专题03 函数的概念与性质(讲义+一轮复习知识扫描练)-备战2025年高考数学一轮复习《重难点题型•高分突破》（上海专用）

专题03 函数的概念与性质(讲义+一轮复习知识扫描练) 一、函数的概念 1.函数的定义 设A,B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合A中的任意一个数x, 在集合B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y =f(x),x∈A.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域.显然，值域是集合 B 的子集. 2.函数的构成要素 函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.三者缺一不可，其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系确定了，值域也就确定了. 二、函数的定义域 1.函数的定义域是自变量x的取值集合，它是函数的重要组成部分. 2.求函数定义域的注意事项 (1)分式的分母不为0; (2)偶次根式的被开方数大于等于0; (3)零次幂的底数不为0; (4)实际问题中自变量的范围； (5)多个式子构成的函数，其定义域要满足每个式子都有意义. 三、函数的值域 1.函数的值域是在对应关系 f 的作用下，自变量x在定义域内取值时相应的函数值组成的集合 四、同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数. 温馨提示：当一个函数的对应关系和定义域确定后，其值域就随之确定，所以两个函数当且仅当定义城和对应关系相同时，才为同一函数.换言之，(1)定义域不同，两函数不同；(2)值域不同，两函数不同；(3)对应关系不同，两函数不同，即使定义域和值城分别相同的两个函数，也不一定是同一函数，如y=5x 与它们的定义域和值域都是实数集R, 但不是同一个函数. 五、函数的表示法 1.解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 2.图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系， 3. 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 温馨提示： (1)解析法必须注明函数的定义域； (2)列表法必须罗列出所有的自变量的值与函数值的对应关系； (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”, 六、复合函数 如果函数y=f(t)的定义域为A, 函数t=g(x) 的定义域为B, 值域为C, 则 当C≤A时，称函数y=f(g(x)) 为f(t) 与g(x)在B的复合函数，其中t 叫做中间变量，t=g(x) 叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 温馨提示： 1. 内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集. 2. 函数f(g(x))的定义域是指x 的取值范围，而不是g(x)的取值范围. 七、分段函数 在函数y=f(x) 的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数通常称为分段函数 八、函数的单调性 1.增函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I, 如果对于定义域 I 内某个区间D上的任意两个自变量x₁,xz, 当x₁ <x₂时，都有f(x₁) ≤f(x₂), 那么就说函数f(x)在区间 D 上是增函数. 2.减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域 I 内某个区间D 上的任 意两个自变量x₁,xz, 当x₁ <x₂时，都有f(x₁)≥f(x₂), 那么就说函数 f(x)在区间 D上是减函数. 小结：对任意的x₁,x₂ ∈D, 且x₁ ≠x₂有： （1） （2）(x₁-x₂)[f(x₁)-f(x₂)]≥0=f(x)在D上是增函数； (x₁-x₂)[f(x₁)-f(x₂)]≤0⇔f(x)在D上是减函数. 九、单调区间 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x) 在这一区间上具有(严格的)单调性， 区间D叫做y=f(x)的单调区间. 温馨提示： 1. 函数的单调性是针对定义城内某段区间而言的 . 2. 函数单调性定义中的x₁,xg 有三个特征：①任意性；②有大小；③同属一个单调区间，三者缺一不可. 3. 求函数的单调区间，应先求其定义域 . 十、单调函数的运算性质 1.函数f(x) 与 f(x)+c(c 为常数)具有相同的单调性. 2.当 a>0时，f(x)与a·f(x)的单调性相同，当a<0时，f(x)与a·f(x)的单调性相反. 3.当f(x)恒为正值或恒为负值时，f(x) 与的单调性相反. 4.当 f(x),g(x )同为增(减)函数时，f(x)+g(x)是增(减)函数. 5.当f(x),g(x) 同为增(减)函数时，若两者都恒大于零，则f(x)·g(x)也是增 (减)函数；若两者都小于零，则f(x)·g(x) 是减(增)函数. 十一、复合函数的单调性 复合函数 y=f(g(x)), 在其定义域内单调性满足： f(x) g(x) f(g(x) 增函数 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 温馨提示:复合函数的单调性符合“同增异减”的法则. 