1.1.2子集和补集（2知识点+5题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第一册）

1.1.2 子集和补集 课程标准 学习目标 （1）理解集合之间包含与相等的含义, 能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中, 了解全集与空集的含义； （3）理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集。 （1）理解子集和真子集的概念，会用venn图理解集合之间的关系; （难点) （2）会求已给定集合的子集和真子集； （3）会判断两个集合是否相等； （4）了解掌握补集的概念，会求一给定集合的补集.（难点) 知识点01 集合间的关系 子集 ① 概念 对于两个集合，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合是集合的子集().  (感觉就像那些富二代跟我这些负二代说的一样：你有的我都有，你没的我也有) 记作：(或)，读作：包含于，或包含.  当集合不包含于集合时，记作(或). ② 图  【即学即练1】 已知集合，，判断集合的关系． 解析 ，且，的可能取值为． ． 又，分别是． ．． 真子集 概念：若集合，但存在元素且，则称集合是集合的真子集. 记作：(或)  (有些地方用或表示) 读作：真包含于(或真包含)  类比 与的关系就好比与小于的关系，是小于或等于，是真包含或相等； Eg：是对的，而是错的，若，则也成立； 对比下，是对的，但是错的，若，则也成立. 【即学即练2】若，则满足条件的集合的个数是(　　) A． B． C． D． 解析 ， 集合中除了含有两个元素以外，至少必须含有另外一个元素， 因此满足条件的集合为，，，，，，共个．故选：． 集合相等 如果是集合的子集，且集合是集合的子集，则集合与集合相等． 即 且. 几个结论 ① 空集是任何集合的子集：；  ② 空集是任何非空集合的真子集；  ③ 任何一个集合是它本身的子集；  ④ 对于集合，如果且，那么； ⑤ 集合中有个元素，则子集的个数为，真子集的个数为. 【即学即练3】求集合的子集和真子集. 解析 集合的子集是，共个； 集合的子集是，共个； 知识点02 补集 1 补集 概念 对于集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合，称为集合相对于全集的补集. 记号 (读作:的补集) 符号 图形表示 性质 ； ，； . 注 求集合的补集的前提是是全集的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同． 【即学即练4】已知全集，，则等于(　　) 解析 全集中除去集合A中元素剩下的元素是，则. 【题型一：判断集合间的关系】 例1．已知集合，，，则M，N，P的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将集合中元素化为统一形式，然后进行判断即可. 【详解】， , ， 故, 故选： 变式1-1．若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后，根据集合间的关系逐项判断即可. 【详解】，是以空集为元素的集合，不是集合A的子集，故A错误； ，故B错误；，故C错误；，故D正确. 故选：D. 变式1-2．已知集合，，则（         ） A． B．AB C．BA D． 【答案】C 【分析】根据子集包含关系得到答案. 【详解】，故BA. 故选：C 变式1-3．已知集合，，则之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简，从而可得，排除，，考虑元素5与集合的关系再可排除，从而得到结果. 【详解】∵，， ∴，故排除选项，， 又∵，，∴排除， 故选：. 【点睛】本题主要考查了利用描述法表示集合以及集合的化简与集合包含关系的判断，属于中档题. 【方法技巧与总结】 1 元素与集合间的关系是属于或不属于，集合间的关系是包含或不包含； 2 理解子集和真子集的概念，遇到集合可先化简，当集合元素较为复杂，在选择题中可利用取特殊值的方法进行排除. 【题型二：求已知集合的子集(真子集)或其的个数】 例2．设集合，则集合的子集的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意得到取值的所有情况，能得到集合的元素个数，即能得到答案 【详解】因为,，， 所以只能取或或， 所以当或或或或或时，可取或或； 当或时，可取或； 当时，可取， 因此，集合的元素共有个， 故所求子集的个数为， 故选：C 变式2-1．已知，则集合M的子集的个数是（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】由，可得为的正约数，又，求出子集的个数即可. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以集合，所以集合的子集个数为个． 故选：B． 变式2-2．