专题13 平行四边形最值问题分类练（6种类型60道）-【暑期培优】2024年八升九数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

2024年暑假八升九数学暑假培优计划 专题13 平行四边形最值问题分类练 （6种类型60道） 目录 【题型1平行四边形最值问题】 1 【题型2中位线最值问题】 3 【题型3矩形最值问题】 6 【题型4斜中半最值问题】 9 【题型5菱形最值问题】 11 【题型6正方形最值问题】 14 【题型1平行四边形最值问题】 1．如图，在中，，点P为上任意一点，连结，以为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（  ） A． B． C．8 D．4 2．如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是3，则AB长为（  ） A． B．1 C．2 D．3 3．如图，已知▱OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，在平行四边形中，，，，是边上任意一点，沿剪开，将沿方向平移到的位置，得到四边形，则四边形周长的最小值为（    ） A．24 B．22 C．30 D．28 5．如图，在平行四边形中，，，，点是折线上的一个动点(不与、重合)．则的面积的最大值是(　　) A． B．1 C． D． 6．如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，是等边三角形，连接，则的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 7．如图，为等边三角形，D，E分别是边上的点，且满足，M是边上的一动点，以M，D，E为顶点，为对角线构造．若，则的最小值为（      ） A． B． C．6 D．4 8．如图，在平行四边形中，，，点在边上，连接，，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C． D． 9．如图，在四边形纸片中，，，，，点是线段的中点，点在线段上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 10．如图，中，，，对角线与交于点，点在边上，且，点为边上一动点，将沿直线翻折，使得点落在点，连接，则长的最小值为(　　)    A． B．2 C． D． 【题型2中位线最值问题】 11．如图所示，在边长为4的正三角形中，分别为的中点，点P是上一个动点，连接，则的周长的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 12．如图，在中，，，，点，分别是，上的动点，连接，．点，分别是，的中点，则的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 13．如图，在中，，，，为的角平分线，点F为上一动点，点G为的中点，连接，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 14．如图，在中，，，．D是的中点，E为射线上一动点，过点C作于点P，交于点F，则长度的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 15．如图，在中，，，，为的角平分线，点为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 16．如图，在菱形中，E，F分别是边，上的动点，连结，，G，H分别为，的中点，连结．若，，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D．3 17．如图，在中，，，点D，E分别是边上的动点，连结，F，M分别是的中点，则的最小值为（　　）    A．12 B．10 C．9.6 D．4.8 18．如图，在中，，平面上有一点，连接，，且，取的中点．连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 19．如图：等边三角形中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 20．如图，等边三角形的边长为4，E点为边上的动点，F为中点，则的最小值为（    ）    A． B． C．5 D． 【题型3矩形最值问题】 21．如图，矩形中，，，点分别是上的动点，且，点是的中点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 22．如图，在矩形中，，，，分别是边，上的点，，垂足为点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 23．如图，在矩形中，，E为的中点， F 为对角线上的动点，则的最小值为（   ） A．cm B． C． D． 24．如图，中，，，．点D是边上的动点，过点D作边、垂线，垂足分别为E，F．连接，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 25．如图，在矩形中，，，是边上一动点，是对角线上一动点，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 26．如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点．，则的最小值为（　　） A．5 B．6 C． D． 27．如图，四边形是矩形，点是边上任意一点（不与点A，D重合），连接，．点E，F分别是，的中点，连接，，，过点F作，交于点H．若，，则的最小值是（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 28．如图，在矩形中，是边上一动点，是对角线上一动点，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 29．如图，矩形的边分别是上的动点，连接，将沿着翻折，点的对应点为点，连接和，当的值最小时，的最小值为（    ） A．10 B． C． D． 30．如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点连接，，，点E在边上，，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D．4 【题型4斜中半最值问题】 31．如图，在中，，，，D为边上的一个动点，连接，E为上的一个动点，连接，当时，线段的最小值是 ． 32．如图，在和中，，，以、为邻边作，连接，则线段的最小值为 ． 33．如图，在矩形中，，，点E是对角线上的一个动点，连接，点F在线段上，连接、，若，则的最小值为 ． 34．如图，在中，，，是延长线上的一点，．是边上的一点（点与点、不重合），以、为邻边作．连接并取的中点，连接，则的最小值是 ．    35．如图，在中， 点P为边上一动点，过点P分别作于点D，于点E，点F为中点，连接，则线段最小值为 ．    36．如图，在中，，，，点P是内一动点，且，点Q是的中点，则的最小值为 ． 37．如图，在中，，，，点P为斜边上的一个动点（点P不与点A，B重合），过点P作，，垂足分别为点D和点E，连接交于点Q，当取最小值时， ． 38．如图，在矩形中，E，F分别是边，上的动点，连接，P是线段的中点，，，G，H为垂足，连接．若，，，则的最小值是 ． 39．如图，在中，，，，是边上的动点，点在线段上，连接，，且，则线段的最小值是 ． 40．