十二、函数的最值 1. 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足：(1)任意的x ∈I, 都有f(x)≤M;(2)存在x₀ ∈I, 使得f(x₀)=M. 那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值， 2. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为 I, 如果存在实数M满足：(1)任意的x ∈I, 都有f(x)≥M;(2) 存在x₀ ∈I, 使得f(xo)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值 十三、函数的奇偶性 Ⅰ、奇函数与偶函数的定义 1.奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=-f(x) 那么函数 f(x) 就叫做奇函数. 2. 偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x) 就叫做偶函数. 温馨提示 ：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件. 若函数的定义域不关于原点对称， 则此类函数为非奇非偶函数. Ⅱ、奇、偶函数的性质 1.具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称. 2.奇函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；偶函数的图象是以y 轴 为对称轴的轴对称图形. 3.若一个奇函数在x=0 处有意义，则 f(0)=0. 4.若一个函数既是奇函数又是偶函数，则有f(x)=0. 5.四则运算及复合函数的奇偶性 f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) f(x)·g(x) f(g(x) 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 十四、函数 y=f(x)的图象的对称性 1.函数y=f(x) 的图象关于直线x=a 对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(2a-x)=f(x). 2.若函数 y=f(x)(x∈R),f(x+a)=f(b-x) 恒成立，则y=f(x)的图象的对称轴是直线 3.画数y=f(a)的图象关于直线对称⇔f(a+mx)=f(b-mx)⇔f(a+b-mx)=f(mx). 4.若f(x)=-f(-x+a), 则函数y=f(x) 的图象关于点对称 . 十五、两个函数图象的对称性 1.函数y=f(x)与函数y= f(-x)的图象关于直线x=0 ( 即y轴)对称. 2.函数y=f(x+a)与 y=f (b-x) 的图象关于直线对称 . 3.函数y=f (mx-a) 与函数y=f(b -mx) 的图象关于直线对称. 十六、函数的周期性 Ⅰ、周期函数及最小正周期 1.周期函数 对于函数y=f(x), 如果存在一个非零常数T, 当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x), 那么就称函数y=f(x) 为周期函数，T为这个函数的周期. 2.最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做 f(x) 的最小正周期. Ⅱ、函数周期性的重要结论 1. 若f(x+a)=f(x+b)(a≠b), 则T=|a-b|. 2.若 f(x+a)=-f(x), 则 T=2|a|. 3.若 ,则 T=2|a|. 4.若函数 f(x) 是偶函数，其图象关于直线x=a 对称，则T=2|a|. 5.若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x=a对称，则T=4|al. 6.若函数f(x) 关于直线x=a与 x=b对称，则T=2|b-a|. 7.若函数f(x) 关于点(a,0) 对称，又关于点(b,0) 对称，则T=2|b-a|. 8.若 函 数f(x) 关于直线x=a 对称，又关于点(b,0) 对称，则 T=4|b-a|. ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 一、单选题 1．下列各组函数中表示同一函数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 7．已知，则的定义域为                                 （    ） A． B． C．且 D．且 8．已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，且，则实数的值等于（    ） A． B． C．2 D． 10．已知对于任意，都有，且，则（    ） A．4 B．8 C．64 D．256 11．已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 12．函数的最大值为（    ） A．4 B．2 C． D． 13．若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 14．已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 15．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 16．设，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．