第12讲解直角三角形及其应用(7个知识点+4个考点+2个易错诊断）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

第12讲 解直角三角形及其应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解解直角三角形的含义，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形； 2.能通过作高线构造直角三角形解非直角三角形； 3.会用解直角三角形中的有关知识建立数学模型,解决某些简单的实际问题. 知识点一 解直角三角形 1.解直角三角形的概念 一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形. (1) 在直角三角形中,除直角外的五个元素中,已知其中的两个元素(至少有一个是边),可求出其余的三个未知元素(知二求三) (2) 一个直角三角形可解，则其面积和周长可求.但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积和周长 2.直角三角形中五个元素（除直角外的）之间的关系 如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°， （1） 三边之间的关系：.（勾股定理） （2） ∠A＋∠B＝90° （3） 边角之间的关系： ;;; ;;;. 3.解直角三角形的类型和解法 条件 解法步骤 图示 两 边 ①两直角边 由，求； ; ②斜边,一直角边（如） 由，求； ; 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 ③锐角,邻边 如（） ； ④锐角,对边 如（） ； ⑤斜边,锐角 如（） ； 提示 在直角三角形中,计算边时可用以下口诀: 有斜求对乘正弦,有斜求邻乘余弦,有邻求对乘正切 “有斜求对乘正弦”的意思是在直角三角形中,对一个锐角而言,如果已知斜边长，要求出该锐角的对边，那么就用斜边长乘该锐角的正弦值，其他语句的意思可类推. 【例1】 在【例1】Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝．解这个三角形． 【答案】c=12，∠A=30°，∠B=60°. 【分析】先用勾股定理求出c，再根据边的比得到角的度数. 【详解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝， ∴， ∵， ， ∴∠A=30°，∠B=60°. 【点睛】此题考查解直角三角形，即求出三角形未知的边和角，用三角函数求角度时能熟记各角的三角函数值是解题的关键. 知识点二 解直角三角形在实际问题中的应用 1. 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤 (1)将实际问题抽象为数学问题; (2)根据问题中的条件选用合适的锐角三角函数解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案. 2.实际问题中，常见的基本图形及相应的关系式 图形 关系式 图形 关系式 特别提醒： (1)根据问题找到要求解的直角三角形，当没有现成的直角三角形时,适当添加辅助线构造(或分割)直角三角形 (2)有些问题中有两个(或两个以上)直角三角形,当其中一个直角三角形不能求解时,可考虑在其他直角三角形中找出含有相同的未知元素的关系式，列方程求解. 3.解直角三角形的常见类型 (1)仰角和俯角 在测量中,我们把在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做仰角. 视线在水平线下方的叫俯角. 如图所示，PQ 为水平线,视线为PA时，则∠APQ为仰角;视线为PB时,则∠BPQ为俯角. 【例2】沈钰琴同学住在第三小学对面的金惠大厦，教学楼与金惠大厦的水平距离为，某日她在自己房间窗口P测得教学楼顶部A的俯角为，教学楼底部B的俯角为，则教学楼的高度为（    ）m    A．50 B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A向上作垂线，垂足为E，根据题意可求，，即可求解． 【详解】解：过点A向上作垂线，垂足为E，如图，    由题意得：，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴教学楼的高度为：， 故选：B． 【点睛】本题属于解直角三角形的问题，需将实际问题转化为数学问题分析解答． 【变式2-1】“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为，看底部C的俯角为，无人机A到该建筑物的水平距离为10米，求该建筑物的高度．（结果精确到米；参考数据：，）    【答案】该建筑物的高度约为米 【分析】由题意可知，，，，根据三角形内角和定理和等角对等边的性质，得到米，再利用锐角三角函数，求出米，即可得到该建筑物的高度． 【详解】解：由题意可知，，，， ， ， 米， 在中，米， 米， 答：该建筑物BC的高度约为米．    【点睛】本题考查的是解直角三角形——仰俯角问题，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数，熟练掌握直角三角形的特征关键． 知识点三 方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角,叫方向角. 如图所示，目标方向线OA，OB，OC形成的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、北偏西30°，其中南偏东45°习惯上又叫做东南方向,北偏东 45°习惯上又叫做东北方向，北偏西45°习惯上又叫做西北方向,南偏西45习惯上又叫做西南方向. 注意：平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解. 【例3】钓鱼岛及其附属岛屿是我国的固有领土，台湾保岛人士组团前往钓鱼岛，宣示主权．当巡逻船航行至海面B处时（如图），测得钓鱼岛位于正北方向20海里的C处，为了防止日本海巡警干扰，就请求我A处的海监船前往C处护航．已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，A位于B的北偏西30°的方向上． 求：A、C之间的距离？（结果精确到0.1海里，参考数据：，）． 【答案】10.3海里 【分析】作，垂足为D，设，利用解直角三角形的知识，可得出，继而可得出，结合题意海里可得出方程，解出x的值后即可得出答案． 【详解】解： 如图，作，垂足为D， 由题意得，，． 设，在中，可得, 在中，可得 又∵，即， 解得：， ∴（海里）． 答：A、C之间的距离为10.3海里． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，将实际问题转化为数学模型进行求解，难度一般． 【变式3-1】一艘轮船自南向北航行，在A处测得北偏东方向有一座小岛C，继续向北航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的北偏东方向上．在小岛C周围35海里有暗礁，若轮船继续向北航行，是否有触确的危险？（参考数据：，，，） 【答案】轮船继续向北航行，有触确的危险，理由见解析 【分析】如图，过作于，由题意可得：，，设海里，而海里，海里，再表示（海里），利用，再建立方程求解即可． 【详解】解：如图，过作于， 由题意可得：，， 设海里，而海里， ∴海里， ∵， ∴（海里）， ∵， ∴，解得：， 经检验符合题意， ∵， ∴轮船继续向北航行，有触确的危险． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练的借助方位角与三角函数解决触礁问题是解本题的关键． 知识点四 坡度与坡角 （1）坡角:坡面与水平面所成的夹角.如图中的 （2）坡度:我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度.坡度也可写成的形式,在实际应用中常表示成的形式 （3）坡度与坡角的关系：.坡度是坡角的正切值,坡角越大，坡度也就越大 【例4】已知一斜坡的坡度，高度为5米，那么这一斜坡的坡长为 米． 