满足的集合M共有（    ） A．16个 B．15个 C．8个 D．7个 【答案】C 【分析】根据集合满足的条件，列举出所有情况即可. 【详解】集合M满足， 所以集合M可以为： 共有8个. 故选：C 变式2-3．若集合有7个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合有7个真子集，由集合中包含3个元素求解. 【详解】解：因为集合有7个真子集， 所以集合中包含3个元素， 所以， 解得. 故选：A 变式2-4．已知集合，，则满足条件 的集合的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】化简集合A，B，根据条件 确定集合的个数即可. 【详解】因为，, 且 所以集合C的个数为 故选：C 【方法技巧与总结】 集合中有个元素，则子集的个数为，真子集的个数为. 【题型三：根据两个集合相等求参数】 例3．已知集合，集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据集合相等的概念以及集合中元素的互异性求解. 【详解】因为，且集合中， 所以集合中的元素，解得， 又因为，所以，所以或， 若，解得或， 经检验，时，与集合中元素的互异性矛盾，时，满足题意， 若，由上述过程可知，不满足题意； 综上，所以， 故选：A. 变式3-1．已知集合，，若，则（    ） A．-1 B．1 C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据集合相等的定义，即可求解. 【详解】由可知，. 故选：A 变式3-2．已知，其中，则（    ） A．0 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】分二次项系数是否为0结合韦达定理求解. 【详解】由题意知：为方程的根， 当时，； 当时，二次方程有两个相同的根，则有，此时. 故选:B. 变式3-3．已知集合，，，则的值为（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由集合相等求解即可. 【详解】因为集合，，， 所以，即， 所以，因为，所以的值为. 故选：A . 变式3-4．设､､是两个两两不相等的正整数.若，，，，，则的最小值是（    ） A．1000 B．1297 C．1849 D．2020 【答案】B 【分析】不妨设，则，根据集合相等的定义可得，分析可得为偶数，从而可得可得为奇数，再分析计算即可得出答案. 【详解】解：不妨设，则， 因为，，，，， 所以， 因为为偶数， 所以，，必为两奇一偶，从而可得为奇数， 又因为，所以为不小于3的奇数， 若，则，，，，， 故，且，所以，不符合要求， 若，则，，，，，故，解得， 此时，， 所以的最小值是1297. 故选：B. 【点睛】本题主要考查的时集合相等的定义，解决本题的关键在于先假设，判断，，三个数中奇偶数的个数，考查了数据分析及逻辑推理能力. 【方法技巧与总结】 若两个集合相等，则它们之间的元素均相同；求解过程中要注意元素的互异性，注意检验。 【题型四：补集的概念及其运算】 例4．设全集，则与的关系是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由补集的运算求得，，即可得到它们的关系. 【详解】全集，则，所以 故选A 【点睛】本题考查补集的运算，属基础题. 变式4-1．设全集，若集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系及补集的定义判断即得. 【详解】全集，由，知，则，A错误，B正确； 不能判断，也不能判断，CD错误. 故选：B 变式4-2．设全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 变式4-3．已知为整数集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求出结果. 【详解】因为， 所以， 故选：A. 变式4-4．已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，进而根据补集的定义求得. 【详解】因为， 所以， 故选：A. 变式4-5．设全集且，，若，，则这样的集合共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】先求出全集，再求出集合的子集即为，再进行补集运算可得集合，进而可得正确选项. 【详解】且， 的子集有，，，，，，，， 的子集有个，，所以有个， 因为，所以存在一个即有一个相应的， 所以，，，， ，，，有个， 故选：D. 【方法技巧与总结】 理解补集的概念：对于集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合，称为集合相对于全集的补集.在运算时，先把集合化简，对于连续型集合画数轴辅助运算！ 【题型五：根据补集运算确定集合或参数】 例5．设全集，且，若，则m的值等于（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．