已知函数是定义在上的偶函数，且，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 19．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 20．已知是定义在R上的奇函数，，且在上单调递减，在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 21．已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．4 D．2 22．定义在R上的函数满足，且为奇函数．当时，，则（    ） A． B． C． D．1 23．已知定义在上的函数满足，①，② 为奇函数，③当时，恒成立.则、、的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 24．定义在上的函数满足，为偶函数，函数的图象关于对称，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 25．设函数，若，则 . 26．若函数的定义域为，则的定义域为 ． 27．已知偶函数在区间上单调递减，则函数的单调增区间是 ． 28．已知f(x＋)＝x2＋，则函数f(x)＝ ． 29．若函数f(x)满足方程af(x)＋f()＝ax，x∈R，且x≠0，a为常数，a≠±1，且a≠0，则f(x)＝ ． 30．已知定义在上的函数，满足，且，，则 . 31．已知，则 . 32．已知是定义在上的增函数，且的图像关于点对称．若实数满足不等式，则的取值范围是 ． 三、解答题 33．已知函数． (1)试判断函数在区间上的单调性，并证明； (2)求函数在区间上的值域． 34．已知函数过点． (1)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (2)求函数在上的最大值和最小值． 35．已知函数，. (1)当时，求函数的零点： (2)若函数为偶函数，求实数的值. 36．设（），其中常数. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若不等式在区间上有解，求的取值范围. 37．已知函数是定义在上的函数，恒成立，且. (1)确定函数的解析式，并用定义研究在上的单调性； (2)解不等式. 38．已知函数对一切实数，都有成立，且，其中． (1)求的解析式； (2)若关于x的方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围. 39．设，函数， (1)若，判断函数是否存在实数c，使得为奇函数？说明理由． (2)若，函数在区间上是严格增函数，求c的最大值． (3)若函数的图像经过点，且函数图像与x轴负半轴有两个不同的交点，求此时c的值和实数a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数的概念与性质(讲义+一轮复习知识扫描练) 一、函数的概念 1.函数的定义 设A,B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合A中的任意一个数x, 在集合B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y =f(x),x∈A.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域.显然，值域是集合 B 的子集. 2.函数的构成要素 函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.三者缺一不可，其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系确定了，值域也就确定了. 二、函数的定义域 1.函数的定义域是自变量x的取值集合，它是函数的重要组成部分. 2.求函数定义域的注意事项 (1)分式的分母不为0; (2)偶次根式的被开方数大于等于0; (3)零次幂的底数不为0; (4)实际问题中自变量的范围； (5)多个式子构成的函数，其定义域要满足每个式子都有意义. 三、函数的值域 1.函数的值域是在对应关系 f 的作用下，自变量x在定义域内取值时相应的函数值组成的集合 四、同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数. 温馨提示：当一个函数的对应关系和定义域确定后，其值域就随之确定，所以两个函数当且仅当定义城和对应关系相同时，才为同一函数.换言之，(1)定义域不同，两函数不同；(2)值域不同，两函数不同；(3)对应关系不同，两函数不同，即使定义域和值城分别相同的两个函数，也不一定是同一函数，如y=5x 与它们的定义域和值域都是实数集R, 但不是同一个函数. 五、函数的表示法 1.解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 2.图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系， 3. 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 温馨提示： (1)解析法必须注明函数的定义域； (2)列表法必须罗列出所有的自变量的值与函数值的对应关系； (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”, 六、复合函数 如果函数y=f(t)的定义域为A, 函数t=g(x) 的定义域为B, 值域为C, 则 当C≤A时，称函数y=f(g(x)) 为f(t) 与g(x)在B的复合函数，其中t 叫做中间变量，t=g(x) 叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 温馨提示： 1. 