专题1.1.3直线的平行与垂直（7大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册）

专题1.1.3 直线的平行与垂直 题型一 有斜率判断两条直线平行 1．（23-24高二下·江苏南京·期末）“”是“两条直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·全国·假期作业）下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，直线经过点 B．直线经过点，直线经过点 C．直线经过点，直线经过点 D．直线经过点，直线经过点 3．（多选）（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）已知直线，则（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为150° C．直线不经过第三象限 D．直线与直线平行 4．（2024高二·全国·专题练习）已知经过，经过，，求证：． 题型二 已知直线平行求参数 1．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高二下·四川泸州·期末）直线与直线平行，则 3．（23-24高二下·上海·期中）直线与直线平行，则 ． 4．（24-25高一上·全国·假期作业）已知. (1)若可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，判断构成的平行四边形是否为菱形. 题型三 由直线平行关系求直线 1．（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）已知一直线经过点,且与轴平行,则该直线的方程为 A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽宣城·期中）已知过的直线l与直线没有公共点，则直线l的方程为 ． 3．（23-24高二·全国·课后作业）分别求经过点且与直线平行、垂直的直线的一般式方程． 4．（23-24高二上·北京昌平·阶段练习）写出下列直线的方程． （1）经过点，且与直线平行； （2）经过点，且与x轴平行． 题型四 有斜率判断两条直线垂直 1．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（2024·全国·模拟预测）已知两条直线和，其斜率分别是一元二次方程的两不等实数根，则其位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．异面 3．（多选）（23-24高二下·浙江·期中）已知直线和直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则表示与轴平行或重合的直线 B．直线可以表示任意一条直线 C．若，则 D．若，则 4．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，已知平面直角坐标系中三点，，．证明：是直角三角形．    题型五 已知直线垂直求参数 1．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知直线，直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南·三模）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·青海西宁·期中）已知直线和互相垂直，则 ． 4．（22-23高二下·上海闵行·期末）已知两条直线:和 (1)若，求实数a的值; 题型六 由直线垂直求直线 1．（23-24高二·全国·课后作业）过点(0,1)且与直线y=(x+1)垂直的直线方程是（    ） A．y=2x-1 B．y=-2x-1 C．y=-2x+1 D．y=2x+1 2．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）过点P（4，－1）且与直线3x－4y＋6＝0垂直的直线方程是（      ） A．4x＋3y－13＝0 B．4x－3y－19＝0 C．3x－4y－16＝0 D．3x＋4y－8＝0 3．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期中）经过点A（5，0），且与直线2x + y - 1 = 0垂直的直线方程为（      ） A．x + 2y - 5 = 0 B．x - 2y - 5 = 0 C．x - 2y - 1 = 0 D．2x + y - 10 = 0 4．（多选）（22-23高二上·山东聊城·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．是直线与直线平行的充分不必要条件 B．是直线与直线垂直的充分不必要条件 C．经过点，且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是 D．若一条直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 题型七 直线平行、垂直在几何中的应用 1．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高二上·全国·单元测试）（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考阶段练习）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 3．（23-24高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    4．（22-23高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1.3直线的平行与垂直 题型一 有斜率判断两条直线平行 1．（23-24高二下·江苏南京·期末）“”是“两条直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线平行的等价条件求出，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】因为两条直线平行， 所以直线斜率相等或斜率不存在， 当两直线斜率不存在时，即，两直线为，成立； 当两直线斜率存在时，即，解得，两直线为成立， 综上或. 所以“”是“两条直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】 2．（24-25高一上·全国·假期作业）下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，直线经过点 B．直线经过点，直线经过点 C．直线经过点，直线经过点 D．直线经过点，直线经过点 【答案】A 【详解】根据斜率公式求出各直线的斜率，判断直线的斜率是否相等或不存在，进而可得出结论. 