专题07 一次函数与反比例函数（六大题型）【好题汇编】-5年（2020-2024）中考1年模拟数学分类汇编（云南专用）

专题07 一次函数与反比例函数 （解析版） 函数基础知识 1．（2023·云南·中考真题）函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】要使有意义，则分母不为0，得出结果． 【详解】解：要使有意义得到，得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数自变量取值范围，分式有意义的条件，理解分母不为零是解决问题的关键． 一次函数的实际应用 2．（2024·云南·中考真题）、两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢． 某超市销售、两种型号的吉祥物，有关信息见下表： 成本（单位：元/个） 销售价格（单位：元/个） 型号 35 a 型号 42 若顾客在该超市购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元． (1)求、的值； (2)若某公司计划从该超市购买、两种型号的吉祥物共90个，且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，又不超过种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为元，求的最大值． 注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数、一元一次不等式、二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是解题的关键． （1）根据“购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元”建立二元一次方程组求解，即可解题； （2）根据“且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，又不超过种型号吉祥物数量的2倍．”建立不等式求解，得到，再根据总利润种型号吉祥物利润种型号吉祥物利润建立关系式，最后根据一次函数的性质即可得到的最大值． 【详解】（1）解：由题知，， 解得； （2）解：购买种型号吉祥物的数量个， 则购买种型号吉祥物的数量个， 且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的， ， 解得， 种型号吉祥物的数量又不超过种型号吉祥物数量的2倍． ， 解得， 即， 由题知，， 整理得， 随的增大而减小， 当时，的最大值为． 3．（2023·云南·中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题． 同学们，请你结合所学的数学解决下列问题． 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象． (1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点； (2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或或或 【分析】（1）分与两种情况讨论论证即可； （2）当时，不符合题意，当时，对于函数，令，得，从而有或，根据整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数，从而有或或或或或或或，解之即可． 【详解】（1）解：当时，，函数为一次函数，此时，令，则，解得， ∴一次函数与轴的交点为； 当时，，函数为二次函数， ∵， ∴ ， ∴当时，与轴总有交点， ∴无论取什么实数，图象与轴总有公共点； （2）解：当时，不符合题意， 当时，对于函数， 令，则， ∴， ∴或 ∴或， ∵，整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数， ∴或或或或或或或， 解得或或（舍去）或（舍去）或或或（舍去）或（舍去）， ∴或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系以及二次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质以及数形相结合的思想是解题的关键． 4．（2023·云南·中考真题）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买两种型号的帐篷．若购买种型号帐篷2顶和种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买种型号帐篷3顶和种型号帐篷1顶，则需2800元． (1)求每顶种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格； (2)若该景区需要购买两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买种型号帐篷和种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？ 【答案】(1)每顶种型号帐篷的价格为600元，每顶种型号帐篷的价格为1000元 (2)当种型号帐篷为5顶时，种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元． 【分析】（1）根据题意中的等量关系列出二元一次方程组，解出方程组后得到答案； （2）根据购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，列出一元一次不等式，得出种型号帐篷数量范围，再根据一次函数的性质，取种型号帐篷数量的最大值时总费用最少，从而得出答案． 【详解】（1）解：设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元． 根据题意列方程组为：， 解得， 答：每顶种型号帐篷的价格为600元，每顶种型号帐篷的价格为1000元． （2）解：设种型号帐篷购买顶，总费用为元，则种型号帐篷为顶， 由题意得， 其中，得， 故当种型号帐篷为5顶时，总费用最低，总费用为， 答：当种型号帐篷为5顶时，种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式应用及一次函数的应用，找出准确的等量关系及不等关系是解题的关键． 