内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集. 2. 函数f(g(x))的定义域是指x 的取值范围，而不是g(x)的取值范围. 七、分段函数 在函数y=f(x) 的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数通常称为分段函数 八、函数的单调性 1.增函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I, 如果对于定义域 I 内某个区间D上的任意两个自变量x₁,xz, 当x₁ <x₂时，都有f(x₁) ≤f(x₂), 那么就说函数f(x)在区间 D 上是增函数. 2.减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域 I 内某个区间D 上的任 意两个自变量x₁,xz, 当x₁ <x₂时，都有f(x₁)≥f(x₂), 那么就说函数 f(x)在区间 D上是减函数. 小结：对任意的x₁,x₂ ∈D, 且x₁ ≠x₂有： （1） （2）(x₁-x₂)[f(x₁)-f(x₂)]≥0=f(x)在D上是增函数； (x₁-x₂)[f(x₁)-f(x₂)]≤0⇔f(x)在D上是减函数. 九、单调区间 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x) 在这一区间上具有(严格的)单调性， 区间D叫做y=f(x)的单调区间. 温馨提示： 1. 函数的单调性是针对定义城内某段区间而言的 . 2. 函数单调性定义中的x₁,xg 有三个特征：①任意性；②有大小；③同属一个单调区间，三者缺一不可. 3. 求函数的单调区间，应先求其定义域 . 十、单调函数的运算性质 1.函数f(x) 与 f(x)+c(c 为常数)具有相同的单调性. 2.当 a>0时，f(x)与a·f(x)的单调性相同，当a<0时，f(x)与a·f(x)的单调性相反. 3.当f(x)恒为正值或恒为负值时，f(x) 与的单调性相反. 4.当 f(x),g(x )同为增(减)函数时，f(x)+g(x)是增(减)函数. 5.当f(x),g(x) 同为增(减)函数时，若两者都恒大于零，则f(x)·g(x)也是增 (减)函数；若两者都小于零，则f(x)·g(x) 是减(增)函数. 十一、复合函数的单调性 复合函数 y=f(g(x)), 在其定义域内单调性满足： f(x) g(x) f(g(x) 增函数 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 温馨提示:复合函数的单调性符合“同增异减”的法则. 十二、函数的最值 1. 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足：(1)任意的x ∈I, 都有f(x)≤M;(2)存在x₀ ∈I, 使得f(x₀)=M. 那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值， 2. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为 I, 如果存在实数M满足：(1)任意的x ∈I, 都有f(x)≥M;(2) 存在x₀ ∈I, 使得f(xo)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值 十三、函数的奇偶性 Ⅰ、奇函数与偶函数的定义 1.奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=-f(x) 那么函数 f(x) 就叫做奇函数. 2. 偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x) 就叫做偶函数. 温馨提示 ：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件. 若函数的定义域不关于原点对称， 则此类函数为非奇非偶函数. Ⅱ、奇、偶函数的性质 1.具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称. 2.奇函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；偶函数的图象是以y 轴 为对称轴的轴对称图形. 3.若一个奇函数在x=0 处有意义，则 f(0)=0. 4.若一个函数既是奇函数又是偶函数，则有f(x)=0. 5.四则运算及复合函数的奇偶性 f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) f(x)·g(x) f(g(x) 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 十四、函数 y=f(x)的图象的对称性 1.函数y=f(x) 的图象关于直线x=a 对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(2a-x)=f(x). 2.若函数 y=f(x)(x∈R),f(x+a)=f(b-x) 恒成立，则y=f(x)的图象的对称轴是直线 3.画数y=f(a)的图象关于直线对称⇔f(a+mx)=f(b-mx)⇔f(a+b-mx)=f(mx). 4.若f(x)=-f(-x+a), 则函数y=f(x) 的图象关于点对称 . 十五、两个函数图象的对称性 1.函数y=f(x)与函数y= f(-x)的图象关于直线x=0 ( 即y轴)对称. 2.函数y=f(x+a)与 y=f (b-x) 的图象关于直线对称 . 3.