第06讲 代数式（3大知识点+14大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假新七年级数学衔接讲义（沪科版）

第06讲 代数式（3大知识点+14大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 用代数式表示式 题型二 用代数式表示数、图形的规律 题型三 代数式表示的实际意义 题型四 已知字母的值，求代数式的值 题型五 已知式子的值，求代数式的值 题型六 程序流程图与代数式求值 题型七 单项式的系数、次数 题型八 单项式规律题 题型九 多项式的项、项数或次数 题型十 多项式系数、指数中字母求值 题型十一 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列 题型十二 整式的判断 题型十三 数字类规律探素 题型十四 图形类规律探素 知识点01 代数式 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 知识点02 代数式的书写格式 ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如a2-b2平方米。 知识点03 数学思想之整体代入法 1.整体思想：就是从问题的整体性质出发，把某些式子看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理． 2.根据条件进行求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化． 【典型例题一 用代数式表示式】 1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）长方形周长为，设长为，宽为，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河北石家庄·二模）用代数式表示“的倍与的相反数的和”，下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）买一个足球要m元，买一个篮球要n元，则买3个足球、5个篮球共需要 元． 4．（2024·湖南益阳·三模）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市以每盒x 元购进一批肉粽，按进价增加20% 作为售价，则肉粽的售价为 元．（用含x 的代数式表示） 5．（22-23七年级下·湖南永州·期中）用代数式表示： (1)m的倒数的3倍与m的平方差的； (2)x的与y的差的； (3)甲数a与乙数b的差除以甲、乙两数的积． 6．（23-24七年级下·山东济南·期中）小明在爬一小山时，第一阶段的平均速度为v米分，所用时间为m分钟；第二阶段的平均速度为米分，所用时间为n分钟． (1)第一阶段的路程为__________米；第二阶段的路程为__________米；（用含v，m或n的代数式表示） (2)下山时，小明的平均速度保持为米分，已知小明上山的路程和下山的路程相同，那么小明下山用了多长时间？ 【典型例题二 用代数式表示数、图形的规律】 1．（22-23七年级上·江苏宿迁·期末）三个连续偶数中最小的一个为，则这三个偶数中最大的可表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2023七年级上·全国·专题练习）如图中，甲、乙两部分的周长相比较，甲的周长（　　）乙的周长．    A．大于 B．小于 C．等于 3．（23-24八年级下·河北承德·开学考试）有一组算式：观察它们的规律，则第4个式子是 ；第5个式子是 ． 【答案】 4．（23-24七年级上·河北保定·期中）分形的概念是由数学家本华·曼德博提出的，如图是分形的一种，第1个图案有2个三角形；第2个图案有4个三角形；第3个图案有8个三角形…，按此规律，第5个图案有 个三角形，第个图案有 个三角形.（用含的代数式表示） 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）在本节课用火柴棒搭正方形的游戏中，小颖得出这样的结果：搭x个这样的正方形需要根火柴棒．你认为她的结果对吗？你能说出她是怎么想的吗？ 6．（22-23七年级上·湖北武汉·期中）观察下面三行数： 第1列 第2列 第3列 第4列 … 第n列 ﹣3 9 a 81 … r 1 ﹣3 9 b … s ﹣2 10 c 82 … t （1）直接写出a，b，c的值； （2）直接写出r，s，t的值； （3）设x，y，z分别为第①②③行的第2019个数，求x+6y+z的值． 【典型例题三 代数式表示的实际意义】 1．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）代数式的意义是（    ） A．m除以n减1 B．n减1除m C．n与1的差除以m D．m除以n与1的差所得的商 2．（23-24七年级上·四川成都·期末）某商店举办促销活动．促销的方法是将原价为x元的衣服以元出售，则下列关于代数式的含义的描述正确的是（    ） A．原价打8折后再减去7元 B．原价减去7元后再打8折 C．原价减去7元后再打2折 D．原价打2折后再减去7元 3．（2024·河南焦作·一模）代数式可表示的实际意义是 ． 4．（23-24七年级上·北京石景山·期末）对单项式“”可以解释为：一块橡皮元，买了a块，共消费元．请你再对“”赋予一个实际意义 ． 5．（22-23六年级下·全国·单元测试）请你用实例解释下列代数式的意义． (1)； (2)． 6．（22-23七年级下·广东梅州·开学考试）体育委员小金带了500元钱去买体育用品，已知一个足球x元，一个篮球y元．则代数式表示的实际意义为？体育委员买了2个足球、3个篮球，剩余的经费？ 【典型例题四 已知字母的值，求代数式的值】 1．（23-24七年级上·四川眉山·期中）当时，代数式的值为（   ） A． B． C．4 D．7 2．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）当时，代数式的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 3．（22-23七年级上·浙江温州·期中）如果规定表示一种运算，且，求 ． 4．（23-24八年级上·吉林辽源·期末）如图所示，一个窗户被装饰布挡住了一部分，其中窗户的长与宽的比是，装饰布由一个半圆和两个四分之一圆组成，圆的直径都是，那么当时，这个窗户未被遮挡的部分的面积是 ． 5．（23-24七年级上·浙江温州·期中）当，时，求下列代数式的值． (1) (2) 6．（23-24七年级上·湖南邵阳·期中）周末小明陪爸爸去陶瓷商城购买了一些茶壶和一些茶杯，了解情况后发现甲、乙两家商店都在出售一种同样品牌的茶壶和茶杯，定价相同，茶壶每把定价元，茶杯每只定价元，且两家都有优惠，甲商店买一送一大酬宾（买一把茶壶送一只茶杯），乙商店全场九折优惠，小明的爸爸需购买茶壶5把，茶杯a只（不少于只）． (1)分别用含有a的代数式表示在甲、乙两家商店购买所需的费用； (2)当时，在甲、乙哪家商店购买付款较少？