如图，在矩形中，E，F分别是边，上的动点，P是线段的中点，，，G，H为垂足，连接．若，，，则的最小值是 ． 【题型5菱形最值问题】 41．如图，边长为3的菱形中，，点P是对角线上任意一点（P不与B、D重合），以和为边作平行四边形，则的最小值为 ． 42．如图，菱形的对角线相交于点O，点E为边上一动点（不与点A、B重合），于点F，于点G，连接，若，，则的最小值为 ． 43．如图，菱形的边长为4，，点E在线段上，以为边在左侧构造菱形，使G在的延长线上，连接，分别取的中点H，O，连接，则 ；当点E在边上运动（不含A，D）时，的最小值为 ． 44．如图，在菱形中，，对角线、交于点，，，点是直线上一动点，连接，以、为邻边作，其对角线与交于点，点的运动过程中，的对角线的最小值是 ． 45．如图，菱形中，，，点在对角线上，连接，，点为直线上一动点．连接，以、为邻边构造平行四边形，连接，则最小值为 ． 46．如图，在菱形中，，．是对角线上的一个动点（不与点重合），连接，以为边作菱形，其中，点位于直线的上方，且，点是的中点，连接，则线段的最小值是 ． 47．如图，已知菱形，连接，若，，，点F在上，点E在上，连接、，则的最小值是 ． 48．如图，在菱形中， ，，E是边的中点，P，M分别是上的动点，连接，则的最小值是 ． 49．如图，已知菱形的对角线与的长分别为和，点，分别是线段，上的动点（均不与端点重合），点，分别是线段，的中点，则的最小值为 ．    50．如图，四边形是菱形，，，，分别为和上的两个动点（点不与点，重合），连接，，则的最小值为 ． 【题型6正方形最值问题】 51．如图，在正方形中，，对角线上的有一动点P（点P不与点C、点A重合），以为边作正方形．若E是的中点，连接，则的最小值为 ． 52．如图，边长为4的正方形中，E，F分别为边，上的点，连接，．若，则的最小值是 ． 53．如图，已知正方形的边长是4，E是边上一动点，是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，则的最小值为 ． 54．如图，在正方形中，，、分别为、边上的动点，且，与交于点，则线段的最小值为 ． 55．如图正方形的边长为，是中点，将沿直线平移得到在此过程中的最小值为 ． 56．如图，在正方形中，点E在对角线上，于点F，于点G，连接，若，则的最小值为 ．    57．如图，正方形的边长为，点E、F分别为上动点（E、F均不与端点重合），且，P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 58．如图，E为正方形中边上的一点，且，M、N分别为边上的动点，且始终保持，则的最小值为 ． 59．如图，点E是边长为4的正方形的边上一点，且，交对角线于点F，的平分线交于点M，点P是线段上一动点，过点P作于点Q，连接，则的最小值为 ．    60．如图，边长为7的正方形中，点E、G分别在射线、上，在边上，与交于点，，，，则的最小值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年暑假八升九数学暑假培优计划 专题13 平行四边形最值问题分类练 （6种类型60道） 目录 【题型1平行四边形最值问题】 1 【题型2中位线最值问题】 12 【题型3矩形最值问题】 24 【题型4斜中半最值问题】 37 【题型5菱形最值问题】 48 【题型6正方形最值问题】 61 【题型1平行四边形最值问题】 1．如图，在中，，点P为上任意一点，连结，以为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（  ） A． B． C．8 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质以及垂线段最短的性质，设与交于点O，作于．首先求出，当P与重合时，的值最小，的最小值，从而求解． 【详解】解：设与交于点O，作于．如图所示： 在中，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当P与重合时，的值最小，则的值最小， ∴的最小值． 故选：A． 2．如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是3，则AB长为（  ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】先根据轴对称性质和两点间线段最短，确定MD是PM+PB的最小值的情况，再利用特殊角60°的三角函数值求解． 【详解】连接PD，BD， ∵PB=PD， ∴PM+PB=PM+PD， 连接MD，交AC的点就是P点，根据两点间直线最短， ∴这个P点就是要的P点， 又∵∠BAD=60°，AB=AD， ∴△ABD是等边三角形， ∵M为AB的中点， ∴MD⊥AB， ∵MD=3， ∴AD=MD÷sin60°=3÷=， ∴AB=.故选择A. 【点睛】本题考查平行四边形的性质和轴对称的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质和轴对称的性质. 3．如图，已知▱OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E．则OB＝．由于四边形OABC是平行四边形，所以OA＝BC，又由平行四边形的性质可推得∠OAF＝∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，从而可求． 【详解】解：过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x＝1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x＝4与AB交于点N，如图： ∵四边形OABC是平行四边形， ∴∠OAB＝∠BCO，OCAB，OA＝BC， ∵直线x＝1与直线x＝4均垂直于x轴， ∴AMCN， ∴四边形ANCM是平行四边形， ∴∠MAN＝∠NCM， ∴∠OAF＝∠BCD， ∵∠OFA＝∠BDC＝90°， ∴∠FOA＝∠DBC， 在△OAF和△BCD中， ， ∴△OAF≌△BCD． ∴BD＝OF＝1， ∴OE＝4+1＝5， ∴OB＝． 由于OE的长不变，所以当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB＝OE＝5． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 4．如图，在平行四边形中，，，，是边上任意一点，沿剪开，将沿方向平移到的位置，得到四边形，则四边形周长的最小值为（    ） A．24 B．22 C．30 D．28 【答案】A 【分析】由平移性质可得四边形AEFD为平行四边形，其周长为2（AD+AE），AD长为定值9，所以当AE最短时其周长最小，即AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，利用直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：由平移性质可得AD∥EF，AD=EF ∴四边形AEFD为平行四边形，其周长为2（AD+AE）， 又∵AD长为定值9，所以当AE最短时其周长最小， 即当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小， ∵AE⊥BC，AB=2，∠B=60°． ∴在Rt△ABE中，BE=，AE=， ∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置， ∴EF=BC=AD=9， ∴四边形AEFD周长的最小值为：2（AD+AE）=2×（9+3）=24， 故选：A 【点睛】此题考查平移的性质以及平行四边形的判定和性质，关键是根据当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小进行分析． 