暑期结业测试卷（提高卷）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（苏科版）

暑期结业检测卷（提高卷） 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）下列方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）已知的半径是5，，则点P与的位置关系是（  ） A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．不能确定 4．（23-24九年级上·广西南宁·期末）如图，在中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·浙江温州·期中）据海关总署统计，2021年我国汽车出口量约为200万辆，出口量逐年增加，2023年出口量约为522万辆，若2021年到2023年的年平均增长率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·江苏南通·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2024·陕西咸阳·一模）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中，“圆”有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图1是某园林中的圆弧形门洞，其数学模型如图2所示，该圆弧形门洞的半径为1.3米，E为圆上一点，，于点F，且米，则门洞的跨径的长为（    ） A．0.5米 B．1米 C．1.2米 D．1.3米 8．（2024·安徽淮南·三模）如图，正三角形和正六边形都内接于连接则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·江苏连云港·二模）如图，内切于正方形，边、分别与切于点、，点、分别在线段 、上，且与相切．若的面积为，则的半径为（    ）    A． B． C． D． 10．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，半径为2，圆心角为的扇形的弧上有一动点P，从点P作于点H，设的三个内角平分线交于点M，当点P在弧上从点A运动到点B时，点M所经过的路径长是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（2024·四川成都·中考真题）如图，在扇形中，，，则的长为 ． 12．（2024·江苏南京·模拟预测）设、是方程的两个根，则 ． 13．（2024·广东深圳·二模）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则 ． 14．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出小分支的数量是 ． 15．（2024·江苏南京·三模）如图，菱形的顶点在上，且与相切，若的半径为1，则菱形的周长为 ． 16．（2024·四川成都·三模）魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率．刘徽形容“割圆术”为：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．”已知的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形近似估计的面积，可得的近似值为 ． 17．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有实数根，设此方程的一个实数根为t，令，则y的取值范围是 ． 18．（2024·江苏苏州·一模）如图，已知中，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 三、解答题（10小题，共64分） 19．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 20．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)求证：无论m取何值，方程总有实数根． 21．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）用一个直角边长分别为3和4的直角纸片剪半圆，要求剪出的半圆的直径在的边上，且半圆的弧与另两边都相切，请用尺规作出示意图，并求出相应半圆的半径．    22．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有三点．    (1)在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置； (2)圆心M的坐标为_______； (3)点D坐标为，连接，判断直线与的位置关系，并说明理由． 23．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习） 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法，以为例，大致过程如下： 第一步：将原方程变形为．即． 第二步：构造一个长为x，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示． 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示． 第四步：将大正方形边长用含x的代数式表示为______．小正方形边长为常数______，长方形面积之和为常数______．由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程__________，两边开方可求得，． (1)单选题：这一过程体现的数学思想是（    ） A．统计思想    B．化归思想    C．分类讨论思想  D．数形结合思想 (2)第四步中横线上应依次填入______，______，______，______； (3)请参考古人的思考过程，画出示意图，写出步骤，解方程． 24．（23-24八年级下·江苏南通·期末）【综合与实践】 任务主题：某校数学活动小组探究“西瓜购买、销售方案的选择”． 数据信息：A超市和B水果店售卖同品种西瓜． 