重难点拓展：有关数轴的三种探索问题【暑假自学课】-2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

重难点拓展 有关数轴的三种探索问题 题型01数轴中的折叠问题 【典例分析】 【例1-1】（22-23七年级上·江西上饶·期末）在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若折叠后的点A在点B的右边，且，则点C表示的数是（    ）    A． B．2 C． D．3 【例1-2】（23-24七年级上·江苏常州·期中）已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示的点与8表示的点重合．若数轴上A、两点之间的距离为2024（A在的左侧），且A、两点经以上方法折叠后重合，则A点表示的数是 ． 【例1-3】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）根据给出的数轴，解答下面的问题： (1)请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数 A：___________，B：___________． (2)若将数轴折叠，使得A点与表示的点重合，则： ①B点与哪个数表示的点重合？ ②若数轴上M、N两点之间的距离为2023（M在N的左侧），且M、N两点经过折叠后互相重合，求M、N两点表示的数分别是多少？ 【变式演练】 【变式1-1】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）小惠在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示的点重合，若数轴上A，B两点之间的距离为3（A在B的左侧），且A，B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示的点与1表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合． 【变式1-3】（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）根据下面给出的数轴，解答下面的问题： (1)请根据图中、两点的位置，分别写出它们所表示的有理数： ，： ； (2)若经过折叠，点与表示的点重合，则点与数 表示的点重合； (3)若数轴上、两点之间的距离为在的左侧，且、两点经过(2)中折叠后重合，、两点表示的数分别是：： ，： ． (4)如图在一条可以折叠的数轴上，和表示的数分别是和，点为、之间一点不与、重合，以点为折点，将此数轴向右对折，且线段，则点表示的数是 ． 题型02数轴上的循环规律问题 【典例分析】 【例2-1】（23-24七年级上·辽宁铁岭·期末）如图，周长为个单位长度的圆上等分点为，，，，点落在数轴上的的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是（　　） A． B． C． D． 【例2-2】（23-24七年级上·广西玉林·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1；翻转2次后，点所对应的数为2；翻转3次后，点所对应的数为3；翻转4次后，点所对应的数为，则连续翻转次后，数轴上数所对应的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【例2-3】（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如图，周长为14的长方形，其顶点A、B在数轴上，且点A对应的数为若将长方形沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过2022次翻滚后到达数轴上的点P，请求出P点所对应的数。 【变式演练】 【变式2-1】（23-24七年级上·贵州遵义·期末）正方形在数轴上的位置如图，点A、B对应的数分别为和0，若正方形绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点C所对应的数为1，则连续翻转2024次后，则数2024对应的点为（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式2-2】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）等边在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为0和，若绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为；则翻转2023次后，点所对应的数是 ．      【变式2-3】（23-24七年级上·福建漳州·阶段练习）如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是、、3，请回答：    (1)若C、B两点的距离与A、B两点距离相等，则需将点C向左移动______个单位； (2)若移动A、B、C三点中的两点，使三个点表示的数相同，移动方法有______种，其中移动所走的距离之和最小的是______个单位； (3)若在B处有一小青蛙，一步跳一个单位长，小青蛙第一次先向左跳一步，第2次向右跳3步，第3次向再向左跳5步，第4次再向右跳7步……，按此规律继续下去，那么跳第100次时落脚点表示的数是______． 题型03数轴上数的变化规律问题 【典例分析】 【例3-1】（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图，数轴上两点的距离为3，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点（是整数）处，那么线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，第3次移动到，…，第次移动到，则的面积是 ． 【例3-3】（23-24七年级上·山东菏泽·期中）电子跳蚤落在数轴上的某点，第一步从向左跳一个单位到，第二步由向右跳2个单位到，第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是60，求电子跳蚤的初始位置点所表示的数． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24七年级上·山东日照·期中）如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，第3次移动到，……，第n次移动到，则的面积是（    ） A．505 B． C． D．1009 【变式3-2】（23-24七年级上·四川宜宾·阶段练习）这是一根起点为0的数轴，现有同学将它弯折，如图所示，例如：虚线上第一行是0，第二行是6，第三行是21…，第22行的数是 . 【变式3-3】（22-23七年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在数轴上，从－1到1有3个整数，它们是，－1，0，1；从－2到2有5个整数，它们是－2，－1，0，1，2；从－3到3有7个整数，它们是－3，－2，－1，0，1，2，3；… 根据这个规律， (1)从－5到5有多少个整数？它们是哪些数？ (2)从－n到n（n为正整数）有多少个整数？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点拓展 有关数轴的三种探索问题 题型01数轴中的折叠问题 【典例分析】 【例1-1】（22-23七年级上·江西上饶·期末）在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若折叠后的点A在点B的右边，且，则点C表示的数是（    ）    A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴和数轴上两点间的距离，图1中的长度13，图2中的，用就是的长度，用两点之间的距离公式得出点C表示的数． 【详解】解：图1：， 图2：，    ， 点C表示的数是：， 故选：C 【例1-2】（23-24七年级上·江苏常州·期中）已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示的点与8表示的点重合．若数轴上A、两点之间的距离为2024（A在的左侧），且A、两点经以上方法折叠后重合，则A点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴的知识，注意根据轴对称的性质，可以求得使两个点重合的折痕经过的点所表示的数即是两个数的平均数． 【详解】解：依题意得：两数是关于和8的中点对称，即关于对称， 、两点之间的距离为在的左侧），且、两点经以上方法折叠后重合，则、关于3所对应的点对称， ． 故答案为： 【例1-3】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）根据给出的数轴，解答下面的问题： (1)请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数 A：___________，B：___________． (2)若将数轴折叠，使得A点与表示的点重合，则： ①B点与哪个数表示的点重合？ ②若数轴上M、N两点之间的距离为2023（M在N的左侧），且M、N两点经过折叠后互相重合，求M、N两点表示的数分别是多少？ 【答案】(1)； (2)①B点与0表示的点重合；②点M表示的数为，点N表示的数为 【分析】本题主要考查数轴和有理数，判断出对称点是解题的关键． （1）根据数轴概念直接读数即可； （2）①判断出对称点进行分析即可；②根据对称点为进行分析即可． 【详解】（1）解：根据数轴可以判断出A点表示的数为1，B点表示的数为： ． 故答案为：；． （2）解：①∵， ∴数轴是在处对折， ∴关于的对称点为， 即B点与0表示的点重合． ②解：∵数轴是在处对折， ∴点M、N关于对称， ∵， ∴点M距的长度为，点N的距离的长度为， 点M表示的数为，点N表示的数为 【变式演练】 【变式1-1】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）小惠在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示的点重合，若数轴上A，B两点之间的距离为3（A在B的左侧），且A，B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，确定数轴上表示的点与表示的点的中点表示的数是解题关键． 【详解】解：由题意得：数轴上表示的点与表示的点的中点表示的数为：， ∴ 故A点表示的数为， 故选：C 【变式1-2】（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示的点与1表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合． 【答案】18 【分析】本题考查对称的性质，根据折叠纸面，使表示的点与1表示的点重合，找到对称中心，再结合对称的性质，即可解题． 【详解】解：折叠纸面，使表示的点与1表示的点重合， 对称中心为， 到的距离和其对称点到的距离相等， 该点为18， 故答案为：18 【变式1-3】（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）根据下面给出的数轴，解答下面的问题： (1)请根据图中、两点的位置，分别写出它们所表示的有理数： ，： ； (2)若经过折叠，点与表示的点重合，则点与数 表示的点重合； (3)若数轴上、两点之间的距离为在的左侧，且、两点经过(2)中折叠后重合，、两点表示的数分别是：： ，： ． (4)如图在一条可以折叠的数轴上，和表示的数分别是和，点为、之间一点不与、重合，以点为折点，将此数轴向右对折，且线段，则点表示的数是 ． 【答案】(1)， (2) (3)， (4)或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，一元一次方程的应用； （1）根据数轴概念直接读数即可； （2）判断出对称点进行分析即可； （3）根据对称点为进行分析即可； （4）设点表示的数为，根据折叠后点在点的左侧和右侧，分别讨论，即可求解． 【详解】（1）解：根据数轴可以判断出： 点表示的数为，点表示的数为． 故答案为：，． （2）解：由题意可知，数轴是在处对折， 关于的对称点为． 