5．如图，在平行四边形中，，，，点是折线上的一个动点(不与、重合)．则的面积的最大值是(　　) A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】分三种情况讨论：①当点E在BC上时，高一定，底边BE最大时面积最大；②当E在CD上时，△ABE的面积不变；③当E在AD上时，E与D重合时，△ABE的面积最大，根据三角形的面积公式可得结论． 【详解】解：分三种情况： ①当点E在BC上时，E与C重合时，△ABE的面积最大，如图1， 过A作AF⊥BC于F， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠C+∠B=180°， ∵∠C=120°， ∴∠B=60°， Rt△ABF中，∠BAF=30°， ∴BF=AB=1，AF=， ∴此时△ABE的最大面积为：×4×=2； ②当E在CD上时，如图2，此时，△ABE的面积=S▱ABCD=×4×=2； ③当E在AD上时，E与D重合时，△ABE的面积最大，此时，△ABE的面积=2， 综上，△ABE的面积的最大值是2； 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，并运用分类讨论的思想解决问题． 6．如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，是等边三角形，连接，则的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形，等边三角形．熟练掌握平行四边形性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含的直角三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 在射线上取点G，使，连接，，根据平行四边形性质证明是等边三角形，得到，，根据是等边三角形，得到，，得到，得到，得到，得到，点F在直线上运动，当时，根据含的直角三角形的性质得到的最小值为． 【详解】在射线上取点G，使，连接，， ∵平行四边形中， ，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在直线上运动， 当时，最小， 此时，， ∴, ∴的最小值为． 故选：D． 7．如图，为等边三角形，D，E分别是边上的点，且满足，M是边上的一动点，以M，D，E为顶点，为对角线构造．若，则的最小值为（      ） A． B． C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理．作交于点，证明四边形是平行四边形，推出，得到，点在直线上，当时，即有最小值，据此计算即可求解． 【详解】解：作交于点，连接， ∵为等边三角形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上， 当时，即有最小值，根据平行线间的距离相等知的最小值就是等边三角形的高， 作于点， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 8．如图，在平行四边形中，，，点在边上，连接，，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是本题的关键．由直角三角形的性质可得，，由平行四边形的性质可得，当时，有最小值为，即可求解． 【详解】解：设与交于点，过点作于， ，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 当时，有最小值为， 的最小值为， 故选：D 9．如图，在四边形纸片中，，，，，点是线段的中点，点在线段上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由折叠可知，所以当A，，E三点共线时，的长度最小，作交CD的延长线于点G，根据勾股定理分别求出的长度，即可求长度的最小值． 【详解】解：连接AE，过点A作交CD的延长线于点G， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， 为CD的中点，， ， ， ； 由折叠可知，， ∴， 当A，，E共线时，的长度最小， 此时，， 故选：C 【点睛】本题考查折叠问题，勾股定理，平行四边形的性质，关键是构造直角三角形求AE的长度． 10．如图，中，，，对角线与交于点，点在边上，且，点为边上一动点，将沿直线翻折，使得点落在点，连接，则长的最小值为(　　)    A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】连接，先求出和，当点P、O、三点共线，且点O在线段上时，从而得出的最小值，即． 【详解】解：连接，    ∵，， ∴，， ∴由折叠的性质得：． 又∵在中，与互相平分，， ∴， 又∵， ∴， 所以当点P、O、三点共线，且点O在线段上时，， 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，三角形三边关系，折叠的性质等知识，知道点O在线段时取最小值是解题的关键． 【题型2中位线最值问题】 11．如图所示，在边长为4的正三角形中，分别为的中点，点P是上一个动点，连接，则的周长的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查对等边三角形的性质，轴对称-最短路线问题，三角形中位线定理等知识点的理解和掌握，能求出的最小值是解此题的关键． 连接交于，根据等边三角形的性质证明、关于对称，得到周长最小，求出即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得， 要使的周长最小，而一定，只要使最短即可，连接交于， ∵等边、、分别为、、的中点， ∴ 是中位线， ∴， ∴， ∴、关于对称， ∴， ∴， 当三点共线，即和重合时，此时最小，即的周长最小，， 最小值是：． 故选：C． 12．如图，在中，，，，点，分别是，上的动点，连接，．点，分别是，的中点，则的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，过点A作于点N，证是等腰直角三角形，得，再由三角形中位线定理可得，当时，有最小值，即有最小值，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点A作于点N， 四边形是平行四边形，， ， ， 是等腰直角三角形， 设， 即， ， E、F分别为的中点， 是的中位线， ， 当时，有最小值，即有最小值， 当点G与点N重合时，的最小值为， 的最小值为． 故选：D． 13．如图，在中，，，，为的角平分线，点F为上一动点，点G为的中点，连接，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的性质、平行四边形的性质、解直角三角形的应用，当点与点重合时，点在点处，此时，当点与点重合时，点在点处，此时，由三角形中位线定理得出点在上运动，当时，的值最小，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，求出得出的最小值为，求出的长即可得解． 