重难点拓展：整式化简求值四种方法【暑假自学课】-2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

重难点拓展：整式化简求值四种方法 题型01化繁为简再求值 【典例分析】 【例1-1】（23-24七年级上·广西玉林·期末）先化简，再求值：，其中是最大的负整数，的相反数是2． 【例1-2】（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）完成下列各题 (1)已知，，求； (2)先化简，再求值：，其中． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24七年级上·广东清远·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式1-2】（23-24七年级上·河北邯郸·期末）先化简，再求值． (1)，其中是1的相反数，b是2的倒数； (2)，其中． 【变式1-3】（22-23七年级上·浙江·期末）已知，． (1)化简：； (2)已知，互为倒数，且，求的值． 题型02整体代入求值 【典例分析】 【例2-1】（22-23七年级上·安徽宿州·期中）小萱同学善于总结反思，她发现在代数式求值问题中整体思想的运用非常广泛．如：已知代数式，求代数式的值． 小萓同学的解法如下： 原式，把式子两边同时乘2，得． 仿照小萓同学的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，那么______； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 【例2-2】（23-24七年级上·广西南宁·期中）【阅读理解】 “整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛． 例如：已知，求的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）若，则______； （2）如果，求的值． 【拓展探索】 （3）如果，．求的值． 【例2-3】（23-24七年级上·河南安阳·期末）阅读材料：“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到．我们知道，合并同类项：，类似地，我们把看成一个整体，则． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是______． （2）已知，求的值． 拓展探索： （3）已知．求的值． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，求合并的结果； (2)已知，求的值． 【变式2-2】（23-24七年级上·福建福州·期末）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是________； （2）已知，求的值； 拓展探索： （3）已知，，，求的值． 【变式2-3】（23-24七年级上·贵州毕节·期末）小颖同学在学习整式的加减时遇到这样一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”这个问题中，和的值不能单独求出来，于是联明的小颖同学想到了把作为一个整体求解，得到如下的解题过程：原式． 整体思想是中学数学解题的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【简单应用】 （1）已知，则的值为 【联系推广】 （2）已知，求的值； 【拓展提高】 （3）已知，，求的值． 题型03整体化简中的“无关”求值 【典例分析】 【例3-1】（22-23七年级上·安徽合肥·期中）如图，长为，宽为的长方形被分割成7部分，除阴影部分，外，其余5部分为形状和大小完全相同的小长方形，其中小长方形的宽为3． (1)求小长方形的长（用含的代数式表示）． (2)小明发现阴影图形与阴影图形的周长之和与值无关，他的判断是否正确，请说明理由． 【例3-2】（23-24七年级上·广东深圳·期中）已知代数式． (1)求； (2)若，求的值； (3)若的值与x的取值无关，求　　． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24七年级上·广东中山·期中）已知关于的两个多项式，其中为常数． 求： (1)； (2)若的值与无关，求的值． 【变式3-2】（23-24七年级上·重庆巴南·期中）三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2方式分别置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙．已知正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用代数式表示图1中阴影部分的面积，并计算当，，时阴影部分的面积． (2)记图1中阴影部分周长为，图2阴影部分周长之和为，判断的值是否与正方形A、B、C的边长有关，若有关请说明理由，若无关，求出的值． 【变式3-3】（23-24七年级上·山东菏泽·期末）“囧”：是网络流行语，像一个人脸郁闷的神情，如图所示，一张边长为20的正方形的纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案（阴影部分）．设剪去的小长方形长和宽分别为、，剪去的两个小直角三角形的两直角边长也分别为、． (1)用含有、的代数式表示图中“囧”的面积； (2)令“囧”的面积为，若代数式的值与、无关，求此时的值． 题型04利用数形结合求值 【典例分析】 【例4-1】（24-25七年级上·全国·假期作业）有理数、、在数轴上的位置如图： (1)比较大小（填“”或“”号）．①______；② ______；③______； (2)化简：． 【例4-2】（22-23七年级上·广东广州·期中）已知，，三个数在数轴上对应点的位置如图所示： (1)在数轴上标出，，这三个数所对应的点，并将，，，，，这6个数按从小到大的顺序用“＜”连接； (2)根据（1）中结论，化简式子：； (3)若，且表示数的点向左运动1个单位长度后在数轴上对应的数恰好与互为相反数，求的值． 