函数y=f (mx-a) 与函数y=f(b -mx) 的图象关于直线对称. 十六、函数的周期性 Ⅰ、周期函数及最小正周期 1.周期函数 对于函数y=f(x), 如果存在一个非零常数T, 当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x), 那么就称函数y=f(x) 为周期函数，T为这个函数的周期. 2.最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做 f(x) 的最小正周期. Ⅱ、函数周期性的重要结论 1. 若f(x+a)=f(x+b)(a≠b), 则T=|a-b|. 2.若 f(x+a)=-f(x), 则 T=2|a|. 3.若 ,则 T=2|a|. 4.若函数 f(x) 是偶函数，其图象关于直线x=a 对称，则T=2|a|. 5.若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x=a对称，则T=4|al. 6.若函数f(x) 关于直线x=a与 x=b对称，则T=2|b-a|. 7.若函数f(x) 关于点(a,0) 对称，又关于点(b,0) 对称，则T=2|b-a|. 8.若 函 数f(x) 关于直线x=a 对称，又关于点(b,0) 对称，则 T=4|b-a|. ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 一、单选题 1．下列各组函数中表示同一函数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据相等函数的定义域和对应关系相同依次讨论各选项即可得答案. 【解析】对于A选项，定义域为，的定义域为，故不满足条件； 对于B选项，定义域为，的定义域为，，故不满足条件； 对于C选项，定义域为，的定义域为，故不满足条件； 对于D选项，与定义域相同，对应关系相同，故满足条件． 故选：D． 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据被开方数不小于零列不等式求解. 【解析】∵有意义，∴，即， 所以函数的定义域是， 故选: A. 3．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据题意得到不等式组，解出即可. 【解析】由题得，解得， 故选：C. 4．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合抽象函数的定义域求解作答. 【解析】由函数的定义域为，即，得， 因此由函数有意义，得，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可. 【解析】∵函数的定义域为，即，可得， ∴函数的定义域为， 令，解得， 故函数的定义域为. 故选：B. 6．若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求得函数的定义域为，然后结合抽象函数定义域与求解即可； 【解析】由题意可知，所以，要使函数有意义，则解得. 故选：D 7．已知，则的定义域为                                 （    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】利用分母不为0及复合函数的内层函数不等于0求解具体函数定义域 【解析】因为，所以，又因为在中，，所以，所以， 所以的定义域为且. 故选：C 8．已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得的定义域，进而求得的定义域. 【解析】由，解得，所以的定义域为. 令，则，所以的定义域为. 故选：D 9．已知函数，且，则实数的值等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用抽象函数定义域求法求解即可； 【解析】令，解得或由此解得， 故选：D 10．已知对于任意，都有，且，则（    ） A．4 B．8 C．64 D．256 【答案】D 【分析】由题意有，得，求值即可. 【解析】由，当时，有， 由，则有. 故选：D 11．已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出函数值域得解. 【解析】依题意，， 显然，则，于是， 所以函数的值域是. 故选：C 12．函数的最大值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】令（），通过求出的范围，则配方后即可求得最大值. 【解析】由解析式易知的定义域为， 令（）， 所以，则， 由，可知， ，所以，则， 所以（）， 则， 所以的最大值为. 故选：C. 13．若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论解不等式即可. 【解析】由函数的值域是， 所以当时，， 当时， 即，解得， 所以函数的定义域为：， 故选：D 14．已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可. 【解析】根据题意，由得:图象的对称轴为直线， 设二次函数为， 因的最大值是8，所以，当时， ， 即二次函数， 由得:，解得：， 则二次函数， 故选：A. 15．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数的定义域，再求出函数在所求定义域上的单调区间并结合复合函数单调性即可作答. 【解析】在函数中，由得或，则的定义域为， 函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增， 于是得在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：B 16．