专题08 二次函数（4大题型）【好题汇编】-5年（2020-2024）中考1年模拟数学分类汇编（云南专用）

专题08 二次函数 （解析版） 二次函数的图像和性质 1．（2020·云南昆明·中考真题）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（　　）    A．ab＜0 B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间 C．a＝ D．点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t＞时，y1＜y2 2．（2024·云南·中考真题）已知抛物线的对称轴是直线．设是抛物线与轴交点的横坐标，记． (1)求的值； (2)比较与的大小． 3．（2023·云南·中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题． 同学们，请你结合所学的数学解决下列问题． 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象． (1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点； (2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由． 二次函数的最值 4．（2020·云南昆明·中考真题）如图，两条抛物线，相交于A，B两点，点A在x轴负半轴上，且为抛物线的最高点． （1）求抛物线的解析式和点B的坐标； （2）点C是抛物线上A，B之间的一点，过点C作x轴的垂线交于点D，当线段CD取最大值时，求． 二次函数与一元二次方程 5．（2022·云南·中考真题）已知抛物线经过点（0，2），且与轴交于A、B两点．设k是抛物线与轴交点的横坐标；M是抛物线的点，常数m>0，S为△ABM的面积．已知使S=m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和． (1)求c的值； (2)直接写出T的值； (3)求的值． 二次函数综合 6．（2021·云南·中考真题）已知抛物线经过点，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．设r是抛物线与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，． （1）求b、c的值： （2）求证：； （3）以下结论：，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 7．（2020·云南·中考真题）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．点为抛物线上的一个动点．过点作轴于点，交直线于点． （1）求、的值； （2）设点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，直接写出点的坐标； （3）在第一象限，是否存在点，使点到直线的距离是点到直线的距离的5倍？若存在，求出点所有的坐标；若不存在，请说明理由． 二次函数的图像和性质 1．（2024·云南·模拟预测）下列关于二次函数的说法正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．对称轴为 C．函数y的最小值为5 D．图象与x轴没有交点 2．（2023·云南红河·一模）如图是二次函数图象的一部分，与x轴一交点为，下列结论正确的个数有（　　） ①； ②； ③； ④； ⑤当时，不等式． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2024·云南玉溪·一模）如图，抛物线与轴交于点，则下列结论中正确的是 ．（填序号）    ①；    ②；    ③；    ④． 4．（23-24九年级上·云南曲靖·期末）在学习二次函数与一元二次方程时，从二次函数图象可得如下结论． 如果抛物线与x轴有公共点的横坐标是，那么当x＝时，函数值是0，因此是方程的一个根． 同学们，请你结合所学的数学知识解决下列问题 (1)若二次函数（m为常数）与x轴两交点的横坐标为，，，求二次函数的解析式； (2)不论 m为何值，该函数的图象都会经过一个定点，求定点的坐标； (3)在（1）的条件下，当，时，对应的函数值为N，Q，若求证： 5．（2024·云南·模拟预测）已知二次函数（为常数，且）. (1)求证：该函数的图象与轴总有两个公共点； (2)若点，在函数图象上，比较与的大小； 6．（2024·云南昆明·二模）在直角坐标系中，抛物线（是常数，）与轴相交于点． (1)已知，若，有最大值，求的值； (2)①求点坐标； ②已知，，若抛物线经过，和，且，求的取值范围． 7．（2024·云南·二模）我们约定：若关于的二次函数与同时满足，，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题． (1)若关于的二次函数与互为“美美与共”函数，求 ，，的值 ． (2)对于任意非零实数，，点与点始终在关于x的函数的图象上运动，函数与互为“美美与共”函数． ①求函数的图象的对称轴． ②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐 标；否则，请说明理由． 8．（2024·云南昭通·二模）已知关于x的二次函数（k为正整数） (1)当，求二次函数的对称轴和顶点坐标．． (2)是否存在一个k值，使得二次函数（k为正整数）与x轴的交点的横坐标都为整数，如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由． 9．（2024·云南昆明·二模）已知关于的二次函数的图象记为，图象关于直线对称． (1)若图象与轴交于，与轴交于，求的值； (2)若时，，，二次函数的最小值为，求证：以，，为三边的是直角三角形． 10．（2024·云南昆明·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为，． (1)求抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若 当 时，函数最小值为 ，求t的值； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点 A，B 之间的部分与线段 所围成的区域内(包括边界)恰有10个整点，求m的取值范围． 二次函数的最值 11．（2024·云南曲靖·二模）已知抛物线（，，为常数，） (1)若，，求此抛物线的顶点坐标； (2)在（1）的条件下，抛物线经过点，将抛物线的图象的部分向下平移（为正整数）个单位长度，平移后的图象恰好与轴有2个交点，若点与点在平移后的抛物线上（点，不重合），且点与点 关于对称轴对称，求代数式的值． 12．（2024·云南昭通·一模）已知点和在二次函数（a，b是常数，）的图象上，该图象与y轴交于点C． (1)当时，求a和b的值； (2)若二次函数的图象经过点且点N不在坐标轴上，当时，求n的取值范围． 13．（2024·云南昆明·三模）在平面直角坐标系中，如果点M的横坐标与纵坐标互为相反数，则称点M为智慧点，例如：点，…都是智慧点． (1)判断函数的图象上是否存在智慧点，若存在，求出其智慧点的坐标； (2)若二次函数的图象上有且只有一个智慧点，当时，函数的最小值为，最大值为0，求实数n的取值范围． 