请说明理由 【典型例题五 已知式子的值，求代数式的值】 1．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）已知，则的值是（    ） A． B．1 C．2 D．7 2．（23-24七年级上·四川泸州·期末）当时，整式的值等于，那么当时，整式的值为（    ） A． B．100 C． D．102 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知多项式的值为2，则多项式的值为 . 4．（23-24七年级上·河南信阳·期末）若，则的值为 ． 5．（2023七年级上·江苏·专题练习）已知式子的值是3，求式子的值． 6．（23-24七年级上·辽宁铁岭·期中）数学中，运用整体思想在求代数式的值时非常重要．例如：已知，则代数式． 请根据以上材料解答以下问题： (1)若整式的值是8，求整式的值； (2)若，求的值． 【典型例题六 程序流程图与代数式求值】 1．（2023·重庆渝北·一模）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）按下面的程序计算：    若输入，则输出结果是（    ） A．151 B．256 C．501 D．756 3．（22-23七年级下·河南郑州·阶段练习）如图，给你一个任意数，按下列程序进行计算 ．    4．（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）根据如图所示的流程图计算，若输入x的值为，则输出y的值为 5．（23-24七年级上·陕西西安·期中）如图，是一个“数值转换机”的示意图. (1)输出的结果用代数式表示为________； (2)计算当输入时，输出的值． 6．（22-23七年级上·江西赣州·期中）如图是一个简单的数值运算程序． (1)用含x的代数式表示出运算过程； (2)当输入的x值为时，输出的值是多少？ 【典型例题七 单项式的系数、次数】 1．（2024·上海金山·二模）单项式的系数和次数分别是（   ） A．和2 B．和3 C．2和2 D．2和3 2．（23-24六年级下·全国·假期作业）的系数与次数分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）单项式的系数是 ． 4．（23-24七年级·全国·假期作业）（1）单项式的系数是 ，次数是 ； （2）单项式的系数是 ，次数是 ． 5．（23-24六年级下·全国·假期作业）已知是一个六次单项式，求的值． 6．（23-24七年级上·甘肃白银·期中）根据题意列出单项式，并指出它们的系数和次数． (1)某产品前年的产量是n件，去年的产量是前年产量的m倍，则去年产量为多少？ (2)某班总人数为m人，女生人数是男生人数的，那么该班男生人数为多少？ 【典型例题八 单项式规律题】 1．（23-24七年级上·云南昆明·期末）按一定规律排列的单项式：，……，它的第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·广东珠海·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，……，则第7个单项式是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·甘肃酒泉·期中）已知单项式a、、、，…按一定的规律排列，试写出第n个单项式 ． 4．（22-23七年级上·河北保定·期末）观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2020个单项式是 ． 5．（23-24七年级上·全国·课堂例题）有一列单项式：． (1)写出第99个，第2024个单项式； (2)写出第个，第个单项式． 6．（23-24七年级上·江西上饶·阶段练习）观察下列单项式：写出第个单项式，为了解决这个问题，特提供下面的解题思路． (1)这组单项式的系数依次为多少？系数符号的规律是什么？系数绝对值规律是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)根据上面的归纳，你可以猜想出第个单项式是什么？ 【典型例题九 多项式的项、项数或次数】 1．（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）多项式是（    ） A．四次三项式 B．五次三项式 C．三次四项式 D．三次五项式 2．（23-24七年级上·新疆喀什·阶段练习）关于多项式，下列说法中正确的是（    ） A．它的系数是1 B．它的次数是3 C．它的常数项是1 D．它的项是，b 与1 3．（23-24六年级下·黑龙江大庆·期中）多项式最高次项的系数为 ． 4．（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）多项式，它是 次 项式，常数项为 ． 5．（23-24六年级上·山东济南·期中）多项式是关于的三次三项式，并且二次项系数为1，求的值． 6．（23-24七年级上·河南新乡·期中）对于多项式 (1)若此多项式是关于的三次三项式，求的值． (2)若此关于的多项式不含常数项，求的值． 【典型例题十 多项式系数、指数中字母求值】 1．（23-24七年级上·云南昭通·期末）已知关于的多项式不含三次项和一次项，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广西防城港·期中）方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，，9 C．2，6，9 D．2，， 3．（22-23七年级上·广西防城港·期末）若多项式是一个关于，的四次四项式，则的值为 ． 4．（23-24七年级上·全国·课堂例题）如果多项式是个三次多项式，那么 ． 5．（23-24六年级下·全国·假期作业）已知多项式是关于x，y的六次四项式，求的值． 6．（22-23七年级上·陕西渭南·期中）若多项式是一个四次三项式，且n是最高次项的系数的倒数，求的值． 【典型例题十一 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列】 1．（2023七年级上·全国·专题练习）将代数式按y的降幂排列是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·河南南阳·期中）将多项式按的降幕排列为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·上海松江·期末）将按字母a升幂排列是 ． 4．（22-23七年级上·四川眉山·期中）将多项式按的降幂排列为 ． 5．（23-24七年级上·吉林长春·期中）把多项式重新排列： (1)按字母的降幂排列； (2)按字母的升幂排列． 6．（23-24七年级上·全国·课堂例题）先阅读下列材料，然后解答问题． 材料一：将多项式按某个字母（如）的指数从大到小（或从小到大）依次排列，叫做这个多项式按这个字母（如）的降幂（或升幂）排列．