信息1：A超市西瓜的售价为4元/千克，无论购买多少均不打折； 信息2：B水果店西瓜的售价为5元/千克，若一次购买3千克以上，超过3千克的部分打折销售； 信息3：B水果店销售西瓜的部分小票统计如下表（精确到1千克）： 购买量/千克 1 2 3 4 5 6 … 付款金额/元 5 10 15 18.5 22 25.5 … 问题解决： 任务1：请分别直接写出在A超市与B水果店购买西瓜的付款金额（元）与购买量（千克）之间的函数关系式： 任务2：某酒店承办活动需购买一批西瓜，请通过计算说明选择哪家更合算： 任务3：已知西瓜的进货成本为3元/千克，市场调研发现：如果A超市以4元/千克销售，平均每天可以售出200千克．为了减少库存，超市决定降价销售，根据近期销售情况发现，销售单价每降低元，销售量就会增加20千克，在尽可能减少库存的情况下，该超市将售价定为多少元时，每天的销售利润为168元？ 25．（2024·江苏淮安·一模）如图，是的外接圆，是直径，作与过点A的切线交于点D，连接并延长交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积（结果保留π） 26．（2024·江苏南京·二模）千姿百态的桥 问题：景区计划在半径为的人工湖上修建景观桥，为容纳更多游客赏景休闲，需要景观桥长度最大．现有以下三种设计方案，分别求出每种设计方案中桥长的最大值，景观桥的宽度忽略不计． “型” （1）如图①，若点，，，在上，则的最大值为　　； “型” （2）如图②，若点，，在上，且．求的最大值； “型” （3）如图③，若点，，在上，且，垂足为，则的最大值为　　． 27．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：      (1)试判断方程是否为“勾系一元二次方程”． (2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求的面积． 28．（2023·浙江台州·二模）如图1，五边形是的内接五边形，，对角线于点． (1)①若，则_______； ②猜想和的数量关系，并证明； (2)如图2，当经过圆心时，若，，求； (3)作于点，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑期结业检测卷（提高卷） 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）下列方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程．通过定义判断即可． 【详解】解：A．不符合一元二次方程的定义，故A不符合题意； B．即，符合一元二次方程的定义，故B符合题意； C．等式左边含有分式，不是一元二次方程，故C不符合题意； D．中应该才是一元二次方程，故D不符合题意． 故选：B． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故选：． 3．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）已知的半径是5，，则点P与的位置关系是（  ） A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．直接根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：的半径是5，的长为4，， 点在圆内． 故选：B 4．（23-24九年级上·广西南宁·期末）如图，在中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆心角，弧，弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，由此即可得到答案． 【详解】解：，， ． 故选：D． 5．（23-24八年级下·浙江温州·期中）据海关总署统计，2021年我国汽车出口量约为200万辆，出口量逐年增加，2023年出口量约为522万辆，若2021年到2023年的年平均增长率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用预计到2023年的出口量年的出口量年到2023年的年平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 6．（23-24八年级下·江苏南通·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：， 故选：C． 7．（2024·陕西咸阳·一模）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中，“圆”有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图1是某园林中的圆弧形门洞，其数学模型如图2所示，该圆弧形门洞的半径为1.3米，E为圆上一点，，于点F，且米，则门洞的跨径的长为（    ） A．0.5米 B．1米 C．1.2米 D．1.3米 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理的应用，根据即可求解． 【详解】由题意得：米，米 ∴米， ∵， ∴（米）， ∴米， 故选：B． 8．（2024·安徽淮南·三模）如图，正三角形和正六边形都内接于连接则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是正多边形与圆，等腰三角形的性质，先求解，，再进一步结合等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵正三角形， ∴， ∵， ∴， ∵正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选D 9．（2024·江苏连云港·二模）如图，内切于正方形，边、分别与切于点、，点、分别在线段 、上，且与相切．若的面积为，则的半径为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形内切圆的性质，正方形的性质、勾股定理切线长定理等知识，设与相切与点K，设正方形的边长为．因为是切线，可得，，设，在中，以为，则，推出，根据，构建方程求出a即可解决问题； 【详解】解：如图所示，设与相切与点K， 由题意得， 由切线长定理可知，   设正方形边长为，，则 ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴的半径为， 故选：D．    10．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，半径为2，圆心角为的扇形的弧上有一动点P，从点P作于点H，设的三个内角平分线交于点M，当点P在弧上从点A运动到点B时，点M所经过的路径长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算公式：，其中表示弧长，表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质．