第02讲 数轴、相反数与绝对值及有理数大小的比较（4大知识点+8大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（湘教版2024）

第02讲 数轴、相反数与绝对值及有理数大小的比较 课程标准 学习目标 1. 数轴、相反数与绝对值的概念 2. 有理数大小的比较 1.掌握数轴的概念，会正确地画出数轴，利用数轴上的点表示有理数； 2.理解一个数的相反数的意义，会求一个数的相反数； 3.理解一个数的绝对值的意义，会求一个数的绝对值； 4.掌握利用绝对值比较两个负数的大小及有理数大小比较的一般方法 知识点01 数轴 1． 定义：规定了 原点、正方向和单位长度 的直线叫做数轴. 2． 三要素：原点、 正方向 、单位长度. 3． 画法：（1）画一条直线（通常把它水平放置），在直线上取一点O，把点O叫做 原点 ； （2） 把直线上从原点向 右 的方向规定为正方向，标上 箭头 ； （3） 选取适当的长度为 单位长度 . 4． 任何的有理数都可以用数轴上 唯一 的一个点来表示. 5． 数轴上用原点 右侧 的点表示正数，用原点 左侧 的点表示负数，0用 原点 来表示. 【即学即练1】 1．将在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，正确理解有理数所表示的点左右移动后得到的点所表示的数是解题的关键．将在数轴上对应的点向右平移2个单位，在数轴上找到这个点，即得这个点所表示的数． 【详解】根据题意：数轴上所对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是1． 故选B． 【即学即练2】 2．下列图形中是数轴的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴的概念，熟练掌握数轴的三要素：正方向，原点，单位长度，是解题的关键． 根据数轴的三要素：正方向，原点，单位长度，逐一判断选项，即可． 【详解】A中的没有单位长度，错误； B中没有正方向，错误； C中满足原点，正方向，单位长度，正确； D中没有原点，错误． 故选C． 【即学即练3】 3.数轴上表示整数的点叫整点，某数轴单位长度为，若在数轴上随意画一条长为线段，则线段盖住的整点的个数为(    ) A．100 B．99 C．99或100 D．100或101 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴的实际应用，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点的个数可能正好是个，也可能不是整数，而是有两个半数那就是个． 【详解】解：依题意得： ①当线段起点在整点时覆盖个数， ②当线段起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖个数． 故选：D． 知识点02 相反数 1. 定义：只有符合 不同 的两个数，其中一个数叫做另一个数的 相反数 ，也称这两个数互为相反数. 2. 表示：在一个数的前面加上 “—”号，就得到了这个数的相反数.如a的相反数是-a. 3. 注意：（1）-a表示a的相反数，因此在一个数前面添上“—”号，就得到这个数的相反数.正数的“+”号可以省略不写，因此在一个数前面添上“+”号，表示这个数的本身. （2） 任何一个有理数都有 相反数 . （3） 0的相反数是 0 . （4） 如果两个数互为相反数，则它们的和为 0 . 4. 表示互为相反数（0除外）的两个数的点，在数轴上分别位于 原点 的两侧，并且与原点的 距离 相等. 【即学即练1】 1．有理数2024的相反数是（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：有理数2024的相反数是， 故选：B． 【即学即练2】 2.数轴上，若，表示互为相反数的两个点，在的左边，并且这两点的距离为，则点所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上的点及互为相反数、两点之间的距离的概念，由相反数的含义及两点之间距离的表示方法，点与点到原点的距离相等即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，表示互为相反数的两个点，两点的距离为， ∴点和点到原点的距离为， ∵在的左边， ∴点表示的数为， 故选：． 【即学即练3】 3．下列化简，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数，掌握一个数的前面加上负号就是这个数的相反数成为解题的关键． 根据相反数的定义逐层去括号，然后判断即可解答． 【详解】解；A、，故A选项正确，符合题意； B、，故B选项错误，不符合题意； C、，故C选项错误，不符合题意； D、，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 知识点03 绝对值 1.定义：在数轴上，表示一个数的点与原点的 距离 叫做这个数的绝对值. 2.性质：正数的绝对值是 它本身 ，负数的绝对值是它的 相反数 ，0的绝对值是 0 . 表示： 3.几何意义：一个数的绝对值等于 数轴 上表示的点与原点的 距离 . 4.注意：数轴上表示一个数的点到原点的距离只与这个点与 原点 之间的距离有关，而与它所表示的数的 正负 无关. 【即学即练1】 1．的绝对值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当是负有理数时，的绝对值是它的相反数，据此求出的绝对值是多少即可．此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当是正有理数时，的绝对值是它本身；②当是负有理数时，的绝对值是它的相反数；③当是零时，的绝对值是零． 