四川省成都市郫都区西川汇锦都高级中学2023-2024学年高一下学期期末数学模拟试题一

西川汇高中2023~2024学年度下期期末模拟试题一 高一数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数(为虚数单位)，则其共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 设为直线，，为两个不同的平面，则下列结论中错误的是（ ） A. ，，且 B. ， C. ，且 D. ，且与相交与相交 3. 已知为单位向量，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 在正四面体中，点，，分别为棱，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，、、分别是内角、、所对的边，若，，，则边（ ） A. B. 或 C. 或 D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，三棱柱中，若、分别为，靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分体积为和，那么（ ） A. B. C. D. 8. 三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，且，，，则球O的表面积为（ ） A. 16π B. 32π C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，少选漏选的得部分分数，选错不选的得0分. 9. 在等腰直角三角形中，，，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，，，则只有一解 C. 若，则 D. 若为锐角三角形，则 11. 如图，正四面体的棱长为1，，分别是棱，上的点，且，，则（ ） A. 不存在，使得平面 B. 直线与直线异面 C. 不存在，使得平面平面 D. 三棱锥体积的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，为单位向量，向量，的夹角为，则向量在向量上的投影向量为______. 13. 已知两座灯塔A和与海洋观察站的距离都等于，灯塔A在观察站的北偏东40°，灯塔在观察站的南偏东20°，则灯塔A与灯塔的距离为______km. 14. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） 已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数） （1）求实数及； （2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 16. （15分）已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）将的图像向右平移个单位长度，再保持纵坐标不变，将横坐标缩短为原来的倍，得到的图像，求在区间上的值域. 17. （15分）如图，在四棱锥中，底面，在直角梯形中，，，，是中点.求证： （1）平面； （2）平面平面. 18. （17分）已知，其中，. （1）求的单调递增区间； （2）在中，角、、的对边分别为、、，若，，求的值. 19. （17分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，. （1）为上一点，且，当平面时，求实数的值； （2）设平面与平面的交线为，证明面； （3）当平面与平面所成的锐二面角的大小为时，求与平面所成角的正弦值. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 西川汇高中2023~2024学年度下期期末模拟试题一 高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。满分150分。考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上。 第Ⅰ卷 （选择题 共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数(为虚数单位)，则其共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法及除法运算求出，得到，即可求解. 【详解】∵, ∴，∴的虚部为 故选：A 2. 设为直线，，为两个不同的平面，则下列结论中错误的是（ ） A. ，，且 B. ， C. ，且 D. ，且与相交与相交 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中线面平行、面面平行关系逐项分析判断. 【详解】对于选项A：若，，则或， 又因为，所以，故A正确； 对于选项B：若，，则或与相交， 例如在正方体中，//平面，//平面， 显然平面与平面相交，故B错误； 对于选项C：若，且，由面面平行的性质可得，故C正确； 对于选项D：若，且与相交，由面面平行的性质可得与相交，故D正确； 故选：B. 3. 已知为单位向量，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据得，再根据向量模的公式计算即可得答案. 【详解】因为为单位向量，且，所以， 所以， 所以. 故选：B. 4. 在正四面体中，点，，分别为棱，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据异面直线夹角的定义结合余弦定理运算求解. 【详解】连接，设正四面体的棱长为2， 因为分别为的中点，则//， 所以异面直线，所成角为（或其补角）， 在中，则， 由余弦定理可得， 所以异面直线，所成角的余弦值为. 故选：A. 5. 在中，、、分别是内角、、所对的边，若，，，则边（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，，，由余弦定理可得， 即，即，解得或. 故选：C. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式即可得到答案. 【详解】， ， 且， 故选：D. 7. 如图所示，三棱柱中，若、分别为，靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分体积为和，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用棱台体积公式求解体积即可得到体积比. 【详解】设三棱柱的高为，底面的面积为，体积为，则， 因为、分别为，靠近点的三等分点，所以， 则，所以， 所以. 故选：D. 8. 三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，且，，，则球O的表面积为（ ） A. 16π B. 32π C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先证明平面，再利用正弦定理和勾股定理即可求出外接球半径，再利用球的表面积公式即可得到答案. 【详解】，， ，平面，平面， 作出的外接圆圆心，设其外接圆半径为，， 则， 则根据正弦定理有，则， 在图中作出外接球球心，设外接球半径为， 则，平面，因为，则为中点，则， 平面，平面，则， 同理，则四边形为矩形，则， 在中，由勾股定理得，即， 则球O的表面积为. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题的关键是求出的外接圆半径，再作出图形，利用勾股定理即可求出外接球半径的平方，再利用球的表面积公式即可得到答案. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，少选漏选的得部分分数，选错不选的得0分. 9. 