【详解】解：如图所示： 当点与点重合时，点在点处，此时， 当点与点重合时，点在点处，此时， 为的中位线， ，且， 点为的中点， 为的中位线， ，， 点在上运动， 当时，的值最小， 在中，，，， ，， ，， ， 为的角平分线， ， ， ，即， 的最小值为， ， ， ，， ， 故选：B． 14．如图，在中，，，．D是的中点，E为射线上一动点，过点C作于点P，交于点F，则长度的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线，直角三角形斜边中线解决问题． 取的中点O，连接．根据直角三角形的性质得出，再根据三角形中位线定理得出，根据三角形三边关系即可得出，即可求解． 【详解】如图，取的中点O，连接． ∵，点O是的中点， ∴， ∵点O是的中点，点D是的中点， ∴， ∴， 故选：B． 15．如图，在中，，，，为的角平分线，点为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】当点与点重合时，点在点处，此时，当点与点重合时，点在点处，此时，由三角形中位线定理得出点在上运动，当时，的值最小，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，求出得出的最小值为，求出的长即可得解． 【详解】解：如图所示： 当点与点重合时，点在点处，此时， 当点与点重合时，点在点处，此时， 为的中位线， ，且， 点为的中点， 为的中位线， ，， 点在上运动，当时，的值最小， 在中，，，， ，， ，， ， 为的角平分线， ， ， ，即， 的最小值为， ， ， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的性质、平行四边形的性质、解直角三角形的应用，正确的分析出当时，的值最小解题的关键． 16．如图，在菱形中，E，F分别是边，上的动点，连结，，G，H分别为，的中点，连结．若，，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是菱形， ， ，分别为，的中点， 是的中位线， ， 当时，最小，得到最小值， 则， ， ， ， 即的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线． 17．如图，在中，，，点D，E分别是边上的动点，连结，F，M分别是的中点，则的最小值为（　　）    A．12 B．10 C．9.6 D．4.8 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形的面积，三角形中位线定理，正确得出的值是解题的关键．过点B作于H，当取最小值时，的值最小，由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小，利用等腰三角形三线合一的性质求出的长，进而利用三角形等面积法求解即可． 【详解】过点B作于H，    ∵F，M分别是的中点， ∴， 当取最小值时，的值最小， 由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 18．如图，在中，，平面上有一点，连接，，且，取的中点．连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令中点为点N，连接，则，根据勾股定理求出，由中位线定理得出，根据三角形三边之间的关系得出，当点B、M、N在同一直线上时，取最小值，即可求解． 【详解】解：令中点为点N，连接， ∵点N为中点， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵点M为中点，点N为中点，， ∴， ∴在中，，即， 当点B、M、N在同一直线上时，， 此时取最小值， 故选：C．    【点睛】本题主要考查了勾股定理，中位线定理，三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方；三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半；三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 19．如图：等边三角形中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点D、G，连接，则可得，，因此转而求的最小值；过A作，且，连接，可证明，则有，进而转化为求的最小值，当点E在线段上时，取得最小值，在中由勾股定理即可求得最小值，从而求得的最小值． 【详解】解：如图，取的中点D、G，连接， ∴，， ∴； ∵， ∴的最小值转化为求的最小值； 在等边三角形中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 过A作，且，连接， 则， ∴， ∴， ∴， ∴当点E在线段上时，取得最小值，且最小值为线段的长； ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为．    故选：C． 【点睛】本题考查了求线段和的最小值问题，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，把求的最小值转化为求的最小值，进而转化为求的最小值，是本题的难点与关键所在． 20．如图，等边三角形的边长为4，E点为边上的动点，F为中点，则的最小值为（    ）    A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】分别取，的中点M，N，作直线， 证明在上，作点B关于的对称点，连接，， 则， 可得， 则的最小值为的长， 再结合矩形的判定与性质与勾股定理可得答案． 【详解】解：分别取，的中点M，N，作直线， ∴为的中位线，    ∴， 同理可得：， ∴在上， ∴与的交点为F，即点F是直线上的一个动点， 作点B关于的对称点，连接，， 则， ∴， ∴的最小值为的长， ∵等边三角形的边长为4， 如图，作于，交于， ∴，， 同理可得：， ∴， ∵，，而， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，矩形的判定与性质，解答时涉及等边三角形的性质，勾股定理，二次根式的乘法运算，化为最简二次根式，确定动点F的运动路线是解题的关键． 【题型3矩形最值问题】 21．如图，矩形中，，，点分别是上的动点，且，点是的中点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，中点坐标公式，两点间距离公式，二次函数的性质，以点为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向建立平面直角坐标系，则，，，设直线解析式为，可得，设点，则，由为中点得，进而得，利用二次函数的性质即可求解，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 【详解】解：以点为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向建立平面直角坐标系，则，，， 设直线解析式为，把，代入得， ， 解答， ∴， 设点，则， ∴为中点， ∴， ∴， ∵， ∴时，取最小值， 当时，， ∴， 故选：． 22．如图，在矩形中，，，，分别是边，上的点，，垂足为点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的性质，三角形的三边关系，勾股定理，分别以为边作平行四边形，连接，过点作交于点，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可． 