【例4-3】（23-24七年级上·陕西西安·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示2和7的两点之间的距离是______；表示和2两点之间的距离是______； (2)如果，那么______； (3)已知三点在数轴上所表示的数分别为，且是最小的正整数，满足若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值    【变式演练】 【变式4-1】（22-23七年级上·江西宜春·期中）如下图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c．（O为原点） (1) 0， 0， 0（用“＜”或“＞”或“＝”号填空）； (2)化简：． 【变式4-2】（23-24七年级上·陕西西安·期末）已知，，三个数在数轴上对应点的位置如图所示. 化简：. 【变式4-3】（23-24七年级上·广东广州·期中）已知a、b、c三个数在数轴上对应点的位置如图所示：    (1)在数轴上标出、、这三个数所对应的点，并将a、b、c、、、这6个数按从小到大的顺序用“”连接； (2)根据（1）中结论，化简式子：； (3)若，且表示数a的点向左运动1个单位长度后在数轴上对应的数恰好与c互为相反数，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点拓展：整式化简求值四种方法 题型01化繁为简再求值 【典例分析】 【例1-1】（23-24七年级上·广西玉林·期末）先化简，再求值：，其中是最大的负整数，的相反数是2． 【答案】，4 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先去括号，再合并同类项，然后把，的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】 ， 是最大的负整数，的相反数是2， ，， 当，时，原式 【例1-2】（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）完成下列各题 (1)已知，，求； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了整式的化简求值，解答本题的关键是熟练掌握整式的运算法则． （1）把，代入，然后去括号合并同类项即可； （2）先去括号合并同类项，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解： ； 当时，原式 【变式演练】 【变式1-1】（23-24七年级上·广东清远·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握整式的加减运算是解题的关键．先去括号，再合并同类项，最后代入字母的值求解即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式 【变式1-2】（23-24七年级上·河北邯郸·期末）先化简，再求值． (1)，其中是1的相反数，b是2的倒数； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，相反数和倒数的定义； （1）去括号，合并同类项得到最简结果，根据相反数和倒数的定义求出，，再代入计算即可； （2）去括号，合并同类项得到最简结果，然后将整体代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； ∵是1的相反数，b是2的倒数， ∴，， ∴原式 ； （2）原式 ； 当时， 原式 【变式1-3】（22-23七年级上·浙江·期末）已知，． (1)化简：； (2)已知，互为倒数，且，求的值． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（）按照整式运算法则进行化简即可； （）根据，求出的值，又、互为倒数即可求出的值，代入求解即可； 本题考查了整式的加减—化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ； （2）∵，互为倒数， ∴， ∵， ∴， 由（）得， ∴原式． 题型02整体代入求值 【典例分析】 【例2-1】（22-23七年级上·安徽宿州·期中）小萱同学善于总结反思，她发现在代数式求值问题中整体思想的运用非常广泛．如：已知代数式，求代数式的值． 小萓同学的解法如下： 原式，把式子两边同时乘2，得． 仿照小萓同学的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，那么______； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 【答案】(1)1；(2)11；(3) 【分析】（1）变形后可得，进而求解； （2）合并后整体代入求解即可； （3）将所求式子变形为，再整体代入解答． 【详解】（1）因为， 所以，即， 所以． （2）因为， 所以原式 ． （3）因为，， 所以原式 ． 【点睛】本题考查了整式的加减和代数式求值，正确变形、灵活应用整体思想是解题的关键 【例2-2】（23-24七年级上·广西南宁·期中）【阅读理解】 “整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛． 例如：已知，求的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）若，则______； （2）如果，求的值． 【拓展探索】 （3）如果，．求的值． 【答案】（1）2025；（2）57；（3）10 【分析】本题考查求代数式值，将待求的代数式变形，用已知的代数式表示是解题的关键． （1）将已知代数式值代入求解； （2）原式，将已知代数式代入求解； （3）原式，将已知代数式代入求解． 【详解】解：（1）， ； （2）原式， ， 原式， ； （3）原式， ． 【例2-3】（23-24七年级上·河南安阳·期末）阅读材料：“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到．我们知道，合并同类项：，类似地，我们把看成一个整体，则． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是______． （2）已知，求的值． 拓展探索： （3）已知．求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了合并同类项，代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键． （1）仿照题意把当做一个整体，利用合并同类项的计算法则求解即可； （2）根据，把整体代入求解即可； （3）根据，把所给的条件式整体代入求解即可． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2）∵， ∴ ； （3）∵， ∴ ． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，求合并的结果； (2)已知，求的值． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了整体法以及已知式子的值求代数式的值： （1）把看成一个整体，根据合并同类项的法则，把式子的的系数直接相加减，即可作答． （2）把看做一个整体，整理得，再代入，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 原式 ． 【变式2-2】（23-24七年级上·福建福州·期末）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是________； （2）已知，求的值； 拓展探索： （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体的思想是解题的关键． （1）利用整体思想，把看成一个整体，合并即可得到结果； （2）原式可化为，把整体代入即可； （3）依据，，，即可得到，，整体代入进行计算即可； 本题考查了代数式求值，熟练掌握整体的思想是解题的关键． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）∵， ∴原式， ， ； （3）∵，，， ∴， ， ∴原式． 【变式2-3】（23-24七年级上·贵州毕节·期末）小颖同学在学习整式的加减时遇到这样一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”这个问题中，和的值不能单独求出来，于是联明的小颖同学想到了把作为一个整体求解，得到如下的解题过程：原式． 整体思想是中学数学解题的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【简单应用】 （1）已知，则的值为 【联系推广】 （2）已知，求的值； 【拓展提高】 （3）已知，，求的值． 【答案】（1）2025（2）11（3）7 【分析】本题考查代数式求值及整体思想，将原式进行正确的变形是解题的关键． （1）将已知数值代入原式计算即可； （2）将原式整理并变形后代入已知数值计算即可； （3）将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：（1）， ； （2）， ； （3），， ． 题型03整体化简中的“无关”求值 【典例分析】 【例3-1】（22-23七年级上·安徽合肥·期中）如图，长为，宽为的长方形被分割成7部分，除阴影部分，外，其余5部分为形状和大小完全相同的小长方形，其中小长方形的宽为3． (1)求小长方形的长（用含的代数式表示）． (2)小明发现阴影图形与阴影图形的周长之和与值无关，他的判断是否正确，请说明理由． 【答案】(1) (2)正确，理由见解析 【分析】（1）由图形求得阴影P的长即可得出结论． （2）由图形求得阴影P，Q的长与宽，利用长方形的周长公式列代数式，化简即可得出结论． 【详解】（1）因为小长方形的宽为3，所以小长方形的长为． （2）判断正确． 理由如下：由图可得阴影图形的长为，宽为， 阴影图形的长为9，宽为， 阴影图形和阴影图形的周长之和为， 所以阴影图形与阴影图形的周长之和与值无关，小明的判断是正确的． 【点睛】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，充分利用图形的特点求得阴影P，Q的长与宽是解题的关键 【例3-2】（23-24七年级上·广东深圳·期中）已知代数式． (1)求； (2)若，求的值； (3)若的值与x的取值无关，求　　． 【答案】(1) (2)的值为28或或或32 (3) 【分析】本题考查整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可． （2）由题意可得的值，代入计算即可． （3）将变形为，即可得，求出的值即可． 【详解】（1）解： ． （2）∵， ， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，的值为28或或或32． （3）， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得 【变式演练】 【变式3-1】（23-24七年级上·广东中山·期中）已知关于的两个多项式，其中为常数． 求： (1)； (2)若的值与无关，求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据整式的混合运算法则，分别计算出的值，在运用整式的加减运算计算即可； （2）根据整式中的无关型，将对应的系数变为零，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：， ∴，， ∴ ． （2）解：由（1）可知，， ∵的值与无关， ∴，解得，． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，整式无关型的计算方法，掌握整式的混合运算法则，理解无关型的含义是解题的关键． 【变式3-2】（23-24七年级上·重庆巴南·期中）三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2方式分别置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙．已知正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用代数式表示图1中阴影部分的面积，并计算当，，时阴影部分的面积． (2)记图1中阴影部分周长为，图2阴影部分周长之和为，判断的值是否与正方形A、B、C的边长有关，若有关请说明理由，若无关，求出的值． 【答案】(1)；(2)的值与三个小正方形的边长无关，值为0 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，整式的加减，解题的关键是掌握运算法则． （1）用长方形的面积减去3个正方形的面积即可； （2）分别求出m，n的值相减即可． 【详解】（1）由题意知：长方形的长为，宽为 长方形的面积 所以图1中阴影部分的面积 当，，时，阴影部分的面积 （2）图1中阴影部分的周长 图2中阴影部分的周长 即的值与三个小正方形的边长无关，值为0 【变式3-3】（23-24七年级上·山东菏泽·期末）“囧”：是网络流行语，像一个人脸郁闷的神情，如图所示，一张边长为20的正方形的纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案（阴影部分）．