如：把多项式按字母的降幂排列为． 材料二：多项式中含有项，项，常数项，按的降幂排列缺项，我们可以补入作为的二次项，使原式成为的形式，这样的做法叫做补入多项式的缺项． 解答下列问题： (1)把多项式按字母的升幂排列； (2)请补入多项式的缺项，并按的降幂排列． 【典型例题十二 整式的判断】 1．（23-24七年级上·河南许昌·期末）在代数式，，，，，中，是整式的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（23-24七年级上·吉林松原·阶段练习）下列式子中：，，，，，整式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（23-24七年级上·吉林白山·期中）下列各式：①；②；③；④；⑤中，整式的个数有 个． 4．（23-24七年级上·陕西汉中·期中）在代数式①；②；③；④2021；⑤；⑥中，是整式的有 ．（填序号） 5．（22-23七年级·上海·假期作业）在代数式，0，中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ 6．（22-23七年级上·山东滨州·期末）简答题：在人教版七年级上册第二章《整式的加减》中，我们主要研究了整式的加法和减法，请类比数的运算，你认为我们在以后的学习中还会研究整式的什么运算？并举例说明（只列式,至少举出三个）。 【典型例题十三 数字类规律探索】 1．（2024·云南昭通·一模）按一定规律排列的多项式：，第个多项式是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·云南昆明·一模）按一定规律排列的多项式： 第n个多项式是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·广东惠州·期末）根据整数指数幂的意义有：，，……根据这些等式的规律，试在 的括号中填上适当的数字使之成立． 4．（24-25七年级上·全国·假期作业）观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3个数，你能说出第10个数、第105个数、第2015个数吗？ （1）一列数：1，，3，，5，， ， ， ，…； （2）一列数：，，，，，， ， ， ，…. 5．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是，如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数依此类推， (1)__________________ (2)求的值？ 6．（23-24六年级上·山东烟台·期中）设是不为1的数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数为，的差倒数为，已知，是的差倒数，是的差倒数……，依此类推 (1)试求，和的值； (2)请直接写出的值． 【典型例题十四 图形类规律探索】 1．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第个图形需棋子（    ）枚 A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江·期末）中国古代算筹计数法可追溯到公元前5世纪，算筹（小棍形状的记数工具）有纵式和横式两种摆法（如图）．计数方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横这样纵横依次交替，零以空格表示，则“”所表示的数是（   ） A．402 B．411 C．398 D．389 3．（22-23七年级上·山东青岛·阶段练习）用同样大小的黑色棋子按如图表示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第100个图形需棋子 枚． 4．（22-23七年级上·辽宁葫芦岛·期末）按如下规律摆放五角星： 第个图案有五角星 颗． 5．（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）如图，用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案．从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个六边形和两个三角形． (1)求第5个图案中三角形的个数； (2)求第n个图案中三角形的个数．（用含n的代数式表示） 6．（22-23六年级下·上海静安·期末）如图，从点O引出的射线（任两条不共线）条数与角的总个数有如下关系：从点O引出两条射线形成1个角；如图1从点O引出3条射线共形成3个角；如图2从点O引出4条射线共形成6个角；如图3从点O引出5条射线共形成10个角． (1)观察操作：当从点O引出6条射线共形成有___________个角． (2)探索发现：如图4当从点O引出n条射线共形成____________个角．（用含n的式子表示） 【变式训练1 用代数式表示式】 1．（2024·河北邢台·模拟预测）x表示一个两位数，把6写到x的右边组成一个三位数，则表示这个三位数的式子是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南驻马店·三模）为加快人工智能等新技术赋能，打造一批有竞争力的平台和企业，政府部门安排设备更新计划．经市场调研，某企业更新生产设备后，生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产x件产品，则更新设备后每天生产 件产品（用含x 的式子表示）． 3．（2024·安徽·模拟预测）春节期间，聪聪两次去超市购买A，B两种不同单价的坚果，第一次购买A种坚果的质量比B种坚果的质量多，第二次购买B种坚果的质量是A种坚果质量的4倍，第二次购买坚果的总质量比第一次购买坚果的总质量多． (1)设第一次购买B种坚果的质量为x克，请用含x的代数式填表： A种坚果质量/克 B种坚果质量/克 总质量/克 第一次 x 第二次 ___________ ___________ ___________ (2)若第二次购买坚果的总费用比第一次购买坚果的总费用少（两次购买A，B两种坚果的单价不变），求B种坚果与A种坚果单价的比值． 【变式训练2 用代数式表示数、图形的规律】 1．（23-24七年级上·山东德州·期末）将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形，…，如此下去，则第2020个图中共有正方形的个数为（    ）    A．2021 B．2020 C．6051 D．6058 2．（23-24七年级上·吉林长春·期中）如图，长方形的长为，宽为用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积为 ． 3．