重难点拓展：巧用六种运算规律简化有理数的计算【暑假自学课】-2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

重难点拓展：巧用六种运算规律简化有理数的计算 题型01归类——同号相加，同类分母相加 【典例分析】 【例1-1】（23-24七年级上·北京朝阳·期末）计算：． 【例1-2】（23-24期中）计算： 【例1-3】（23-24期中）计算：． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）计算： ； 【变式1-2】（23-24期中）计算： 【变式1-3】计算：. 题型02凑整——将和（积）为整数的数相结合 【典例分析】 【例2-1】（23-24七年级上·山东临沂·阶段练习）计算题 (1)； (2)； (3)； (4)； 【例2-2】（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）计算：； 【例2-3】（23-24期中）计算： 【变式演练】 【变式2-1】（23-24七年级上·四川泸州·期末）计算：． 【变式2-2】（23-24期中）计算：； 【变式2-3】（22-23七年级上·北京朝阳·阶段练习）计算（能用简便方法的用简便方法） (1) (2) 题型03变序——逆向思维，方便约分和计算 【典例分析】 【例3-1】计算：． 【例3-2】（24-25七年级上·全国·假期作业）简便运算 【例3-3】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算(2) 【变式3-2】（24-25七年级上·全国·假期作业）简便计算 【变式3-3】．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：． 题型04组合——找出规律，重新组合然后通过约分或抵消简化题目 【典例分析】 【例4-1】（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）计算： ． 【例4-2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算． 【变式4-3】计算：． 【变式演练】 【变式4-1】（22-23七年级上·广东江门·阶段练习）计算的值等于（    ） A． B． C．1010 D．1009 【变式4-2】（2024七年级·全国·竞赛）计算：． 【变式4-3】计算：． 题型05拆分——将（带）分数拆分 【典例分析】 【例5-1】（23-24六年级下·全国·假期作业）计算：； 【例5-2】（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式 ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 【例5-3】（23-24七年级上·安徽铜陵·期中）问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，，， 【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算： 【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算； 【问题拓展】（3）求的值． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24七年级上·四川内江·期中）简便运算：； 【变式5-2】（24-25七年级上·全国·假期作业）折项法计算：． 【变式5-3】（23-24七年级上·四川自贡·期中）综合与实践，问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： ，，，， 独立思考： (1)解答王老师提出的问题：第个式子为 ，第个式子为 ； 实践探究： (2)在（）中找出规律，并利用规律计算：； 问题拓展： (3)数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后发现，当分母中的两个因数的差为，该小组提出下面的问题，请你解答：求； 问题解决： (4)求的值． 题型06换位——将被除数与除数颠倒位置 【典例分析】 【例6】（21-22七年级上·全国·课后作业）阅读下列材料：计算：． 解法1思路：原式；对吗？答：____________． 解法2提示：先计算原式的倒数：，故原式等于300． (1)请你用解法2的方法计算：； (2)现在这个题简单了吧！来吧！试试吧！ 【变式演练】 【变式6-1】（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则__________； (2)计算：； (3)根据以上信息可知＝________． 【变式6-2】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）阅读下面材料： 计算： 解法①： 原式 ； 解法②： 原式 ； 解法三： 原式的倒数为 ， 故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法_____是错误的（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法______比较简便．（填序号） 请你进行简便计算：． 【变式6-3】．计算： (1)前后两部分之间存在着什么关系？ (2)先计算哪部分比较简单?请给予解答； (3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果； (4)根据上述分析，求出原式的结果． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点拓展：巧用六种运算规律简化有理数的计算 题型01归类——同号相加，同类分母相加 【典例分析】 【例1-1】（23-24七年级上·北京朝阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，熟练掌握相关运算顺序和运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【例1-2】（23-24期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 原式利用减法法则化为加法，再利用交换结合律相加即可得到结果． 【详解】 ． 【例1-3】（23-24期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减，先去括号，然后根据有理数的加减运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）计算： ； 【答案】 【详解】解： ； 【变式1-2】（23-24期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数的加法交换律和结合律，熟练掌握有理数的加减混合运算及有理数的加法的运算律是解题的关键．