【详解】解：分别以为边作平行四边形，连接，过点作交于点 ，则，， ∵，， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴的最小值为， 故选：D． 23．如图，在矩形中，，E为的中点， F 为对角线上的动点，则的最小值为（   ） A．cm B． C． D． 【答案】A 【分析】证明是等边三角形，，如图，作关于的对称点，连接，，连接，则，，，由，可知当三点共线时，最小，为，如图，过作的延长线于，则，，，，由勾股定理得，计算求解然后作答即可． 【详解】解：∵矩形，，E为的中点， ∴，，， ∴是等边三角形，， 如图，作关于的对称点，连接，，连接， ∴，，， ∴， ∴当三点共线时，最小，为， 如图，过作的延长线于， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，含的直角三角形，勾股定理是解题的关键． 24．如图，中，，，．点D是边上的动点，过点D作边、垂线，垂足分别为E，F．连接，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】连接，求出的长度，根据矩形的性质，求的最小值，即求的最小值，当时，最小；根据三角形的面积公式即可求出的长，即可求解 【详解】解：连接 ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形: ∴， 由垂线段最短可知，当时，线段最小，则线段的值最小， 此时， 即 ∴ ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 25．如图，在矩形中，，，是边上一动点，是对角线上一动点，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等．依据题意，延长到，使，连接，，由四边形是矩形，从而，，，，先证，进而，故，所以当点、、共线时，最小，最小值为，最后利用勾股定理进行计算可以得解． 【详解】解：延长到，使，连接，， 四边形是矩形， ∴，，，． ． ，， ． ， ， 当点、、共线时，最小，最小值为． 最小值为． ， ． 在中，，， ． 最小值为4． 故选：C． 26．如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点．，则的最小值为（　　） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，，证明，推出，点在以为圆心，4为半径的上，利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：如图，取的中点，连接，． 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 点在以为圆心，4为半径的上， ， ， 的最小值为． 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题． 27．如图，四边形是矩形，点是边上任意一点（不与点A，D重合），连接，．点E，F分别是，的中点，连接，，，过点F作，交于点H．若，，则的最小值是（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，轴对称的性质．先求得矩形的边长，根据三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质求得，延长到，使，连接交于点，得到有最小值，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴设，， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点E，F分别是，的中点， ∴， ∴，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 延长到，使，连接交于点， 此时有最小值， ∴， ∴的最小值是， 故选：B． 28．如图，在矩形中，是边上一动点，是对角线上一动点，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 依据题意，延长到，使，连接，，由四边形是矩形，从而，，，，先证，进而，故，所以当点、、共线时，最小，最小值为，最后利用勾股定理进行计算可以得解． 【详解】解：延长到，使，连接，， 四边形是矩形， ，，，． ． ，， ． ， ， 当点、、共线时，最小，最小值为． 最小值为． ， ． 在中，，， ． 最小值为． 29．如图，矩形的边分别是上的动点，连接，将沿着翻折，点的对应点为点，连接和，当的值最小时，的最小值为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形与折叠，勾股定理等知识，先判断三点共线时，的值最小，设，．在中，可由勾股定理求出3．求得，，作于点，得，由求出 ．作点关于直线的对称点，则，连接与的交点，求出即为所求 【详解】解：根据题意得：点的轨迹在以点为圆心，的长为半径的圆上，所以当三点共线时，的值最小，此时，． 设， ． 在中， ∴，即 解得，3． ∴，， 作于点， 则， ∴， 在和中， ． 如图，作点关于直线的对称点，则， 连接与的交点即所求，此时的值最小，且， 在中，． 故选：C 30．如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点连接，，，点E在边上，，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角形的中位线可得 ，转化所求最值为，再依据将军饮马模型解答即可． 【详解】∵点分别是的中点, , ∵, ∴四边形是平行四边形， ， ， 的最小值就是的最小值， 找到点关于直线对称点，连接 当点三点共线时，的最小值就是, 在中, ， ∴， ∴的最小值 故选: B． 【点睛】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题的关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代换思想． 【题型4斜中半最值问题】 31．如图，在中，，，，D为边上的一个动点，连接，E为上的一个动点，连接，当时，线段的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查斜边上的中线，勾股定理，取的中点T，连接，先求出，斜边上的中线求出的长，勾股定理求出的长，根据，求解即可． 【详解】解：如图，取的中点T，连接． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴的最小值为4． 32．如图，在和中，，，以、为邻边作，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】过点A作，取，连接，取的中点H，连接，，过点C作于点M，求出，，证明，得出，根据直角三角形性质得出，根据，且当、F、H三点共线时，等号成立，得出当、F、H三点共线时，最大，且最大值为． 【详解】解：过点A作，取，连接，取的中点H，连接，，过点C作于点M，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，且当、F、H三点共线时，等号成立， ∴当、F、H三点共线时，最大，且最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，找出使取最大值时，点F的位置． 33．