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）解答下列各题 (1)如图，在中，以为顶点引射线，填表： 内射线的条数 角的总个数 ______ ______ ______ _____ (2)若内射线的条数是，请用关于的式子表示出上面的结论． (3)若内有射线条数是，则角的总个数为多少？ 内射线的条数 1 2 3 4 角的总个数 3 6 10 15 【变式训练3 代数式表示的实际意义】 1．（23-24七年级上·河南周口·期中）某商店举办促销活动，促销的方法是将原价元的衣服以元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是（    ） A．原价减去5元后再打6折 B．原价打6折后再减去5元 C．原价减去5元后再打4折 D．原价打4折后再减去5元 2．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）某工程队要修路，计划平均每天修，则计划完成此项工程的时间为 天． 3．（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）写出下列各代数式的意义： (1)； (2)； (3)； 【变式训练4 已知字母的值，求代数式的值】 1．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）已知摄氏温度与华氏温度之间存在对应关系（为常数），下表的数据满足该对应关系，则的值为（    ） 摄氏温度 0 ．．． 华氏温度 ．．． A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河南安阳·期末）请写出一个含字母的整式，且满足当时，该整式的值等于3．你写的整式是 ． 3．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）若，求的值． 【变式训练5 已知式子的值，求代数式的值】 1．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）若互为相反数，则的值为（  　） A．2 B．0 C． D．0或2 2．（22-23七年级上·湖南岳阳·期末）若代数式的值为2，则代数式的值为 ． 3．（23-24七年级上·吉林长春·期中）【教材呈现】下题是华师版七年级上册数学教材第117页的部分内容． 17．代数式的值为9，则代数式的值为______． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下： 由题意得，则有， ．所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则______． （2）若代数式的值为15，求代数式的值． 【拓展应用】若，则代数式的值为______． 【变式训练6 程序流程图与代数式求值】 1．（23-24七年级上·山东济宁·期中）如图是一个计算程序，若输入的值为，则输出的结果应为（    ） A． B．0 C．10 D．22 2．（23-24七年级上·山东济南·期中）按照如图的程序计算，若开始输入的值为，则最后的输出结果是 ． 3．（23-24七年级上·陕西汉中·期中）下图是“数值转换机”的示意图． (1)当输入，时，输出的数是多少？ (2)当输入，时，输出的数是多少？ 【变式训练7 单项式的系数、次数】 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）关于单项式的叙述正确的是（    ） A．系数是 B．系数是 C．次数是2次 D．次数是4次 2．（2024·江苏南通·二模）若单项式的系数是m，次数是n，则的值为 ． 3．（22-23七年级上·广东东莞·期中）若是关于x，y的单项式，且系数为，次数是3，求a和b的值． 【变式训练8 单项式规律题】 1．（22-23九年级上·云南昭通·期中）观察下列按一定规律排列的n个数：x，，，，……，按照上述规律，第2022个单项式是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）观察下面一列式子，按规律在横线上填写适当的式子，则第n个式子为 ． 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）观察下列单项式：，．回答下列问题： (1)这组单项式的系数的规律是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)根据上面的归纳，你可以猜想出第（为正整数）个单项式是什么吗？ (4)根据你的猜想，请写出第2022，2023个单项式． 【变式训练9 多项式的项、项数或次数】 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（   ）． A．x的次数是0 B．单项式的系数是 C．是二次三项式 D．是三次单项式 2．（23-24七年级上·河南新乡·期末）一个关于字母的二次三项式，它的常数项是，请写出一个满足条件的多项式 ． 3．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）如图（图中长度单位：m），求图中阴影部分的面积，并指出这个多项式的项和次数． 【变式训练10 多项式系数、指数中字母求值】 1．（23-24七年级上·河南洛阳·阶段练习）如果是关于a的二次三项式，那么m、n满足的条件是（    ） A． B． C．，n为大于3的整数 D． 2．（23-24七年级上·辽宁大连·期中）多项式是四次三项式，则 ． 3．（22-23七年级上·湖南邵阳·期中）已知关于x的多项式是二次二项式． (1)求k的值； (2)求代数式的值． 【变式训练11 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列】 1．（22-23七年级上·福建泉州·期末）把多项式按a的降幂排列，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·北京房山·期中）把多项式按字母x降幂排列为 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）将下列多项式按字母的降幂排列． (1)； (2)． 【变式训练12 整式的判断】 1．（22-23七年级上·黑龙江·期末）代数式，0.5中整式的个数（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（22-23七年级上·吉林松原·期中）下列式子0，，，，中，其中整式有 个． 3．（22-23七年级上·安徽六安·阶段练习）对下列式子进行分类． ． 单项式：（                       ）； 多项式：（                       ）； 整式：（                         ）． 【变式训练13 数字类规律探索】 1．（23-24九年级上·辽宁锦州·阶段练习）观察元素原子结构示意图的规律，则某元素原子结构的原子核中应填的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级·全国·竞赛）观察：则在第 组（从左往右数依次为第1，2，3，…组）． 