根据有理数加法的运算律，将能凑整的数先凑整，得到，再进一步计算，即得答案． 【详解】解：原式． ． 【变式1-3】计算：. 【答案】 【分析】根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减的运算法则是解题的关键． 题型02凑整——将和（积）为整数的数相结合 【典例分析】 【例2-1】（23-24七年级上·山东临沂·阶段练习）计算题 (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握加法交换律和加法结合律进行计算是解答本题的关键． （1）利用加法交换律和加法结合律进行计算； （2）化简绝对值，然后利用加法交换律和加法结合律进行计算； （3）利用加法交换律和加法结合律进行计算； （4）利用加法交换律和加法结合律进行计算． 【详解】（1）解： = = =； （2）解： = = = =； （3）解： = = =； （4）解： = = = 【例2-2】（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）计算：； 【详解】解： ； 【例2-3】（23-24期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 把小数变成分数，再根据分数的加减法运算即可． 【详解】解：原式 【变式演练】 【变式2-1】（23-24七年级上·四川泸州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法； 根据有理数的加法交换律和结合律计算即可． 【详解】解：原式 . 【变式2-2】（23-24期中）计算：； 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的加减运算，按照同分母的结合法则，运用加法的交换律和结合律计算是解本题的关键． 【详解】解： ． 【变式2-3】（22-23七年级上·北京朝阳·阶段练习）计算（能用简便方法的用简便方法） (1) (2) 【答案】(1) ，(2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 题型03变序——逆向思维，方便约分和计算 【典例分析】 【例3-1】计算：． 【答案】-3300 【分析】先将除法变为乘法，再运用乘法交换律进行计算即可. 【详解】原式 ． 【点睛】本题考查有理数的乘除运算，根据有理数的乘除法运算法则，运用乘法交换律简便计算是解题的关键 【例3-2】（24-25七年级上·全国·假期作业）简便运算 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的乘法分配律的运算，先把提出来，即原式整理得，再运算括号内，即可作答． 【详解】解： 【例3-3】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的乘法分配律，根据乘法分配律的逆运算可先把提出，可得再计算括号里面的减法，后计算乘法即可． 【详解】解： 【变式演练】 【变式3-1】（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算(2) 【答案】 【分析】利用乘法运算律计算即可； 【详解】解： 【变式3-2】（24-25七年级上·全国·假期作业）简便计算 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法分配律，先把原式整理得，再运算括号内，最后运算乘法，即可作答． 【详解】 【变式3-3】．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的乘法分配律，根据乘法分配律的逆运算可先把提出，可得再计算括号里面的减法，后计算乘法即可． 【详解】解： 题型04组合——找出规律，重新组合然后通过约分或抵消简化题目 【典例分析】 【例4-1】（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】化为，即可求解． 【详解】解：原式 ； 故答案：． 【点睛】本题考查了有理数加减混合运算中的简便运算，掌握解法是解题的关键 【例4-2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算． 【答案】1012 【分析】合理分组：每两个数为一组，结果是3；一共有337组；进行简算即可． 【详解】 每两个数为一组，结果是3； 则 即一共有337组； 原式 【变式4-3】计算：． 【分析】根据有理数混合运算的法则计算即可； 【解答】解：- ． 【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算；另外，注意乘法运算定律的应用． 【变式演练】 【变式4-1】（22-23七年级上·广东江门·阶段练习）计算的值等于（    ） A． B． C．1010 D．1009 【答案】A 【分析】先根据算式找出规律，第1，2两个相加为，第3，4两个数相加为1，第5，6两个数相加为1，依次类推，直到第2017与2018两个数相加，最后还剩，再相加得出结果即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数加减混合运算，解题的关键是找出规律，准确计算 【变式4-2】（2024七年级·全国·竞赛）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，科学运用结合律是解题的关键． 【详解】解：原式 【变式4-3】计算：． 【分析】根据互为倒数的两个数相乘，乘积为1，进行简便计算，从而得出结果． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了有理数的乘法，运用乘法运算律可以简化计算． 题型05拆分——将（带）分数拆分 【典例分析】 【例5-1】（23-24六年级下·全国·假期作业）计算：； 【答案】； 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． 先将化成，再运用乘法分配律计算即可； 【详解】原式 ； 【例5-2】（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式 ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； （）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； 本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 【例5-3】（23-24七年级上·安徽铜陵·期中）问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，，， 【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算： 【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算； 【问题拓展】（3）求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的混合运算．