判断BC，AB，CD之间的等量关系，并说明理由； [问题拓展]（2）如图③，在△ABC中，D是BC的中点，点E在AC上，连接BE交AD于点F，AE＝EF．试说明：AC＝BF． 【分析】[问题解决]（1）①根据AB∥DC，BE平分∠ABC，可得∠F＝∠CBE，从而可得BC＝DF+CD，证明△ABE≌△DFE（AAS），有AB＝DF，即知BC＝AB+CD； ②在BC上截取一点G使BG＝AB，连接EG，DG，证明△ABE≌△GBE（SAS），得∠A＝∠BGE，AE＝GE，根据E是AD的中点，可得GE＝DE，从而∠EGD＝∠EDG，根据AB∥CD，有∠ADC+∠A＝180°，即得∠ADC＝∠EGC，故∠GDC＝∠DGC，CD＝CG，即知CG+BG＝CD+AB，即BC＝CD+AB； [问题拓展]（2）延长AD至H，使DH＝AD，连接BH，证明△BDH≌△CDA（SAS），得∠H＝∠CAD，BH＝AC，由AE＝EF，有∠CAD＝∠AFE，从而∠H＝∠AFE＝∠BFH，即得BF＝BH，故AC＝BF． 【详解】解：[问题解决]（1）①BC＝AB+CD，理由如下： 延长BE交CD延长线于F，如图： ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵AB∥DC， ∴∠ABE＝∠F， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠F＝∠CBE， ∴BC＝CF， ∵CF＝DF+CD， ∴BC＝DF+CD， 在△ABE和△DFE中， ， ∴△ABE≌△DFE（AAS）， ∴AB＝DF， ∴BC＝AB+CD； ②BC＝AB+CD，理由如下： 在BC上截取一点G使BG＝AB，连接EG，DG，如图： ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠GBE， 在△ABE和△GBE中， ， ∴△ABE≌△GBE（SAS）， ∴∠A＝∠BGE，AE＝GE， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∴GE＝DE， ∴∠EGD＝∠EDG， ∵AB∥CD， ∴∠ADC+∠A＝180°， 而∠EGC+∠BGE＝180°， ∴∠ADC＝∠EGC， ∴∠ADC﹣∠EDG＝∠EGC﹣∠EGD，即∠GDC＝∠DGC， ∴CD＝CG， ∴CG+BG＝CD+AB，即BC＝CD+AB； [问题拓展]（2）证明：延长AD至H，使DH＝AD，连接BH，如图： ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BDH和△CDA中， ， ∴△BDH≌△CDA（SAS）， ∴∠H＝∠CAD，BH＝AC， ∵AE＝EF， ∴∠CAD＝∠AFE， ∴∠H＝∠AFE＝∠BFH， ∴BF＝BH， ∴AC＝BF． 15．小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围． 小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决． 请回答：（1）小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：　　（用字母表示） （2）AD的取值范围是　 　 小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造． 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长． 【分析】（1）根据SAS即可证明△BED≌△CAD． （2）在△ABE利用三边关系定理即可解决． 解决问题：延长GE交CB的延长线于M．只要证明△AEG≌△BEM，推出AG＝CM＝2，再根据线段的垂直平分线的性质，即可解决问题． 【详解】解：（1）如图2中，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE． 在△BED和△CAD中， ， ∴△BED≌△CAD（SAS）． （2）∵△BED≌△CAD， ∴BE＝AC＝5，∵AB＝7， ∴2＜AE＜12， ∴2＜2AD＜12， ∴1＜AD＜6． 故答案分别为SAS，1＜AD＜6． 解决问题：如图3中， 解：延长GE交CB的延长线于M． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥CM， ∴∠AGE＝∠M， 在△AEG和△BEM中， ， ∴△AEG≌△BEM（AAS）， ∴GE＝EM，AG＝BM＝2， ∵EF⊥MG， ∴FG＝FM， ∵BF＝4， ∴MF＝BF+BM＝2+4＝6， ∴GF＝FM＝6． 16．（2024•新荣区二模）小明在学习矩形性质之后，对直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明思路做了深入的思考与总结．阅读小明的笔记，并完成相应任务． 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的中线． 求证：． 分析：要证明BD等于AC的一半，可以用“倍长法”将BD延长一倍，如图2，延长BD到点E，使得DE＝BD，连接CE，只需通过证明三角形全等即可证明AC＝BE． 证明：延长BD到点E，使得DE＝BD，连接CE，如图2所示． … 【问题解决】请根据小明的分析过程，在不添加其他辅助线的情况下，完成该定理的证明； 【问题再探】如图3，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE是边AB的中线，DG垂直平分CE，若∠BAD＝42°，则∠AEC的度数为 　　； 【拓展提升】如图4，BD，CE是△ABC的两条高，M，N分别是BC，DE的中点，若BC＝6，ED＝2，试求线段MN的长． 【分析】【问题解决】证明△ABD≌△CED（SAS）得出AB＝EC，∠A＝∠ECD，再证明△ABC≌△ECB（SAS）得出AC＝EB，从而推出，即可得证； 【问题再探】连接DE，求出∠ABD＝48°，由直角三角形的性质得出DE＝AE＝BE，由等边对等角结合三角形内角和定理得出∠BED＝84°，由线段垂直平分线的性质得出DE＝DC，由等边对等角结合三角形内角和定理得出∠DEC＝∠DCE＝24°，再由三角形外角的定义及性质计算即可得出答案； 【拓展提升】连接ME，MD，由直角三角形的性质可得EM＝DM＝3，EN＝1，最后再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】【问题解决】证明：∵BD是AC的中线， ∴AD＝CD． ∵BD＝ED，∠ADB＝∠CDE， ∴△ABD≌△CED（SAS）． ∴AB＝EC，∠A＝∠ECD． 在Rt△ABC中，∠A+∠ACB＝∠ABC＝90°， ∴∠ECD+∠ACB＝∠ECB＝90°． ∵AB＝CE，BC＝CB， ∴△ABC≌△ECB（SAS）． ∴AC＝EB． ∵， ∴． 即证“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”． 【问题再探】解：如图3，连接DE， ，∵AD⊥BC，∠BAD＝42°， ∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝48°， ∵CE是边AB的中线， ∴AE＝BE， ∴DE＝AE＝BE， ∴∠BDE＝∠B＝48°， ∴∠BED＝180°﹣∠BDE﹣∠B＝84°， ∵DG垂直平分CE， ∴DE＝DC， ∴∠DEC＝∠DCE， ∵∠DEC+∠DCE+∠BED+∠B＝180°， ∴∠DEC＝∠DCE＝24°， ∴AEC＝∠B+∠BCE＝48°+24°＝72°， 故答案为：72°； 【拓展提升】解：如图4所示，连接ME，MD， ∵CE⊥AB于点E， ∴∠BEC＝90°． 在Rt△BEC中，∠BEC＝90°，M为BC的中点， ∴． 同理可得DM＝3． ∴EM＝DM． ∵N为DE的中点， ∴MN⊥DE，． 在Rt△ENM中，∠ENM＝90°， ∴． 17．（2023春•平城区校级期中）阅读与思考：小明同学在学习矩形性质之后，对直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明思路做了及时的梳理与总结．阅读小明同学的笔记，并完成相应任务 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图1，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的中线．求证：． 分析：要证明BD等于AC的一半．