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解：小华是一个勤奋好学的学生，常常通过书籍、网络等渠道主动学习各种知识．下面是她从网络搜到的两位数乘11的速算法，其口诀是：“头尾一拉，中间相加，满十进一”．例如：①．计算过程：24两数拉开，中间相加，即，最后结果264；②，计算过程：68两数拉开，中间相加，即，满十进一，最后结果748 (1)计算： ①__________， ②_____________； (2)若某一个两位数十位数字是，个位数字是，将这个两位数乘11，得到一个三位数，则根据上述的方法可得，该三位数百位数字是_______，十位数字是________，个位数字是_______；（用含a、b的式子表示） 【变式训练14 图形类规律探索】 1．（2024·重庆·二模）下列图形都是由边长相等且面积为1的等边三角形按一定的规律组成，其中，第①个图形面积为1，第②个图形面积为4，第③个图形面积为9，…，则第⑩个图形中三角形的个数是（　　） A．81 B．100 C．99 D．101 2．（2024八年级·全国·竞赛）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形，接着把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，再把面积为一的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去．试利用图形揭示的规律计算： ．（n为正整数） 3．（2023七年级上·全国·专题练习）如图，从点O引出的射线（任两条不共线）条数与角的总个数有如下关系：从点O引出两条射线形成1个角；如图1从点O引出3条射线共形成3个角；如图2从点O引出4条射线共形成6个角；如图3从点O引出5条射线共形成10个角； (1)观察操作：当从点O引出6条射线共形成有 个角； (2)探索发现：如图4当从点O引出n条射线共形成 个角；（用含n的式子表示） (3)实践应用：8支篮球队进行单循环比赛（参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），总的比赛场数为 场．如果n支篮球队进行主客场制单循环赛（参加的每个队都与其它所有队各赛2场）总的比赛场数是 场． 1．（2024·河北·一模）数学老师给所教的名同学各买了一件相同的毕业纪念礼物，扫码支付了元，则每件礼物的价格可表示为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（2024·辽宁锦州·二模）若，则整式的值是（    ） A． B．3 C．5 D．11 3．（23-24七年级上·重庆北碚·期末）把多项式按x的升幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·四川自贡·阶段练习）将一列有理数，，，，，，，如图所示有序排列，根据图中的排列规律可知：“峰1”中峰顶的位置（的位置）是有理数，那么，“峰6”中的位置是有理数（ ），应排在、、、、中的位置（  ），其中两个填空依次为（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（2024·山西吕梁·一模）青苗小组的同学在探究的结果时，发现可以进行如下操作：如图，将边长为1的大正方形纸片进行分割，①的面积为大正方形面积的一半，即；②的面积为①的面积的一半，即；③的面积为②的面积的一半，即；……由此得到结论：．这种探究问题的方法体现了（   ） A．方程思想 B．分类讨论思想 C．模型思想 D．数形结合思想 6．（23-24七年级上·江西宜春·期末）若，则 ． 7．（22-23七年级上·广东河源·期末）如图是一个数值转换机，若输入a的值为，则输出的结果应为 ． 8．（23-24六年级上·山东济宁·阶段练习）观察下列单项式： 根据摆放规律，从第2018个单项式到第2019个单项式的箭头是 ．（填→、↑、←、↓） 9．（2024·陕西西安·模拟预测）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑩个图案用的木棍根数是 ． 10．（2023·陕西西安·二模）在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，我们称这个三角形为“杨辉三角”，这个三角形给出了的展开式（按x的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，如，其展开式中的系数1、3、3、1对应三角形图形中第四行，根据上下行之间的数字规律，求代数式的值为 ．    11．（23-24七年级上·河南许昌·期中）已知多项式是五次四项式． (1)求出的值． (2)单项式的次数与该多项式的次数相同，求的值． 12．（22-23六年级下·全国·单元测试）观察下面一行式子：，… (1)你有什么发现？ (2)根据你发现的规律写出第个式子． 13．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）用火柴棒按如图所示的规律排列成一串图形： (1)第4个图形中有几根火柴棒？第5个呢？第个呢？ (2)小梧发现：按照这种方式搭图形会产生若干个六边形，若使用1603根火柴搭图形，则图中会产生多少个六边形？ 14．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）某超市将每个进价为10元的文具袋以每个16元的销售价售出，平均每月能售出250个． 市场调研表明：当每个文具袋的销售价下降1元时，其月销售量增加60个． 若设每个文具袋的销售价下降元． (1)试用含的式子填空： ①降价后，每个文具袋的利润为___________元（利润销售价进价）； ②降价后，该超市的文具袋平均每月销售量为___________个； (2)如果（1）中的，请计算该超市该月销售这种文具袋的利润是多少元（总利润单个利润销售数量）？ 15．（2023·安徽·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)利用你发现的规律可知_______；（填具体数字） (2)写出第（为正整数）个等式：_______， (3)计算的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 代数式（3大知识点+14大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 用代数式表示式 题型二 用代数式表示数、图形的规律 题型三 代数式表示的实际意义 题型四 已知字母的值，求代数式的值 题型五 已知式子的值，求代数式的值 题型六 程序流程图与代数式求值 题型七 单项式的系数、次数 题型八 单项式规律题 题型九 多项式的项、项数或次数 题型十 多项式系数、指数中字母求值 题型十一 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列 题型十二 整式的判断 题型十三 数字类规律探素 题型十四 图形类规律探素 知识点01 代数式 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 知识点02 代数式的书写格式 ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如a2-b2平方米。 