14．（2024·云南楚雄·二模）定义：对于一次函数（k，m是常数，）和二次函数（a，b，c是常数，），如果，，那么一次函数叫做二次函数的牵引函数，二次函数叫做一次函数的原函数． (1)若二次函数（a是常数，的图象与其牵引函数的图象有且只有一个交点，求a的值； (2)已知一次函数是二次函数的牵引函数，在二次函数上存在两点，．若也是该二次函数图象上的点，记二次函数图象在点A，M之间的部分为图象G（包括M，A两点），记图象G上任意一点纵坐标的最大值与最小值的差为t，且，求m的取值范围． 15．（2024·云南玉溪·二模）已知观察二次函数的图象后，发现当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，当时，的值为．点、（）是二次函数的图象上任意两点，设． (1)求此二次函数的解析式； (2)当时，求的最大值． 16．（2024·云南德宏·一模）如图，抛物线与轴交于、两点，点在点的左侧，与轴交于点，且． (1)求这条抛物线的解析式； (2)若点与点在（1）中的抛物线上，且，．求的值． 17．（2024·云南楚雄·模拟预测）已知抛物线经过点，． (1)求，的值； (2)若该抛物线与交于，两点（点在点的左侧），将这条抛物线向右平移个单位长度，平移后的抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧）若，线段的三等分点，求的值． 二次函数与一元二次方程 18．（2024·云南昆明·三模）平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A． (1)求点A的坐标及抛物线的对称轴； (2)已知点、，若线段与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 19．（2024·云南昭通·一模）已知抛物线． (1)求证：在平面直角坐标系中，该抛物线与轴总有两个公共点； (2)若点都在抛物线上，且，求的取值范围． 20．（2024·云南大理·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点． (1)求抛物线与轴的交点坐标； (2)已知点，，如果抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 二次函数综合 21．（2024·云南昭通·二模）如图，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式． (2)在坐标轴上是否存在一点，使是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（2024·云南楚雄·三模）点和在以直线为对称轴的抛物线上． (1)若其开口大小与抛物线相同，当时，求m的值与抛物线的解析式； (2)抛物线上存在一点若分别求m及的取值范围． 23．（2024·云南楚雄·三模）我国著名数学家华罗庚曾说过“数形结合百般好，隔裂分家万事休”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的． 请你结合所学的数学知识解决下列问题， 在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点，已知直线，设的图象为． (1)若的图象经过点，求它的解析式； (2)求证：无论取何实数，该函数图象与直线总有交点． 24．（23-24九年级下·云南·阶段练习）已知抛物线与直线． (1)求证：直线与抛物线总有公共点； (2)若直线与抛物线两交点的横坐标为，，且，抛物线与轴交于，两点（在的右侧），点在抛物线上，且在直线下方，连接交于点，连接，，记的面积为，的面积为，，求的最大值． 25．（2024·云南保山·一模）如图，抛物线过三点；点是第一象限内抛物线上的动点，点的横坐标是，且． (1)试求抛物线的表达式； (2)过点作轴并交于点，作轴并交抛物线的对称轴于点，若，求的值． 26．（2024·云南昆明·模拟预测）抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y输交于点，抛物线的顶点为M． (1)求a、c的值； (2)若点P是线段上一个动点，连接．问，是否存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似?若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 27．（2024·云南·一模）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点，例如：点，，都是和谐点． (1)判断函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标； (2)若二次函数的图象上有且只有一个和谐点．当时，函数的最小值为，最大值为0，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 二次函数 （解析版） 二次函数的图像和性质 1．（2020·云南昆明·中考真题）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（　　）    A．ab＜0 B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间 C．a＝ D．点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t＞时，y1＜y2 【答案】D 【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝−2a＜0，则可对A选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，则根据抛物线与x轴的交点问题可对B选项进行判断；把B（0，−2），A（−1，m）和b＝−2a代入抛物解析式可对C选项进行判断；利用二次函数的增减性对D进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1， ∴b＝﹣2a＜0， ∴ab＜0，所以A选项的结论正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间，所以B选项的结论正确； 把B（0，﹣2），A（﹣1，m）代入抛物线得c＝﹣2，a﹣b+c＝m， 而b＝﹣2a， ∴a+2a﹣2＝m， ∴a＝，所以C选项的结论正确； ∵点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上， ∴当点P1、P2都在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时t≥1； 当点P1在直线x＝1的左侧，点P2在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时0＜t＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即＜t＜1， ∴当＜t＜1或t≥1时，y1＜y2，所以D选项的结论错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与x轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的根．