可以用“倍长法”将BD延长一倍，如图2，延长BD到E，使得DE＝BD．连接AE，CE．可证四边形ABCE是矩形，由矩形的对角线相等得BE＝AC，这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到． 证明：延长BD到E，使得DE＝BD，连接AE、CE，如图2所示： ∵BD是斜边AC上的中线， ∴AD＝CD， 又∵DE＝BD， ∴四边形ABCE是平行四边形（①依据：　 　） 任务： （1）①依据为：　 　； （2）请补小明的全证明过程； （3）上述证明方法中主要体现的数学思想是 　 　； A．转化思想 B．类比思想 C．数形结合思想 D．从一般到特殊思想 （4）将Rt△ABC和Rt△BDE按图3放置，其中∠ABC＝90°，∠DBE＝90°，点A、B、D在一直线上，分别取AC和DE的中点F和G，连接GF．若AB＝3，BC＝4，BD＝BE＝1，则GF＝　 　． 【分析】（1）根据平行四边形的判定方法填写即可； （2）延长BD到E，使得DE＝BD，连接AE、CE，证四边形ABCE是平行四边形，再由∠ABC＝90°，得平行四边形ABCE是矩形，则BE＝AC，进而得出结论； （3）由（1）的证明方法即可得出结论； （4）过点A在AB上方作AH⊥AB，过点D作CH⊥AH于H，过点D在BD上方作DI⊥AD，过点E作EI⊥DI于I，连接BI、BH、HI，延长IE交AH于J，证四边形CEJH、四边形ABEJ均为矩形，得HJ＝3，IJ＝4，再由勾股定理得HI＝5，然后证FG是△BHI的中位线，即可求解． 【详解】（1）解：①依据为：对角线互相平分的四边形是平行四边形； 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形； （2）证明：延长BD到E，使得DE＝BD，连接AE、CE，如图2所示： ∵BD是斜边AC上的中线， ∴AD＝CD， 又∵DE＝BD， ∴四边形ABCE是平行四边形， 又∵∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCE是矩形， ∴BE＝AC， ∵， ∴； （3）解：由上述证明方法中将三角形的问题转化为矩形对角线的关系，主要体现的数学思想是转化思想， 故答案为：A； （4）解：如图3，过点A在AB上方作AH⊥AB，过点D作CH⊥AH于H，过点D在BD上方作DI⊥AD，过点E作EI⊥DI于I，连接BI、BH、HI，延长IE交AH于J， 同（1）可知：四边形ABCH、四边形BDIE为矩形， ∴∠HAD＝∠ADI＝∠DIE＝90°， ∴四边形ADIJ都为矩形，同理：四边形CEJH和四边形ABEJ为矩形， ∴HJ＝CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，IJ＝AD＝AB+BD＝4， 在Rt△HIJ中，由勾股定理得：， ∵点F，G分别是AC和DE的中点，四边形ABCH、四边形BDIE都是矩形， ∴点F，G分别是BH和BI的中点， ∴FG是△BHI的中位线， ∴， 故答案为：． 18．（2023秋•慈溪市期末）[方法储备]如图1，在△ABC中，CM为△ABC的中线，若AC＝2，BC＝4，求CM的取值范围．中线倍长法：如图2，延长CM至点D，使得MD＝CM，连结BD，可证明△ACM≌△BDM，由全等得到BD＝AC＝2，从而在△BCD中，根据三角形三边关系可以确定CD的范围，进一步即可求得CM的范围． 在上述过程中，证明△ACM≌△BDM的依据是 　 　，CM的范围为 　 ； [思考探究]如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，M为AB中点，D、E分别为AC、BC上的点，连结MD、ME、DE，∠DME＝90°，若BE＝1，AD＝2，求DE的长； [拓展延伸]如图4，C为线段AB上一点，AC＞BC，分别以AC、BC为斜边向上作等腰Rt△ACD和等腰Rt△CBE，M为AB中点，连结DM，EM，DE． ①求证：△DME为等腰直角三角形； ②若将图4中的等腰Rt△CBE绕点C转至图5的位置（A，C，B不在同一条直线上），连结AB，M为AB中点，且D，E在AB同侧，连结DM，EM．若AD＝5，EB＝3，求△DAM和△EBM的面积之差． 