如图，在矩形中，，，点E是对角线上的一个动点，连接，点F在线段上，连接、，若，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练运用各性质是解题的关键． 根据矩形的性质得，取的中点G，连接、，得到，再根据当A、F、G三点共线时，最小，即可解答． 【详解】由题意可得，， 则， ． 取的中点G，连接、， 可得，． 在中，， 当A、F、G三点共线时，最小， 此时，即， 的最小值为2． 故答案为：2． 34．如图，在中，，，是延长线上的一点，．是边上的一点（点与点、不重合），以、为邻边作．连接并取的中点，连接，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】过点B作交的延长线于点，连接，过点P作的平行线交于点，交于点，连接，过点作，可知为的最小值，进行求解即可． 【详解】解：过点B作交的延长线于点，连接，过点P作的平行线交于点，交于点，连接，过点作，如图所示：    ∵， ∴， ∴点在线段上运动（不与点重合），点在线段上运动（不与点重合）， ∴当时，取得最小值，最小值等于的长， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵且， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵P为的中点， ∴为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理、动点轨迹问题，平行四边形的判定和性质，垂线段最短等知识的综合．根据题意确定动点轨迹是解题关键． 35．如图，在中， 点P为边上一动点，过点P分别作于点D，于点E，点F为中点，连接，则线段最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理的逆定理、垂线段最短等知识点，根据勾股定理是逆定理求出，根据三角形的面积公式求出边上的高，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据垂线段最短解答即可，根据勾股定理的逆定理以及三角形的面积公式求出边上的高是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴边上的高为：， ∵，点F为中点， ∴， 当最小时，最小， ∵当时，最小，最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 36．如图，在中，，，，点P是内一动点，且，点Q是的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，轴对称的性质，三角形中位线定理．作关于的对称图形，连接，当点P在上时，最小，，再根据三角形中位线定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，作关于的对称图形，连接， ∵在中，，，， ∴， 当点P在上时，最小， 此时：， ∵点Q是的中点，点C是的中点， ∴，即的最小值为 故答案为： 37．如图，在中，，，，点P为斜边上的一个动点（点P不与点A，B重合），过点P作，，垂足分别为点D和点E，连接交于点Q，当取最小值时， ． 【答案】 【分析】首先证明四边形是矩形，得到，当时，取最小值，再利用勾股定理求得的长，利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 当时，取最小值， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 38．如图，在矩形中，E，F分别是边，上的动点，连接，P是线段的中点，，，G，H为垂足，连接．若，，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质与判定，求出的最小值是解本题的关键．连接，，，由勾股定理得到，再根据直角三角形斜边上的中线性质得，然后证四边形是矩形，得，当，，三点共线时，最小，进而得解的最小值． 【详解】解：连接，，，如图所示， 四边形是矩形，，， ，，， ， P是线段的中点，， ， ，，G，H为垂足， ， 四边形是矩形， ， 当，，三点共线时，最小， 此时，， 的最小值是， 故答案为：． 39．如图，在中，，，，是边上的动点，点在线段上，连接，，且，则线段的最小值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，取的中点T，连接、，先证明，求出、，根据，求解即可．熟练掌握知识点并准确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：取的中点T，连接、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 线段的最小值是2， 故答案为：2． 40．如图，在矩形中，E，F分别是边，上的动点，P是线段的中点，，，G，H为垂足，连接．若，，，则的最小值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质与判定，求出的最小值是解本题的关键． 连接，，，由勾股定理得，再根据直角三角形斜边上的中线性质得，然后证四边形是矩形，得，当，，三点共线时，最小，进而得解． 【详解】连接，，，如图所示， 四边形是矩形，， ，， ， ， 是线段的中点，， ， ，， 四边形是矩形， ， 当，，三点共线时，最小， 此时，， 的最小值是． 故答案为：． 【题型5菱形最值问题】 41．如图，边长为3的菱形中，，点P是对角线上任意一点（P不与B、D重合），以和为边作平行四边形，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设与交于O，根据平行四边形的性质得到，当取最小值时，的值最小，当时，的值最小，根据菱形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，于是得到答案． 【详解】解：设与交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当取最小值时，的值最小， 由“点到直线的距离垂线段最短”可知， 当时，的值最小， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， 在中， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了菱形的性质、含直角三角形的性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 42．如图，菱形的对角线相交于点O，点E为边上一动点（不与点A、B重合），于点F，于点G，连接，若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质、矩形的判定和性质，连接，得到矩形，可得，当时，取最小值，此时的值最小，由此可解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，，， ，， ． ，，， 四边形是矩形， ， 当时，取最小值，此时的值最小， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 43．如图，菱形的边长为4，，点E在线段上，以为边在左侧构造菱形，使G在的延长线上，连接，分别取的中点H，O，连接，则 ；当点E在边上运动（不含A，D）时，的最小值为 ． 