也考查了二次函数的性质． 2．（2024·云南·中考真题）已知抛物线的对称轴是直线．设是抛物线与轴交点的横坐标，记． (1)求的值； (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2)当时，；当时， ． 【分析】（1）由对称轴为直线直接求解； （2）当时，；当时， ． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴； （2）解：∵是抛物线与轴交点的横坐标， ∴， ∴， ∴， ∴， 而 代入得：， ∴， ∴， ∵， 解得：， 当时， ∴； 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的对称轴公式，与x轴交点问题，解一元二次方程，无理数的大小比较，解题的关键是对进行降次处理． 3．（2023·云南·中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题． 同学们，请你结合所学的数学解决下列问题． 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象． (1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点； (2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或或或 【分析】（1）分与两种情况讨论论证即可； （2）当时，不符合题意，当时，对于函数，令，得，从而有或，根据整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数，从而有或或或或或或或，解之即可． 【详解】（1）解：当时，，函数为一次函数，此时，令，则，解得， ∴一次函数与轴的交点为； 当时，，函数为二次函数， ∵， ∴ ， ∴当时，与轴总有交点， ∴无论取什么实数，图象与轴总有公共点； （2）解：当时，不符合题意， 当时，对于函数， 令，则， ∴， ∴或 ∴或， ∵，整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数， ∴或或或或或或或， 解得或或（舍去）或（舍去）或或或（舍去）或（舍去）， ∴或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系以及二次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质以及数形相结合的思想是解题的关键． 二次函数的最值 4．（2020·云南昆明·中考真题）如图，两条抛物线，相交于A，B两点，点A在x轴负半轴上，且为抛物线的最高点． （1）求抛物线的解析式和点B的坐标； （2）点C是抛物线上A，B之间的一点，过点C作x轴的垂线交于点D，当线段CD取最大值时，求． 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）先求出点A的坐标，再根据“点A为抛物线的最高点”可求出b的值，然后将点A代入可求出c的值，从而可得抛物线的解析式，最后设点B的坐标为，代入可得一个关于m、n的方程组，求解即可得； （2）设点C的坐标为，从而可得点D的坐标和a的取值范围，再利用二次函数的性质求出CD的最大值，然后根据三角形的面积公式即可得． 【详解】（1）对于抛物线 当时，，解得或 点A在x轴的负半轴上， ∴点 ∵点是抛物线的最高点 ∴抛物线的对称轴为，即 解得 把代入得： 解得 则抛物线的解析式为 设点B的坐标为 则，解得或 ∵ ∴ 答：抛物线的解析式为，点B的坐标为； （2）设点C的坐标为，则点D的坐标为 由题意得： 整理得： 由二次函数的性质可知，当时，CD随a的增大而增大；当时，CD随a的增大而减小 则当时，CD取得最大值，最大值为5 ，轴 边CD上的高为 则． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、二次函数的几何应用等知识点，较难的是题（2），利用二次函数的性质求出CD的最大值是解题关键． 二次函数与一元二次方程 5．（2022·云南·中考真题）已知抛物线经过点（0，2），且与轴交于A、B两点．设k是抛物线与轴交点的横坐标；M是抛物线的点，常数m>0，S为△ABM的面积．已知使S=m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和． (1)求c的值； (2)直接写出T的值； (3)求的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）将点（0，2）带入直接求解；（2）找到三个点M的纵坐标之间的而关系，即可求解；（3）将函数转化为方程，即可表示出，，带入原式即可求解． 【详解】（1）解：∵将点（0，2）带入得： ． （2）由（1）可知，抛物线的解析式为， ∵当S=m时恰好有三个点M满足， ∴必有一个M为抛物线的顶点，且M纵坐标互为相反数． 当时，． 即此时M（ ， ），则另外两个点的纵坐标为． ∴． （3）由题可知，，则 ∴ 则 ． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数与方程的关系、代数式求值等，属于综合题目，灵活运用代数计算是解题的关键． 二次函数综合 6．（2021·云南·中考真题）已知抛物线经过点，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．设r是抛物线与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，． （1）求b、c的值： （2）求证：； （3）以下结论：，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 【答案】（1）b=-16，c=-2；（2）见解析；（3）m＞1，证明见解析 【分析】（1）根据抛物线经过（0，-2）得到c值，再根据增减性得到对称轴，可得b值； （2）根据r是抛物线与x轴的交点得到r是方程的解，代入得到，计算出，可得，从而可得； （3）由变形可得，再证明r＜0，根据不等式的性质可得结果． 【详解】解：（1）∵抛物线经过点（0，-2）， ∴，即c=-2， ∵当x＜-4时，y随x的增大而增大，当x＞-4时，y随x的增大而减小， ∴直线x=-4是抛物线的对称轴， ∴，解得：b=-16， ∴b=-16，c=-2； （2）证明：∵b=-16，c=-2， ∴， ∵r是抛物线与x轴交点的横坐标， ∴r是方程的解， 即，则， ∴， ∴ = = ∵， ∴， ∴； （3）m＞1正确， 证明：由（2）可知：， ∴，即， ∴， 在中，令， 解得：或， ∴r＜0， ∴，， ∴， ∵， ∴，即m＞1． 【点睛】本题考查了二次函数综合，还涉及的二次函数的图像和性质，二次函数与x轴的交点，解一元二次方程，解题的关键是根据r是抛物线与x轴的交点得到关于r的方程，进行等式的变形． 7．（2020·云南·中考真题）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．