【答案】 【分析】设斜坡的水平宽度为米，根据坡度的定义可求出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设斜坡的水平宽度为米，则：：，解得：， 这一斜坡的坡长为（米）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坡度的定义与相关计算，掌握坡度等于垂直距离与水平宽度的比，是解题的根据． 【变式4-1】如图，某小区车库顶部是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯．已知平台斜坡的坡度，坡长为6米．在坡底D处测得灯的顶端A的仰角为，在坡顶C处测得灯的顶端A的仰角为，求灯的顶端A与地面的距离．（结果保留根号） 【答案】米 【分析】过点作于点，过点作于点，由坡度的定义及斜坡的坡长为6米，可得米，米，设米，则米，在中，，解得，则米，在中，，可得，即，求出的值，进而可得答案． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， 由题意得，米，，，，， 斜坡的坡度， ， 即， 在中，由勾股定理得， 解得， 米，米， 设米，则米， 在中，， 解得， 米， 在中，， ， 即， 解得， 米． 灯的顶端与地面的距离为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 考点一：解非直角三角形 例1．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 【变式1-1】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，，求． 【答案】10 【分析】本题考查解非直角三角形，过点作，分别解，求出的长，利用，进行求解即可．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． 【详解】解：过点作，则：， 在中，，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴． 【变式1-2】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点A作，垂足为D，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长； （2）利用锐角三角函数的定义和勾股定理分别求出和的长，从而求出的长，然后利用三角形的面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作于． 在中， ，， ， ∵在中，， ； （2）∵在中，， ， 在中，根据勾股定理， ， 的面积． 【变式1-3】（20-21九年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，某风景区有三个景点，，，景点在的北偏西60°方向、且在的北偏西15°方向上，景点在的正西方向上，千米，求景点到的距离（结果保留根号）． 【答案】千米 【分析】作BD⊥AC于D点，根据题意可得∠DAB=30°，△BDC为等腰直角三角形，然后综合直角三角形的三边关系求解即可． 【详解】如图所示，作BD⊥AC于D点， 由题意可得：∠DAB=30°，∠ABC=90°+15°=105°， ∴∠DBA=90°-∠DAB=60°，∠DBC=∠ABC-∠DBA=45°， ∴△BDC为等腰直角三角形， 在Rt△ABD中， ∵∠DAB=30°， ∴AB=2BD，BD=80千米， 在等腰直角△BDC中，千米， ∴景点到的距离为千米． 【点睛】本题考查方位角的概念，以及解直角三角形的实际应用，灵活结合题意构造直角三角形是解题关键． 考点二：解直角三角形的相关计算 例2．（2024·安徽滁州·模拟预测）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点，，都在格点（局格线交点）上，连接． (1)平移线段得到线段，点与点对应，请在网格内再出线段，并直接写出，______； (2)以点为位似中心，把线段放大到原来的2倍得到线段，且点，的对应点分别为点，，请在网格内画出线段． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【分析】本题考查了网格平移作图，在网格中求三角函数，在网格中画位似图形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意点向右移动一格，再向上移动一格得到点，连接即可；根据网格可知的答案； （2）连接，，延长使，延长使，连接即可． 【详解】（1）解：由点与点对应，由图知，点向右移动一格，再向上移动一格得到点 点向右移动一格，再向上移动一格得到点，连接， 如图，线段即为所作： ； 由图可知：． 故答案为：． （2）解：连接，，延长使，延长使，连接， 如图所示，线段即为所作： ． 【变式2-1】（2024·安徽蚌埠·二模）在中，是边上一点，与交于点． (1)如图1，若 ，于点 F． ①求证： ②求 的值． (2)如图2，若，，已知． 求的长． 【答案】(1)①证明见解析，② (2) 【分析】（1）①先证明，可得，再利用相似三角形的性质可得结论；②过点作于点，证明，即可解题； （2）过点作于点，过点作于点，过点作于点，得出，然后推导，得到，即可解题． 【详解】（1）证明：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ， ， ∵， ， 又，， ∴ 又∵， ， ， ； （2）解：过点作于点，过点作于点，过点作于点， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 【变式2-2】（2024·安徽淮北·三模）如图，在中，高，交于点H，，，点G为延长线上一点，连接，的延长线交于点F，连接． (1)求证：； (2)若． ①当，时，求的值； ②当，且时，求的长 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．作辅助线，构造相似三角形是解题的关键． （1）利用两个角相等证明，得出与对应边成比例且夹角相等即可． （2）①利用勾股定理求出，再利用三角函数即可求出；②由（1）可知，得出，再利用勾股定理求出，，， ．过作交处长线于点得到，可证明，，可得到，证明可得到，然后根据勾股定理求出，，,．再根据线段比例得出，最后按照计算即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ． ， ， ， ． （2）解：①当时，， ．， 设，则． 在中，， ，解得．   ．     ②设．当时， 由（1）可知， ，． 在中，，， 即．解得，（舍去） ，，，， ， ． 过作交处长线于点． ， ，，，， ，， ， ． 又，， ， ， 设，则， 解得，， 在中，根据勾股定理可得： ， ，， ，． ，， ， ． 【变式2-3】（2024·安徽淮北·三模）抛物线与直线交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D． (1)求点B和点D的坐标； (2)如图①，连接，P为x轴上的动点，当时，求点P的坐标； (3)如图②，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接交直线于点E，求的最大值． 