设，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，由二次函数的对称轴和函数的单调性的关系以及充分性与必要性的应用，即可得到结果. 【解析】函数的对称轴为， 由函数在上单调递增可得，即， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A 17．已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知函数在每一段上为增函数，且在时，一次函数的值不小于二次函数的值，然后解不等式组可求得结果. 【解析】因为是定义在上的增函数， 所以，解得. 故选：B 18．已知函数是定义在上的偶函数，且，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的性质和对各选项逐一判断即可. 【解析】因为是定义在上的偶函数，所以，， 因为，所以，，B错误，D正确； 对于A，C，、与的大小无法判断， 故选：D 19．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为时，，所以利用即可求解. 【解析】设，则，则. 故选:C. 20．已知是定义在R上的奇函数，，且在上单调递减，在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先讨论当的情况，结合条件求得不等式，再由其单调性，即可求得时的解集，从而得到结果. 【解析】当时，，则， 且，在上单调递减，在上单调递增， 则可得. 因为是定义在R上的奇函数，所以的图象关于原点对称. 当时，，则，由已知可得或. 综上，不等式的解集为. 故选：D 21．已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【分析】借助赋值法可得，结合题意计算可得函数的周期，即可得解. 【解析】因为，取得，即， 又，取得. 由得， 所以函数的一个周期为，故. 故选：B. 22．定义在R上的函数满足，且为奇函数．当时，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由题意求得周期，再根据代入求解即可. 【解析】因为函数为奇函数，则， 即，可得． 又因为，则， 所以，可得， 则，即， 所以. 故选：B． 23．已知定义在上的函数满足，①，② 为奇函数，③当时，恒成立.则、、的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性、周期性和单调性即可比较的大小. 【解析】由可得的周期为， 因为为奇函数，则， 又因为的周期为，所以，即为奇函数， 因为时，，所以在上单调递增， 因为为奇函数，所以在上单调递增，所以在上单调递增， 因为的周期为，，， ，所以， 即.   故选：A. 24．定义在上的函数满足，为偶函数，函数的图象关于对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助抽象函数的奇偶性、对称性以及周期性即可解答. 【解析】因为关于对称，有， 令，则，的图象关于对称. 由为偶函数，得，则的图象于对称， 因为， 所以， 即，则的图象关于对称. 所以，又， 所以，所以， 所以，所以为的一个周期， 因为图象关于对称，所以， 故， 所以由，得. 故选：C. 二、填空题 25．设函数，若，则 . 【答案】2 【分析】根据函数解析式，代入求值. 【解析】函数，有， 则，解得. 故答案为：2 26．若函数的定义域为，则的定义域为 ． 【答案】 【分析】求出的范围，然后由都在此范围内得定义域． 【解析】∵的定义域为， ∴，∴解得 ∴，故函数的定义域为． 故答案为：． 27．已知偶函数在区间上单调递减，则函数的单调增区间是 ． 【答案】 【分析】根据偶函数的对称性结合图象平移分析求解. 【解析】因为偶函数在区间上单调递减， 所以在区间上单调递增， 又因为，则函数的图象是由函数的图象向右平移2个单位长度得到， 所以函数的单调增区间是． 故答案为：. 【点睛】本题考查函数的性质，要求学生了解函数图象的平移与单调性和奇偶性的综合关系． 28．已知f(x＋)＝x2＋，则函数f(x)＝ ． 【答案】x2－2(|x|≥2) 【解析】配凑法. f(x＋)＝x2＋＝(x2＋2＋)－2＝(x＋)2－2，所以f(x)＝x2－2(|x|≥2). 29．若函数f(x)满足方程af(x)＋f()＝ax，x∈R，且x≠0，a为常数，a≠±1，且a≠0，则f(x)＝ ． 【答案】 (x≠0) 【解析】 因为af(x)＋f()＝ax，所以af()＋f(x)＝，由两方程联立解得f(x)＝ (x≠0). 30．已知定义在上的函数，满足，且，，则 . 【答案】 【分析】 根据所给条件推出为偶函数且周期为，再求出、、，最后根据周期性计算可得. 【解析】因为，所以， 所以， 又，所以， 即，即，所以为偶函数， 所以， 所以，所以的周期为， 又，， 所以，，，则， ， 所以，又， 所以 . 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是由题干所给条件推出的奇偶性与周期性. 31．已知，则 . 【答案】-24168 【分析】先观察所求表达式的结构，探求，再分组求和即可. 【解析】解：因为， 所以， 则     ， 故答案为. 【点睛】本题考查了函数的性质，重点考查了观察数据、处理数据的能力，属中档题. 32．已知是定义在上的增函数，且的图像关于点对称．若实数满足不等式，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的图像关于点对称，得到，从而将转化为，利用函数的单调性得到，再利用圆的性质即可得到的取值范围. 