5．（2022·云南·中考真题）某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病霉．若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元：若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元． (1)每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，其中购买甲消毒液a桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍．怎样购买．才能使总费用W最少？并求出最少费用， 【答案】(1)每桶甲消毒液的价格是45元、每桶乙消毒液的价格是35元； (2)当甲消毒液购买18桶，乙消毒液购买12桶时，所需资金总额最少，最少总金额是1230元． 【分析】（1）设每桶甲消毒液的价格是x元、每桶乙消毒液的价格是y元，根据题意列二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意可得出关于a的一元一次不等式组 ，解之即可得出a的取值范围，再根据所需资金总额=甲种消毒液的价格×购进数量+乙种消毒液的价格×购进数量，即可得出W关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每桶甲消毒液的价格是x元、每桶乙消毒液的价格是y元， 依题意，得：， 解得：， 答：每桶甲消毒液的价格是45元、每桶乙消毒液的价格是35元； （2）解：购买甲消毒液a桶，则购买乙消毒液(30-a)桶， 依题意，得：(30-a)+5≤a≤2(30-a)， 解得17.5≤a≤20， ∵a为正整数， ∴a取18、19、20， 而W=45a+35(30-a)=10a+1050， ∵10＞0， ∴W随a的增大而增大， ∴当a=18时，W取得最小值，最小值为10×18+1050=1230， 此时30－18＝12， 答：当甲消毒液购买18桶，乙消毒液购买12桶时，所需资金总额最少，最少总金额是1230元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式． 6．（2021·云南·中考真题）某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案． 方案一：没有底薪，只付销售提成； 方案二：底薪加销售提成． 如图中的射线，射线分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资（单位：元）和（单位：元）与其当月鲜花销售量x（单位：千克）（）的函数关系． （1）分别求﹑与x的函数解析式（解析式也称表达式）； （2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？ 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据图像中l1和l2经过的点，利用待定系数法求解即可； （2）分别根据方案一和方案二列出不等式组，根据解集情况判断即可． 【详解】解：（1）根据图像，l1经过点（0，0）和点（40，1200）， 设的解析式为，则， 解得：， ∴l1的解析式为， 设的解析式为， 由l2经过点（0，800），（40，1200）， 则，解得：， ∴l2的解析式为； （2）方案一：，即， 解得：； 方案二：，即，即，无解， ∴公司没有采用方案二， ∴公司采用了方案一付给这名销售人员3月份的工资． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是结合图像，求出两种方案对应的解析式． 7．（2020·云南·中考真题）众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到地和地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表： 目的地 车型 地（元/辆） 地（元/辆） 大货车 900 1000 小货车 500 700 现安排上述装好物资的20辆货车（每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资）中的10辆前往地，其余前往地，设前往地的大货车有辆，这20辆货车的总运费为元． （1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？ （2）求与的函数解析式，并直接写出的取值范围； （3）若运往地的物资不少于140吨，求总运费的最小值． 【答案】（1）大货车有辆，则小货车有辆；（2）；（3）当时，（元）． 【分析】（1）设20辆货车中，大货车有辆，则小货车有辆，列一元一次方程可得答案； （2）先确定调往各地的车辆数，根据题意列出函数关系式即可，根据车辆数不能为负数，得到的取值范围； （3）先求解的范围，再利用函数的性质求解运费的最小值． 【详解】解：（1）设20辆货车中，大货车有辆，则小货车有辆，则 答：20辆货车中，大货车有辆，则小货车有辆． （2）如下表，调往两地的车辆数如下， 则 由 （3）由题意得： ＞ 所以随的增大而增大， 当时，（元）． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式（组）的应用，同时考查了一次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键． 反比例函数的定义 8．（2024·云南·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入求值，即可解题． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 故答案为：． 反比例函数的图像与性质 9．（2022·云南·中考真题）反比例函数y=的图象分别位于（    ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】A 【分析】根据反比函数的图象和性质，即可求解． 【详解】解：∵6＞0， ∴反比例函数y=的图象分别位于第一、第三象限． 故选：A 【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而增大是解题的关键． 求反比例函数的解析式 10．