【答案】(1)；顶点 (2)P点坐标为或 (3) 【分析】（1）令，可求出点的坐标，将函数化为顶点式，可求出点的坐标； （2）当轴时，易得此时，则点P的坐标为；过点作轴于点，可得，推出，由点为轴的负半轴上的一点，设直线与轴交于点，则是等腰三角形，可得，设，则，，根据勾股定理求出值，进而得到点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，即可求解； （3）分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，求出，证明得到，利用二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：令， 解得或， ； ， 顶点； （2）解：∵， ∴当轴时，此时有， ∴，符合题意， ∴点P的坐标为； 如图，当点P在x轴负半轴时，过点作轴于点， ，， ， ， ， 为轴的负半轴上的一点，设直线与轴交于点，则是等腰三角形， ， 设，则，， 在中，， 解得：， ， 设直线的解析式为：，将点、代入得： ， 解得：， 直线的解析式为：， 令，则， 解得：， ； 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：点与点关于对称轴对称， ， 如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，， ，， 点横坐标为， ，， ， ∵， ∴， ， ， 当时，的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及二次函数的性质，一次函数，解直角三角形，相似三角形的性质与判定等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 考点三：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 例3．（22-23九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在中，，，，求的面积． 【答案】 【分析】过点C作于点D，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点D． 在中，，， ∴， ∴． 在中， ∵， ∴，． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． 【变式3-1】（23-24九年级下·吉林白城·阶段练习）小强学完解直角三角形知识后，给同桌小花出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片放在每格宽度为的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，求长方形卡片的周长．”作于点，于点．请你帮小强解答这道题．（结果精确到） 【答案】200mm 【分析】 本题考查余角的性质，解直角三角形的应用．通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决． 求的周长就是求和的长，可分别过、作垂线垂直于，通过构造直角三角形根据和的四个顶点恰好在横格线且每个横格宽等条件来求出、的长． 【详解】解：，， ． 根据题意，得，． 在中，， ． 在中，， ． 矩形的周长． 【变式3-2】（22-23八年级下·河南安阳·期末）如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理即可推得； （2）根据代入公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即． （2）解：在中，， 在中，． ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 【变式3-3】（22-23九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积； （2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出； （3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∴， ∴， 在， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的面积为． （2）∵，， ∴， 在中， ． ∴的值为． （3）在中，，， ∴． ∴的值为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键． 考点四：仰角俯角问题（解直角三角形的应用） 例4．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在同一水平地面上有和两栋楼，从楼顶部A点处测得楼的底部D点的俯角为，从楼顶部C点处测得楼的G点的俯角为，且米，已知楼高25米，求楼的高度．（精确到1米，参考数据：，，） 【答案】18米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点C作，垂足为F，根据题意可得：，，，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出长，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图：过点C作，垂足为F， 由题意得：，，，， ∴， ∵在中，米， ∴（米）， ∴米， ∴在中，（米）， ∵米， ∴（米）， ∴楼的高度约为18米． 【变式4-1】（2024·安徽六安·二模）如图，某测绘小组计划利用无人机测量某段山体的长度AB，无人机飞行速度为，无人机先是悬停在山体边缘A点正上方C处，然后沿山体的平行方向飞行18s到D处悬停，测得山体边缘A点的俯角为，然后继续向前飞行到达E处，测得山体边缘B点的俯角为．试求山体的长度．（参考数据：，，） 【答案】山体的长度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，矩形的性质，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，过作于，根据三角函数的定义即可得到结论，熟练掌握正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：无人机飞行速度为， ，， ， ， 过作于， 则，， ，， ， ， 答：山体的长度为． 【变式4-2】（2024·安徽马鞍山·三模）如图，某景点中一建筑可看作由等腰三角形和矩形构成，其中建筑的横梁长为8米，小明同学站到高的平台上的处，发现建筑顶端点，檐角点和视点点正好在同一条直线上，此时测得檐角点的仰角为，小明往前步行至处，测得檐角点的仰角为，已知小明的视点距平台的竖直高度为，过点作垂直水平面于点，且所有点均在同一平面中，求此建筑的高度（的值）（精确到）．参考数据：，，．    【答案】此建筑的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键在于借助俯仰角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．连接并延长交于点，过点作于点，易得四边形为矩形，得到，设，则，利用和表示出，建立等式求出的值，利用等腰三角形性质和矩形性质得到，从而得到，再利用解直角三角形得到，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：如解图，连接并延长交于点，过点作于点，    由题易知，， 四边形为矩形， ， 由题意知，，，，， ， 设，则， 在中，由得，， 在中，由得，， ，解得， ，， ， ， 在中，， ， 答：此建筑的高度约为． 【变式4-3】（2024·安徽淮南·二模）某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼与之间的距离的长．（结果精确到．参考数据：，，，）． 【答案】楼与之间的距离的长约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角问题，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长、分别于直线交于、，分别利用解三角形求出、、即可． 【详解】解：延长、分别交直线于、， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，   ∴楼与之间的距离的长约为． 【变式4-4】（2024·安徽淮北·二模）某数学活动小组测量图书馆和实验楼的高度，已知两楼中间有一棵树，楼、和树都垂直于地平面，点在同一条直线上．测得是的中点，且米，从实验楼楼顶处测得图书馆楼顶处的仰角为，测得树顶处的俯角为，已知树高为10米，求图书馆和实验楼的高度．