【解答过程】对于A，因为，所以，故A对； 对于B，因为，所以直线不平行，故B错； 对于C，由直线经过点，，直线经过点，， 得直线的斜率都不存在，且两直线重合，故C错； 对于D，因为直线经过点，，所以直线直线的斜率不存在， 而，所以直线不平行，故D错. 故选：A. 3．（多选）（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）已知直线，则（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为150° C．直线不经过第三象限 D．直线与直线平行 【答案】BCD 【分析】由直线方程确定斜率、倾斜角判断A、B；根据直线方程直接判定所过象限判断C；由直线平行的判定判断D. 【详解】由题设，若倾斜角，则，A错，B对； 显然直线过第一、二、四象限，不过第三象限，C对； 由，故与平行，D对. 故选：BCD 4．（2024高二·全国·专题练习）已知经过，经过，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】求出直线的斜率，说明两直线不重合，根据斜率相等，即可证明结论. 【详解】证明：由题意得直线的斜率为， 直线的斜率为， 又，, 即不共线，即不重合， 因为，∴. 题型二 已知直线平行求参数 1．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据两直线平行的条件进行判断 【详解】当时，直线与直线， 即为直线与直线的斜率都是，纵截距不同，则两直线平行，是充分条件； 若直线与直线平行，当时，两直线方程都为，直线重合不符合题意， 当时，两直线平行则斜率相等，截距不相等，解得，是必要条件； 故选：C 2．（23-24高二下·四川泸州·期末）直线与直线平行，则 【答案】2 【分析】两直线斜率存在时，由两直线平行，可得斜率相等，进而可求解. 【详解】由，可得，所以直线的斜率为， 所以的斜率存在，且为 由两直线平行，可得，解得或， 经检验，，两直线重合，符合题意. 故答案为：2. 3．（23-24高二下·上海·期中）直线与直线平行，则 ． 【答案】 【分析】分别讨论两直线斜率是否存在，存在时两斜率相等解方程即可解得. 【详解】当时，即时，不满足题意； 当时，即时，不满足题意； 当且时，两直线斜率均存在，需满足， 解得或. 又当时，与重合，不合题意； 当时，与平行，满足题意； 故答案为： 4．（24-25高一上·全国·假期作业）已知. (1)若可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，判断构成的平行四边形是否为菱形. 【答案】(1)点的坐标为或或 (2)平行四边形为菱形，平行四边形、不是菱形 【分析】（1）分四边形、、是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解即可； （2）分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为即可. 【详解】（1）由题意得，，， 设， 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 综上，点的坐标为或或. （2）若的坐标为， 因为，， 所以，所以， 所以平行四边形为菱形. 若的坐标为， 因为，， 所以，所以平行四边形不是菱形. 若的坐标为， 因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 题型三 由直线平行关系求直线 1．（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）已知一直线经过点,且与轴平行,则该直线的方程为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件，结合直线的点斜式方程即可得解. 【详解】解：因为直线与轴平行,所以其斜率为,所以直线的点斜式方程为,即. 故选D. 【点睛】本题考查了直线的点斜式方程，属基础题. 2．（23-24高二上·安徽宣城·期中）已知过的直线l与直线没有公共点，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】根据直线平行得到斜率相等，进而用点斜式求解直线方程. 【详解】由题意可知：直线l与直线平行，直线l的斜率为3，所以直线l方程为，即． 故答案为： 3．（23-24高二·全国·课后作业）分别求经过点且与直线平行、垂直的直线的一般式方程． 【答案】平行的直线方程为，垂直的直线方程为； 【分析】根据平行直线系方程与垂直直线系方程设出直线方程，再代入点，即可求出参数的值，从而得解； 【详解】解：依题意设与直线平行的直线方程为，又直线过点，所以，解得，所以； 设与直线垂直的直线方程为，又直线过点，所以，解得，所以； 故过点且与直线平行的直线方程为，垂直的直线方程为； 4．（23-24高二上·北京昌平·阶段练习）写出下列直线的方程． （1）经过点，且与直线平行； （2）经过点，且与x轴平行． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据题意求得直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）由题意求得与x轴平行的直线的斜率，进而求得直线的方程. 【详解】（1）由题意，直线，可得直线的斜率为， 因为过点，且与直线平行，可得所求直线方程为， 即所求直线方程为． （2）由题意，与x轴平行的直线的斜率， 所以直线的点斜式方程为，即． 题型四 有斜率判断两条直线垂直 1．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】当时可得，即；当时可得，结合充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】当时，， 即，则，即； 当时，，解得. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 2．（2024·全国·模拟预测）已知两条直线和，其斜率分别是一元二次方程的两不等实数根，则其位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．异面 【答案】B 【分析】由斜率乘积判断两直线的位置关系可得． 【详解】由题意，设两条直线和的斜率分别为， 且为一元二次方程的两不等实数根， 则，所以. 故选：B 3．（多选）（23-24高二下·浙江·期中）已知直线和直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则表示与轴平行或重合的直线 B．直线可以表示任意一条直线 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用线线平行、线线垂直的性质可直接判断. 