（2023·云南·中考真题）若点是反比例函数图象上一点，则常数的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】将点代入反比例函数，即可求解． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 11．（2021·云南·中考真题）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为 ． 【答案】 【分析】先设，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式． 【详解】解：设反比例函数的解析式为（k≠0）， ∵函数经过点（1，-2）， ∴，得k=-2， ∴反比例函数解析式为， 故答案为：． 【点睛】此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点． 12．（2020·云南·中考真题）已知一个反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则 ． 【答案】-3 【分析】首先设反比例函数关系式为y＝，根据图象所经过的点可得k＝3×1＝3，进而得到函数解析式，再根据反比例函数图象上点的坐标特点可得m的值． 【详解】设反比例函数关系式为y＝（k≠0）， ∵反比例函数图象经过点（1，−1）， ∴k＝3×1＝3， ∴反比例函数解析式为y＝， ∵图象经过， ∴-1×m＝3， 解得：m＝−3， 故答案为：-3． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k． 反比例函数与一次函数的综合 13．（2020·云南昆明·中考真题）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min． （1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？ （2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明． 【答案】（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要3min和5min；（2）一班学生能安全进入教室，计算说明过程见解析． 【分析】（1）设校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和，再根据题干信息建立二元一次方程组，然后解方程组即可得； （2）先求出完成11间教室的药物喷洒所需时间，再根据一次函数的解析式求出点A的坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数的解析式，最后根据反比例函数的解析式求出时，y的值，与1进行比较即可得． 【详解】（1）设校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和 则 解得 答：校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和； （2）一间教室的药物喷洒时间为，则11个房间需要 当时， 则点A的坐标为 设反比例函数表达式为 将点代入得：，解得 则反比例函数表达式为 当时， 故一班学生能安全进入教室． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、反比例函数与一次函数的综合等知识点，较难的是题（2），依据题意，正确求出反比例函数的解析式是解题关键． 函数基础知识 1．（2024·云南昭通·二模）函数的自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 故选：D 2．（2024·云南昆明·三模）在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．即根据二次根式的性质：被开方数大于等于0，列不等式求解，即可解题． 【详解】解：函数解析式为， 自变量x的取值范围是，解得， 故选：B． 3．（2024·云南昭通·二模）函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选：C． 4．（2024·云南楚雄·二模）已知函数在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据分式的分母不为0，以及被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，且， ∴且； 故选C． 一次函数的实际应用 5．（2024·云南楚雄·模拟预测）产业扶贫为乡村振兴注入新动力，某驻村扶贫小组帮助农户进行荔枝种植和销售．已知荔枝的成本为元/千克，规定销售单价大于成本价，但不高于元/千克．经过市场调查发现，某天荔枝的销售量（千克）与销售单价（元/千克）的函数关系如图所示．设这一天销售荔枝获得的利润为元． (1)求与的函数表达式． (2)当销售单价定为多少元/千克时，该天销售荔枝获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价定为元/千克时，该天销售荔枝获得的利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，分段函数的表示，一次函数和二次函数的性质．根据分段函数对应的自变量的取值范围和函数的增减性，进行分析和判断是解题的关键． （1）根据函数图象中的数据，可得当时，，当时，根据待定系数法求函数解析式即可求解； （2）分别列出与的函数关系式，结合一次函数和二次函数的性质，可以求得的最大值． 【详解】（1）解：由题图可得，当时，； 当时，设与的函数表达式为 则可得， 解得， 即当时，与的函数表达式为． 综上所述，与的函数表达式为． （2）解：当时，． ∵， ∴W随x的增大而增大， ∴当时，取得最大值，此时； 当时，． ∵， ∴当时，随的增大而增大， 又∵， ∴当时，取得最大值，此时； ∵， ∴当销售单价定为元/千克时，该天销售荔枝获得的利润最大，最大利润是元． 6．（2024·云南昆明·二模）某演唱会购买门票的方式有两种．方式一：若单位赞助广告费万元，则该单位所购门票的价格为每张万元；（注：方式一中总费用广告赞助费门票费．）方式二：按如图所示购买门票方式．设购买门票张，总费用为万元． (1)求按方式一购买时与的函数关系式； (2)若甲、乙两个单位分别采用方式一、方式二购买本场演唱会门票共张，且乙单位购买超过张，两单位共花费万元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？ 