（精确到1米，参考数据：） 【答案】图书馆高40米，实验楼高28米 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 过E点作于点M ，过 C点作于点，得出四边形均为矩形，依题意和矩形性质得出米，且米，米，解和即可求解； 【详解】 解：过E点作于点M ，过 C点作于点， 则四边形均为矩形， 依题意有米，且米，米， 则米． ， ， ∴， 在中有：． ∴(米)， ∴(米)，则米， 在中， 即， 米， 米， 答： 图书馆高40米，实验楼高28米． 考点五：方位角问题（解直角三角形的应用） 例5．（2024·安徽蚌埠·三模）学校组织学生从地到，，三个劳动基地去研学，已知，，三地在同一条直线上．经测量：，两地相距，地在地的北偏东方向上，地在地的北偏西方向上，．求，两地之间的距离．（结果精确到，参考数据：，） 【答案】，两地之间的距离约为． 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，从而可得，再根据题意可得∶，，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，再设，则，（，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：如图∶过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， 由题意得∶，， ∴， ∵，， ∴， ， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得∶ ∴（， ∴，两地之间的距离约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式5-1】（2024·安徽合肥·二模）如图，在学校处测得图书城在其北偏东方向（即），千米；测得运动馆在其北偏东方向（即），千米，求图书城到运动馆的距离． （参考数据：，，，，，．） 【答案】13千米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理，分别过点作于，于，过点作于，在中，解直角三角形得出千米，千米，在中，解直角三角形得出千米，千米，最后再由勾股定理计算即可得出答案，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：如图，分别过点作于，于，过点作于， 在中，，千米， ∴，， ∴千米，千米， 在中，，千米， ∴，， ∴千米，千米， 在中，千米，千米， ∴（千米）. 答：图书城到运动馆的距离约为13千米． 【变式5-2】（2024·安徽安庆·三模）如图是一块四边形的荷花池，顶点位于点的正北方向，点位于点的正东方向，点位于点的北偏东方向，点位于点的北偏西方向，测得米，求荷花池边的长．（结果保留整数） 参考数据：，，，，．    【答案】荷花池边的长约为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，数形结合、正确计算是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，根据矩形的性质、解直角三角形，求出、，根据计算结果保留整数即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，    又∵顶点位于点的正北方向，点位于点的正东方向， ∴， ∴四边形是矩形， ∴（米），， ∵在中，，（米）． ∴米，（米）， ∴（米），（米）， ∵，在中，， ∴， ∴（米）， 答：荷花池边的长约为米． 【变式5-3】（2024·安徽阜阳·二模）已知小玫家、学校、妈妈工作单位分别位于点A、B、C处，点B在点A的北偏西方向上，点C在点B的北偏东方向上，且千米，千米．某天妈妈从家送小玫上学，然后到单位领取文件后回家（途中上下楼路程忽略不计），求妈妈从离家到回家全程所走的路程．（参考数据：，，，，，，，，） 【答案】总路程为千米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线，熟练掌握三角函数的相关知识是解题的关键． 过A点作交于点D，先求出，然后解，再对运用勾股定理即可． 【详解】解：如图，过A点作交于点D，则， 由题得：，，， ∴， 则， ∴在中，，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴总路程为千米． 考点六：坡度坡比问题（解直角三角形的应用） 例6．（2024·安徽淮北·三模）某村准备对水库一段长100m的堤坝进行改造．改造前，背水坡坡面的坡比，改造后坡面的坡比变为，坝顶加宽1m（），已知原背水坡的长为8m． (1)求改造后背水坡的长； (2)求所需土石方的体积．（结果精确到，） 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，坡比，勾股定理，对于（1），作，，根据勾股定理及坡比求出，再结合坡比，及勾股定理可得答案； 对于（2），先求出在，再根据体积公式可得答案． 【详解】（1）如图，分别过点A，E作于点于点． 在中，坡比为， ， 根据勾股定理，得， 解得. 在中，坡比为， ∴， 根据勾股定理，得． 答：的长为； （2）根据题意可知四边形是矩形， ∴． 在中， ，，， 土石方体积． 答：所需土石方约为． 【变式6-1】（2024·安徽六安·模拟预测）如图，兰兰欲测量广场上某旗杆的高度，她在该旗杆正前方的石坡顶点处测得旗杆顶端的仰角为，在坡脚点处测得旗杆顶端的仰角为，已知石坡高为3米，坡度，求旗杆的高度（其中点在同一直线上）．（结果精确到1米，，，） 【答案】36米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，过作于．由石坡的坡度是，得出米，证明四边形是矩形，得出，米．设米，解直角三角形得出米，从而得到（米），（米），再由得出方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：如图，过作于． 石坡的坡度是，米， 米． 由题意得：， ∴四边形是矩形， ，米． 设米， ， （米）， （米），（米）， 在台阶点处测得旗杆顶的仰角为， ， ， 解得：， （米）， 答：旗杆的高度约为36米． 【变式6-2】（2024·安徽蚌埠·三模）2024年5月，“嫦娥六号”突破月球逆行轨道设计与控制、月背智能采样和月背起飞上升等关键技术，实施月球背面自动采样返回，同时开展着陆区科学探测和国际合作，如图，在斜坡上有一瞭望台，斜坡的坡度为，坡长为50米，雷达的高度为10米，火箭发射前，雷达中心测得火箭底端点的俯角为，仅2秒的时间，测得火箭上升至的处的仰角为，请根据以上数据估算火箭发射时速度．（结果保留整数，参考数据：，）    【答案】火箭发射时速度约为425米/秒 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，牢记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作于点，延长交的延长线于点，设，则，在中，利用勾股定理求出x，在中，利用正切定义求出，在中，利用正切定义求出，即可求解． 【详解】解：过点作于点，延长交的延长线于点，    在中，，坡度为 设，则由解得 ， 在中，， ， 在中， ， ， ， （米/秒） 答：火箭发射时速度约为425米/秒． 【变式6-3】（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）某数学兴趣小组测量太湖山国家森林公园内望江塔的高度，如图，已知望江塔与水平地面垂直，望江塔与斜坡之间的距离长为14米，测得斜坡的坡度，斜坡长为米，坡顶D处有一个测角仪，，从点E测得塔顶点A的仰角为，已知测角仪长为米，求望江塔的高度．（精确到1米，图中所有点都在同一平面，参考数据：，，） 【答案】望江塔的高度约为20米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．过点E作干点G，延长交于点H，则四边形是矩形，分别在和中，利用锐角三角函数，解直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作干点G，延长交于点H，则四边形是矩形， ，．                         在中，由斜坡的坡度， 设，则， 米， 解得：， ∴米，米．                                     米，米．         