故答案为：． （3）解：数轴是在处对折， 点、关于对称， ， 点距的长度为， 点的距离的长度为， 点表示的数为， 点表示的数为． 故答案为：，． （4）解：设点表示的数为， 当折叠后点在点的左侧时，则， 即， 解得：； 当折叠后点在点的右侧时，则， 即， 解得：， ∴点表示的数是或 题型02数轴上的循环规律问题 【典例分析】 【例2-1】（23-24七年级上·辽宁铁岭·期末）如图，周长为个单位长度的圆上等分点为，，，，点落在数轴上的的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据圆的周长为，且，，，为圆的四等分点，可得P，，，四点依次循环，求得到的距离，然后计算即可，解题的关键是读懂题意，找出规律． 【详解】解：由题意得P，，，四点依次循环， ∵， ， ∴数轴上表示的点与圆周上点重合． 故选： 【例2-2】（23-24七年级上·广西玉林·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1；翻转2次后，点所对应的数为2；翻转3次后，点所对应的数为3；翻转4次后，点所对应的数为，则连续翻转次后，数轴上数所对应的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】由题意可知，翻转四次后，、、、分别对应点1、2、3、4可知其四次一循环，由此即可确定数轴上数所对应的点． 【详解】当正方形转翻转四次后，、、、分别对应点1、2、3、4， 当正方形再翻转四次后，、、、分别对应点5、6、7、8， ， ∴四次一循环， ∵， ∴数轴上数所对应的点B． 故选：B． 【点睛】本题主要考查实数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键 【例2-3】（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如图，周长为14的长方形，其顶点A、B在数轴上，且点A对应的数为若将长方形沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过2022次翻滚后到达数轴上的点P，请求出P点所对应的数。 【答案】7082 【分析】本题考查了数轴和图形规律，找出翻滚规律是解题的关键． 根据长方形的周长及的长求出、的长，再找出翻滚规律：每翻滚2次的和为7，即最小周期为2，再计算，最后计算点所对应的数． 【详解】解：∵长方形的周长为14， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为长方形， ∴， ∵点对应的数为， ∴点对应的数为5， 翻滚1次后到达数轴上的点所对应的数为 翻滚2次后到达数轴上的点所对应的数为 翻滚3次后到达数轴上的点所对应的数为 翻滚4次后到达数轴上的点所对应的数为19； ∴每翻滚2次的和为7，即最小周期为2， ∴， ∴翻滚2022次有1011个周期， ∴， ∴点所对应的数为， 故答案为：7082． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24七年级上·贵州遵义·期末）正方形在数轴上的位置如图，点A、B对应的数分别为和0，若正方形绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点C所对应的数为1，则连续翻转2024次后，则数2024对应的点为（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数与数轴的简单应用．由题可知，正方形在绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，从中得到规律每翻转4次为一个循环，因此用，即可求出对应的点． 【详解】解：由题可知，正方形在绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转， 翻转1次后，点C所对应的数为1， 翻转2次后，点D所对应的数为2， 翻转3次后，点A所对应的数为3， 翻转4次后，点B所对应的数为4， 翻转5次后，点C所对应的数为5…… ∴每翻转4次为一个循环， ∵， ∴数2024对应的点为点B， 故选：B 【变式2-2】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）等边在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为0和，若绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为；则翻转2023次后，点所对应的数是 ．      【答案】 【分析】作出草图，不难发现，每3次翻转为一个循环组依次循环，2023除以3余数为1，根据余数可知点在数轴上，然后进行计算即可得解． 【详解】解：由题意可得， 每3次翻转为一个循环组依次循环， ， 翻转2023次后点在数轴上， 点对应的数是． 故答案为：．      【点睛】本题考查了数轴以及变化类：数的变化，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键． 【变式2-3】（23-24七年级上·福建漳州·阶段练习）如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是、、3，请回答：    (1)若C、B两点的距离与A、B两点距离相等，则需将点C向左移动______个单位； (2)若移动A、B、C三点中的两点，使三个点表示的数相同，移动方法有______种，其中移动所走的距离之和最小的是______个单位； (3)若在B处有一小青蛙，一步跳一个单位长，小青蛙第一次先向左跳一步，第2次向右跳3步，第3次向再向左跳5步，第4次再向右跳7步……，按此规律继续下去，那么跳第100次时落脚点表示的数是______． 