【详解】解：的绝对值是7． 故选：B． 【即学即练2】 2．如图，将实数表示在数轴上，则下列等式成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上点的特点；熟练掌握绝对值的意义和数轴上点的特征是解题的关键． ，， 则，，；结合选项即可求解 【详解】解：从图可知，， ∴，，， 故、错误； ∴ ，故正确，错误， 故选． 方法技巧：求绝对值的关键是先判断该数的正负，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”求解. 知识点04 有理数大小的比较 1.利用法则比较有理数的大小： （1）正数 大于 负数，0 大于 负数； （2）两个负数，绝对值 大 的反而小. 2.利用数轴比较有理数的大小： 在以向右为正方向的数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数 大 . 【即学即练1】 1．下列数中，最大的数是（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查比较有理数的大小，根据负数小于0，小于正数，进行判断即可． 【详解】解： 最大的数是， 故选C． 【即学即练2】 2．如图，下列四个数中，比数轴上点表示的数小的数是(    ) A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较，据数轴得出点表示的数，再根据有理数的大小比较方法即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得点表示的数是， ∴比数轴上点表示的数小的数是， 故选：A． 题型01 数轴的有关概念 【典例1】1．如图各图中，表示的数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．根据数轴的三要素，即可解答． 【详解】 解：如上图各图中，表示的数轴正确的是 故选：C． 【变式1】2．数轴的三个要素是：原点、 和单位长度． 【答案】正方向 【分析】本题考查数轴的三要素（原点、正方向和单位长度），解题的关键是熟记数轴的三要素，据此解答即可． 【详解】解：数轴的三个要素是：原点、正方向和单位长度． 故答案为：正方向． 题型02 用数轴上的点表示有理数 【典例1】如图，数轴上点P表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，掌握数轴的定义是解题的关键． 根据数轴的定义和特点可知，点P表示的数为，从而求解． 【详解】解：根据题意可知点P表示的数为， 故选：A． 【变式1】如图，数轴上表示数的点所在的线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，根据数轴上点的位置，结合即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，数轴上表示数的点所在的线段是， 故选：A． 【变式2】数轴上表示数和表示数的两点之间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离．熟练掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，数轴上表示数和表示数的两点之间的距离是， 故答案为：． 【变式3】阅读与思考 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示的数是．参照图中所给的信息，完成填空： 已知A，B都是数轴上的点．    （1）若点A表示数．将点A向右移动5个单位长度至点．则点表示的数是 ； （2）若点A表示数2，将点A先向左移动7个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是 ； （3）若将点B先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数恰好是0，则点B所表示的数是 ． 【答案】 2 / 【分析】本题主要考查了数轴上动点平移问题，解题关键是掌握数轴上点往右移几就加几，往左移几就减几，概括为“右加左减”． （1）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得点表示的数； （2）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得点表示的数； （3）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得B点表示的数． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴点表示的数是2； （2）解：由题意得：， ∴点表示的数是； （3）解：由题意得：0先向右移动3个单位长度，再向左移动6个单位长度得到点B ∴， ∴点B所表示的数是． 故答案为：2，；． 题型03 相反数的概念 【典例1】实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义：相反数是只有符号不同的两个数；熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：实数的相反数是， 故选：D． 【变式1】数轴上A，B两点的距离为6，且A，B所表示的数互为相反数，B在A的右侧，则点B所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数定义和数轴，掌握相反数对应的点在数轴的两侧，到原点的距离相等是解题的关键． 数轴上互为相反数的两点在原点的两侧，并且到原点的距离相等，以及B在A的右侧，即可求解． 