【分析】[方法储备] 由△ACM≌△BDM得BD＝AC＝2，从而得出2＜CD＜6，进而得出1＜CM＜3； [思考探究] 延长DM至F，使FM＝DM，连接BF，EF，由[方法储备]知：△BFM≌△ADM，从而BF＝AD＝2，∠A＝∠ABF，从而BF∥AC，从而∠FBE＝180°﹣∠C＝90°，进一步得出结果； [拓展延伸] ①由[思考探究]得，∠WAM＝∠B＝45°，AW＝BE＝CE，进而得出∠DAW＝∠DCE＝90°，进而△DAW≌△DCE，从而得出DW＝DE，∠DAW＝∠CDE，进而得出∠DAC＝90°，进一步得出结论； ②作DX⊥AB于X，作EV⊥AB于V，可证得△DXM≌△MEV，从而DX＝MV，XM＝EV，设DX＝MV＝a，XM＝EV＝b，AM＝BM＝x，则AX＝x﹣b，BV＝x﹣a，根据勾股定理可列出，两式相减处理得出ax﹣bx＝4，进而得出结果． 【详解】[方法储备] 解：∵CM＝DM，∠AMC＝∠BMD，AM＝BM， ∴△ACM≌△BDM（SAS）， ∴BD＝AC＝2， ∵BC﹣BD＜CD＜BC+BD， ∴2＜CD＜6， ∴1＜CM＜3， 故答案为：SAS，1＜CM＜3； [思考探究] 解：如图1， 延长DM至F，使FM＝DM，连接BF，EF， ∵∠DME＝90°， ∴EF＝DE， 由[方法储备]知：△BFM≌△ADM， ∴BF＝AD＝2，∠A＝∠ABF， ∴BF∥AC， ∵∠C＝90°， ∴∠FBE＝180°﹣∠C＝90°， ∴DE＝EF＝； [拓展延伸] ①证明：如图2， 延长EM至W，使WM＝ME，连接AW，DW， 由[思考探究]得， ∠WAM＝∠B＝45°，AW＝BE＝CE， ∵∠DAC＝45°， ∴∠DAW＝∠DAC+∠WAM＝90°， ∴∠DAW＝∠DCE＝90°， ∵AD＝CD， ∴△DAW≌△DCE（SAS）， ∴DW＝DE，∠DAW＝∠CDE， ∴∠DAW+∠WDC＝∠CDE+∠WDC＝∠DAC＝90°， ∴DM＝EM＝EW，DM⊥EW， ∴∠DWE＝90°， ∴△DME为等腰直角三角形； ②如图3， 作DX⊥AB于X，作EV⊥AB于V， ∴∠DXM＝∠EVM＝90°， ∴∠XDM+∠XMD＝90°， 由①知；∠DME＝90°，DM＝EM， ∴∠XMD+∠VME＝90°， ∴∠XDM＝∠VME， ∴△DXM≌△MEV（AAS）， ∴DX＝MV，XM＝EV， 设DX＝MV＝a，XM＝EV＝b，AM＝BM＝x，则AX＝x﹣b，BV＝x﹣a， ∵∠AXD＝∠BVE＝90°， ∴， ∴ax﹣bx＝4， ∴△DAM和△EBM的面积之差为4． 19．（2018春•孝义市期末）综合与实践 问题背景： 我们知道，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 如何证明三角形中位线定理呢？ 已知：如图1，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，求证：DE∥BC，DE＝BC． 分析：问题中既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半．所以可以用“倍长法”将DE延长一倍：延长DE到F，使得EF＝DE，连接FC，DC，AF这样只需证明DF∥BC，且DF＝BC，由于E是AC的中点，容易证明四边形ADCF、四边形DBCF是平行四边形，…． 证明：… 问题解决： （1）上述材料中“倍长法”体现的数学思想主要是　　．（填入选项前的字母代号即可） A．数形结合思想 B．转化思想 C．分类讨论思想 （2）证明四边形DBCF是平行四边形的依据是　 　． 反思交流 “智慧小组”在证明中位线定理时，在图1的基础上添加了如下辅助线作法：如图3，分别过点A，B，C作DE的垂线，垂足分别为F，B，C，… （3）请你根据“智慧小组”添加的辅助线，证明三角形的中位线定理． 方法迁移： （4）如图4，四边形ABCD和DEFG都是正方形，N是AG的中点，求证：DN＝CE． 【分析】（1）根据解题方法知，将证明“DE∥BC，DE＝BC”的问题转化为矩形的性质的问题； （2）由平行四边形的判定定理填空； （3）利用“AAS”证明ADF≌△BDH，根据全等三角形对应边相等可得BH＝AF，DF＝DH，同理 CG＝AF，EF＝GE，则BH＝CG．然后判断出四边形BCGH是矩形，根据矩形的性质可得； （4）如图4，延长DN到点M，使得NM＝DN，连接AM、MG．易证，四边形ADGM是平行四边形，结合该平行四边形和图中正方形的性质，证得△MAD≌△EDC，故DM＝EC，所以DN＝CE． 