【答案】 2 【分析】分别取的中点，连接，由菱形的性质得到点为的中点，结合点为的中点，推出是的中位线，得到，；即，易证四边形是平行四边形，证明是等边三角形，则为定角，推出点在上运动，当时，有最小值，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：分别取的中点，连接， 四边形是菱形，四边形是菱形，， ∵O点为的中点， 点为的中点， 点为的中点， 是的中位线， ，，即， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， 是等边三角形， 点在上运动， 当时，有最小值，利用勾股定理即可求解． 此时， ； 故答案为：2，． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 44．如图，在菱形中，，对角线、交于点，，，点是直线上一动点，连接，以、为邻边作，其对角线与交于点，点的运动过程中，的对角线的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，理解当时 取最小值是解题关键．设，，首先根据菱形的性质以及勾股定理，解得的值，即可确定；结合题意可知点在过点，且平行于的直线上，故当时，取最小值，然后证明四边形为平行四边形，由矩形的性质即可获得答案． 【详解】解：设，， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴中，， 即， 整理可得， 解得或， 当时，可得，（舍去）， 此时，不合题意，舍去； 当时，可得，（舍去）， 此时，符合题意， ∴； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴点在过点，且平行于的直线上， ∴当时，此时取最小值， 如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴的对角线的最小值是4． 故答案为：4． 45．如图，菱形中，，，点在对角线上，连接，，点为直线上一动点．连接，以、为邻边构造平行四边形，连接，则最小值为 ． 【答案】/ 【分析】过作，过点作于，交于，过点作于，过点作于，由直角三角形的性质求出，令，得到，因此，求出的值，得到的值，即可求出的值，由，即可解决问题． 【详解】解：过作，过点作于，交于，过点作于，过点作于，如下图， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 令， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、直角三角形的性质、垂线段最短等知识，解题关键是通过作辅助线，构造直角三角形，由直角三角形的性质求出的长，由即可求出的最小值． 46．如图，在菱形中，，．是对角线上的一个动点（不与点重合），连接，以为边作菱形，其中，点位于直线的上方，且，点是的中点，连接，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质，全等三角形判定与性质，垂线段的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，确定取最小值时的点位置是解题的关键． 连接，由菱形的性质可得，再证明可证得三点共线，进而可得当过点作于点，点位于点时，有最小值即的长，利用含角的直角三角形的性质可求解． 【详解】解：连接， 在菱形中，， ∴是等边三角形，， ∴， 在菱形中，， ， 在和中， ， ， ， ， ∴三点共线， 过点作于点，则当点位于点时，有最小值即的长， ∵为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即线段的最小值是． 故答案为：． 47．如图，已知菱形，连接，若，，，点F在上，点E在上，连接、，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．连接，根据菱形的性质可得，从而得到，进而得到的最小值是的长度，再证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设交于O， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，有最小值，最小值是的长度， ∵，， ∴， ∴是等边三角形，则， ∴， ∴， ∴的最小值为3， 故答案为：3． 48．如图，在菱形中， ，，E是边的中点，P，M分别是上的动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】如图，记的交点为，作关于的对称点，连接，作于，，证明，则，由，可知当三点共线，且时，的值最小为，由，可求，然后作答即可． 【详解】解：如图，记的交点为，作关于的对称点，连接，作于， ∵菱形， ∴，，，， ∴， 由勾股定理得，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小为， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握菱形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 49．如图，已知菱形的对角线与的长分别为和，点，分别是线段，上的动点（均不与端点重合），点，分别是线段，的中点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查菱形，勾股定理，最短路径的知识，解题的关键是作关于的对称性，连接，根据对称性，则，根据三角形的中位线，则；当点，，三点共线且时，有最小值；根据菱形的性质，勾股定理求出，再根据菱形的面积公式，即可． 【详解】解：作关于的对称性，连接，    ∴， ∵点，分别是线段，的中点， ∴， ∴， ∴， 当点，，三点共线且时，有最小值（如图）， 即； ∵四边形是菱形， ∴点是，的中点，， ∵，， ∴，， ∴， ∵菱形的面积为：， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 50．如图，四边形是菱形，，，，分别为和上的两个动点（点不与点，重合），连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．设交于点，过点作于点，交于点，首先根据菱形的性质以及勾股定理计算的值，由题意可知，当点在同一直线上，且时，取最小值，即的长度，然后根据面积法求得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，设交于点，过点作于点，交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，，， 当点在同一直线上，且时，取最小值，即的长度， ∵菱形的面积， 即，解得， ∴的最小值为． 故答案为：． 【题型6正方形最值问题】 51．如图，在正方形中，，对角线上的有一动点P（点P不与点C、点A重合），以为边作正方形．若E是的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】取的中点N，连接，首先求出，然后证明出，得到，当时，有最小值，即此时有最小值，然后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，取的中点N，连接，    ∵点N是的中点，是的中点，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点P是对角线上的一动点， ∴当时，有最小值，即此时有最小值， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理和等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 52．