掌握等式的规律，利用裂项法，进行求解，是解题的关键． （1）利用规律，将转化为进行计算即可； （2）利用规律，将转化为进行计算即可； （3）将转化为，再利用规律解题即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24七年级上·四川内江·期中）简便运算：； 【答案】(1) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律， 将变形为，再利用乘法运算律进行计算即可； 【详解】解：； 【变式5-2】（24-25七年级上·全国·假期作业）折项法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，首先将带分数拆分，再按照有理数加法交换律和结合律进行简便计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式5-3】（23-24七年级上·四川自贡·期中）综合与实践，问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： ，，，， 独立思考： (1)解答王老师提出的问题：第个式子为 ，第个式子为 ； 实践探究： (2)在（）中找出规律，并利用规律计算：； 问题拓展： (3)数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后发现，当分母中的两个因数的差为，该小组提出下面的问题，请你解答：求； 问题解决： (4)求的值． 【答案】(1) ；； ； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）根据所给的式子的形式进行求解即可； （）利用（）的规律进行求解即可； （）仿照（）的解答方式进行求解即可； （）把各项进行整理，再利用题中的规律进行求解即可； 本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据所给的等式总结出存在的规律并灵活运用． 【详解】（1）根据，，，， ∴第个式子为，第个式子为， 故答案为：，； （2） ， ， ； （3） ， ， ； （4） ， ， ． 题型06换位——将被除数与除数颠倒位置 【典例分析】 【例6】（21-22七年级上·全国·课后作业）阅读下列材料：计算：． 解法1思路：原式；对吗？答：____________． 解法2提示：先计算原式的倒数：，故原式等于300． (1)请你用解法2的方法计算：； (2)现在这个题简单了吧！来吧！试试吧！ 【答案】(1)不对；； (2) 【分析】本题考查了有理数的除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的除法运算法则． 有理数的除法不满足分配率，故解法1不对； （1）先计算原式的倒数，然后即可求解； （2）先计算出的值，再求出的倒数，即可得到原式的值，然后求和即可求解． 【详解】（1）解：因为有理数的除法不满足分配律，故解法1不对； 故答案为：不对； ∵ ， ∴； （2）∵ ， ∴， ∴ 【变式演练】 【变式6-1】（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则__________； (2)计算：； (3)根据以上信息可知＝________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了倒数的定义，有理数的除法运算，利用分配率进行有理数的运算等知识． （1）根据倒数的定义即可求解； （2）先将除法运算化为乘法运算，再利用分配率进行计算即可求解； （3）根据倒数的定义即可求解． 【详解】（1）解：根据倒数的定义，若若，则． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：因为， 所以． 故答案为： 【变式6-2】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）阅读下面材料： 计算： 解法①： 原式 ； 解法②： 原式 ； 解法三： 原式的倒数为 ， 故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法_____是错误的（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法______比较简便．（填序号） 请你进行简便计算：． 【答案】(1)① (2)③； 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算和分配律、倒数等知识，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题的关键． （1）解法①中，除法当中的除式不能进行加减法分解，故解法①错误； （2）解法三运用了倒数的知识使得运算比较简便；先计算原式的倒数，再转化为原式即可． 【详解】（1）解：三种解法得出的结果不同，解法①是错误的． 故答案为：①； （2）解：在正确的解法中，解法③比较简便． 故答案为：③； 原式的倒数为 ， ∴原式． 【变式6-3】．计算： (1)前后两部分之间存在着什么关系？ (2)先计算哪部分比较简单?请给予解答； (3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果； (4)根据上述分析，求出原式的结果． 【答案】(1)前后两部分互为倒数 (2)先计算后面的部分比较简单，解答过程见解析 (3)另一部分的结果为 (4) 【分析】（1）根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，即可； （2）把后面部分的除法化为乘法，根据乘法分配律，进行计算，根据分母均为36的公因数，故先算后面部分，较方便； （3）根据第二问的结果，倒数的关系，即可； （4）根据第二问，第三问的结果，进行有理数的加减，即可． （1） 解：∵乘积为1的两个数互为倒数 ∴前后两部分互为倒数． （2） 解：计算应先通分，然后化除法为乘法，最后进行计算； 计算，先化除法为乘法，然后根据乘法分配律，进行加减计算； ∴先计算后面部分比较方便 计算如下： ． （3） 解：∵前后两部分互为倒数，后面部分： ∴前面部分：． （4） 解： ． 【点睛】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握倒数的定义，有理数除法的运算法则，乘法分配律等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$