如图，连接，由的内心为M，可得到，并且易证，得到，所以点M在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上；过、M、三点作，如图，连，，在优弧取点，连接，，可得，得，，然后利用弧长公式计算弧的长即可． 【详解】解：如图，连接， 的内心为M， ，， ， ∵， ∴， ， 又，为公共边， 而， ， ， 所以点M在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上； 过、M、三点作，如图，连接，，在优弧取点，连接，， ， ， ， ∵， ， 弧的长， 所以内心M所经过的路径长为． 故选：B． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（2024·四川成都·中考真题）如图，在扇形中，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了弧长公式，把已知数据代入弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意得的长为 ， 故答案为： 12．（2024·江苏南京·模拟预测）设、是方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，方程解的定义，掌握一元二次方程根与系数关系，方程解的定义是解题的关键． 首先根据根与系数关系得到，之后将代入方程中得到，变形为，两式相加即可得到答案． 【详解】解：、是方程的两个根， ， ． 故答案为：． 13．（2024·广东深圳·二模）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程解的意义是解本题的关键．把代入一元二次方程中求出a的值，再根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得或， ∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴． ∴a的值为0． 故答案为：0． 14．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出小分支的数量是 ． 【答案】9 【分析】本题涉及一元二次方程的应用，根据主干、支干和小分支的总数为91列出方程求解即可. 解答此题的关键是根据主干、支干和分支的关系列出方程． 【详解】设每个支干长出的小分支的数目是个，根据题意列方程得：， 解得：或（不合题意，应舍去）． ∴． 故答案为：9． 15．（2024·江苏南京·三模）如图，菱形的顶点在上，且与相切，若的半径为1，则菱形的周长为 ． 【答案】 【分析】连接，先根据切线的性质得出，再根据菱形的性质得出，再根据外角的性质，进而得出，根据直角三角形30度角所对的边是斜边的一半可得，再由勾股定理求解即可． 【详解】连接， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为1， ∴， ∴， ∴菱形的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形外角的性质，菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键． 16．（2024·四川成都·三模）魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率．刘徽形容“割圆术”为：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．”已知的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形近似估计的面积，可得的近似值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，圆的面积，正确地作出辅助线是解题的关键． 过作于，求得，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，于是得到正十二边形的面积为，根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心，    过作于， 在正十二边形中，， ， ， 正十二边形的面积为， ， ， 的近似值为3， 故答案为：3． 17．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有实数根，设此方程的一个实数根为t，令，则y的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义，不等式的性质，熟练的运用一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是解本题的关键．由一元二次方程根的判别式先求解，根据一元二次方程的解的定义得出代入代数式，进而即可求解． 【详解】解： 关于x的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 设此方程的一个实数根为， ， ，即 故答案为：． 18．（2024·江苏苏州·一模）如图，已知中，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，如图所示，由圆周角定理的推论得到，从而确定动点在以中点为圆心、为半径的圆弧上运动，如图所示，由点到圆周上动点距离最值的求法转化为，利用勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 以为直径作， ，则， ， 动点在以中点为圆心、为半径的圆弧上运动，如图所示： 连接，在中，由三角形三边关系可得，从而当三点共线时，可取到最小值，为， 已知中，，， 在中，，则的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及圆的性质、圆周角定理的推论、动点最值问题-圆弧型、三角形三边关系、勾股定理等知识，熟练掌握动点最值问题-圆弧型的解法步骤是解决问题的关键． 三、解答题（10小题，共64分） 19．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，； 【分析】（1）运用直接开平方法解方程，先移项再系数化1，最后开方，即可作答． （2）利用配方法解方程，先移项再配方，最后开方，即可作答； 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ，； （2）解： ， ， ，即， ， ，； 20．