不存在 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出集合，再借助韦达定理求解作答. 【详解】由全集，，得， 即1，4是方程的两个根，于是，解得， 所以m的值等于4. 故选：A 变式5-1．设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为，由集合相等的定义即可列出方程求出的值，但要注意集合元素具有互异性，所以求出的值之后还要回代到具体集合中验证是否满足元素之间互异. 【详解】由题意集合，， 又因为，且全集， 所以，解得， 但当时，集合违背了元素之间的互异性， 而当时，集合，，满足题意, 综上所述：. 故选：A. 变式5-2．设全集，集合，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可确定，求得m的值，检验后确定答案. 【详解】由题意全集，集合， 可得，解得或， 当时，，则不合题意， 时，， ，符合题意，故， 故选：B. 变式5-3．已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合交集的概念及运算，即可求解. 【详解】由集合，， 因为，可得. 故选：C. 变式5-4．设集合，全集,若,则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式得到，再求出，利用数轴法即可得到. 【详解】由，解得，故 因为，，所以， 又因为，由数轴法得. 故选：C. 变式5-5．集合（，、），定义为的长度.已知数集，，若 ，则的长度的最大值是 . 【答案】 【分析】由 ，结合题意可求出，即可求出的长度的最大值. 【详解】因为数集，， 所以，解得：， ，所以，所以. 则的长度为:， 所以的长度的最大值是：. 故答案为： 【方法技巧与总结】 1 的补集是集合； 2 对于离散型集合，注意集合的互异性； 3 对于连续型集合，利用数轴辅助思考！ 一、单选题 1.设集合，则下列表述正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合以及集合子集的定义即可结合选项求解. 【详解】, 所以，，，故ABD错误,C正确, 故选：C 2.若集合，，则，的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】弄清楚集合，的研究对象，由此得到集合，之间的包含关系. 【详解】由,, 所以集合表示由除以3的数组成的集合. 集合表示整数除以3的数组成的结合. 所以 故选：A 【点睛】本题考查集合的基本运算，考查判断两个集合间的关系，属于中档题. 3.满足条件的所有集合的个数是（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 【答案】B 【分析】根据已知所给的集合关系将问题转化求集合真子集即可. 【详解】由集合满足条件， 所以集合至少含元素1,2，将1,2看成一个整体用来表示， 则上述集合关系式变成：， 则此时集合为集合的真子集， 问题转化为求集合的真子集的个数即：， 故满足题意的集合有31个. 故选：B. 4.已知集合，，若，则a等于（    ） A．或3 B．0或 C．3 D． 【答案】C 【分析】依题意可得，求出的值，再检验即可. 【详解】因为，且， 即，解得或， 当时，不满足集合元素的互异性，故舍去， 当时，，符合题意. 故选：C 5.已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出集合A，再由补集的概念求即可. 【详解】由题意得， 又因为，所以， 故选：C. 6.若集合的所有子集个数是，则的取值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分析可知，集合有且只有一个元素，分、两种情况讨论，在第一种情况下直接验证即可，在第二种情况下，由求出的值，综合即可得解. 【详解】因为集合的所有子集个数是，则集合有且只有一个元素， ①当时，即当时，则，合乎题意； ②当时，即当时，则关于的方程只有一个实数解， 则，解得. 综上所述，或. 故选：D. 7.设集合，集合，若，则实数a取值集合的真子集的个数为（   ）. A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先解方程得集合A，再根据，最后根据包含关系求实数，即得结果. 【详解】, 因为， 当时，， 当时，即时，令，解得， 则或，则对应实数的值为， 则实数a组成的集合的元素有3个， 所以实数a组成的集合的真子集个数有， 故选：C. 8.设集合，，，，其中a，，下列说法正确的是（    ） A．对任意a，是的子集，对任意的b，不是的子集 B．对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集 C．存在a，使得不是的真子集，对任意的b，是的子集 D．存在a，使得不是的子集，存在b，使得是的子集 【答案】B 【分析】结合参数取值情况，根据集合间元素的关系确定子集关系是否成立，即可判断. 