【详解】对于A，当时，斜率为0，与轴平行或重合，故A正确； 对于B，当时，斜率不存在，当时，斜率存在，能表示任意直线，故B正确； 对于C，若，且或，则，故C错误； 对于D，若，则由可得斜率之积为-1，故，若，可得，此时满足，此时两条直线一条斜率为0，一条斜率不存在，故，故D正确. 故选：ABD. 4．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，已知平面直角坐标系中三点，，．证明：是直角三角形．    【分析】根据直线和直线的斜率以及两直线的位置关系等知识证得结论成立. 【详解】证明：由条件可知，，． 因为，所以，即是直角三角形． 题型五 已知直线垂直求参数 1．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知直线，直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合垂直关系可得直线的斜率，进而可得倾斜角. 【详解】因为直线的斜率， 且，可知直线的斜率 所以的倾斜角为． 故选：D． 2．（2024·河南·三模）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线垂直的充要条件即可列式得解. 【详解】直线的斜率为2，又两直线互相垂直，所以直线的斜率为， 即且，，所以. 故选：D. 3．（23-24高二上·青海西宁·期中）已知直线和互相垂直，则 ． 【答案】 【分析】利用两直线垂直充要条件列出关于m的方程，解之即可求得m的值. 【详解】直线和互相垂直， 则，解之得. 故答案为：. 4．（22-23高二下·上海闵行·期末）已知两条直线:和 (1)若，求实数a的值; 【详解】（1）由可得，，解得. 此时，，有，故； 题型六 由直线垂直求直线 1．（23-24高二·全国·课后作业）过点(0,1)且与直线y=(x+1)垂直的直线方程是（    ） A．y=2x-1 B．y=-2x-1 C．y=-2x+1 D．y=2x+1 【答案】C 【分析】与y=(x+1)垂直且过(0,1)，即可得所求方程的斜率，进而写出直线方程 【详解】与直线y=(x+1)垂直的直线斜率为-2，又过点(0,1) ∴所求直线方程为y=-2x+1 故选：C 【点睛】本题考查了利用垂直关系求直线方程，由垂直关系求直线的斜率，根据所过的点写出点斜式直线方程 2．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）过点P（4，－1）且与直线3x－4y＋6＝0垂直的直线方程是（      ） A．4x＋3y－13＝0 B．4x－3y－19＝0 C．3x－4y－16＝0 D．3x＋4y－8＝0 【答案】A 【分析】要求直线方程，即要知道一点和斜率，所以就要求直线的斜率，根据所求直线与已知直线垂直得到斜率乘积为﹣1即可求出斜率． 【详解】因为两直线垂直，直线3x﹣4y+6=0的斜率为， 所以所求直线的斜率k=﹣ 则直线方程为y﹣（﹣1）=﹣（x﹣4）， 化简得4x+3y﹣13=0 故选A． 【点睛】此题为基础题，考查学生掌握两直线垂直时斜率乘积为﹣1，会根据一点和斜率写出直线的方程,属于基础题． 3．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期中）经过点A（5，0），且与直线2x + y - 1 = 0垂直的直线方程为（      ） A．x + 2y - 5 = 0 B．x - 2y - 5 = 0 C．x - 2y - 1 = 0 D．2x + y - 10 = 0 【答案】B 【分析】根据点斜式求得正确答案. 【详解】直线的斜率为， 所以所求直线的斜率为， 所以所求直线的方程为. 故选：B 4．（多选）（22-23高二上·山东聊城·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．是直线与直线平行的充分不必要条件 B．是直线与直线垂直的充分不必要条件 C．经过点，且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是 D．若一条直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 【答案】BD 【分析】对A，两直线平行等价于，求解即可判断； 对B，两直线垂直等价于，求解即可判断； 对C，截距相反的直线可能过原点； 对D，设直线为，写出平移后的直线比较可得，由即可判断. 【详解】对A，若直线与直线平行，即 ， 故是直线与直线平行的即不充分又不必要条件，A错； 对B，直线与直线垂直，即或， 故是直线与直线垂直的充分不必要条件，B对； 对C，截距相反的直线可能过原点，C错； 对D，该直线显然有斜率，设直线为，则沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后的直线为， 即有，由两直线重合则有，D对. 故选：BD 题型七 直线平行、垂直在几何中的应用 1．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到三个极端位置的斜率值，并旋转相关直线得到斜率范围. 【详解】当三角形为直角三角形时，或， 此时的斜率或0. 当从顺时针旋转到轴之间时，三角形为钝角三角形，此时； 当从逆时针旋转到与直线平行之间时，三角形为钝角三角形，此时， 综上，， 故选：C. 故选：C. 2．（多选）（23-24高二上·全国·单元测试）（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考阶段练习）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【答案】AC 【分析】对于AB，利用斜率公式计算判断，对于C，通过计算判断，对于D，通过计算判断. 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D错误， 故选：AC 3．（23-24高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【答案】平行四边形，证明见解析. 【分析】通过计算得到，，从而判断出四边形的形状. 【详解】由已知可得边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率. 因为，，所以，. 因此四边形是平行四边形. 4．（22-23高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【答案】证明见解析 【分析】利用斜率公式求得直线与的斜率，从而利用直线垂直的性质得到，再求得直线与的斜率之积，由此得证. 【详解】由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 因为，所以，即； 由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 则直线与的斜率之积为， 所以. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$