知识点03 数学思想之整体代入法 1.整体思想：就是从问题的整体性质出发，把某些式子看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理． 2.根据条件进行求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化． 【典型例题一 用代数式表示式】 1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）长方形周长为，设长为，宽为，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了函数关系式，得到矩形的一组邻边长与矩形周长的关系是解决本题的关键． 利用矩形的边长周长的一半另一边长，把相关数值代入即可，再利用在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，进而得出答案． 【详解】解：矩形的周长是， 矩形的一组邻边的和为， 一边长为，另一边长为， ， 故选：A． 2．（2024·河北石家庄·二模）用代数式表示“的倍与的相反数的和”，下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是列代数式，解题关键是正确理解题意． 根据题意列代数式即可，重点关注各字母前的系数． 【详解】解：依题得：“的倍”是， “的相反数”是， 则“的倍与的相反数的和”为, 即选项、选项、选项都正确． 故选． 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）买一个足球要m元，买一个篮球要n元，则买3个足球、5个篮球共需要 元． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了列代数式，正确理解题意是解题的关键． 根据题意可知3个足球需元，5个篮球需 元，故共需元． 【详解】解：∵买一个足球要m元，买一个篮球要n元， ∴买3个足球、5个篮球共需要元， 故答案为：． 4．（2024·湖南益阳·三模）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市以每盒x 元购进一批肉粽，按进价增加20% 作为售价，则肉粽的售价为 元．（用含x 的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查代数式，解题的关键是理解题意；由题意可直接列式进行求解． 【详解】解：由题意可知肉粽的售价为元； 故答案为． 5．（22-23七年级下·湖南永州·期中）用代数式表示： (1)m的倒数的3倍与m的平方差的； (2)x的与y的差的； (3)甲数a与乙数b的差除以甲、乙两数的积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据代数式的表示方法，得出结论． 【详解】（1）根据题意可得，； （2）根据题意可得，； （3）根据题意可得，． 【点睛】本题考查了代数式的表示，难度较小，熟练掌握代数式的书写方式是解题的关键． 6．（23-24七年级下·山东济南·期中）小明在爬一小山时，第一阶段的平均速度为v米分，所用时间为m分钟；第二阶段的平均速度为米分，所用时间为n分钟． (1)第一阶段的路程为__________米；第二阶段的路程为__________米；（用含v，m或n的代数式表示） (2)下山时，小明的平均速度保持为米分，已知小明上山的路程和下山的路程相同，那么小明下山用了多长时间？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了列代数式，抓住路程平均速度时间是解题关键． （1）根据路程平均速度时间，即可求解； （2）由（1）求出总路程即可求解； 【详解】（1）解：第一阶段的路程为米，第二阶段的路程为米， 故答案为：，； （2）解：∵总路程， ∴， 即：小明下山用分钟． 【典型例题二 用代数式表示数、图形的规律】 1．（22-23七年级上·江苏宿迁·期末）三个连续偶数中最小的一个为，则这三个偶数中最大的可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三个连续偶数，根据偶数的表示形式，即可求解． 【详解】解：三个连续偶数中最小的一个为， ∴第二个偶数位，第三个偶数位， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查字母表示数或数量关系，掌握字母表示数或数量关系的规则是解题的关键． 2．（2023七年级上·全国·专题练习）如图中，甲、乙两部分的周长相比较，甲的周长（　　）乙的周长．    A．大于 B．小于 C．等于 【答案】C 【分析】根据甲的周长长方形的长长方形的宽公共曲线边长，乙的周长长方形的长长方形的宽公共曲线边长，即可求得答案． 【详解】解：因为甲的周长长方形的长长方形的宽公共曲线边长，乙的周长长方形的长长方形的宽公共曲线边长． 所以，甲的周长乙的周长． 故选：C． 【点睛】本题主要考查几何图形，能根据题目要求表示出图形的周长是解题的关键． 3．（23-24八年级下·河北承德·开学考试）有一组算式：观察它们的规律，则第4个式子是 ；第5个式子是 ． 【答案】 【分析】此题考查数字的变化规律，分母是两个连续自然数的乘积，分子是1的分数可以拆成这两个自然数为分母，分子是1的两个分数的差，由此规律得出答案即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：，． 4．（23-24七年级上·河北保定·期中）分形的概念是由数学家本华·曼德博提出的，如图是分形的一种，第1个图案有2个三角形；第2个图案有4个三角形；第3个图案有8个三角形…，按此规律，第5个图案有 个三角形，第个图案有 个三角形.（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了用代数式图形的规律，将三角形的个数写成乘方形式即可找到规律． 【详解】解：∵第1个图案有个三角形， 第2个图案有个三角形， 第3个图案有个三角形… ∴第5个图案有个三角形， 第个图案有个三角形， 故答案为：①② 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）在本节课用火柴棒搭正方形的游戏中，小颖得出这样的结果：搭x个这样的正方形需要根火柴棒．你认为她的结果对吗？你能说出她是怎么想的吗？ 【答案】对．她先把每个正方形看成由4根火柴棒搭成的，然后再减去多算的根数，就得到． 【分析】先把每个正方形看成由4根火柴棒搭成的，共需根火柴棒，然后再减去多算的根数根，即可求解． 