【详解】点表示互为相反数的两个数，B在A的右侧，并且这两点的距离为6， 这两个数一个为3，另一个则为， B在A的右侧， 点B表示的数为． 故答案为：． 【变式2】1．与数4的和等于0的数是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的判断和定义，根据相反数的判断和定义得出答案即可，理解“和为零的两数互为相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数”是解题的关键． 【详解】解：∵与数4的和等于0， ∴该数是4的相反数，即为， 故选：B． 【变式3】下列说法正确的是（　　） A．最小的正整数是0 B．是负数 C．符号不同的两个数互为相反数 D．的相反数是 【答案】D 【分析】根据有理数、相反数的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、最小的正整数是1，故该选项说法错误，不符合题意； B、 不一定是负数，例如：，是正数，故该选项说法错误，不符合题意； C、 只有符号不同的两个数互为相反数，故该选项说法错误，不符合题意； D、 的相反数是，故该选项说法正确，符合题意． 故选：D． 题型04 互为相反数的两个数在数轴上的位置 【典例1】如图，数轴上A、B两点在原点两侧，且，若，那么点A表示的数是（　　） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上点表示有理数，数轴上两点的距离． 根据数轴可得，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴点A表示的数为． 故选：D． 【变式1】如图，数轴上有三个点A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据题意得： ， ，再由点A，B表示的数互为相反数，可得点 表示的数为3，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， ， ∵点A，B表示的数互为相反数， ∴点 表示的数为3， ∴点表示的数为 ． 故选：B 【变式2】如图，四个有理数，，，在数轴上对应的点分别为，，，，若，则，，，四个数中负数有（   ）个    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题主要考查了数轴和正负数，先根据相反数的意义，确定原点，再根据各数在原点的位置确定数的正负，根据相反数的意义确定原点的位置是解决本题的关键． 【解答】解：∵， ∴与互为相反数， ∴原点为，如图：    则在原点左侧的数有三个， 即，，，四个数中负数有个． 故选：． 题型05 多重符号的化简 【典例1】计算： ． 【答案】2024 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：2024． 【变式1】 ， 【答案】 2 【分析】根据多重符号化简，即可解答； 【详解】；；． 故答案为：；；2． 题型06 绝对值的概念及性质 【典例1】的绝对值是（    ） A． B．2024 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数即可得出答案． 【详解】解：， 故选：B． 【典例2】如图，数轴上点A表示数a，则是 ． 【答案】2 【分析】题目主要考查数轴与有理数，绝对值，先根据数轴信息得出点A表示的数是，结合“数轴上点A表示数”进行作答即可． 【详解】解：在数轴上，点A表示的数是， ∴， 则是2． 故答案为：2 【变式1】的绝对值的相反数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义和绝对值的意义，根据意义即可求解，解题的关键是正确理解表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数． 【详解】根据绝对值的定义可得：的绝对值是， 根据相反数的定义可得：的相反数是， 故选：． 【变式2】求的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．注意当的值不明确时，要分情况讨论是解题的关键． 根据绝对值均大于等于的性质，对的大小进行分情况讨论，去掉绝对值后，再进行比较大小，再求最小值． 【详解】解：当时，原代数式①； 当时，原代数式②； 当时，原代数式③； 据以上可得，且； 所以当时，原代数式取得最小值为， 故答案为：． 【变式3】如果，则 ． 【答案】4或/或4 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．由绝对值的性质可得，，求解即可获得答案． 【详解】解：因为， 所以，， 解得或． 故答案为：4或． 题型07 利用法则比较有理数大小 【典例1】在四个有理数，，0，0.5中，最小的是（    ） A． B． C．0 D．0.5 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，要熟记负数小于正数，负数小于0，两个负数比较大小绝对值大的反而小．根据“正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小”比较即可． 【详解】四个有理数，，0，0.5从小到大为：， ∴最小的是， 故选：A． 【变式1】下列四个有理数中，最小的是（    ） A．3 B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据负数小于0,0小于正数，将四个选项的数进行排序，再作答即可． 【详解】∵， ∴最小的是， 故选：C． 