【答案】(1) (2)甲单位购买本场演唱会门票张，乙单位购买本场演唱会门票张 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和题目中的数据，可以直接写出按方式一购买时与的函数关系式； （2）根据函数图象中的数据，可以求得当时，按方式二购买时与的函数关系式，然后设按方式一购买的门票，再根据两单位共花费万元，可以列出相应的方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 按方式一购买时与的函数关系式是； （2）解：当时，设按方式二购买时与的函数关系式是， 点，在该函数图象上， ∴， 解得， 即当时，按方式二购买时与的函数关系式是， 设按方式一购买本场演唱会门票张，则按方式二购买本场演唱会门票张， 由题意可得：， 解得， ∴， 答：甲单位购买本场演唱会门票张，乙单位购买本场演唱会门票张． 7．（2024·云南昭通·二模）某精品店直接从工厂购进A、B两款雨伞，第一次用600元购进A款雨伞，用250元购进B款雨伞，A款雨伞所购数量是B款雨伞所购数量的2倍，同时每把A款雨伞的进价比B款雨伞多5元． (1)求这两款雨伞每把的进价分别是多少元? (2)若该精品店A款的售价为55元把，B款的售价为45元把，第一次购进的雨伞售完后，该精品店计划再次购进A、B两款雨伞共80把（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．如何购进A、B两款雨伞，才能使所获得的销售利润W最大?最大利润值为多少? 【答案】(1)该精品店A款雨伞的进价为30元把，B款雨伞的进价为25元把 (2)A、B两款雨伞各40把，销售利润最大，最大利润为1800元 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一查的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设款雨伞每把的进价是元，则款雨伞每把的进价是元，根据用600元购进款雨伞，用250元购进款雨伞，款雨伞所购数量是款雨伞所购数量的2倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进款雨伞把，则购进款雨伞把，根据进货总价不高于2200元．列出一元一次不等式，解得，再求出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）设款雨伞每把的进价是元，则款雨伞每把的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：款雨伞每把的进价是30元，款雨伞每把的进价是25元； （2）设购进款雨伞把，则购进款雨伞把， 由题意得：， 解得：， ， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值， 此时，， 答：购进款雨伞40把，款雨伞40把，才能使所获得的销售利润最大，最大利润值为1800元． 8．（2024·云南楚雄·三模）2023年“五一”假期，昆明校场路蓝花楹主题公园成为热门网红打卡地后，公园开始售卖蓝花楹主题雪糕，每根成本价为3元，经调查，每天的销售量（根）与每根的售价（元）之间的函数关系式如图所示． (1)求与的函数关系式； (2)设每天的总利润（元），若每根雪糕的售价为整数，则售价定为多少元时，获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)每根雪糕的售价定为9元时或者10元时，获利最大，最大利润是420元 【分析】本题考查了二次函数的性质与应用，一次次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （2）由题意得出，结合二次函数的性质，得对称轴为直线，当或者10时，有最大值，代入求值，即可作答． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 将代入，得 ， 解得， 所以与的函数关系式为． （2）解：由题意，可知： ， ∵， ∴该拋物线开口向下， ∴对称轴为直线 ∵为整数， ， ∴当或者10时，有最大值， 最大值为， 答：每根雪糕的售价定为9元时或者10元时，获利最大，最大利润是420元． 9．（2024·云南昭通·二模）古人言：“读书可以启智，读书可以明理，读书可以医愚”．某校计划购进x本某品牌图书，已知该品牌图书的售价为每本20元，经过协商，该品牌图书销售商给出两种优惠方案： 方案一：所有该品牌图书都按原价的八折销售； 方案二：充值30元办理一张该品牌图书的专购优享卡，购买该品牌图书时，每本将在原价八折的基础上再降1元． (1)分别求方案一的实际付款金额（元）和方案二的实际付款金额（元）与（本）之间的函数关系式； (2)请为该学校写出较为省钱的购买方案． 【答案】(1)， (2)当学校购买该品牌图书少于30本时，按方案一购买较为省钱；当购买该品牌图书正好30本时，两种方案费用一样；当购买该品牌图书多于30本时，按方案二购买较为省钱 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键； （1）根据题意分别列出两种方案的函数关系式即可； （2）由(1)可得， ，利用分类讨论的方法即可得出答案． 【详解】（1）由题知， ． （2）由(1)可得， 当时， ， ∴， 当时， ， ∴， 当时， ， ∴， 综上所述，当学校购买该品牌图书少于30本时，按方案一购买较为省钱；当购买该品牌图书正好30本时，两种方案费用一样；当购买该品牌图书多于30本时，按方案二购买较为省钱． 反比例函数的定义 10．（2024·云南昭通·一模）若反比例函数的图象经过点和，则的值为（    ） A． B． C．3 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了求反比例函数值，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积相等进行求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和， ∴， ∴， 故选：A． 11．