【解析】因为函数的图像关于点对称， 所以. 因为， 所以. . 所以. 又因为函数是定义在上的增函数， 所以. 整理得：. 因为表示以为圆心，的圆上或圆内的点到距离的平方. 所以， . 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】本题主要考查函数的对称性和单调性，同时考查了圆的性质，利用的几何意义为解题的关键，属于难题. 三、解答题 33．已知函数． (1)试判断函数在区间上的单调性，并证明； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)在区间上单调递增，证明见解析 (2)． 【分析】（1）利用定义法证明单调性即可； （2）由函数的单调性求值域即可. 【解析】（1）易知， 设，且， 则， 又由，则，，， 所以，即在区间上单调递增； （2）由上可知函数在区间上单调递增，则， 又， 故的值域为. 34．已知函数过点． (1)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (2)求函数在上的最大值和最小值． 【答案】(1)在区间上单调递增，证明见解析 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）求出函数的表达式，利用单调性定义即可判断函数的单调性； （2）根据单调性即可得出函数在上的最大值和最小值. 【解析】（1）单调递增，由题意证明如下， 由函数过点，有， 解得，所以的解析式为：． 设，且，有 ． 由，得． 则，即． ∴在区间上单调递增． （2）由在上是增函数， 所以在区间上的最小值为，最大值为． 35．已知函数，. (1)当时，求函数的零点： (2)若函数为偶函数，求实数的值. 【答案】(1)和 (2) 【分析】（1）分与去绝对值讨论即可; （2）取特殊值，结合偶函数的定义，求出，验证即可. 【解析】（1）.当时，，无解: 当时，，解得， 故函数的零点为和. （2）若函数为偶函数，， 即，可得，解得. 当时，，定义域关于原点对称， ，故. 36．设（），其中常数. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若不等式在区间上有解，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据定义可判断的奇偶性； （2）参变分离后可得，结合双勾函数的单调性可求参数的取值范围. 【解析】（1）当时，，则， ∴，即为奇函数； 当时，，， ∵，∴既不是奇函数也不是偶函数. （2）原问题可化为在区间有解，则， 设，任意， 则， 因为，故故， ， 故函数在区间上单调递减，∴，∴， ∴的取值范围是. 37．已知函数是定义在上的函数，恒成立，且. (1)确定函数的解析式，并用定义研究在上的单调性； (2)解不等式. 【答案】(1)，函数在上是增函数 (2) 【分析】（1）根据，待定系数即可求得函数解析式；利用单调性的定义，结合函数解析式即可判断和证明； （2）利用函数奇偶性和单调性求解不等式即可. 【解析】（1）根据题意，是上的奇函数，故， 又，故，则， 时，，所以为奇函数， 故. 在上是增函数，理由如下， 设，则， 因为，所以，且，则， 则，即， 所以函数在上是增函数； （2）等价于， 又在是单调增函数，故可得， 解得，即不等式的解集为. 38．已知函数对一切实数，都有成立，且，其中． (1)求的解析式； (2)若关于x的方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）令，，求得，再令，求得，即可得解； （2）令，可得则，方程可化，由题意可得方程有两个不等实根，作出函数的图象，进而可得出答案. 【解析】（1）∵， 令，，得， 又，所以， 在中， 令，得， ∴， 所以且； （2）令，可得则， 函数的图象如图： 方程可化为， 即， 因为方程有三个不同的实数解， 由函数的图象可知，方程有两个不等实根， 不妨设，则，，令， 则，此时解得，或，此时无解， 综上所述：实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 39．设，函数， (1)若，判断函数是否存在实数c，使得为奇函数？说明理由． (2)若，函数在区间上是严格增函数，求c的最大值． (3)若函数的图像经过点，且函数图像与x轴负半轴有两个不同的交点，求此时c的值和实数a的取值范围． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2) (3)；且. 【分析】（1）将代入得，先考虑其定义域，再假设为奇函数，得到方程无解，从而得以判断； （2）根据复合函数单调性分析可得函数在区间上是严格增函数，结合导数可得在区间上恒成立，进而可得结果； （3）先半点代入求得，从而得到，再利用二次函数的根的分布得到关于的不等式组，解之可得，最后再考虑的情况，从而得到的取值范围. 【解析】（1）当时，，定义域为， 假设为奇函数，则， 而，则，此时无实数满足条件， 所以不存在实数，使得函数为奇函数； （2）若，则， 可得其定义域为，则， 因为函数在区间上是严格增函数，在区间上是严格增函数，且， 可知函数在区间上是严格增函数，则在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，可得， 所以c的最大值为. （3）图像经过点，则代入得，解得， 所以，定义域为， 令，则的图像与轴负半轴有两个交点， 所以，即，解得， 若，即是方程的解， 则代入可得，解得或. 由题意得，所以实数的取值范围且. 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