如图，边长为4的正方形中，E，F分别为边，上的点，连接，．若，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 如图所示，作D关于直线的对称点，连接，，先证明得到，则，从而推出当C、F、三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，作D关于直线的对称点，连接，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当C、F、三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为， 在中，． 故答案为：． 53．如图，已知正方形的边长是4，E是边上一动点，是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】在上截取，证明，推出，得到点在正方形的一个外角的角平分线上运动，作点关于角平分线的对称点，连接，得到，求出的长即可得出结果． 【详解】解：在上截取，连接， ∵正方形， ∴， ∴，， ∴， ∵是以点E为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上移动， 作点关于角平分线的对称点，则：垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵正方形的边长是4， ∴， ∴， 在中，； ∵， ∴的最小值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小的问题，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，确定点的运动轨迹． 54．如图，在正方形中，，、分别为、边上的动点，且，与交于点，则线段的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】取的中点，连接，．证明，推出，再证明，求出，，可得结论．本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：取的中点，连接，． 四边形是正方形， ，， ， ∴， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 55．如图正方形的边长为，是中点，将沿直线平移得到在此过程中的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，正方形的性质，坐标与图形变化—平移，以点A为原点，所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，由正方形的性质先求出，由平移的性质可得，设，则，由勾股定理得到，则的值相当于x轴上的一点到点和到点的距离之和，故当、、三点共线时，的值最小，最小值为点和点的距离，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，以点A为原点，所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系， ∵正方形的边长为，是中点， ∴， ∴， 由平移的性质可得， 设，， ∴， ∴， ， ∴， ∴的值相当于x轴上的一点到点和到点的距离之和， ∴当、、三点共线时，的值最小，最小值为点和点的距离，即最小值为， 故答案为：． 56．如图，在正方形中，点E在对角线上，于点F，于点G，连接，若，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、垂线段最短．解决线段最值问题，一般会运用垂线段最短定理求解，注意线段的转化．易知四边形是矩形，所以，由此当最小时，就最小，根据垂线段最短，可知当时，最小．在等腰直角三角形中利用勾股定理可求值，则最小值可求． 【详解】解：连接 ∵四边形是正方形， ∴． 又于点F，， ∴四边形是矩形． ∴． 所以当最小时，就最小． 根据垂线段最短，可知当时．    当时，在正方形中， 在中，根据勾股定理可得， 解得． 故答案为：． 57．如图，正方形的边长为，点E、F分别为上动点（E、F均不与端点重合），且，P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】如图，作点E关于的对称点，连接，过F作于点G，则当、P、F三点共线时，，此时最小，即为所求，由题意确定在边上，证明四边形是矩形，则， 由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，连接，过F作于点G， ∴，则， 当、P、F三点共线时，，此时最小，即为所求， ∵正方形， ∴， ∴点在边上． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理等知识．确定和最小时的情况是解题的关键． 58．如图，E为正方形中边上的一点，且，M、N分别为边上的动点，且始终保持，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、最短路径问题，添加合适的辅助线是解答的关键．过D作交于H，过M作，过E作交于G，连接，根据正方形的性质和平行四边形的判定与性质分别证明四边形和四边形是平行四边形得到，，，由得当A、M、G共线时取等号，即最小值为的长，证明得到，进而利用勾股定理求解即可求解． 【详解】解：过D作交于H，过M作，过E作交于G，连接，则四边形是平行四边形，， ∴，， ∴，当A、M、G共线时取等号，即最小值为的长， ∵四边形是正方形，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴在，， 即的最小值为， 故答案为： 59．如图，点E是边长为4的正方形的边上一点，且，交对角线于点F，的平分线交于点M，点P是线段上一动点，过点P作于点Q，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】题目主要考查勾股定理解直角三角形，正方形的性质，三角形三边关系，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 过点P作于点G，连接，过点F作于点H，作于点N，得出四边形是矩形，再由三角形三边关系确定的最小值为的长，然后利用含30度角的直角三角形得出，即可求解． 【详解】解：过点P作于点G，连接，过点F作于点H，作于点N，    ∴四边形是矩形， ∴， ∵是的平分线，， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 60．如图，边长为7的正方形中，点E、G分别在射线、上，在边上，与交于点，，，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查正方形的基本性质，和全等直角三角形的判定．本题关键搞清的运动轨迹，有，，可知，所以到的中点的距离始终相等，在根据三角形三边的关系可得的范围，从而确定它的最小值． 【详解】解：取的中点，作垂直于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是边长为7的正方形， ∴， ，，， ， ， 又，， ， ， ， 所以在以为圆心，2为半径的圆弧上运动， ∴在中，由勾股定理可得， ， 当落在上时，取到等号， 即达到最小，最小值为； 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$