（2024·云南楚雄·一模）若点在反比例函数的图象上，则a的值是（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数图象的性质，把点代入反比例函数即可求解； 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， ， 故选：C． 12．（2024·云南昆明·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图像经过点和，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】根据反比例函数图像上的点的两个坐标的积等于定值k，得，解答即可．本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质，并列出等式是解题的关键． 【详解】∵函数的图像经过点和， ， ， 故答案为：1． 13．（2024·云南曲靖·模拟预测）若点在反比例函数的图象上，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据点在反比例函数的图象上，代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 反比例函数的图像与性质 14．（2024·云南昆明·三模）已知反比例函数的图象分别位于第二、四象限，则k的值可以是（    ） A．5 B．3 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数的性质．先根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围，进而可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象分别位于第二、四象限， ∴， ∴k的值可以是． 故选：D． 15．（2024·云南德宏·一模）已知点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征；根据反比例函数的图象与性质进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限， ∴在每一个象限中，y随x的增大而减小， ∵，在的图象上， ∴ 故选：C． 16．（2024·云南昆明·二模）若反比例函数的图象经过点，则它的图象所在的象限为（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，先由待定系数法确定函数表达式，再由反比例函数图象与性质，数形结合即可得到答案，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ，即反比例函数为， ， 反比例函数的图象所在的象限为第二、四象限， 故选：B． 17．（2024·云南昭通·二模）如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数的图像上的一点，过点作轴于点，连接，已知的面积是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的系数k的几何意义，根据的面积是，得到，得到，再根据函数图象得到，即可得出结果． 【详解】解：根据题意得：， ，即 ， ， 故答案为：． 18．（22-23九年级上·安徽亳州·期末）已知反比例函数的图象位于第二、第四象限，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据双曲线分布的象限，得到，然后解不等式即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，解得， 故答案为：． 求反比例函数的解析式 19．（2024·云南昭通·二模）如图，点在反比例函数的图象上，过点P分别向x轴、y轴作垂线、，若矩形的面积为6，则k的值为（　　） A．12 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何定义，理解反比例函数解析式k的几何定义是解题关键．根据题意，由反比例函数解析式的k几何定义得，即可得出k的值． 【详解】解：∵点在反比例函数 的图象上，轴，轴， ∴， ∴， 故选：C． 20．（2024·云南·模拟预测）已知点与点关于轴对称，若反比例函数的图象经过点，则的值为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，要熟练掌握代入法求解析式，关于y轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数等基本知识点． 根据两点关于y轴对称的点的坐标特点，求A点坐标，即可将A点坐标代入中求k的值． 【详解】∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为 ∵反比例函数的图象经过点， ∴，即． 故选：B． 21．（2024·云南楚雄·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点，都在反比例函数的图象上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数的系数，可得出，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵，都在反比例函数的图象上， ∴， 解得：． 故答案为：． 22．（2024·云南昆明·一模）若反比例函数的图象经过点和，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征．把和代入解析式，求得，据此求解即可． 【详解】解：把和代入解析式， 得：， 解得：， ∴． 故答案为：1． 反比例函数与一次函数的综合 23．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数和，它们在同一平面直角坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据确定一次函数一定经过第一、第三象限，与y轴的交点，根据交点的坐标，确定的分布，本题考查了一次函数与反比例函数的图象分布，熟练掌握分布特点是解题的关键． 【详解】解：A选项 中一次函数的系数小于0，与中的系数矛盾，故不符合题意； B选项中一次函数经过第一、第三象限，与y轴的交点，故；故反比例函数图象分布在第二、第四象限，符合题意； C选项中一次函数经过第一、第三象限，与y轴的交点，故；故反比例函数图象分布在第二、第四象限，现分布一三象限，矛盾，不符合题意；     D选项中一次函数经过第一、第三象限，与y轴的交点，故；故反比例函数图象分布在第一、第三象限，现分布二四象限，矛盾，不符合题意；     故选B． 