【详解】解：（1）根据上述材料中“倍长法”体现的数学思想主要是转化思想． 故选：B； （2）证明四边形DBCF是平行四边形的依据是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （3）证明：如图3，在△ADF与△BDH中， ， ∴△ADF≌△BDH（AAS）， ∴BH＝AF，DF＝DH． 同理 CG＝AF，EF＝GE， ∴BH＝CG． 又BH⊥DE，AF⊥DE，CG⊥DE， ∴BH∥AF∥CG， ∴四边形BCGH是矩形， ∴GH＝BC，GH∥BC， ∴DE＝DF+EF＝GH＝BC，DE∥BC； （4）如图4，延长DN到点M，使得NM＝DN，连接AM、MG ∵点N是AG的中点， ∴AN＝NG， ∴四边形ADGM是平行四边形， ∴AM∥DG，AM＝DG， ∴∠MAD+∠ADG＝180°． ∵四边形ABCD和DEFG都是正方形， ∴AD＝DC，DG＝DE，∠ADG+∠EDC＝180°， ∴∠MAD＝∠EDC， ∴△MAD≌△EDC， ∴DM＝EC， DN＝CE． 20．（2017秋•澄海区期末）阅读下列材料，然后解决问题： 截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． （1）如图①，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是　 　； （2）问题解决： 如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF； （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明． 【分析】（1）延长AD至E，使DE＝AD，由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE＝AC＝8，在△ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围； （2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论； （3）延长AB至点N，使BN＝DF，连接CN，证出∠NBC＝∠D，由SAS证明△NBC≌△FDC，得出CN＝CF，∠NCB＝∠FCD，证出∠ECN＝70°＝∠ECF，再由SAS证明△NCE≌△FCE，得出EN＝EF，即可得出结论． 【详解】（1）解：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图①所示， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDA中，， ∴△BDE≌△CDA（SAS）， ∴BE＝AC＝8， 在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴12﹣8＜AE＜12+8，即4＜AE＜20， ∴2＜AD＜10； 故答案为：2＜AD＜10； （2）证明：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示． 同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS）， ∴BM＝CF， ∵DE⊥DF，DM＝DF， ∴EM＝EF， 在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM， ∴BE+CF＞EF； （3）解：BE+DF＝EF；理由如下： 延长AB至点N，使BN＝DF，连接CN，如图③所示， ∵∠ABC+∠D＝180°，∠NBC+∠ABC＝180°， ∴∠NBC＝∠D， 在△NBC和△FDC中，， ∴△NBC≌△FDC（SAS）， ∴CN＝CF，∠NCB＝∠FCD， ∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°， ∴∠BCE+∠FCD＝70°， ∴∠ECN＝70°＝∠ECF， 在△NCE和△FCE中，， ∴△NCE≌△FCE（SAS）， ∴EN＝EF， ∵BE+BN＝EN， ∴BE+DF＝EF 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$