点为抛物线上的一个动点．过点作轴于点，交直线于点． （1）求、的值； （2）设点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，直接写出点的坐标； （3）在第一象限，是否存在点，使点到直线的距离是点到直线的距离的5倍？若存在，求出点所有的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）b=-2,c=-3;（2）F（1，-2）（3）P（5,12） 【分析】（1）根据待定系数法即可求解； （2）根据题意求出B点坐标，得到直线BC的解析式，再根据对称性可得P点为直线BC与对称轴的交点，即可求解； （3）过P点作PG⊥BC的延长线于G点，过D点作DH⊥BC的延长线于H点，得到△DEH∽△PEG，根据题意可得，可设P（m, ）,E（m,m-3）表示出PE,DE，故可求出m的值，故可求解． 【详解】（1）把，代入 得 解得 ∴ （2）∵= ∴对称轴为x=1 ∵A， ∴A点关于x=1对称的点B为（3,0） 如图，连接BC， 设直线BC解析式为y=px+q 把B（3,0）,C（0，-3）代入得 解得 ∴直线BC解析式为y=x-3 当x=1时，y=-2 ∴直线BC交对称轴x=1与F（1，-2） ∵C=AC+AF+CF=AC+BF+CF=AC+BC, 故此时的周长最小，F（1，-2）； （3）存在点使点到直线的距离是点到直线的距离的5倍， 设P（m, ）, ∴E（m,m-3） 如图，过P点作PG⊥BC的延长线于G点，过D点作DH⊥BC的延长线于H点， ∴DH∥PG ∴△DEH∽△PEG ∴ ∵PE=-（m-3）=，DE=m-3 ∴ 解得m1=5，m2=3 m=3时，分母为0不符合题意，故舍去 ∴P（5,12）．    【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质、对称性及相似三角形的判定与性质． 二次函数的图像和性质 1．（2024·云南·模拟预测）下列关于二次函数的说法正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．对称轴为 C．函数y的最小值为5 D．图象与x轴没有交点 【答案】A 【分析】 本题考查的是二次函数的图象和性质、二次函数图象与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． 根据二次函数的图象和性质，对选项逐个判断即可． 【详解】解：， A．顶点坐标为，正确，该选项符合题意； B．对称轴为，错误，该选项不符合题意； C．函数y的最大值为5，错误，该选项不符合题意； D．图象与x轴有两个交点，错误，该选项不符合题意； 故选：A． 2．（2023·云南红河·一模）如图是二次函数图象的一部分，与x轴一交点为，下列结论正确的个数有（　　） ①； ②； ③； ④； ⑤当时，不等式． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式（组）之间的关系，二次函数的系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定． ①观察图象发现对称轴在y轴的右侧可判断a、b符号，同理根据抛物线与y轴的位置关系可判断c的符号，即可得出结论； ②根据抛物线的对称性找出兑成点即可得出结论． ③根据抛物线与x轴交点的个数判断时根的情况，再根据判别式即可得出结论． ④由图象可知当时开口向上有最小值，结合图象不难发现当有最小值，再将代入函数解析式得出从而进行比较即可得出结论． ⑤观察图象发现时，抛物线在负半轴可判断，即． 【详解】解：①∵对称轴在y轴右侧，开口向上， ∴，， ∴． 又∵抛物线交y轴于负半轴． ∴，即，故①错误； ②由图象可知：对称轴且与x轴的一个交点是， 另一个交点坐标为． 当时，． 即，即，故②正确． ③由图象可知：抛物线与x轴有两个交点， ∴有两个不相等的实数根． ∴． 即，故③错误． ④由图象知：当有最小值，当时． ∴当时有， 即：，故④错误． ⑤由图象可知：时，． 即，故⑤正确． 故选A． 3．（2024·云南玉溪·一模）如图，抛物线与轴交于点，则下列结论中正确的是 ．（填序号）    ①；    ②；    ③；    ④． 【答案】②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由图象可知，，可判断①的正误；当时，，可判断②的正误；由函数图象与轴有两个交点，则有两个不相等的实数根，即，可判断③的正误；将代入得，，可判断④的正误． 【详解】解：由图象可知，，①错误，故不符合要求； 当时，，②正确，故符合要求； 函数图象与轴有两个交点， ∴有两个不相等的实数根，即，③错误，故不符合要求； 将代入得，，④正确，故符合要求； 故答案为：②④． 4．（23-24九年级上·云南曲靖·期末）在学习二次函数与一元二次方程时，从二次函数图象可得如下结论． 如果抛物线与x轴有公共点的横坐标是，那么当x＝时，函数值是0，因此是方程的一个根． 同学们，请你结合所学的数学知识解决下列问题 (1)若二次函数（m为常数）与x轴两交点的横坐标为，，，求二次函数的解析式； (2)不论 m为何值，该函数的图象都会经过一个定点，求定点的坐标； (3)在（1）的条件下，当，时，对应的函数值为N，Q，若求证： 【答案】(1) (2) (3)见详解 【分析】 （1）由根与系数的关系得，求出，即可求解； （2）原函数解析式可化为，由不论m为何值，该函数的图象都会经过一个定点得，即可求解； （3）将，代入可求得，，①当时，可得，将其代入化成关于的二次函数，化成顶点式，由的性质即可求证；②当时，可得，同理可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， ， ， 解得：， ， 二次函数的解析式为； （2）解： ， 不论 m为何值，该函数的图象都会经过一个定点， 不含项， ， 解得 ， 当时， ； 该函数图象始终过定点； （3）证明：当，时， ， ， ， ， ①当时， ， ， ， ； ②当时， ， ， ， ； 综上所述：． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，一元二次方程根于系数的关系，待定系数法，函数图象过定点，二次函数的性质等，掌握二次函数的性质，根于系数的关系，能将函数图象过顶点转化为多项式不含某一项是解题的关键． 5．（2024·云南·模拟预测）已知二次函数（为常数，且）. (1)求证：该函数的图象与轴总有两个公共点； (2)若点，在函数图象上，比较与的大小； 【答案】(1)见解析 (2)当或时，；当时，；当时，． 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，比较二次函数值大小，掌握二次函数图象与轴的交点的横坐标即为相关一元二次方程的解和二次函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键． （1）令，则，可求出，，再根据，即得出方程有两个不相等的解，即说明该函数的图象与轴总有两个公共点； （2）将，代入，得：，，从而可求出，最后分类讨论解答即可． 【详解】（1）证明：令，即， 或， ∴，， ， ， 方程有两个不相等的实数根， 该函数的图象与轴总有两个公共点； （2）解：点，在函数图象上， 当时，， 当时，， ， 当或时，； 当时，； 当时，． 