在中，米． 米． 答：望江塔的高度约为20米． 考点七：其他问题（解直角三角形的应用） 例7．（2024·安徽·中考真题）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角函数，过点于，则，，由题意可得，，，， 解求出、，可求出，再由勾股定理可得，进而得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点于，则，，由题意可得，，，， 在中，，， ∴，， ∴， ∴在，， ∴， ∴． 【变式7-1】（2024·安徽滁州·模拟预测）如图为某种植基地温室大棚横截面示意图．已知支架，撑杆与水平地面所成的夹角分别为，，米，且点，，，在同一平面内．求支架的长．（结果精确到米，参考数据：，，，） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；过点作于点，根据三角形的外角的性质可得，进而解，，得出，的长，进而即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点． ，，， ． 在中，，，米， （米），（米）． 在中，， （米）， （米）． 答：支架的长约为米． 【变式7-2】（2024·安徽合肥·模拟预测）刷脸支付是一种以人脸识别为核心的新型支付方式，支付过程非常简单，支付时只需要支付者面对刷脸支付的收银机屏幕上的摄像头，刷脸支付系统会自动将消费者面部信息与个人账户关联．某店使用的支付宝收银机的底座尺寸为，，该店使用的支付宝收银机经常出现顾客刷脸失败的情况，故请维修人员上门调试，调试后，水平放置，，，，为的中点，在该店可以成功使用，求此时到的距离．（精确到个位，参考数据：，，，） 【答案】此时到的距离． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，平行线的性质，过作于点，过作于点，过作于点，得四边形为矩形，则，，即，故有，然后根据三角函数即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，过作于点，过作于点，过作于点， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，即， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴ ∴， ∴此时到的距离． 【变式7-3】（2024·安徽六安·模拟预测）大别山旅游资源丰富，某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图1景区内修建观光索道，设计示意图如图2所示，以山脚A为起点，沿途修建，；两段长度相等的观光索道；最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台，长度为．索道与的夹角为，与水平线的夹角为．A，B两处的水平距离为，，垂足为F（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上，计算结果精确到，参考数据：，，，）      (1)求索道的长． (2)求水平距离的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质和三角函数值的应用，熟练掌握三角函数值的应用是解题的关键． （1）根据三角函数值求解即可； （2）延长交于点G，先证四边形是矩形，再求出的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：A，B两处的水平距离为，索道与的夹角为， ； （2）解：如图，延长交于点G，     ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ． 【例1】如图所示，中，，，． （1）求的长； （2）求的长． 【分析】（1）过点作，垂足为，先利用三角形内角和定理可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）过点作，垂足为， ，， ， 在中，， ， ， 的长为2； （2）在中，，， ， 在中，，， ， ， 的长为． 【点评】本题考查了解非直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 易错攻克 本题为解非直角三角形问题，一般先作高构造直角三角形，再利用锐角三角函数求解 【例2】一次军事演习中，在海拔高度为600米的某海岛顶端处设立了一个观察点（如图）上午九时，观察员发现“红方舰”和“蓝方舰”与该岛恰好在一条直线上，并测得“红方舰”的俯角为，测得“蓝方舰”的俯角为，请求出这时两舰之间的距离．（参考数据：，， 【分析】首先根据题意分析图形，本题涉及到两个直角三角形，根据公共边分别求解可得与的值，再利用，进而可求出答案． 【解答】解：观测点观测的俯角分别为：，． ，． 在中，米，． 米． 在中，米． 米． ． 米． 答：这时两舰之间的距离为3234米． 【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形． 易错攻克 高度、测量问题往往与仰角、俯角有关，而解决有关仰角、俯角的问题，首先要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，再利用解直角三角形的知识求解. 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，直线与坐标轴交于点A、，过点作的垂线交轴于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及正切函数的应用，熟练掌握直角三角形的特征和正切函数是解题的关键．由直线与坐标轴交于点、，得到，结合，得到，利用正切函数计算即可， 【详解】解：∵直线与坐标轴交于点、， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即 解得， ∴， 故选：A． 2．（2024·安徽六安·三模）如图，中，，，于点E，D是线段上的一个动点，则的最小值是（      ）    A． B． C． D．10 【答案】B 【分析】如图，作于，于．由，设，，利用勾股定理构建方程求出，再证明，推出，由垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：如图，作于，于．   ， ， ， 设，， 则有：， ， 解得（舍去）， ∴， ，，，则 ∴， ，， ， ， ， 当C、D、H三点共线时，， 的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 3．（2024·安徽六安·二模）在中，，，，D在上，，B关于的对称点E，连接交于，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，轴对称的性质，平行线的判定，锐角三角函数，属于综合题，先根据题意画出图形，利用勾股定理求出的长，进而得出的长从而判断选项；根据关于对称轴对称的两个三角形全等得出进而得出，，利用三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得出，进而得出，再根据内错角相等两直线平行得出；利用，得出，从而得出；分别表示出，，从而判断选项错误，据此解答，解题的关键是根据题意画出图形． 【详解】解：根据题意作图， ，，， ， ， ，故A选项正确； ， 关于的对称点， ， ，， ，， ， ，故B选项正确； ，， ， ， ，故C选项正确； ，， ， 不一定成立，故D选项错误； 故选：D． 4．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，正方形中，，E为中点，连接，求（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，过点作，交于点，利用正方形的性质得到，即可求出，即可解答，正确作出辅助线是解题的关键。 【详解】解：如图，过点作，交于点， 四边形为正方形，， ， E为中点， ， ， ， ， ， 故选：C． 5．