【详解】解：对于集合， 可得当，即，可得，即有，可得对任意a，是的子集； 当时，，，可得是的子集； 当时，，且，可得不是的子集； 综上有，对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集. 故选：B. 二、多选题 9． 下列命题中，是真命题的有（    ） A．集合的所有真子集为 B．若（其中），则 C．是等边三角形是等腰三角形 D． 【答案】BC 【分析】根据真子集的定义即可判断A；根据等集的定义即可判断B；根据子集的定义即可判断CD. 【详解】集合真子集是，共3个，所以A为假命题； 由，知，，则，则B为真命题； 等边三角形是特殊的等腰三角形，所以C为真命题； ，所以，所以D为假命题． 故选：BC. 10.已知集合，若，则实数a的值可以是（    ）． A． B． C．0 D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，求得，再分和，求得集合，结合，即可求解. 【详解】由方程，解得或，即， 当时，则方程无实数解，此时，满足，符合题意； 当时，由，可得 此时， 要使得，可得或，解得或. 综上可得，实数的值为或或. 故选：BCD. 11.下列选项正确的有（    ） A．已知全集，，，则实数p的值为3 B．若，则 C．已知集合中元素至多只有1个，则实数a的范围是 D．若，，且，则 【答案】AD 【分析】求出集合，再求出p的值即可判断A；由集合相等求出判断B；利用已知分类讨论求解判断C；利用集合的包含关系分类讨论求解判断D. 【详解】对于A，， 因为，所以， 即方程的根为， 所以，故A正确； 对于B，由，得， 因此，解得，则，故B错误； 对于C，依题意，当时，由，得，此时集合中只有一个元素， 当时，集合中最多只有一个元素， 即一元二次方程最多一个实根， 于是，解得， 所以实数a的范围是或，故C错误； 对于D，因为，所以当时，，解得， 当时，，解得， 综上，，D正确. 故选：AD. 三、填空题 12．已知集合，那么的真子集有 个． 【答案】3 【分析】先求解集合，然后可得答案. 【详解】，所以的真子集有个. 故答案为：3 13.已知集合，，且．则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用建立不等关系，求解即可. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为： 14.设集合，（，）且A中任意两数之和不能被5整除，则n的最大值为 . 【答案】16 【分析】先根据中的数除以的余数将集合进行分组，然后根据整除的知识求得正确答案. 【详解】根据除以5的余数，可将A集合分为5组： ，则， ，则， ，则， ，则， ，则， A中的任何两个数之和不能被5整除，故和，和中不能同时取数，且中最多取一个， ∴最多的取法是取和中的一个元素，，故n的最大值为16. 故答案为： 【点睛】两数之和能被整除，则两数分别除以的余数之和能被整除.本题的分析方法是先求得中所有数除以的余数，从而进行分组，分组之后根据和能被整除的知识来求得正确答案. 四、解答题 15．确定下列每组两个集合的包含关系或相等关系： (1)A={为12的正约数}与； (2)与{为4的正整数倍}. 【答案】(1) (2)为的真子集 【分析】（1）用列举法表示出集合可得答案； （2）根据集合与里元素的性质可得答案. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为 ，， 所以为.的真子集. 16.已知集合，集合. (1)求集合A和集合. (2)已知集合是集合A的子集，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）解分式不等式得到集合A，然后求出; （2）根据集合是集合A的子集列出不等式求解即可. 【详解】（1）或， 所以， （2）且集合是集合A的子集， 所以或， 解得或， 故实数的取值范围为. 17.已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据得到，结合方程的两根得到方程，求出； （2），故，结合方程的两根得到不等式，求出. 【详解】（1）因为，故， 又的两根分别为， 故， 故； （2）因为，故， 又的两根分别为， 故，解得， 故实数的取值范围是. 18.设集合 (1)若，试判断集合与的关系； (2)若，求的值组成的集合． 【答案】(1)，是的真子集； (2)． 【分析】（1）当时求出集合A与B，再判断关系； （2）求出集合B，注意对与分类讨论，根据，列方程求解． 【详解】（1） 当时，， 所以B是A的真子集． （2）． 若，则，是真子集成立； 若，则，因为是A真子集， 或，所以或． 所以的值组成的集合． 19．