24．（2023·湖北襄阳·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分两种情况讨论：当时，可排除B；当时，排除C、D． 【详解】解：当时，反比例函数过一三象限，一次函数与y轴正半轴有交点，过一二三象限，故A正确，排除B； 当时，反比例函数过二四象限，一次函数与y轴负半轴有交点，过二三四象限，排除C、D； 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数、一次函数综合问题，掌握数形结合的思想是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一次函数与反比例函数 （原卷版） 函数基础知识 1．（2023·云南·中考真题）函数的自变量的取值范围是 ． 一次函数的实际应用 2．（2024·云南·中考真题）、两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢． 某超市销售、两种型号的吉祥物，有关信息见下表： 成本（单位：元/个） 销售价格（单位：元/个） 型号 35 a 型号 42 若顾客在该超市购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元． (1)求、的值； (2)若某公司计划从该超市购买、两种型号的吉祥物共90个，且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，又不超过种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为元，求的最大值． 注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差． 3．（2023·云南·中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题． 同学们，请你结合所学的数学解决下列问题． 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象． (1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点； (2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由． 4．（2023·云南·中考真题）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买两种型号的帐篷．若购买种型号帐篷2顶和种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买种型号帐篷3顶和种型号帐篷1顶，则需2800元． (1)求每顶种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格； (2)若该景区需要购买两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买种型号帐篷和种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？ 5．（2022·云南·中考真题）某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病霉．若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元：若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元． (1)每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，其中购买甲消毒液a桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍．怎样购买．才能使总费用W最少？并求出最少费用， 6．（2021·云南·中考真题）某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案． 方案一：没有底薪，只付销售提成； 方案二：底薪加销售提成． 如图中的射线，射线分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资（单位：元）和（单位：元）与其当月鲜花销售量x（单位：千克）（）的函数关系． （1）分别求﹑与x的函数解析式（解析式也称表达式）； （2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？ 7．（2020·云南·中考真题）众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到地和地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表： 目的地 车型 地（元/辆） 地（元/辆） 大货车 900 1000 小货车 500 700 现安排上述装好物资的20辆货车（每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资）中的10辆前往地，其余前往地，设前往地的大货车有辆，这20辆货车的总运费为元． （1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？ （2）求与的函数解析式，并直接写出的取值范围； （3）若运往地的物资不少于140吨，求总运费的最小值． 反比例函数的定义 8．（2024·云南·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则 ． 反比例函数的图像与性质 9．（2022·云南·中考真题）反比例函数y=的图象分别位于（    ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 求反比例函数的解析式 10．（2023·云南·中考真题）若点是反比例函数图象上一点，则常数的值为（    ） A．3 B． C． D． 11．（2021·云南·中考真题）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为 ． 