6．（2024·云南昆明·二模）在直角坐标系中，抛物线（是常数，）与轴相交于点． (1)已知，若，有最大值，求的值； (2)①求点坐标； ②已知，，若抛物线经过，和，且，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)①；② 【分析】（1）依据题意，由，可得，进而对称轴是直线，再结合当，有最大值，可得，计算可以得解； （2）依据题意，令，则，可得；依据题意，由，从而抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，再由抛物线过，，可得对称轴是直线，结合，且抛物线过，，，故，即，再分类讨论计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，∵， ∴， ∴对称轴是直线， ∵当，有最大值， 若开口向下， ∴当时，， ∴， ∴； 若开口向上， 当时，取最大值， ∴， ∴； 综上，或． （2）解：由题意，令，则， ∴， 由题意，∵， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， 又抛物线过，， ∴对称轴是直线， ∵，且抛物线过，，， ∴，即， 第一种情形：当时，即， ∴无解． 第二种情形：当时，即． ∴． ∴． 第三种情形：当时，即． ∴． ∴． 第四种情形：当时，即． ∴无解． 综上，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 7．（2024·云南·二模）我们约定：若关于的二次函数与同时满足，，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题． (1)若关于的二次函数与互为“美美与共”函数，求 ，，的值 ． (2)对于任意非零实数，，点与点始终在关于x的函数的图象上运动，函数与互为“美美与共”函数． ①求函数的图象的对称轴． ②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐 标；否则，请说明理由． 【答案】(1)的值为，的值为，的值为； (2)①函数的图像的对称轴为；②函数的图像过两个定点，，理由见解析； 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用； （1）根据题意得到即可解答； （2）①求出的对称轴，得到，表示出的解析式即可求解；②，令求解即可； 【详解】（1）解：由题意可知：， ∴． 答：的值为，的值为，的值为． （2）解：①∵点与点始终在关于x的函数的图像上运动， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴对称轴为． 答：函数的图像的对称轴为． ②， 令， 解得， ∴函数的图像过定点，． 8．（2024·云南昭通·二模）已知关于x的二次函数（k为正整数） (1)当，求二次函数的对称轴和顶点坐标．． (2)是否存在一个k值，使得二次函数（k为正整数）与x轴的交点的横坐标都为整数，如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系： （1）将代入函数解析式，利用顶点坐标公式进行求解即可； （2）令，得到，公式法求出方程的两个根，根据横坐标为整数，得到根号里面为完全平方数，进行求解后判断即可． 【详解】（1）解：当时，二次函数为： ， 的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：不存在，理由如下 令，方程为一元二次方程． 与轴的交点的横坐标都为整数， 是6的整数倍，且k为正整数 设（n为整数） 化简得：，解得： 为正整数，， 当时， 当时， 解得，不符合题意． 综上所述：不存在k的值，使得二次函数（k为正整数）与轴的交点的横坐标都为整数． 9．（2024·云南昆明·二模）已知关于的二次函数的图象记为，图象关于直线对称． (1)若图象与轴交于，与轴交于，求的值； (2)若时，，，二次函数的最小值为，求证：以，，为三边的是直角三角形． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了二次函数的性质，勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握二次函数的性质，勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据二次函数的对称轴为，且经过点，可得二次函数的顶点为，故二次函数的解析式为，再把代入中，可得． （2）当，对称轴为，函数最小值为，代入解析式中可得，即，又因为，所以可得，所以，又因为，且，所以，因为，，，所以，故由勾股定理的逆定理可得以，，为三边的是直角三角形． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴为，且经过点 二次函数的顶点为， 二次函数的解析式为 把代入中， 得． （2）证明：当，对称轴为，函数最小值为 ∴，， ∴ ∴ 又 可得， ， 又，且， ，，， ， 由勾股定理的逆定理可得以，，为三边的是直角三角形． 10．（2024·云南昆明·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为，． (1)求抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若 当 时，函数最小值为 ，求t的值； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点 A，B 之间的部分与线段 所围成的区域内(包括边界)恰有10个整点，求m的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 (2)的值为3或 (3)的取值范围为 【分析】（1）把解析式化成顶点式，即可求得抛物线的对称轴及顶点坐标； （2）分三种情况：，即时，随增大而减小，当时，则时，的最小值为，不符合题意，当时，随增大而增大，分别列方程求解即可； （3）根据题意判断出点的位置，利用待定系数法确定的范围． 【详解】（1）解：， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：若，抛物线为， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即时，随增大而减小， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 的值为， 当时，则时，的最小值为，不符合题意， 当时，随增大而增大， 由题意得：， 解得：（舍去），， 的值为3， 综上所述，的值为3或； （3）解：抛物线的对称轴是：直线，顶点坐标为， 如图所示，抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域内（包括边界）恰有10个整点， 点在与之间， 当抛物线经过点时，，， 当抛物线经过点时，，， 的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，抛物线与轴的交点，把二次函数解析式化为顶点式，解题的关键是灵活运用相关知识解决问题． 二次函数的最值 11．