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)求证：无论m取何值，方程总有实数根． 【答案】(1)， (2)见详解 【分析】本题考查了解一元二次方程及一元二次方程的根的判别式的应用， （1）当时，原方程为用因式分解法解方程即可； （2）利用根的判别式进行证明即可． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ∴ ∴，； （2）， ， ， ∵， ∴， ∴不论m取任何值，该方程总有实数根． 21．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）用一个直角边长分别为3和4的直角纸片剪半圆，要求剪出的半圆的直径在的边上，且半圆的弧与另两边都相切，请用尺规作出示意图，并求出相应半圆的半径．    【答案】见解析，半圆的半径为 【分析】本题考查的是切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．根据切线的性质得到，，根据三角形的面积公式求出半圆的半径． 【详解】解：如图，    作的平分线交于，则点为所要剪出的半圆的圆心， 设半圆与、切于、，连接、， 则，， 设半圆的半径为， 则， 解得：， 答：半圆的半径为． 22．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有三点．    (1)在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置； (2)圆心M的坐标为_______； (3)点D坐标为，连接，判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2) (3)相切，理由见详解 【分析】本题考查作图−复杂作图、直线与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）利用网格画出线段和线段的垂直平分线，交点即为点M． （2）根据图形即可得出点M的坐标． （3）连接，利用勾股定理判定，则直线为的切线． 【详解】（1）解：如图，点M即为所求． （2）解：由图可知，点M的坐标为． 故答案为：． （3）解：直线与相切． 理由：连接， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴直线是的切线． 23．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习） 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法，以为例，大致过程如下： 第一步：将原方程变形为．即． 第二步：构造一个长为x，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示． 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示． 第四步：将大正方形边长用含x的代数式表示为______．小正方形边长为常数______，长方形面积之和为常数______．由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程__________，两边开方可求得，． (1)单选题：这一过程体现的数学思想是（    ） A．统计思想    B．化归思想    C．分类讨论思想  D．数形结合思想 (2)第四步中横线上应依次填入______，______，______，______； (3)请参考古人的思考过程，画出示意图，写出步骤，解方程． 【答案】(1)D (2)，2，12， (3)图见解析，， 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）根据题意，表示出大正方形的边长，小正方形的边长，长方形面积之和，再由大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和列出方程即可得到答案； （3）先将原方程变形，构造出一个长为，宽为的长方形，长比宽大1，且面积为3，再用四个这样的长方形围城一个大正方形，中间是一个小正方形，然后根据大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得出一个方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）∵用几何法对一元二次方程进行求解的方法， ∴这一过程体现的数学思想是数形结合思想 故选：D； （2）解：根据题意可得： 大正方形的边长为：， 小正方形的边长为：， 长方形面积之和为：， 大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和， ； （3）解：第一步：将原方程变形为，即， 第二步：构造成一个长为，宽为的长方形，长比宽大1，且面积为3， 第三步：用四个这样的长方形围城一个大正方形，中间是一个小正方形，如图所示， ，           第四步：将大正方形边长用含的代数式表示为， 小正方形边长为常数， 长方形面积之和为常数， 由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和， 得方程， 两边开方可求得，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 24．（23-24八年级下·江苏南通·期末）【综合与实践】 任务主题：某校数学活动小组探究“西瓜购买、销售方案的选择”． 数据信息：A超市和B水果店售卖同品种西瓜． 信息1：A超市西瓜的售价为4元/千克，无论购买多少均不打折； 信息2：B水果店西瓜的售价为5元/千克，若一次购买3千克以上，超过3千克的部分打折销售； 信息3：B水果店销售西瓜的部分小票统计如下表（精确到1千克）： 购买量/千克 1 2 3 4 5 6 … 付款金额/元 5 10 15 18.5 22 25.5 … 问题解决： 任务1：请分别直接写出在A超市与B水果店购买西瓜的付款金额（元）与购买量（千克）之间的函数关系式： 任务2：某酒店承办活动需购买一批西瓜，请通过计算说明选择哪家更合算： 任务3：已知西瓜的进货成本为3元/千克，市场调研发现：如果A超市以4元/千克销售，平均每天可以售出200千克．为了减少库存，超市决定降价销售，根据近期销售情况发现，销售单价每降低元，销售量就会增加20千克，在尽可能减少库存的情况下，该超市将售价定为多少元时，每天的销售利润为168元？ 【答案】任务1：A超市：，B水果店： 任务2：当时，选择A超市更合算；当时，选择选择A超市和B水果一样；当时选择B水果店更合算． 任务3：该超市将售价定为元时，每天的销售利润为168元． 