【答案】(1)3或7 (2)3，7 (3)98 【分析】（1）根据数轴上点A、B、C的位置可解答，注意两种情况； （2）分移动B、C；移动A、C；移动A、B三种情况，分别求解即可； （3）先根据前几次跳的步数和方向探究出规律，再根据有理数的运算求和即可； 【详解】（1）解：由数轴可知，当将点C向左移动3或7个单位时，C、B两点的距离与A、B两点距离相等， 故答案为：3或7； （2）解：当移动B、C时，把点B向左移动2个单位，把C向左移动7个单位，则移动所走的距离之和为个单位； 当移动A、C时，把点A向右移动2个单位，把C向左移动5个单位，则移动所走的距离之和为个单位； 当移动A、B时，把点A向右移动7个单位，把B向右移动5个单位，则移动所走的距离之和为个单位， 综上，移动所走的距离之和最小的是7个单位， 故答案为：3，7； （3）解：∵第一次先向左跳1步，第2次向右跳3步，第3次向再向左跳5步，第4次再向右跳7步……， ∴按此规律继续下去，第n次跳步，其中，n为奇数时，向左；n为偶数时，向右； ∴第100次向右跳步， 此时，落脚点所表示的数为 ， 故答案为：98； 【点睛】本题考查有理数加减法的应用、数轴、绝对值方程、数字类规律探究等知识，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键 题型03数轴上数的变化规律问题 【典例分析】 【例3-1】（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图，数轴上两点的距离为3，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点（是整数）处，那么线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，数轴上的动点问题，根据题意找出一般规律是解题关键．通过前三次的跳动情况发现，第次动点从点跳动到的中点处时，，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，， 第1次动点跳动到的中点处时，； 第2次动点从跳动到的中点处时，； 第3次动点从点跳动到的中点处时，； …… 观察可知，第次动点从点跳动到的中点处时，； 故选：C 【例3-2】（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，第3次移动到，…，第次移动到，则的面积是 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了坐标系中规律计算，根据题意，在轴上，且，不是4的倍数的偶数点为正方形的上方右侧顶点，根据规律计算即可． 【详解】根据题意，在轴上，且，不是4的倍数的偶数点为正方形的上方右侧顶点， ， 的面积为， 故答案为： 【例3-3】（23-24七年级上·山东菏泽·期中）电子跳蚤落在数轴上的某点，第一步从向左跳一个单位到，第二步由向右跳2个单位到，第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是60，求电子跳蚤的初始位置点所表示的数． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，数轴上两点的距离计算，根据题意知每跳两次完毕后向右进1个单位，按此规律跳了100步后距出发地的距离是50个单位，且在的右侧，根据所表示的数恰是60，即可求得初始位置点所表示的数． 【详解】解：第一步从向左跳一个单位到， 第二步由向右跳2个单位到， 第三步由向左跳3个单位到， 第四步由向右跳4个单位到…， 以此类推可知，每相邻的两个跳跃过后，跳蚤向右移动1个单位， ∵， ∴当电子跳蚤落在数轴上的点位置时，一共跳跃100次，即相当于从点向右移动50个单位后到达的位置， ∵电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是60， ∴初始位置点所表示的数为 【变式演练】 【变式3-1】（23-24七年级上·山东日照·期中）如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，第3次移动到，……，第n次移动到，则的面积是（    ） A．505 B． C． D．1009 【答案】C 【分析】本题考查三角形的面积，数轴等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．观察图形可知：，由，推出，由此即可解决问题． 【详解】解：观察图形可知，点在数轴上，， ∵， ∴，点在数轴上， ∴， 故选：C 【变式3-2】（23-24七年级上·四川宜宾·阶段练习）这是一根起点为0的数轴，现有同学将它弯折，如图所示，例如：虚线上第一行是0，第二行是6，第三行是21…，第22行的数是 . 【答案】2016 【分析】本题主要考查了数字变化规律，根据图形可得三角形各边上点的数字变化规律，进而得出第4行的数字，第n行的数字． 【详解】解：∵虚线上第一行0，第二行6，第三行21…， ∴利用图象即可得出：第四行是21+7+8+9=45， 第n行的数是， 当时，， 故答案为：2016 【变式3-3】（22-23七年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在数轴上，从－1到1有3个整数，它们是，－1，0，1；从－2到2有5个整数，它们是－2，－1，0，1，2；从－3到3有7个整数，它们是－3，－2，－1，0，1，2，3；… 根据这个规律， (1)从－5到5有多少个整数？它们是哪些数？ (2)从－n到n（n为正整数）有多少个整数？ 【答案】(1)11个整数，分别为－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5 (2)2n+1个 【分析】（1）列举出相应的数字，即可得解； （2）根据条件，寻找规律即可求解． 【详解】（1）－5到5的整数为：－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，共计11个， 故答案为：11个，分别为－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5； （2）－1到1：3个整数，， －2到2：5个整数，， －3到3：7个整数，， －4到4：9个整数，， －5到5：11个整数，， … 以此类推，－n到n（n为正整数）的整数个数为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了数字规律的探索，有理数的混合运算等知识，注重归纳总结找到规律是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$