（23-24九年级下·安徽宣城·开学考试）如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座换水站，对坡面的绿地进行喷灌，现测得斜坡与水平面所成角的度数是，为使出水口的高度为，那么需要准备的水管的长为 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，可以求得的长． 【详解】解：由题意可得，，，， ， 即需要准备的水管的长为， 故答案为： 6．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，，点D为的中点，点M在边上，且满足，，垂足为N，交于点P． （1）的值为 ； （2）的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）设，则，根据勾股定理求出，再根据余弦定义求解即可； （2）延长，交的延长线于点E，过点A作交的延长线于点F，结合直角三角形的性质求出，，则，根据相似三角形的性质得出，设，则，，根据比例的性质求出，根据平行线的性质推出，，根据相似三角形的性质等量代换求解即可． 【详解】解：（1）∵， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，延长，交的延长线于点E，过点A作交的延长线于点F， ∵，于N， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的边轴，，点B关于直线的对称点的坐标为，若反比例函数的图象经过点B．则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征及坐标与图形变化﹣对称，等腰三角形性质，解直角三角形，熟知反比例函数的图象和性质及轴对称的性质是解题的关键．过点B作x轴的垂线，根据轴对称的性质结合解直角三角形，求出点B的坐标即可解决问题． 【详解】解：过点B作x轴的垂线，垂足为M， 点B和点关于对称， ，． ， ， 又轴， ， ， ． 点的坐标为， ． 在中， ， ， ， 则点B的坐标为． 将点B坐标代入得， ． 故答案为：． 8．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，山顶上有一座电视塔，为测量山高，在地面上引一条基线，测得 ，，．已知电视塔高，求山高的值．（结果精确到，参考数据：） 【答案】山高的值约为404米 【分析】本题考查解直角三角形的应用、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．设米，由三角函数得（米，再证是等腰直角三角形，得，由列出方程，解方程即可得到山高的值． 【详解】解：设米， 在中，， ； 在中，， ∴， ∴， ∴ ∴， 即 解得：（米）， 即山高的值约为404米． 9．（2024·安徽马鞍山·三模）如图，抛物线与直线的两个交点都在坐标轴上，与轴另一交点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方拋物线上的一个动点． （ⅰ）若为抛物线的顶点，连接，求的面积； （ⅱ）如图，过点作y轴的垂线，交抛物线另一点于点，已知点是抛物线上一动点，其横坐标为，连接，求的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）15；（ⅱ） 【分析】（1）先求出点的坐标为，再根据点，求出直线的解析式，即可求得点的坐标为，再运用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）（ⅰ）如图①，过点作轴于点，先确定顶点的坐标为，再根据，即可求解； （ⅱ）如图②，过点作轴于点的延长线与的延长线交于点，则，根据点是抛物线上的一点，点的横坐标为，确定，根据抛物线的对称轴为直线，得出点在直线的右侧，点关于直线对称，，即可确定，，从而解出． 【详解】（1）解：将代入，得， 点的坐标为， 直线经过点， ，即直线的解析式为， 将代入，得， 点的坐标为， 将代入抛物线中， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）（ⅰ）如图①，过点作轴于点， ， 顶点的坐标为， ， ， （ⅱ）如图②，过点作轴于点的延长线与的延长线交于点，则， 点是抛物线上的一点，点的横坐标为， ， ， 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ， 点在直线的右侧， 轴， 点关于直线对称， ， ， 点在抛物线上， ， ， ． 【点睛】该题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的解析式求解，二次函数图象和性质，一次函数的图象和性质．二次函数与三角形面积综合，解直角三角形等知识点，解题的关键是数形结合思想的运用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 解直角三角形及其应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解解直角三角形的含义，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形； 2.能通过作高线构造直角三角形解非直角三角形； 3.会用解直角三角形中的有关知识建立数学模型,解决某些简单的实际问题. 知识点一 解直角三角形 1.解直角三角形的概念 一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形. (1) 在直角三角形中,除直角外的五个元素中,已知其中的两个元素(至少有一个是边),可求出其余的三个未知元素(知二求三) (2) 一个直角三角形可解，则其面积和周长可求.但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积和周长 2.直角三角形中五个元素（除直角外的）之间的关系 如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°， （1） 三边之间的关系：.（勾股定理） （2） ∠A＋∠B＝90° （3） 边角之间的关系： ;;; ;;;. 3.解直角三角形的类型和解法 条件 解法步骤 图示 两 边 ①两直角边 由，求； ; ②斜边,一直角边（如） 由，求； ; 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 ③锐角,邻边 如（） ； ④锐角,对边 如（） ； ⑤斜边,锐角 如（） ； 提示 在直角三角形中,计算边时可用以下口诀: 有斜求对乘正弦,有斜求邻乘余弦,有邻求对乘正切 “有斜求对乘正弦”的意思是在直角三角形中,对一个锐角而言,如果已知斜边长，要求出该锐角的对边，那么就用斜边长乘该锐角的正弦值，其他语句的意思可类推. 【例1】 在【例1】Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝．解这个三角形． 【分析】先用勾股定理求出c，再根据边的比得到角的度数. 【详解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝， ∴， ∵， ， ∴∠A=30°，∠B=60°. 【点睛】此题考查解直角三角形，即求出三角形未知的边和角，用三角函数求角度时能熟记各角的三角函数值是解题的关键. 知识点二 解直角三角形在实际问题中的应用 1. 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤 (1)将实际问题抽象为数学问题; (2)根据问题中的条件选用合适的锐角三角函数解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案. 2.实际问题中，常见的基本图形及相应的关系式 图形 关系式 图形 关系式 特别提醒： (1)根据问题找到要求解的直角三角形，当没有现成的直角三角形时,适当添加辅助线构造(或分割)直角三角形 (2)有些问题中有两个(或两个以上)直角三角形,当其中一个直角三角形不能求解时,可考虑在其他直角三角形中找出含有相同的未知元素的关系式，列方程求解. 3.解直角三角形的常见类型 (1)仰角和俯角 在测量中,我们把在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做仰角. 视线在水平线下方的叫俯角. 