（2024·云南曲靖·二模）已知抛物线（，，为常数，） (1)若，，求此抛物线的顶点坐标； (2)在（1）的条件下，抛物线经过点，将抛物线的图象的部分向下平移（为正整数）个单位长度，平移后的图象恰好与轴有2个交点，若点与点在平移后的抛物线上（点，不重合），且点与点 关于对称轴对称，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)17． 【分析】（1）先根据题意求出对称轴为，将其代入抛物线方程即可得到顶点坐标； （2）先根据顶点坐标设抛物线的解析式，求得抛物线的解析式，由于为正整数，分成，，，，时，分别讨论部分平移后的图象与轴的交点个数，从而得到的值，再根据（1）可知抛物线平移后的对称轴为，且点S与点 Q关于对称轴对称，可得，即，将其代入代数式即可． 【详解】（1）对称轴为， ，即， ， 将代入得， ，即 顶点坐标为； （2）由（1）可知的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入，得， 解得：， ， 抛物线与轴交于点，顶点坐标为， 因为为正整数，那么 当时，抛物线表达式为， 当时，，解得， 此时抛物线与轴的交点有2个，其中， 但是题目中要求，所以需舍掉，所以当时，抛物线与轴的交点为1个； 当时，抛物线的表达式为， 当时，，解得，，此时抛物线与轴的交点有2个， 但是题目中要求，所以需舍掉，所以当时，抛物线与轴的交点为1个； 当时，抛物线的表达式为， 当时，，解得，，，，满足的要求，此时抛物线与轴的交点有2个； 当时，抛物线表达式为，此时，抛物线与轴交点为1个； 当时，抛物线与轴交点为0个； 综上所述，； 由（1）可知平移之后抛物线的对称轴为：， 点与点 关于对称， ， 将代入代数式 则 故代数式的值为 17． 【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，顶点坐标，二次函数的对称性，二次函数的平移，解一元二次方程，一元二次方程的判别式等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 12．（2024·云南昭通·一模）已知点和在二次函数（a，b是常数，）的图象上，该图象与y轴交于点C． (1)当时，求a和b的值； (2)若二次函数的图象经过点且点N不在坐标轴上，当时，求n的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征是解题的关键． （1）用待定系数法求出函数解析式即可得到答案； （2）先求出对称轴为，再根据图象经过点且点不在坐标轴上，得到即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，二次函数的图象过 ，解得， 即：； （2）的图象过点 ∴其对称轴为 又的图象过点 ，即，则， ，有 点N不在坐标轴上 且， 且． 13．（2024·云南昆明·三模）在平面直角坐标系中，如果点M的横坐标与纵坐标互为相反数，则称点M为智慧点，例如：点，…都是智慧点． (1)判断函数的图象上是否存在智慧点，若存在，求出其智慧点的坐标； (2)若二次函数的图象上有且只有一个智慧点，当时，函数的最小值为，最大值为0，求实数n的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，二次函数与一次函数交点问题． （1）根据智慧点定义得到点在上，联立求解即可得到答案； （2）根据智慧点联立二次函数与一次函数求解出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：点的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点为智慧点， 智慧点都在上， 则， 解得， 图象上的智慧点为； （2）解：二次函数的图象上有且只有一个智慧点， ∴，即有两个相等的实数根， ， 解得①， 将代入得， ②， 联立①②，得，即， 解得：，则， ， 其顶点坐标为， ， 二次函数，开口向上， ，函数有最小值， 令， 解得：或， 时，函数有最小值，最大值为0， 时，函数的最小值为，最大值为0， 实数的取值范围为． 14．（2024·云南楚雄·二模）定义：对于一次函数（k，m是常数，）和二次函数（a，b，c是常数，），如果，，那么一次函数叫做二次函数的牵引函数，二次函数叫做一次函数的原函数． (1)若二次函数（a是常数，的图象与其牵引函数的图象有且只有一个交点，求a的值； (2)已知一次函数是二次函数的牵引函数，在二次函数上存在两点，．若也是该二次函数图象上的点，记二次函数图象在点A，M之间的部分为图象G（包括M，A两点），记图象G上任意一点纵坐标的最大值与最小值的差为t，且，求m的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）首先表示出二次函数（a是常数，）的牵引函数，联立两函数解析式得到一元二次方程，根据只有一个交点令，即可求出a的值； （2）首先求出一次函数的原函数，得到，，对称轴为直线，顶点坐标为．得到，，当点M在点A的左侧，即时，y随x的增大而减小，得到，解得；设点A的对称点为，当点M在点A与点之间时， ，不符合题意；当点M在点的右侧，即时．y随x的增大而增大，，解得． 【详解】（1）由题意，得二次函数的牵引函数为， 联立， 得． ∵二次函数（a是常数，）的图象与其牵引函数的图象有且只有一个交点， ∴ 解得或． （2）由题意可知原函数的解析式为， ∴当时，；当时，． ，，原函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． ∴， 当时，， ∴． ①如答图①，当点M在点A的左侧，即，时，y随x的增大而减小， ∴M点的纵坐标最大，A点的纵坐标最小， ∴， 解得或（舍去）． ②如答图②，设点A的对称点为，当点M在点A与点之间时，，即，而，不符合题意； ③如答图③，当点M在点的右侧，即，时．y随x的增大而增大， ∴M点的纵坐标最大，点的纵坐标最小， ∴， 解得（舍去）或． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了新定义——牵引函数和原函数，熟练掌握新定义，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和二次函数的图象唯一交点性质，二次函数的对称性和增减性，是解题的关键． 15．（2024·云南玉溪·二模）已知观察二次函数的图象后，发现当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，当时，的值为．点、（）是二次函数的图象上任意两点，设． (1)求此二次函数的解析式； (2)当时，求的最大值． 【答案】(1) (2)2028 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数的性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用对称轴结合待定系数法求解即可； （2）根据题意得到点、关于对称，进而得到，再根据二次函数的最值求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题意得：对称轴为：，即：，得：． 当时，的值为，即：，得：． 此二次函数的解析式为． （2）解：， 点、关于对称， ，即，， ，， ． 