1.2空间向量基本定理（2课时）（教学设计）-2024-2025学年高二数学同步教学一课到位（人教A版2019选择性必修第一册）

1.2《 空间向量基本定理》教学设计 一.教学目标 1.认识与理解空间向量基本定理及其意义，基底与基向量，以及单位正交基底；（数学抽象） 2.根据空间向量基本定理，熟练掌握利用基底表示空间向量的方法与技巧.（数学运算、逻辑推理、直观想象） 二.教学过程 (一)复习导入——平面向量基本定理（导学） 1.平面向量基本定理 如图所示，如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 如果不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 注：由平面向量基本定理知，任一向量都可以由基底唯一表示. 2.问题 类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量来表示呢? 【设计意图】通过复习平面向量基本定理，类比平面向量基本定理，自然引申出本节课的教学重点——空间向量基本定理. （二）探究新知1——空间向量基本定理（互学） 1.探究 我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论. 如图 ，设 是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点，对于任意一个空间向量 , 设为在所确定的平面上的投影向量， 则 (三角形法则) 又∵向量，共线， ∴ 存在唯一的实数，使得 (向量共线定理) ∴ 又∵在所确定的平面上，由平面向量基本定理可知：存在唯一的有序实数对，使得 ∴ . 故可得如下结论:如果是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 . 我们称分别为向量在上的分向量. 2.思考1 如果用任意三个不共面的向量代替两两垂直的向量 ，你能得出类似的结论吗? 3.空间向量基本定理 由上探究，类似平面向量基本定理，我们可得如下定理： 空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 . 4.思考2 你能类比探究过程，证明空间向量基本定理成立吗? （三）探究新知2——基底与基向量（互学） 由空间向量基本定理可知： 如果三个向量不共面，那么所有空间向量组成的集合就是 这个集合可看作由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底， 都叫做基向量. 注：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. （四）探究新知3——单位正交基底与正交分解（互学） 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1， 那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示， 由空间向量基本定理可知，对空间中的意向量均可以分解为三个向量，使 ⃗ 像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. (五)小结（互学） 1.提示一 由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来. 2.提示二 进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为基向量间的运算，这为解决问题带来了方便. 【设计意图】通过类比平面向量基本定理，学习与认识空间向量基本定理及其意义，基底与基向量，以及单位正交基底，同时也潜意识地培养学生数学抽象、直观想象的核心素养. （六）小组合作、讨论交流1(自学) 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 例1 如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，， 试用向量表示. 【设计意图】体现以学生为主体的教育理念，让学生以小组为单位进行充分的思考与讨论，题目有针对性的考察了空间向量基本定理的实际运用. （七）成果展示1(迁移变通、检测实践) 例1解: ∵向量是空间中三个不共面的向量 ∴ 据空间向量基本定理可得 注：据加法的平行四边形法则可知——“三角形中线所表示的向量等于与它相邻两边表示向量之和的一半” 【设计意图】通过学生展示，让学生充当小老师，从自己的角度牢固掌握空间向量基本定理，同时也锻炼了学生的语言表达能力，培养了学生直观想象、数学抽象的核心素养. （8） 提升演练(检测实践) 例2 如图，在平行六面体中，，，,分别为的中点， 求证. 证明：设, 这三个向量不共面， 构成空间的一个基底，我们可以用它们表示, 则, ∵ ∴ 故 温馨提示：利用空间向量解决立体几何问题是我们学习空间向量的意义所在. 例3 如图，正方体的棱长为分别为的中点. (1)求证:; (2)求所成角的余弦值. 证明（1）： 设 , ∵构成空间的一个单位正交基底， ∴ ∴ ∴ (向量共线定理) ∴ 解（2）: ∵ ∴ 故所成角的余弦值为. 【设计意图】通过提升演练，进一步让学生牢固掌握空间向量基本定理，检测学生掌握知识的能力同时，也充分地体现了“以学为重、以用为本”的教育教学理念，. 三、课堂小结：本节课我们都学习了那些知识？ 1.认识与理解了空间向量基本定理及其意义，基底与基向量，以及单位正交基底；（数学抽象） 2.根据空间向量基本定理，熟练掌握了利用基底表示空间向量的方法与技巧.（数学运算、逻辑推理） 四、家庭作业 1.记背今天所学知识点； 2.完成导学案达标检测题目. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$