【详解】解：对． 先把每个正方形看成由4根火柴棒搭成的， 共需根火柴棒， 多算的火柴棒根数有根， 所以搭x个这样的正方形需要根火柴棒． 【点睛】本题考查了用代数式表示数、图形的规律，解题的关键是能观察出图形的规律，准确找出数量关系． 6．（22-23七年级上·湖北武汉·期中）观察下面三行数： 第1列 第2列 第3列 第4列 … 第n列 ﹣3 9 a 81 … r 1 ﹣3 9 b … s ﹣2 10 c 82 … t （1）直接写出a，b，c的值； （2）直接写出r，s，t的值； （3）设x，y，z分别为第①②③行的第2019个数，求x+6y+z的值． 【答案】（1）a＝﹣27，b＝﹣27，c＝﹣26；（2）r＝（﹣1）n×3n，，t＝（﹣1）n×3n+1；（3）x+6y+z=1. 【分析】（1）根据表格中的数据可以写出每列中第n个数的式子，从而可以求得a，b，c的值； （2）根据表格中的数据可以写出每列中第n个数的式子，从而可以得到r，s，t的值； （3）根据（2）中的结果可以得到x，y，z的值，从而可以求得所求式子的值． 【详解】解：（1）由表可得， 第一行第n个数是：（﹣1）n×3n， 第二行第n个数是： ， 第三行第n个数是：（﹣1）n×3n+1， ∴a＝（﹣1）3×33＝﹣27， b＝ ＝﹣27， c＝（﹣1）3×33+1＝﹣26， 即a＝﹣27，b＝﹣27，c＝﹣26； （2）由表可得， 第一行第n个数是：（﹣1）n×3n， 第二行第n个数是： ， 第三行第n个数是：（﹣1）n×3n+1， 则r＝（﹣1）n×3n，s＝，t＝（﹣1）n×3n+1； （3）当n＝2019时， x＝（﹣1）2019×32019＝﹣32019， y＝ ＝32018， z＝（﹣1）2019×32019+1＝﹣32019+1， ∴x+6y+z ＝﹣32019+6×32018+（﹣32019+1） ＝﹣32019+2×32019﹣32019+1 ＝1． 故答案为（1）a＝﹣27，b＝﹣27，c＝﹣26；（2）r＝（﹣1）n×3n，s=，t＝（﹣1）n×3n+1；（3）x+6y+z=1. 【点睛】本题考查数字的变化类，解题的关键是明确题意，发现题目中数字变化的特点． 【典型例题三 代数式表示的实际意义】 1．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）代数式的意义是（    ） A．m除以n减1 B．n减1除m C．n与1的差除以m D．m除以n与1的差所得的商 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的意义，弄清它们所表示的数量之间的运算关系即可得出答案． 【详解】解：代数式的意义是m除以n与1的差所得的商， 故选D． 2．（23-24七年级上·四川成都·期末）某商店举办促销活动．促销的方法是将原价为x元的衣服以元出售，则下列关于代数式的含义的描述正确的是（    ） A．原价打8折后再减去7元 B．原价减去7元后再打8折 C．原价减去7元后再打2折 D．原价打2折后再减去7元 【答案】A 【分析】根据代数式的实际意义进行解答即可，准确理解代数式的意义是解题的关键． 【详解】解：将原价x元的衣服以元出售就是把原价打8折后再减去7元． 故选：A． 3．（2024·河南焦作·一模）代数式可表示的实际意义是 ． 【答案】一支笔3元，支笔的钱数（答案不唯一） 【分析】本题考查了代数式表示的实际意义，结合实际生活即可求解． 【详解】解：可表示一支笔3元，支笔的钱数, 故答案为：一支笔3元，支笔的钱数（答案不唯一） 4．（23-24七年级上·北京石景山·期末）对单项式“”可以解释为：一块橡皮元，买了a块，共消费元．请你再对“”赋予一个实际意义 ． 【答案】练习本每本元，小明买了a本，共付款元，（答案不唯一） 【分析】本题考查了代数式的意义，此类问题应结合实际，根据代数式的特点解答． 根据生活实际作答即可． 【详解】解：练习本每本元，小明买了a本，共付款元， 故答案为：练习本每本元，小明买了a本，共付款元，（答案不唯一）． 5．（22-23六年级下·全国·单元测试）请你用实例解释下列代数式的意义． (1)； (2)． 【答案】(1)表示气温从5℃，下降4℃后的温度 (2)表示一辆车以的速度行驶3小时的路程 【分析】（1）可以用生活中温度的变化的实例来解释； （2）可以用生活中行程的实例来解释． 【详解】（1）解： 可以表示气温从，下降后的温度． （2）表示一辆车以的速度行驶3小时的路程． 【点睛】本题考查了代数式的实际意义，注意一个代数式可以表示不同的实际意义． 6．（22-23七年级下·广东梅州·开学考试）体育委员小金带了500元钱去买体育用品，已知一个足球x元，一个篮球y元．则代数式表示的实际意义为？体育委员买了2个足球、3个篮球，剩余的经费？ 【答案】表示体育委员小金买了2个足球、3个篮球后，剩余的经费；元 【分析】根据代数式结合一个足球x元，一个篮球y元得出代数式表示的意义即可；根据体育委员买了2个足球、3个篮球，列出代数式即可． 【详解】解：∵体育委员小金带了500元钱去买体育用品，一个足球x元，一个篮球y元， ∴表示体育委员小金买了2个足球、3个篮球后，剩余的经费； 体育委员买了2个足球、3个篮球，剩余的经费为元． 【点睛】本题主要考查了代数式表示的实际意义，列代数式，解题的关键是理解题意． 【典型例题四 已知字母的值，求代数式的值】 1．（23-24七年级上·四川眉山·期中）当时，代数式的值为（   ） A． B． C．4 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握代数式求值的方法是解题关键．将代入计算即可得． 【详解】解：将代入得：， 故选：A． 2．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）当时，代数式的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了求代数式的值．把代入代数式，即可求解． 【详解】解：当时， ． 故选：C． 3．（22-23七年级上·浙江温州·期中）如果规定表示一种运算，且，求 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减乘除混合运算，熟练掌握有理数的加减乘除混合运算的法则是解题的关键． 根据已知规定运算法则，代入数字计算即可． 【详解】解：因为 ， 所以． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·吉林辽源·期末）如图所示，一个窗户被装饰布挡住了一部分，其中窗户的长与宽的比是，装饰布由一个半圆和两个四分之一圆组成，圆的直径都是，那么当时，这个窗户未被遮挡的部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式和求值，解题的关键是这个窗户未被遮挡的部分的面积窗户面积圆的面积列式求值． 【详解】解：依题意得，当时，圆的直径都是， 这个窗户未被遮挡的部分的面积是：． 故答案为：． 5．