在等腰直角三角形中，，，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则，可判定A正确；由，可判定B不正确； ，可判定C不正确；由，，结合数量积的运算公式，可判定D正确. 【详解】如图所示，等腰直角中，，， 对于A中，由， 所以A正确； 对于B中，由，所以B不正确； 对于C中，由， 所以，所以C不正确； 对于D中，由， 所以，所以D正确. 故选：AD. 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，，，则只有一解 C. 若，则 D. 若为锐角三角形，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A、C：根据题意结合正弦定理运算分析即可；对于B：根据三角形解得个数的结论分析判断；对于D：根据题意结合正弦函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A：由，由正弦定理可得， 则， 因为，则， 可得，即，所以为等腰三角形，故A正确； 对于选项B：若，，，则， 所以有两解，故B错误； 对于选项C：若， 有正弦定理可得， 则，即， 因为，则， 可得，所以，故C正确； 对于选项D：若为锐角三角形，则，可得， 且，，则在上单调递增， 所以， 又因为，则，可得， 所以，故D正确． 故选：ACD. 11. 如图，正四面体的棱长为1，，分别是棱，上的点，且，，则（ ） A. 不存在，使得平面 B. 直线与直线异面 C. 不存在，使得平面平面 D. 三棱锥体积的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于B，根据异面直线的定义即可判断；对于A，当时，E，F分别是棱BD，CD的中点，得到，再根据线面平行的判定定理即可得解；对于C，根据题意得到当E，O，F三点共线时，平面平面BCD，然后利用平面向量基本定理的推论判断即可；对于D，先求出三棱锥的高AO，然后利用基本不等式求出面积的最大值，即可求出三棱锥体积的最大值． 【详解】因为直线与平面交于点，平面，且不经过点，所以直线与直线异面，故B正确. 当时，，分别是棱，的中点，此时， 因为平面，平面，所以平面，故A错误. 设为的中心，连接，因为经过点有且只有一条直线垂直于平面 ，所以经过点且垂直于平面平面一定经过直线， 即当且仅当，，三点共线时，平面平面， 因，， 所以，，设的中点为，连接， 则，因为，，三点共线， 所以，整理得，因为，所以此方程无解， 所以不存在，使得平面平面，故C正确. 易知，在中 ，，所以的面积， 当且仅当时等号成立，所以三棱推体积的最大值为. 故D错误. 故选：BC 第Ⅱ卷 （非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，为单位向量，向量，的夹角为，则向量在向量上的投影向量为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出向量的模，再根据投影向量的定义即得. 【详解】因为，又向量为单位向量，向量，的夹角为， 所以向量在向量方向上的投影向量为： . 故答案为： 13. 已知两座灯塔A和与海洋观察站的距离都等于，灯塔A在观察站的北偏东40°，灯塔在观察站的南偏东20°，则灯塔A与灯塔的距离为______km. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意画出示意图，利用余弦定理运算求解. 【详解】在中，由题意可知：， 由余弦定理可得：， 所以（km）. 故答案为：3. 14. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用，结合已知条件可把求出，由平面向量基本定理把、用已知向量、表示，再利用数量积的运算法则可求数量积． 【详解】，， ，存在实数，使得，即， 又，则， ，，， 则 ， 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数） （1）求实数及； （2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的概念得到方程（不等式）组，求出的值，即可求出，从而求出其模； （2）根据复数的乘方及代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 ∵，∴， ， 为纯虚数， ，解得， 故，则 【小问2详解】 ， ， 复数所对应的点在第二象限， ，解得， 故实数的取值范围为. 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）将的图像向右平移个单位长度，再保持纵坐标不变，将横坐标缩短为原来的倍，得到的图像，求在区间上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数图像，利用“五点法”作图求解即可； （2）利用函数图像变换求出函数的解析式，再利用正弦函数的性质即可得解. 【小问1详解】 依题意，由图像得， ，解得，又，则， 所以， 因为点在的图像上，则， 所以，，即，，而，则， 所以． 【小问2详解】 依题意，， 因，则， 而函数在上单调递增，在上单调递减， 因此有， 故在上的值域为． 17. 如图，在四棱锥中，底面，在直角梯形中，，，，是中点.求证： （1）平面； （2）平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取线段的中点，可证得四边形为平行四边形，从而得到，由线面平行的判定可证得结论； （2）由线面垂直性质和勾股定理可分别证得，，由线面垂直和面面垂直的判定可证得结论. 【小问1详解】 取线段的中点，连接， 分别为中点，，， 又，，，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面. 【小问2详解】 平面，平面，； 设，则， ，，，，， ，； ，平面，平面， 平面，平面平面. 18. 已知，其中，. （1）求的单调递增区间； （2）在中，角、、的对边分别为、、，若，，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先用二倍角公式和辅助角公式化简，再由正弦函数的单调性可解； （2）根据已知先求角A，再将目标式化弦整理，然后利用正弦定理和已知可得. 【小问1详解】 令，得， 所以的单调增区间为，． 【小问2详解】 ∵， ∴， 又，， ∴，∴， ∵，则由正弦定理得． ∴. 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，. （1）为上一点，且，当平面时，求实数的值； （2）设平面与平面的交线为，证明面； （3）当平面与平面所成的锐二面角的大小为时，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，利用线面平行的性质可得出，由可得出，再由可求得的值； （2）证明出面，利用线面平行的性质可证得结论成立； （3）取的中点，连接、，过点作，分析可知，为平面与平面所成的锐二面角，即有，证明出平面，则为与平面所成的角，计算出、的长，即可计算出的正切值. 【小问1详解】 如图，连接交于点，连接， ∵平面，平面，平面平面，∴， 在梯形中，∵，∴，∴， ∵，∴，∴. 【小问2详解】 ∵，平面，平面，∴面， 又面，面面，∴， 又面，面，∴面. 【小问3详解】 取的中点，连接、， ∵为的中点，且，， ∴且，∴四边形为平行四边形，∴， ∵，∴，∴， 又，∴为等边三角形， 又，∴为等边三角形，∴， ∵，平面，平面，∴平面， ∵平面，∴， 过点作，由，则，∴平面，平面， 即平面平面，∴，， ∴为平面与平面所成的锐二面角，∴. 又由，∴，∴， ∵，， ∵，平面，平面，∴平面， ∴为与平面所成的角， ， ∴， 因此，与平面所成角的正弦值为. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$