【分析】任务1∶根据题意可直接列出A超市的函数关系式，对B水果店分类讨论，当时，可直接列出函数关系式，当时，用待定系数法求解即可． 任务2：分情况讨论，分别列出一元一次不等式以及一元一次方程求解即可． 任务3：设每个售价为x元，根据题意列出关于x的一元二次方程求解即可． 【详解】解：任务1：依题意，A超市：， B水果店：当时，， 当时，设付款金额与购买量之间的函数关系式为：， 把，代入得： ， 解得：， ∴． ∴B水果店：． 任务2：∵， ∴当时，选择A超市更合算； 由，得． ∴时，选择A超市更合算∶ 由，得． ∴当时，选择A超市和B水果店付款金额相同； 由，得． ∴当时，选择乙商店更合算． 综上，当时，选择A超市更合算；当时，选择选择A超市和B水果一样；当时选择B水果店更合算． 任务3：设每个售价为x元， 则销售量为：， 则， 整理得：， 解得：，（舍去） ∴该超市将售价定为元时，每天的销售利润为168元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式以及一元一次方程，一元二次方程的应用，理解题意是解题关键． 25．（2024·江苏淮安·一模）如图，是的外接圆，是直径，作与过点A的切线交于点D，连接并延长交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积（结果保留π） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形面积的计算． （1）连接，如图，先根据切线的性质得，再根据平行线的性质，由得，根据，则，接着证明，得到，于是可根据切线的判定定理得到是的切线； （2）求出的长，根据“” 进行计算即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵，且 ∴ 由勾股定理得， 又， ∴ 解得， ∴ 26．（2024·江苏南京·二模）千姿百态的桥 问题：景区计划在半径为的人工湖上修建景观桥，为容纳更多游客赏景休闲，需要景观桥长度最大．现有以下三种设计方案，分别求出每种设计方案中桥长的最大值，景观桥的宽度忽略不计． “型” （1）如图①，若点，，，在上，则的最大值为　　； “型” （2）如图②，若点，，在上，且．求的最大值； “型” （3）如图③，若点，，在上，且，垂足为，则的最大值为　　． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据题意得出，，即可得出结论； （2）连接，过点作于点，根据度的圆周角所对的弦是直径及勾股定理得，继而得到，再根据，得到，即可得出结论； （3）如图，过点作于点，延长交于点，连接，设，，得到，由垂径定理得，根据勾股定理得，即，由一元二次方程根的判别式得，继而得到，则，可得结论． 【详解】解：（1）∵点，，，在半径为的上， ∴，， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：； （2）连接，过点作于点， ∵，的半径为， ∴， ∴， ∵， 即当时，的面积取得最大值， ∴，即， ∴， ∴的最大值为； （3）如图，过点作于点，延长交于点，过点作于点，连接，，设，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，当点与点重合时，取“”， ∵， ， ∴， ∵，即， 整理，得：， ∴， 解得：， ∴， ∴ ， ∴的最大值为 故答案为：． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了弦与直径的关系，度的圆周角所对的弦是直径，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式等知识点．掌握圆的基本性质是解题的关键． 27．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：      (1)试判断方程是否为“勾系一元二次方程”． (2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求的面积． 【答案】(1)是勾系一元二次方程； (2)2． 【分析】（1）根据定义，把方程变形为，得到，满足，判断即可． （2）根据方程根的定义，新定义，完全平方公式，变形计算即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，方程根，完全平方公式，熟练掌握定义，定理，公式是解题的关键． 【详解】（1）根据定义，方程变形为， 得到， 且， 故方程是否为“勾系一元二次方程”． （2）∵是“勾系一元二次方程”的一个根， ∴， ∴， ∵四边形的周长是12， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 故的面积为2． 28．（2023·浙江台州·二模）如图1，五边形是的内接五边形，，对角线于点． (1)①若，则_______； ②猜想和的数量关系，并证明； (2)如图2，当经过圆心时，若，，求； (3)作于点，求的值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①连接，由题意可得，根据圆周角定理可得，以此即可求解； ②连接，根据三角形内角和定理可得，由圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理得，将代入化简即可； （2）如图，连接、，连接交于点，根据勾股定理求得，设，则，在中，利用勾股定理建立方程解得，于是，，，易得垂直平分，设，则，利用双勾股定理建立方程求得，进而求出，，在中，利用勾股定理即可求解； （3）连接、、、，过点作于点，由圆周角定理可得，易得，由平行线的性质得，由等边对等角得，进而可得，根据等角减等角相等可得，于是可通过证明，得到，根据等腰三角形三线合一性质得，以此即可求解． 【详解】（1）①解：如图，连接， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； ②， 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； （2）解：如图，连接、，连接交于点， 在中，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，，， ，， 垂直平分， ，， 设，则， 在中，， 在中，， 解得：， ， ， 为的直径， ， 在中，； （3）解：如图，连接、、、，过点作于点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查正多边形与圆综合，圆周角定理、三角形内角和定理、勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$