如图所示，PQ 为水平线,视线为PA时，则∠APQ为仰角;视线为PB时,则∠BPQ为俯角. 【例2】沈钰琴同学住在第三小学对面的金惠大厦，教学楼与金惠大厦的水平距离为，某日她在自己房间窗口P测得教学楼顶部A的俯角为，教学楼底部B的俯角为，则教学楼的高度为（    ）m    A．50 B． C． D． 【分析】过点A向上作垂线，垂足为E，根据题意可求，，即可求解． 【详解】解：过点A向上作垂线，垂足为E，如图，    由题意得：，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴教学楼的高度为：， 故选：B． 【点睛】本题属于解直角三角形的问题，需将实际问题转化为数学问题分析解答． 【变式2-1】“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为，看底部C的俯角为，无人机A到该建筑物的水平距离为10米，求该建筑物的高度．（结果精确到米；参考数据：，）    知识点三 方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角,叫方向角. 如图所示，目标方向线OA，OB，OC形成的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、北偏西30°，其中南偏东45°习惯上又叫做东南方向,北偏东 45°习惯上又叫做东北方向，北偏西45°习惯上又叫做西北方向,南偏西45习惯上又叫做西南方向. 注意：平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解. 【例3】钓鱼岛及其附属岛屿是我国的固有领土，台湾保岛人士组团前往钓鱼岛，宣示主权．当巡逻船航行至海面B处时（如图），测得钓鱼岛位于正北方向20海里的C处，为了防止日本海巡警干扰，就请求我A处的海监船前往C处护航．已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，A位于B的北偏西30°的方向上． 求：A、C之间的距离？（结果精确到0.1海里，参考数据：，）． 【分析】作，垂足为D，设，利用解直角三角形的知识，可得出，继而可得出，结合题意海里可得出方程，解出x的值后即可得出答案． 【详解】解： 如图，作，垂足为D， 由题意得，，． 设，在中，可得, 在中，可得 又∵，即， 解得：， ∴（海里）． 答：A、C之间的距离为10.3海里． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，将实际问题转化为数学模型进行求解，难度一般． 【变式3-1】一艘轮船自南向北航行，在A处测得北偏东方向有一座小岛C，继续向北航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的北偏东方向上．在小岛C周围35海里有暗礁，若轮船继续向北航行，是否有触确的危险？（参考数据：，，，） 知识点四 坡度与坡角 （1）坡角:坡面与水平面所成的夹角.如图中的 （2）坡度:我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度.坡度也可写成的形式,在实际应用中常表示成的形式 （3）坡度与坡角的关系：.坡度是坡角的正切值,坡角越大，坡度也就越大 【例4】已知一斜坡的坡度，高度为5米，那么这一斜坡的坡长为 米． 【答案】 【分析】设斜坡的水平宽度为米，根据坡度的定义可求出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设斜坡的水平宽度为米，则：：，解得：， 这一斜坡的坡长为（米）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坡度的定义与相关计算，掌握坡度等于垂直距离与水平宽度的比，是解题的根据． 【变式4-1】如图，某小区车库顶部是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯．已知平台斜坡的坡度，坡长为6米．在坡底D处测得灯的顶端A的仰角为，在坡顶C处测得灯的顶端A的仰角为，求灯的顶端A与地面的距离．（结果保留根号） 考点一：解非直角三角形 例1．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【变式1-1】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，，求． 【变式1-2】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积（结果保留根号）． 【变式1-3】（20-21九年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，某风景区有三个景点，，，景点在的北偏西60°方向、且在的北偏西15°方向上，景点在的正西方向上，千米，求景点到的距离（结果保留根号）． 考点二：解直角三角形的相关计算 例2．（2024·安徽滁州·模拟预测）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点，，都在格点（局格线交点）上，连接． (1)平移线段得到线段，点与点对应，请在网格内再出线段，并直接写出，______； (2)以点为位似中心，把线段放大到原来的2倍得到线段，且点，的对应点分别为点，，请在网格内画出线段． 【变式2-1】（2024·安徽蚌埠·二模）在中，是边上一点，与交于点． (1)如图1，若 ，于点 F． ①求证： ②求 的值． (2)如图2，若，，已知． 求的长． 【变式2-2】（2024·安徽淮北·三模）如图，在中，高，交于点H，，，点G为延长线上一点，连接，的延长线交于点F，连接． (1)求证：； (2)若． ①当，时，求的值； ②当，且时，求的长 【变式2-3】（2024·安徽淮北·三模）抛物线与直线交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D． (1)求点B和点D的坐标； (2)如图①，连接，P为x轴上的动点，当时，求点P的坐标； (3)如图②，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接交直线于点E，求的最大值． 考点三：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 例3．（22-23九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在中，，，，求的面积． 【变式3-1】（23-24九年级下·吉林白城·阶段练习）小强学完解直角三角形知识后，给同桌小花出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片放在每格宽度为的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，求长方形卡片的周长．”作于点，于点．请你帮小强解答这道题．（结果精确到） 【变式3-2】（22-23八年级下·河南安阳·期末）如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 【变式3-3】（22-23九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 考点四：仰角俯角问题（解直角三角形的应用） 例4．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在同一水平地面上有和两栋楼，从楼顶部A点处测得楼的底部D点的俯角为，从楼顶部C点处测得楼的G点的俯角为，且米，已知楼高25米，求楼的高度．（精确到1米，参考数据：，，） 【变式4-1】（2024·安徽六安·二模）如图，某测绘小组计划利用无人机测量某段山体的长度AB，无人机飞行速度为，无人机先是悬停在山体边缘A点正上方C处，然后沿山体的平行方向飞行18s到D处悬停，测得山体边缘A点的俯角为，然后继续向前飞行到达E处，测得山体边缘B点的俯角为．试求山体的长度．