【变式2】下列四组有理数大小的比较正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据有理数的大小比较法则、绝对值的性质、相反数的意义逐项判断即可求解，掌握有理数的大小比较法则和绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵，，， ∴，故该选项错误，不合题意； 、∵，， ∴，故该选项错误，不合题意； 、，故该选项错误，不合题意； 、∵，， ∴，故该选项正确，符合题意； 故选：． 题型08 利用数轴比较有理数大小 【典例1】有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用数轴判断有理数的大小，根据点在数轴上的位置，以及数轴上的数右边比左边的大，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：； 故选C． 【变式1】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴与有理数大小的比较，正确理解数轴与有理数大小的比较的方法是解题的关键．在数轴上标出有理数a的相反数所表示的点，再根据“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，即可判断答案． 【详解】在数轴上标出有理数a的相反数所表示的点，则a，，b按照从小到大的顺序排列为． 故选：A． 【变式2】实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则 b．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，熟记数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解题关键． 根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴ 故答案为：． 1．在数轴上与之间的有理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】D 【分析】本题考查有理数的定义及有理数在数轴上的分布由有理数的定义及数轴上数的分布可得到答案． 【详解】整数与分数统称有理数，与之间有理数有无数个， 故选：D． 2．的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：C． 3．绝对值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，根据负数的绝对值等于这个数的相反数求解即可． 【详解】解：绝对值等于． 故选：B． 3．在数轴上，位于和3之间的点表示的有理数有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数和数轴的知识，能够掌握有理数所指的数的范围是解题的关键．根据有理数的定义，结合数轴解答即可． 【详解】解：∵有理数包括整数和分数， ∴在和3之间的有理数有无数个，如，0，1，，等等． 故选：D． 4．数轴上点表示的数是，将点沿数轴移动单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查数轴上点移动后数字表示，解题关键是移动规律左减右加．根据数轴上点的移动规律，左减右加计算即可． 【详解】解：根据数轴上点的移动规律，左减右加， 可得点向左移动时：， 可得点向右移动时：， 综上可得点表示的数是或， 故选． 5．数轴上，在原点左侧且到原点距离为个单位长度的点，表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查有理数，数轴和绝对值，根据数在数轴上对应的点在原点左侧，则该数是一个负数，根据该点到原点的距离为个单位长度，则这个数的绝对值是，从而求解，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：∵实数在数轴上对应的点在原点左侧， ∴该数是一个负数， ∵该点到原点的距离为个单位长度， ∴这个数的绝对值是， ∴这个数是， 故选：． 6．在数轴上，下列数表示的点离原点最远的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，绝对值的定义，根据绝对值越大的数表示的点离原点越远进行解答便可，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离． 【详解】解：∵， ∴离原点最远的是， 故选：A． 7．如图，O、A、B、C为数轴上四点，其中O为原点，且，，若C点所表示的数为x，则B点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征和应用，熟练掌握数轴的特性是解题的关键； 根据，C点所表示的数为x，求出A表示的数是多少，然后根据，求出B点所表示的数是多少即可． 【详解】点表示的数为x， 表示的数是， 点和点A表示的数互为相反数， 点所表示的数是， 故选：． 8．点A、C、O、B在数轴上的位置如图所示，O为原点，，点C对应的有理数是a，若，则点B对应的有理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，以及相反数的意义．由点C对应的有理数是a，，根据两点之间的距离求出点A，然后利用相反数的意义即可求解． 【详解】解：∵点C对应的有理数是a，， ∴点A对应的有理数为：， ∵， ∴A，B是一对相反数． ∴点B为， 故选：C． 9．下列说法不正确的是（　　） A．到原点距离相等且在原点两旁的两个点所表示的数一定互为相反数 B．所有的有理数都有相反数 C．符号相反的两个数互为相反数 D．在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数的定义和应用，根据互为相反数的定义，对各个选项进行判断即可．