已知集合，对于，，定义与之间的距离为． (1)已知，写出所有的，使得； (2)已知，若，并且，求的最大值； (3)设集合中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证 【答案】(1)、、、 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题中定义可得的所有情形； （2）分、两种情况，利用绝对值三角不等式可求得的最大值； （3）表示出，结合定义，可得，即中任意两元素不相等，可得中至多有个元素，即可得证． 【详解】（1）已知，，且， 所以的所有情形有：、、、； （2）设，， 因为，则， 同理可得， 当时，； 当时，. 当，时，上式等号成立. 综上所述，； （3）记， 我们证明．一方面显然有．另一方面，且， 假设他们满足．则由定义有， 与中不同元素间距离至少为相矛盾． 从而． 这表明中任意两元素不相等．从而． 又中元素有个分量，至多有个元素． 从而． 【点睛】方法点睛：解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： （1）紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是新定义型集合问题难点的关键所在； （2）用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之外用好集合的运算与性质. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.2 子集和补集 课程标准 学习目标 （1）理解集合之间包含与相等的含义, 能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中, 了解全集与空集的含义； （3）理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集。 （1）理解子集和真子集的概念，会用venn图理解集合之间的关系; （难点) （2）会求已给定集合的子集和真子集； （3）会判断两个集合是否相等； （4）了解掌握补集的概念，会求一给定集合的补集.（难点) 知识点01 集合间的关系 子集 ① 概念 对于两个集合，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合是集合的子集().  (感觉就像那些富二代跟我这些负二代说的一样：你有的我都有，你没的我也有) 记作：(或)，读作：包含于，或包含.  当集合不包含于集合时，记作(或). ② 图  【即学即练1】 已知集合，，判断集合的关系． 真子集 概念：若集合，但存在元素且，则称集合是集合的真子集. 记作：(或)  (有些地方用或表示) 读作：真包含于(或真包含)  类比 与的关系就好比与小于的关系，是小于或等于，是真包含或相等； Eg：是对的，而是错的，若，则也成立； 对比下，是对的，但是错的，若，则也成立. 【即学即练2】若，则满足条件的集合的个数是(　　) A． B． C． D． 集合相等 如果是集合的子集，且集合是集合的子集，则集合与集合相等． 即 且. 几个结论 ① 空集是任何集合的子集：；  ② 空集是任何非空集合的真子集；  ③ 任何一个集合是它本身的子集；  ④ 对于集合，如果且，那么； ⑤ 集合中有个元素，则子集的个数为，真子集的个数为. 【即学即练3】求集合的子集和真子集. 知识点02 补集 1 补集 概念 对于集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合，称为集合相对于全集的补集. 记号 (读作:的补集) 符号 图形表示 性质 ； ，； . 注 求集合的补集的前提是是全集的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同． 【即学即练4】已知全集，，则等于 . 【题型一：判断集合间的关系】 例1．已知集合，，，则M，N，P的关系为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．已知集合，，则（         ） A． B．AB C．BA D． 变式1-3．已知集合，，则之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 元素与集合间的关系是属于或不属于，集合间的关系是包含或不包含； 2 理解子集和真子集的概念，遇到集合可先化简，当集合元素较为复杂，在选择题中可利用取特殊值的方法进行排除. 【题型二：求已知集合的子集(真子集)或其的个数】 例2．设集合，则集合的子集的个数为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．已知，则集合M的子集的个数是（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 变式2-2．满足的集合M共有（    ） A．16个 B．15个 C．8个 D．7个 变式2-3．若集合有7个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2-4．已知集合，，则满足条件 的集合的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【方法技巧与总结】 集合中有个元素，则子集的个数为，真子集的个数为. 