12．（2020·云南·中考真题）已知一个反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则 ． 反比例函数与一次函数的综合 13．（2020·云南昆明·中考真题）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min． （1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？ （2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明． 函数基础知识 1．（2024·云南昭通·二模）函数的自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·云南昆明·三模）在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·云南昭通·二模）函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·云南楚雄·二模）已知函数在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 一次函数的实际应用 5．（2024·云南楚雄·模拟预测）产业扶贫为乡村振兴注入新动力，某驻村扶贫小组帮助农户进行荔枝种植和销售．已知荔枝的成本为元/千克，规定销售单价大于成本价，但不高于元/千克．经过市场调查发现，某天荔枝的销售量（千克）与销售单价（元/千克）的函数关系如图所示．设这一天销售荔枝获得的利润为元． (1)求与的函数表达式． (2)当销售单价定为多少元/千克时，该天销售荔枝获得的利润最大？最大利润是多少元？ 6．（2024·云南昆明·二模）某演唱会购买门票的方式有两种．方式一：若单位赞助广告费万元，则该单位所购门票的价格为每张万元；（注：方式一中总费用广告赞助费门票费．）方式二：按如图所示购买门票方式．设购买门票张，总费用为万元． (1)求按方式一购买时与的函数关系式； (2)若甲、乙两个单位分别采用方式一、方式二购买本场演唱会门票共张，且乙单位购买超过张，两单位共花费万元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？ 7．（2024·云南昭通·二模）某精品店直接从工厂购进A、B两款雨伞，第一次用600元购进A款雨伞，用250元购进B款雨伞，A款雨伞所购数量是B款雨伞所购数量的2倍，同时每把A款雨伞的进价比B款雨伞多5元． (1)求这两款雨伞每把的进价分别是多少元? (2)若该精品店A款的售价为55元把，B款的售价为45元把，第一次购进的雨伞售完后，该精品店计划再次购进A、B两款雨伞共80把（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．如何购进A、B两款雨伞，才能使所获得的销售利润W最大?最大利润值为多少? 8．（2024·云南楚雄·三模）2023年“五一”假期，昆明校场路蓝花楹主题公园成为热门网红打卡地后，公园开始售卖蓝花楹主题雪糕，每根成本价为3元，经调查，每天的销售量（根）与每根的售价（元）之间的函数关系式如图所示． (1)求与的函数关系式； (2)设每天的总利润（元），若每根雪糕的售价为整数，则售价定为多少元时，获利最大？最大利润是多少？ 9．（2024·云南昭通·二模）古人言：“读书可以启智，读书可以明理，读书可以医愚”．某校计划购进x本某品牌图书，已知该品牌图书的售价为每本20元，经过协商，该品牌图书销售商给出两种优惠方案： 方案一：所有该品牌图书都按原价的八折销售； 方案二：充值30元办理一张该品牌图书的专购优享卡，购买该品牌图书时，每本将在原价八折的基础上再降1元． (1)分别求方案一的实际付款金额（元）和方案二的实际付款金额（元）与（本）之间的函数关系式； (2)请为该学校写出较为省钱的购买方案． 反比例函数的定义 10．（2024·云南昭通·一模）若反比例函数的图象经过点和，则的值为（    ） A． B． C．3 D．12 11．（2024·云南楚雄·一模）若点在反比例函数的图象上，则a的值是（    ） A． B．1 C． D．3 12．（2024·云南昆明·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图像经过点和，则m的值为 ． 13．（2024·云南曲靖·模拟预测）若点在反比例函数的图象上，则m的值为 ． 反比例函数的图像与性质 14．（2024·云南昆明·三模）已知反比例函数的图象分别位于第二、四象限，则k的值可以是（    ） A．5 B．3 C．0 D． 15．（2024·云南德宏·一模）已知点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 16．（2024·云南昆明·二模）若反比例函数的图象经过点，则它的图象所在的象限为（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限 17．（2024·云南昭通·二模）如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数的图像上的一点，过点作轴于点，连接，已知的面积是，则 ． 18．（22-23九年级上·安徽亳州·期末）已知反比例函数的图象位于第二、第四象限，则k的取值范围为 ． 求反比例函数的解析式 19．（2024·云南昭通·二模）如图，点在反比例函数的图象上，过点P分别向x轴、y轴作垂线、，若矩形的面积为6，则k的值为（　　） A．12 B． C．6 D． 20．（2024·云南·模拟预测）已知点与点关于轴对称，若反比例函数的图象经过点，则的值为（    ） A． B．2 C．4 D． 21．（2024·云南楚雄·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点，都在反比例函数的图象上，则的值为 ． 22．（2024·云南昆明·一模）若反比例函数的图象经过点和，则的值是 ． 反比例函数与一次函数的综合 23．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数和，它们在同一平面直角坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 24．（2023·湖北襄阳·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$