解题关键是熟练掌握互为相反数的定义并灵活运用． 【详解】解：A．∵互为相反数是到原点距离相等且在原点两旁的两个点表示的数， ∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意； B．∵所有的有理数都有相反数， ∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意； C．∵只有符合不同的两个数是互为相反数， ∴此选项的说法错误，故此选项符合题意； D．∵在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数， ∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 10．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是观察各点与原点的位置，确定各数符号及绝对值大小． 根据数轴上点与原点的位置，确定各数符号及绝对值大小即可得到答案． 【详解】解：由图可得：，且， ∴A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 11．下列说法中，正确的是（   ） A．如果为有理数，那么是负数 B．0和负数称为非负数 C．在数轴上，左边的点所表示的数比右边的点所表示的数大 D．正分数大于负分数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数，数轴，有理数的大小比较等知识．熟练掌握有理数，数轴，有理数的大小比较是解题的关键． 【详解】解：A、如果为有理数，那么可正可负可为0，错误，故不符合要求； B、0和负数称为非正数，错误，故不符合要求； C、在数轴上，左边的点所表示的数比右边的点所表示的数小，错误，故不符合要求； D、正分数大于负分数，正确，故符合要求； 故选：D． 12.如图，数轴上点A，B表示的数互为相反数，且AB＝4，则点A表示的数是（    ） A．4 B．-4 C．2 D．-2 【答案】D 【分析】根据数轴上点A，B表示的数互为相反数，可设点A表示的数是 ，则点B表示的数是 ，从而得到 ，即可求解． 【详解】解：∵数轴上点A，B表示的数互为相反数， ∴可设点A表示的数是 ，则点B表示的数是 ， ∵AB＝4， ∴ ，解得： ． 故选：D 【点睛】本题主要考查了相反数的性质，数轴上两点间的距离，利用数形结合思想解答是解题的关键． 13.写一个比大的数 ． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数比较大小．根据有理数比较大小的方法即可求解． 【详解】解：． 故答案为：0（答案不唯一）． 14.比较大小： (填“”、“”或“”)． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，化简多重符号，进而根据正数的大小比较即可判断大小． 【详解】解： ∴ 故答案为：． 15．如图，点A是数轴上的点，若点B在数轴上点A的左边，且，则点B表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上两点的距离，根据两点之间的距离公式求解即可． 【详解】解：由数轴，点A表示的数为1，又点B在数轴上点A的左边，且， ∴点B表示的数是， 故答案为：． 16.．如图，数轴上A、B两点之间的距离为 ．      【答案】4 【分析】本题考查了数轴间的距离，根据A、B两点分别表示为，再求出A、B两点之间的距离，即可作答． 【详解】解：依题意，由数轴得出A、B两点分别表示为， 则， ∴数轴上A、B两点之间的距离为， 故答案为：4 17.．如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是，点C表示的数是5，点B是的中点，则点B表示的数是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了数轴上两点的中点计算公式，根据数轴上两点中点计算公式求解即可． 【详解】解：∵点A，B，C在数轴上，点A表示的数是，点C表示的数是5，点B是的中点， ∴点B表示的数是， 故答案为：． 18.已知是有理数，有下列判断：①是正数；②是负数；③与必有一个是负数；④与互为相反数，其中正确的序号是 . 【答案】④ 【分析】a可能是正数、也可能是0，还可能是负数，同样-a可能是正数、也可能是0，还可能是负数，当a=0时，a和-a都是0，不论a是正数、0负数，a与-a都互为相反数，根据以上内容判断即可． 【详解】解：∵a可能是正数、也可能是0，还可能是负数，同样-a可能是正数、也可能是0，还可能是负数，①错误；②错误； ∵当a=0时，a和-a都是0，都不是负数，∴③错误； ∵不论a是正数、0负数，a与-a都互为相反数，∴④正确. 故答案为：④. 19.如图，A点表示的数是 ，点C到0的距离与点B到0的距离相等，但方向相反，那么点C表示的数是 ．    【答案】 【分析】根据数轴上的点的位置，分数的意义，得出点表示的数，根据表示的数为，根据数轴上的点的位置，即可得出表示的数，即可求解． 【详解】解：依题意，在与2之间分了5格，1与A之间有3格，则点表示的数为， 点表示的数为，依题意，点表示的数为， 故答案为：，． 20.化简： ； ； ． 【答案】 2 【分析】本题考查了绝对值：若，则；若，则；若，则． 【详解】解：，，， 故答案为：，，2． 21.若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性；根据非负数的性质可得，即可求解． 【详解】因为，且，， 所以，所以． 故答案为：，． 22.已知有理数，在数轴上如图表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查运用数轴上的点表示实数，绝对值．