当时，，． ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值，最大值． 答：的最大值为2028． 16．（2024·云南德宏·一模）如图，抛物线与轴交于、两点，点在点的左侧，与轴交于点，且． (1)求这条抛物线的解析式； (2)若点与点在（1）中的抛物线上，且，．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求函数解析式、与坐标轴的交点问题； （1）先确定点的坐标，根据，在点的左侧，可得出点的坐标，将点坐标代入可得出抛物线解析式； （2）由抛物线可知对称轴为，因为点与点纵坐标相等，可得出两点关于抛物线对称轴对称，从而可得出的表达式，变形后代入即可得出答案； 【详解】（1）解：当 时， ， ∴与y轴交于点， ∵抛物线与轴交于、两点，， ∵点在点的左侧，， ∴抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为 ； （2）， 抛物线的对称轴为直线 ， 在中的抛物线上， ， 轴 ， 解得 ∴ 答：的值为4 17．（2024·云南楚雄·模拟预测）已知抛物线经过点，． (1)求，的值； (2)若该抛物线与交于，两点（点在点的左侧），将这条抛物线向右平移个单位长度，平移后的抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧）若，线段的三等分点，求的值． 【答案】(1)， (2)的值为或 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，二次函数的平移等． （1）根据待定系数法求抛物线的解析式即可求出，的值； （2）先求出抛物线与轴的交点坐标，求出的值；分为两种情况：①当点在点的左侧时，根据三等分点的定义得出，再求的值；②当点在点的右侧时，根据三等分点的定义得出，再求的值． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得． （2）解：由（1）可知，该抛物线的解析式为， 在中，令， 得， 解得，， ∴，， ∴； ①当点在点的左侧时，如图： ∵，是线段的三等分点， ∴， ∴， ②当点在点的右侧时，如图： ∵，是线段的三等分点， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 二次函数与一元二次方程 18．（2024·云南昆明·三模）平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A． (1)求点A的坐标及抛物线的对称轴； (2)已知点、，若线段与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 【答案】(1)，抛物线得对称轴为 (2)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，通过分类讨论及数形结合的方法求解． （1）令可求点坐标，将抛物线解析式化为顶点式可求对称轴． （2）由点为顶点，点在直线上运动，通过数形结合求解． 【详解】（1）解：令，则， ， ， ∴抛物线的对称轴为． （2）∵抛物线的对称轴为． 设点关于对称轴的对称点为点， ∴． ∵， ∴点都在直线上． 当时，如图， 当点在点的左侧(包括点)或点在点的右侧（包括点)时，线段与抛物线只有一个公共点． ∴或． ∴(不合题意，舍去)或． ②当时，如图，当在点与点之间（包括点，不包括点)时，线段与抛物线只有一个公共点． ， ， 又， ， 综上所述，的取值范围为或． 19．（2024·云南昭通·一模）已知抛物线． (1)求证：在平面直角坐标系中，该抛物线与轴总有两个公共点； (2)若点都在抛物线上，且，求的取值范围． 【答案】(1)详见解析 (2)的取值范围是或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数与轴的交点问题，采用数形结合的思想与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由题意得出，结合得出，再由即可得出，从而得解； （2）求出抛物线的对称轴为直线，再分情况：当，即时，当，即时；分别画出草图，结合图形求解即可得出答案． 【详解】（1）证明：由题意得：． ， ． ， 即． 在平面直角坐标系中，该抛物线与轴总有两个公共点． （2）解：点都在抛物线上， 抛物线的对称轴为． 当，即时， ， 可作抛物线草图如图1、2： 由图可知，此时点的横坐标小于0，与题目矛盾，故舍去． 当，即时， ， 可作抛物线草图如图3： 由图可得，， 解得，． 作抛物线草图如图4： 由图可得，， 解得，． 综上所述，的取值范围是或． 20．（2024·云南大理·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点． (1)求抛物线与轴的交点坐标； (2)已知点，，如果抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)当或时，抛物线与线段恰有一个公共点． 【分析】（）当时，，再解方程即可得到结论； （）根据点，，抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，即可求的取值范围； 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）当时，， ∴，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，； （2）当时，点在点上方时，抛物线与线段恰有一个公共点， 可知， 解得：， ∴的取值范围为； 当时，点在抛物线过与轴的交点，之间时，抛物线与线段恰有一个公共点, ∴的取值范围为， 此时，抛物线与线段有一个公共点， 综上所述，当或时，抛物线与线段恰有一个公共点． 二次函数综合 21．（2024·云南昭通·二模）如图，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式． (2)在坐标轴上是否存在一点，使是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）将代入，可求，进而可得抛物线的解析式； （2）令，则，可求，，则，当在轴上时，设，则，由是以为底边的等腰三角形，可得，即，计算求解即可；当在轴上时，设，同理求解即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得，，， ∴， 当在轴上时，设，则， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴，即， 解得，， ∴； 当在轴上时，设，则， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴，即， 解得，， ∴； 综上所述，坐标轴上存在一点，使是以为底边的等腰三角形，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数与特殊的三角形综合．熟练掌握二次函数解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数与特殊的三角形综合是解题的关键． 