【题型三：根据两个集合相等求参数】 例3．已知集合，集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 变式3-1．已知集合，，若，则（    ） A．-1 B．1 C．0 D．2 变式3-2．已知，其中，则（    ） A．0 B．或 C． D． 变式3-3．已知集合，，，则的值为（    ） A．3 B． C．1 D． 变式3-4．设､､是两个两两不相等的正整数.若，，，，，则的最小值是（    ） A．1000 B．1297 C．1849 D．2020 【方法技巧与总结】 若两个集合相等，则它们之间的元素均相同；求解过程中要注意元素的互异性，注意检验。 【题型四：补集的概念及其运算】 例4．设全集，则与的关系是(　　) A． B． C． D． 变式4-1．设全集，若集合满足，则（    ） A． B． C． D． 变式4-2．设全集，，则（    ） A． B． C． D． 变式4-3．已知为整数集，，则（    ） A． B． C． D． 变式4-4．已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 变式4-5．设全集且，，若，，则这样的集合共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【方法技巧与总结】 理解补集的概念：对于集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合，称为集合相对于全集的补集.在运算时，先把集合化简，对于连续型集合画数轴辅助运算！ 【题型五：根据补集运算确定集合或参数】 例5．设全集，且，若，则m的值等于（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．不存在 变式5-1．设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 变式5-2．设全集，集合，则（    ） A． B．2 C． D． 变式5-3．已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式5-4．设集合，全集,若,则有（    ） A． B． C． D． 变式5-5．集合（，、），定义为的长度.已知数集，，若 ，则的长度的最大值是 . 【方法技巧与总结】 1 的补集是集合； 2 对于离散型集合，注意集合的互异性； 3 对于连续型集合，利用数轴辅助思考！ 一、单选题 1.设集合，则下列表述正确的是（ ） A． B． C． D． 2.若集合，，则，的关系是（    ） A． B． C． D． 3.满足条件的所有集合的个数是（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 4.已知集合，，若，则a等于（    ） A．或3 B．0或 C．3 D． 5.已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 6.若集合的所有子集个数是，则的取值是（    ） A． B． C． D．或 7.设集合，集合，若，则实数a取值集合的真子集的个数为（   ）. A．2 B．4 C．7 D．8 8.设集合，，，，其中a，，下列说法正确的是（    ） A．对任意a，是的子集，对任意的b，不是的子集 B．对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集 C．存在a，使得不是的真子集，对任意的b，是的子集 D．存在a，使得不是的子集，存在b，使得是的子集 二、多选题 9． 下列命题中，是真命题的有（    ） A．集合的所有真子集为 B．若（其中），则 C．是等边三角形是等腰三角形 D． 10.已知集合，若，则实数a的值可以是（    ）． A． B． C．0 D． 11.下列选项正确的有（    ） A．已知全集，，，则实数p的值为3 B．若，则 C．已知集合中元素至多只有1个，则实数a的范围是 D．若，，且，则 三、填空题 12．已知集合，那么的真子集有 个． 13.已知集合，，且．则实数的取值范围为 ． 14.设集合，（，）且A中任意两数之和不能被5整除，则n的最大值为 . 四、解答题 15．确定下列每组两个集合的包含关系或相等关系： (1)A={为12的正约数}与； (2)与{为4的正整数倍}. 16.已知集合，集合. (1)求集合A和集合. (2)已知集合是集合A的子集，求实数的取值范围. 17.已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值；(2)若，求实数的取值范围. 18.设集合 (1)若，试判断集合与的关系；(2)若，求的值组成的集合． 19．已知集合，对于，，定义与之间的距离为． (1)已知，写出所有的，使得； (2)已知，若，并且，求的最大值； (3)设集合中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$