（参考数据：，，） 【变式4-2】（2024·安徽马鞍山·三模）如图，某景点中一建筑可看作由等腰三角形和矩形构成，其中建筑的横梁长为8米，小明同学站到高的平台上的处，发现建筑顶端点，檐角点和视点点正好在同一条直线上，此时测得檐角点的仰角为，小明往前步行至处，测得檐角点的仰角为，已知小明的视点距平台的竖直高度为，过点作垂直水平面于点，且所有点均在同一平面中，求此建筑的高度（的值）（精确到）．参考数据：，，．    【变式4-3】（2024·安徽淮南·二模）某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼与之间的距离的长．（结果精确到．参考数据：，，，）． 【变式4-4】（2024·安徽淮北·二模）某数学活动小组测量图书馆和实验楼的高度，已知两楼中间有一棵树，楼、和树都垂直于地平面，点在同一条直线上．测得是的中点，且米，从实验楼楼顶处测得图书馆楼顶处的仰角为，测得树顶处的俯角为，已知树高为10米，求图书馆和实验楼的高度．（精确到1米，参考数据：） 考点五：方位角问题（解直角三角形的应用） 例5．（2024·安徽蚌埠·三模）学校组织学生从地到，，三个劳动基地去研学，已知，，三地在同一条直线上．经测量：，两地相距，地在地的北偏东方向上，地在地的北偏西方向上，．求，两地之间的距离．（结果精确到，参考数据：，） 【变式5-1】（2024·安徽合肥·二模）如图，在学校处测得图书城在其北偏东方向（即），千米；测得运动馆在其北偏东方向（即），千米，求图书城到运动馆的距离． （参考数据：，，，，，．） 【变式5-2】（2024·安徽安庆·三模）如图是一块四边形的荷花池，顶点位于点的正北方向，点位于点的正东方向，点位于点的北偏东方向，点位于点的北偏西方向，测得米，求荷花池边的长．（结果保留整数） 参考数据：，，，，．    【变式5-3】（2024·安徽阜阳·二模）已知小玫家、学校、妈妈工作单位分别位于点A、B、C处，点B在点A的北偏西方向上，点C在点B的北偏东方向上，且千米，千米．某天妈妈从家送小玫上学，然后到单位领取文件后回家（途中上下楼路程忽略不计），求妈妈从离家到回家全程所走的路程．（参考数据：，，，，，，，，） 考点六：坡度坡比问题（解直角三角形的应用） 例6．（2024·安徽淮北·三模）某村准备对水库一段长100m的堤坝进行改造．改造前，背水坡坡面的坡比，改造后坡面的坡比变为，坝顶加宽1m（），已知原背水坡的长为8m． (1)求改造后背水坡的长； (2)求所需土石方的体积．（结果精确到，） 【变式6-1】（2024·安徽六安·模拟预测）如图，兰兰欲测量广场上某旗杆的高度，她在该旗杆正前方的石坡顶点处测得旗杆顶端的仰角为，在坡脚点处测得旗杆顶端的仰角为，已知石坡高为3米，坡度，求旗杆的高度（其中点在同一直线上）．（结果精确到1米，，，） 【变式6-2】（2024·安徽蚌埠·三模）2024年5月，“嫦娥六号”突破月球逆行轨道设计与控制、月背智能采样和月背起飞上升等关键技术，实施月球背面自动采样返回，同时开展着陆区科学探测和国际合作，如图，在斜坡上有一瞭望台，斜坡的坡度为，坡长为50米，雷达的高度为10米，火箭发射前，雷达中心测得火箭底端点的俯角为，仅2秒的时间，测得火箭上升至的处的仰角为，请根据以上数据估算火箭发射时速度．（结果保留整数，参考数据：，）    【变式6-3】（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）某数学兴趣小组测量太湖山国家森林公园内望江塔的高度，如图，已知望江塔与水平地面垂直，望江塔与斜坡之间的距离长为14米，测得斜坡的坡度，斜坡长为米，坡顶D处有一个测角仪，，从点E测得塔顶点A的仰角为，已知测角仪长为米，求望江塔的高度．（精确到1米，图中所有点都在同一平面，参考数据：，，） 考点七：其他问题（解直角三角形的应用） 例7．（2024·安徽·中考真题）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）． 【变式7-1】（2024·安徽滁州·模拟预测）如图为某种植基地温室大棚横截面示意图．已知支架，撑杆与水平地面所成的夹角分别为，，米，且点，，，在同一平面内．求支架的长．（结果精确到米，参考数据：，，，） 【变式7-2】（2024·安徽合肥·模拟预测）刷脸支付是一种以人脸识别为核心的新型支付方式，支付过程非常简单，支付时只需要支付者面对刷脸支付的收银机屏幕上的摄像头，刷脸支付系统会自动将消费者面部信息与个人账户关联．某店使用的支付宝收银机的底座尺寸为，，该店使用的支付宝收银机经常出现顾客刷脸失败的情况，故请维修人员上门调试，调试后，水平放置，，，，为的中点，在该店可以成功使用，求此时到的距离．（精确到个位，参考数据：，，，） 【变式7-3】（2024·安徽六安·模拟预测）大别山旅游资源丰富，某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图1景区内修建观光索道，设计示意图如图2所示，以山脚A为起点，沿途修建，；两段长度相等的观光索道；最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台，长度为．索道与的夹角为，与水平线的夹角为．A，B两处的水平距离为，，垂足为F（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上，计算结果精确到，参考数据：，，，）      (1)求索道的长． (2)求水平距离的长． 【例1】如图所示，中，，，． （1）求的长； （2）求的长． 易错攻克 本题为解非直角三角形问题，一般先作高构造直角三角形，再利用锐角三角函数求解 【例2】一次军事演习中，在海拔高度为600米的某海岛顶端处设立了一个观察点（如图）上午九时，观察员发现“红方舰”和“蓝方舰”与该岛恰好在一条直线上，并测得“红方舰”的俯角为，测得“蓝方舰”的俯角为，请求出这时两舰之间的距离．（参考数据：，， 易错攻克 高度、测量问题往往与仰角、俯角有关，而解决有关仰角、俯角的问题，首先要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，再利用解直角三角形的知识求解. 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，直线与坐标轴交于点A、，过点作的垂线交轴于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽六安·三模）如图，中，，，于点E，D是线段上的一个动点，则的最小值是（      ）    A． B． C． D．10 3．（2024·安徽六安·二模）在中，，，，D在上，，B关于的对称点E，连接交于，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，正方形中，，E为中点，连接，求（     ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级下·安徽宣城·开学考试）如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座换水站，对坡面的绿地进行喷灌，现测得斜坡与水平面所成角的度数是，为使出水口的高度为，那么需要准备的水管的长为 6．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，，点D为的中点，点M在边上，且满足，，垂足为N，交于点P． （1）的值为 ； （2）的值为 ． 7．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的边轴，，点B关于直线的对称点的坐标为，若反比例函数的图象经过点B．则k的值为 ． 8．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，山顶上有一座电视塔，为测量山高，在地面上引一条基线，测得 ，，．已知电视塔高，求山高的值．（结果精确到，参考数据：） 9．（2024·安徽马鞍山·三模）如图，抛物线与直线的两个交点都在坐标轴上，与轴另一交点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方拋物线上的一个动点． （ⅰ）若为抛物线的顶点，连接，求的面积； （ⅱ）如图，过点作y轴的垂线，交抛物线另一点于点，已知点是抛物线上一动点，其横坐标为，连接，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$