设剪去的小长方形长和宽分别为、，剪去的两个小直角三角形的两直角边长也分别为、． (1)用含有、的代数式表示图中“囧”的面积； (2)令“囧”的面积为，若代数式的值与、无关，求此时的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式和整式加减运算，熟练掌握代数式求值的方法，根据题意列出准确的代数式是解题的关键． （1）由题意直接利用正方形面积减去两个三角形面积，以及一个小长方形面积即可得到图中“囧”的面积； （2）根据题意先得出“囧”的面积，进而代入代数式，依据即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得“囧”的面积： ； （2） ， 把代入，得 ， 代数式的值与无关， ， 题型04利用数形结合求值 【典例分析】 【例4-1】（24-25七年级上·全国·假期作业）有理数、、在数轴上的位置如图： (1)比较大小（填“”或“”号）．①______；② ______；③______； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了有关实数与数轴的简单应用，做题关键要掌握实数的大小比较，去绝对值． （1）根据数轴上的点表示的数的特点，比较大小． （2）利用绝对值的定义去绝对值，去括号，合并同类项． 【详解】（1）解：由数轴可得：，，且； ∴；；； （2）解：   ． 故答案为： 【例4-2】（22-23七年级上·广东广州·期中）已知，，三个数在数轴上对应点的位置如图所示： (1)在数轴上标出，，这三个数所对应的点，并将，，，，，这6个数按从小到大的顺序用“＜”连接； (2)根据（1）中结论，化简式子：； (3)若，且表示数的点向左运动1个单位长度后在数轴上对应的数恰好与互为相反数，求的值． 【答案】(1)数轴见解析，；(2)；(3)5 【分析】（1）根据相反数的性质在数轴上表示出，，，然后利用数轴比较数的大小； （2）先结合（1）中结论去绝对值，再合并同类项即可； （3）先将原式去括号、合并同类项化简，然后根据已知条件得出，，最后代入求值． 【详解】（1）解：如图： 从小到大排序为：； （2）解：由（1）知，，， 因此； （3）解：， 表示数的点向左运动1个单位长度后在数轴上对应的数恰好与互为相反数， ， 又， ，， ． 【点睛】本题考查用数轴比较数的大小，整式的加减运算，相反数的定义，化简绝对值等，解题的关键是熟练运用整体代入思想． 【例4-3】（23-24七年级上·陕西西安·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示2和7的两点之间的距离是______；表示和2两点之间的距离是______； (2)如果，那么______； (3)已知三点在数轴上所表示的数分别为，且是最小的正整数，满足若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值    【答案】(1)， (2)或 (3)不变，的值为 【分析】（1）根据数轴上两点的距离公式即可求解； （2）根据到距离为3的点表示的数，即可求解． （3）根据绝对值的非负性求解，即可得到，根据题意得到秒后，点、、对应的数分别为、、，再根据数轴上两点间的距离公式，得出，，即可得到答案． 【详解】（1）解：数轴上表示2和7的两点之间的距离是；表示和2两点之间的距离是 故答案为：，． （2）解：∵， ∴或 故答案为：或． （3）解：不变，理由如下， 是最小的正整数， ， ， ，， ，， 由题意可知，秒后，点、、对应的数分别为、、， ，， ， 的值不随着时间的变化而改变，其值为2． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，数轴上两点间的距离公式，数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上两点间的距离公式时解题关键． 【变式演练】 【变式4-1】（22-23七年级上·江西宜春·期中）如下图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c．（O为原点） (1) 0， 0， 0（用“＜”或“＞”或“＝”号填空）； (2)化简：． 【答案】(1)，，；(2) 【分析】本题主要考查了有理数大小比较，绝对值的性质等知识点， （1）直接利用数轴结合的位置进而判断得出答案； （2）利用（1）中的符号，结合绝对值的性质化简得出答案； 正确去掉绝对值是解决此题的关键． 【详解】（1）由数轴知：，， ∴，，， 故答案为：，，； （2） ． 【变式4-2】（23-24七年级上·陕西西安·期末）已知，，三个数在数轴上对应点的位置如图所示. 化简：. 【答案】 【分析】本题考查的是化简绝对值，整式的加减、数轴，先根据各点在数轴上的位置判断出各点的符号及绝对值的大小，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】解：因为， 所以，，， 所以原式． 【变式4-3】（23-24七年级上·广东广州·期中）已知a、b、c三个数在数轴上对应点的位置如图所示：    (1)在数轴上标出、、这三个数所对应的点，并将a、b、c、、、这6个数按从小到大的顺序用“”连接； (2)根据（1）中结论，化简式子：； (3)若，且表示数a的点向左运动1个单位长度后在数轴上对应的数恰好与c互为相反数，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的大小比较，绝对值，整式的加减，熟练掌握利用数轴比较实数大小的法则，绝对值的意义是解题的关键． （1）利用相反数的意义在数轴上表示出各数，再利用数轴上比较大小的法则，右边的总比左边的大解答即可； （2）利用数轴上的点的位置求得，，的符号，再利用绝对值的意义化简即可； （3）利用新运算的意义求得a与c的关系式，利用去括号的法则求得括号后，合并同类项，再利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：在数轴上标出、、如下图：    将a、b、c、、、这6个数按从小到大的顺序用“”连接如下： ． （2）由题意得：， ， ， ． （3）∵表示数a的点向左运动1个单位长度后在数轴上对应的数恰好与c互为相反数， ， ． ， ． ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$