先根据数轴确定出的符号，再去绝对值即可．解题的关键是掌握：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，零的绝对值是零． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴． 故答案为：． 23.已知a、b为整数，，且，则a的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，以及表示出数轴上两个有理数数的中点，根据，可知a到的距离和b到2的距离相等．即b和a分别是位于和2这两个点中点的两侧相邻的整数．先求出和2的中点，再利用即可得出a的值． 【详解】解：∵ ∴ 和2的中点 又∵，a、b为整数， ∴b为，a的最小值为． 故答案为：． 24.的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义，结合图形解答即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：式子表示对应的点分别与到对应的点的距离和，可知当在和的中点时，即，距离和最小，最小值为， 故答案为：． 25.我们知道数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如可表示为数轴上和这两点的距离，而即则表示和这两点的距离．式子的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离，而，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．根据以上发现，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，由题意可知表示的是一个数到和的距离的和，而和间的距离为，据此即可求解，理解两点间的距离，就是两个点表示的有理数的差的绝对值是解题的关键． 【详解】解：∵表示的是一个数到和的距离的和，而和间的距离为， ∴的最小值为， 故答案为：． 26.一辆货车从超市出发，向东走了到达小刚家，继续向东走了到达小红家，又向西走了到达小英家，最后回到超市． (1)请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示，画出数轴．并在数轴上标出小刚家、小红家、小英家的位置． (2)小英家距小刚家有多远？ (3)货车一共行驶了多少千米？ 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题主要考查了画数轴，数轴上两点间距离以及正负数的实际应用，绝对值的意义． （1）画出数轴，标出小刚家、小红家、小英家的位置即可； （2）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （3）求出四段路程的和即可解决问题． 【详解】（1）解：数轴如下图，    （2）小英家距小刚家有：； （3）货车一共行驶了：． 27．若，求，的值． 【答案】， 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质去绝对值是解题的关键．根据，求出，的值． 【详解】解：由绝对值的性质得，， ， ，， ，． 28．比较下列各对数的大小： ①与； ②与； ③与； ④与． 【答案】①；②；③；④ 【分析】本题主要考查有理数比较大小，绝对值的性质的运用，掌握有理数比较大小的方法是解题的关键． ①两个负数比较大小，绝对值大的反而小，由此即可求解； ②先化简绝对值，再根据负数小于零，即可求解； ③两个负数比较大小，绝对值大的反而小，由此即可求解； ④先化简，再根据负数小于零，即可求解． 【详解】解：①∵，，， ∴； ②， 因为负数小于， 所以； ③∵，， ， ∴； ④分别化简两数，得： ， ∵正数大于负数， ∴． 29．为庆祝中华人民共和国成立74周年，某校举行一场文艺汇演，汇演中途设置了一个有奖问答环节，题目在背景屏幕上显示如图： 【答案】图见解析， 【分析】本题考查了有理数大小比较，数轴，绝对值，准确熟练地在数轴上找到各数对应的点是解题的关键． 先化简各数，然后在数轴上准确找到各数对应的点，即可解答． 【详解】解：，，最小的正整数是1，的最小值是，0的相反数是0，比大的数是， 如图： ． 30．阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段；线段． 问题： (1)数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段___________； (2)数轴上点E、F代表的数分别为3和，则线段___________； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为12，求另一个点表示的数． 【答案】(1)7 (2)4 (3)另一个点表示的数为17或7 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接根据数轴上两点间的距离求解即可； （2）直接根据数轴上两点间的距离求解即可； （3）分两种情况讨论，当另一个点在表示12的点的右侧或当另一个点在表示12的点的左侧，再根据数轴上两点间的距离求解即可． 【详解】（1）解：数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段， 故答案为：7； （2）解：数轴上点E、F代表的数分别为3和，则线段， 故答案为：4； （3）解：由题可得：①当另一个点在表示12的点的右侧时，； ②当另一个点在表示12的点的左侧时，， 综上，另一个点表示的数为17或7． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 数轴、相反数与绝对值及有理数大小的比较 课程标准 学习目标 1. 