22．（2024·云南楚雄·三模）点和在以直线为对称轴的抛物线上． (1)若其开口大小与抛物线相同，当时，求m的值与抛物线的解析式； (2)抛物线上存在一点若分别求m及的取值范围． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据判定点和是对称点，得到，结合开口大小与抛物线相同，得到，继而求得，确定解析式即可． （2）根据抛物线上存在一点得到，结合得到，建立不等式计算即可． 本题考查了抛物线的对称性，不等式组的构建与解答，正确构建不等式组是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴点和是对称点， ∴， ∵开口大小与抛物线相同， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为． （2）∵抛物线上存在一点， ∴， ∵抛物线， ∴开口向上，且距离对称轴的距离越大，其对应的函数值越大， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得． 23．（2024·云南楚雄·三模）我国著名数学家华罗庚曾说过“数形结合百般好，隔裂分家万事休”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的． 请你结合所学的数学知识解决下列问题， 在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点，已知直线，设的图象为． (1)若的图象经过点，求它的解析式； (2)求证：无论取何实数，该函数图象与直线总有交点． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点问题： （1）利用待定系数法求解即可； （2）当时，此时函数解析式，此时该函数图象与直线交于点；当时，联立，得，再利用判别式法求解即可． 【详解】（1）解：∵的图象经过点， ∴将点带入得，， ． （2）证明：①当时，此时函数解析式， 该函数图象与直线交于点； ②当时，联立，得， ∴， ∴该函数图象与直线有交点； 综上所述，无论取何实数，该函数图象与直线总有交点． 24．（23-24九年级下·云南·阶段练习）已知抛物线与直线． (1)求证：直线与抛物线总有公共点； (2)若直线与抛物线两交点的横坐标为，，且，抛物线与轴交于，两点（在的右侧），点在抛物线上，且在直线下方，连接交于点，连接，，记的面积为，的面积为，，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）联立两个函数式子，再用根的判别式列式求证即可； （2）过点作平行于轴，交于点，根据函数式子分别表达出和的长度，利用三角形等高的面积比值关系转化为相似三角形的边长比，运算求解即可． 【详解】（1）解：联立和可得： 当时，则有：， 整理得：， ∴设，，， ∴， 又∵， ∴， ∴直线与抛物线总有公共点； （2）解：由（1）可得： ∵， ∴， 解得：， ∴， 把代入可得：， 解得：，， ∴，， ∴可由题意作出图象，并过点作平行于轴，交于点，如图所示：    把代入可得：， 解得：， ∴， ∴， ∵点在抛物线上， ∴设点，则， 把点代入可得：， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵与以和为底边时，底边上的高一样， ∴， 整理得：， ∴当时，分式中的分子最大，最大为， ∴的最大值为． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数的图象性质，一次函数的图象性质，相似三角形的性质及判定等知识点，合理作出辅助线，把三角形的面积比转化为相似三角形的相似比是解题的关键． 25．（2024·云南保山·一模）如图，抛物线过三点；点是第一象限内抛物线上的动点，点的横坐标是，且． (1)试求抛物线的表达式； (2)过点作轴并交于点，作轴并交抛物线的对称轴于点，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—线段问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由（1）知，抛物线的对称轴为直线，求出直线为：，设则，，结合，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过三点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线， 设直线：， ∵在上， ∴， 解得，， ∴直线为：， 由点是第一象限内抛物线上的动点，点的横坐标是，且， 设 ∴，， ∵ ， 解得，（舍） ． 26．（2024·云南昆明·模拟预测）抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y输交于点，抛物线的顶点为M． (1)求a、c的值； (2)若点P是线段上一个动点，连接．问，是否存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似?若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1, (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定定理是解题的关键．（1）根据题意，得，解方程组求解即可； （2）根据，，分，,计算求解即可． 【详解】（1）根据题意，得． 解得， 故，． （2）∵，， ∴． ∴， 故， ∵，点，， ∴，，， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点P作轴于点F， 则， ∴， ∴． 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点P作轴于点G， 则， ∴， ∴; 综上所述，存在点P使得O,P，C为顶点的三角形与相似，且或． 27．（2024·云南·一模）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点，例如：点，，都是和谐点． (1)判断函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标； (2)若二次函数的图象上有且只有一个和谐点．当时，函数的最小值为，最大值为0，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查二次函数与一次函数的关系，一次函数与一次函数交点问题： （1）根据和谐点定义得到点在上，联合求解即可得到答案； （2）根据和谐点联立二次函数与一次函数求解即可得到答案； 【详解】（1）解：点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点， 和谐点都在上，， 解得， 图象上的和谐点为； （2）解：二次函数的图象上有且只有一个和谐点， ∴，即有两个相等的实数根， ， 解得①， 将代入得， ②， 联立①②，得，， ， 其顶点坐标为，则最小值为， 根据对称轴可知，当时，， 根据函数图象可知，当时，函数的最小值为，最大值为0， 实数的取值范围为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$