数轴、相反数与绝对值的概念 2. 有理数大小的比较 1.掌握数轴的概念，会正确地画出数轴，利用数轴上的点表示有理数； 2.理解一个数的相反数的意义，会求一个数的相反数； 3.理解一个数的绝对值的意义，会求一个数的绝对值； 4.掌握利用绝对值比较两个负数的大小及有理数大小比较的一般方法 知识点01 数轴 1． 定义：规定了 的直线叫做数轴. 2． 三要素：原点、 、单位长度. 3． 画法：（1）画一条直线（通常把它水平放置），在直线上取一点O，把点O叫做 ； （2） 把直线上从原点向 的方向规定为正方向，标上 ； （3） 选取适当的长度为 . 4． 任何的有理数都可以用数轴上 的一个点来表示. 5． 数轴上用原点 的点表示正数，用原点 的点表示负数，0用 来表示. 【即学即练1】 1．将在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（    ） A． B．1 C． D．3 【即学即练2】 2．下列图形中是数轴的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练3】 3.数轴上表示整数的点叫整点，某数轴单位长度为，若在数轴上随意画一条长为线段，则线段盖住的整点的个数为(    ) A．100 B．99 C．99或100 D．100或101 知识点02 相反数 1. 定义：只有符合 不同 的两个数，其中一个数叫做另一个数的 ，也称这两个数互为相反数. 2. 表示：在一个数的前面加上 号，就得到了这个数的相反数.如a的相反数是-a. 3. 注意：（1）-a表示a的相反数，因此在一个数前面添上 ，就得到这个数的相反数.正数的“+”号可以省略不写，因此在一个数前面添上 ，表示这个数的本身. （2） 任何一个有理数都有 . （3） 0的相反数是 . （4） 如果两个数互为相反数，则它们的和为 . 4. 表示互为相反数（0除外）的两个数的点，在数轴上分别位于 的两侧，并且与原点的 相等. 【即学即练1】 1．有理数2024的相反数是（    ） A．2024 B． C． D． 【即学即练2】 2.数轴上，若，表示互为相反数的两个点，在的左边，并且这两点的距离为，则点所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【即学即练3】 3．下列化简，正确的是（　　） A． B． C． D． 知识点03 绝对值 1.定义：在数轴上，表示一个数的点与原点的 叫做这个数的绝对值. 2.性质：正数的绝对值是 ，负数的绝对值是它的 ，0的绝对值是 . 表示： 3.几何意义：一个数的绝对值等于 上表示的点与原点的 . 4.注意：数轴上表示一个数的点到原点的距离只与这个点与 之间的距离有关，而与它所表示的数的 无关. 【即学即练1】 1．的绝对值是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．如图，将实数表示在数轴上，则下列等式成立的是（    ）    A． B． C． D． 方法技巧：求绝对值的关键是先判断该数的正负，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”求解. 知识点04 有理数大小的比较 1.利用法则比较有理数的大小： （1）正数 负数，0 负数； （2）两个负数，绝对值 的反而小. 2.利用数轴比较有理数的大小： 在以向右为正方向的数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数 . 【即学即练1】 1．下列数中，最大的数是（    ） A． B．0 C． D．1 【即学即练2】 2．如图，下列四个数中，比数轴上点表示的数小的数是(    ) A． B． C．0 D．1 题型01 数轴的有关概念 【典例1】1．如图各图中，表示的数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】2．数轴的三个要素是：原点、 和单位长度． 题型02 用数轴上的点表示有理数 【典例1】如图，数轴上点P表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式1】如图，数轴上表示数的点所在的线段是（    ） A． B． C． D． 【变式2】数轴上表示数和表示数的两点之间的距离是 ． 【变式3】阅读与思考 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示的数是．参照图中所给的信息，完成填空： 已知A，B都是数轴上的点．    （1）若点A表示数．将点A向右移动5个单位长度至点．则点表示的数是 ； （2）若点A表示数2，将点A先向左移动7个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是 ； （3）若将点B先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数恰好是0，则点B所表示的数是 ． 题型03 相反数的概念 【典例1】实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】数轴上A，B两点的距离为6，且A，B所表示的数互为相反数，B在A的右侧，则点B所表示的数为 ． 【变式2】1．与数4的和等于0的数是（    ） A． B． C． D．2 【变式3】下列说法正确的是（　　） A．最小的正整数是0 B．是负数 C．符号不同的两个数互为相反数 D．的相反数是 题型04 互为相反数的两个数在数轴上的位置 【典例1】如图，数轴上A、B两点在原点两侧，且，若，那么点A表示的数是（　　） A．4 B． C．2 D． 【变式1】如图，数轴上有三个点A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【变式2】如图，四个有理数，，，在数轴上对应的点分别为，，，，若，则，，，四个数中负数有（   ）个    A． B． C． D． 题型05 多重符号的化简 【典例1】计算： ． 【变式1】 ， 题型06 绝对值的概念及性质 【典例1】的绝对值是（    ） A． B．2024 C． D． 【典例2】如图，数轴上点A表示数a，则是 ． 【变式1】的绝对值的相反数是（  ） A． B． C． D． 【变式2】求的最小值是 ． 【变式3】如果，则 ． 题型07 利用法则比较有理数大小 【典例1】在四个有理数，，0，0.5中，最小的是（    ） A． B． C．0 D．0.5 【变式1】下列四个有理数中，最小的是（    ） A．3 B． C． D．0 【变式2】下列四组有理数大小的比较正确的是（　　） A． B． C． D． 题型08 利用数轴比较有理数大小 【典例1】有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则 b．（填“”“”或“”） 1．在数轴上与之间的有理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 2．的相反数是（    ） A． B． C． D． 3．绝对值是（    ） A． B． C． D． 3．在数轴上，位于和3之间的点表示的有理数有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 4．数轴上点表示的数是，将点沿数轴移动单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 5．数轴上，在原点左侧且到原点距离为个单位长度的点，表示的数是（    ） A． B． C． D． 6．在数轴上，下列数表示的点离原点最远的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，O、A、B、C为数轴上四点，其中O为原点，且，，若C点所表示的数为x，则B点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 8．点A、C、O、B在数轴上的位置如图所示，O为原点，，点C对应的有理数是a，若，则点B对应的有理数是（    ） A． B． C． D． 9．下列说法不正确的是（　　） A．到原点距离相等且在原点两旁的两个点所表示的数一定互为相反数 B．所有的有理数都有相反数 C．符号相反的两个数互为相反数 D．在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数 10．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 11．下列说法中，正确的是（   ） A．如果为有理数，那么是负数 B．0和负数称为非负数 C．在数轴上，左边的点所表示的数比右边的点所表示的数大 D．正分数大于负分数 12.如图，数轴上点A，B表示的数互为相反数，且AB＝4，则点A表示的数是（    ） A．4 B．-4 C．2 D．-2 13.写一个比大的数 ． 14.比较大小： (填“”、“”或“”)． 15．如图，点A是数轴上的点，若点B在数轴上点A的左边，且，则点B表示的数是 ． 16.．如图，数轴上A、B两点之间的距离为 ．      17.．如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是，点C表示的数是5，点B是的中点，则点B表示的数是 ． 18.已知是有理数，有下列判断：①是正数；②是负数；③与必有一个是负数；④与互为相反数，其中正确的序号是 . 19.如图，A点表示的数是 ，点C到0的距离与点B到0的距离相等，但方向相反，那么点C表示的数是 ．    20.化简： ； ； ． 21.若，则 ， ． 22.已知有理数，在数轴上如图表示，则 ． 23.已知a、b为整数，，且，则a的最小值为 ． 24.的最小值为 ． 25.我们知道数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如可表示为数轴上和这两点的距离，而即则表示和这两点的距离．式子的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离，而，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．根据以上发现，则的最小值为 ． 26.一辆货车从超市出发，向东走了到达小刚家，继续向东走了到达小红家，又向西走了到达小英家，最后回到超市． (1)请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示，画出数轴．并在数轴上标出小刚家、小红家、小英家的位置． (2)小英家距小刚家有多远？ (3)货车一共行驶了多少千米？ 27．若，求，的值． 28．比较下列各对数的大小： ①与； ②与； ③与； ④与． 29．为庆祝中华人民共和国成立74周年，某校举行一场文艺汇演，汇演中途设置了一个有奖问答环节，题目在背景屏幕上显示如图： 30．阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段；线段． 问题： (1)数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段___________； (2)数轴上点E、F代表的数分别为3和，则线段___________； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为12，求另一个点表示的数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$