（23-24七年级上·浙江温州·期中）当，时，求下列代数式的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把a与b的值代入原式计算即可求出值； （2）把a与b的值代入原式计算即可求出值． 【详解】（1）解： （2）解： 6．（23-24七年级上·湖南邵阳·期中）周末小明陪爸爸去陶瓷商城购买了一些茶壶和一些茶杯，了解情况后发现甲、乙两家商店都在出售一种同样品牌的茶壶和茶杯，定价相同，茶壶每把定价元，茶杯每只定价元，且两家都有优惠，甲商店买一送一大酬宾（买一把茶壶送一只茶杯），乙商店全场九折优惠，小明的爸爸需购买茶壶5把，茶杯a只（不少于只）． (1)分别用含有a的代数式表示在甲、乙两家商店购买所需的费用； (2)当时，在甲、乙哪家商店购买付款较少？请说明理由 【答案】(1)甲商店： 元；乙商店：元 (2)在乙商店购买付款较少，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式及代数式求值问题．正确理解题意列出代数式是解题关键． （1）根据甲乙两家商店的优惠规则即可求解； （2）将分别代入（1）中所得代数式计算即可． 【详解】（1）解：甲商店所需的费用： (元)          乙商店所需的费用： (元) （2）解：在乙商店购买付款较少．理由如下：         当时， (元)，(元)     ∵   ∴乙商店购买付款较少 【典型例题五 已知式子的值，求代数式的值】 1．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）已知，则的值是（    ） A． B．1 C．2 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查代数式求值，原式添括号，然后利用整体思想进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 2．（23-24七年级上·四川泸州·期末）当时，整式的值等于，那么当时，整式的值为（    ） A． B．100 C． D．102 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键．先根据已知条件得到，进而得到，再根据当时进行求解即可． 【详解】解：当时，， 解得：， 当时，， 故选C． 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知多项式的值为2，则多项式的值为 . 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，利用整体代入思想是解答本题的关键． 【详解】解：由题可知，， ． 故答案为：． 4．（23-24七年级上·河南信阳·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，根据题中所求代数式与条件的关系，整体代入求值即可得到答案，熟练掌握整体代入法求代数式的值是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 故答案为：． 5．（2023七年级上·江苏·专题练习）已知式子的值是3，求式子的值． 【答案】5 【分析】若从已知条件出发先求出x的值，再代入计算，目前来说是不可能的．因此可把看作一个整体，采用整体代入法，则问题可迎刃而解． 【详解】解：， ， ． 【点睛】本题主要考查了求代数式的值，利用整体代入的方法解答是解题的关键． 6．（23-24七年级上·辽宁铁岭·期中）数学中，运用整体思想在求代数式的值时非常重要．例如：已知，则代数式． 请根据以上材料解答以下问题： (1)若整式的值是8，求整式的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据题意可得，即可求解； （2）根据即可整体代入求值． 【详解】（1）解：∵， ∴，即 ∴ （2）解： 【点睛】本题考查求代数式的值．掌握整体思想是解题关键． 【典型例题六 程序流程图与代数式求值】 1．（2023·重庆渝北·一模）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的运算．将每个选项计算即可． 【详解】A，计算结果为，此选项符合题意； B，计算结果为，此选项不符合题意； C，计算结果为，此选项不符合题意； D，计算结果为，此选项不符合题意． 故选：A． 2．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）按下面的程序计算：    若输入，则输出结果是（    ） A．151 B．256 C．501 D．756 【答案】D 【分析】当输入时计算的结果为，故返回第二次运算，得到输出得到结果． 【详解】解：第一次运算：当时，， 第二次运算：当时，， 故选D． 【点睛】本题考查程序问题，掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． 3．（22-23七年级下·河南郑州·阶段练习）如图，给你一个任意数，按下列程序进行计算 ．    【答案】 【分析】本题考查了列代数式；根据所给流程图列代数式并化简即可． 【详解】解：由图得，按所给程序进行计算为， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）根据如图所示的流程图计算，若输入x的值为，则输出y的值为 【答案】 【分析】本题考查的是代数式的求值，理解程序框图的含义是解本题的关键，本题把代入进行计算即可． 【详解】解：当时，， 故答案为： 5．（23-24七年级上·陕西西安·期中）如图，是一个“数值转换机”的示意图. (1)输出的结果用代数式表示为________； (2)计算当输入时，输出的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了代数式求值，列代数式．根据示意图正确列出代数式是解题的关键．首先根据“数值转换机”的示意图，逐步列出代数式并化简，最后表示输出结果的代数式，然后代入求值． 【详解】（1）解：根据“数值转换机”的示意图可知输出结果为：， 即， 故答案为：； （2）将代入中得： ， 当输入时，输出的值为． 6．（22-23七年级上·江西赣州·期中）如图是一个简单的数值运算程序． (1)用含x的代数式表示出运算过程； (2)当输入的x值为时，输出的值是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）的立方与的积减去的值，由此即可求解； （2）将代入计算即可求解． 【详解】（1）解：图示表示的意思是：的立方与的积减去的值， ∴代数式为：． （2）解：当时，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查流程中含有乘方的有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 【典型例题七 单项式的系数、次数】 1．（2024·上海金山·二模）单项式的系数和次数分别是（   ） A．和2 B．和3 C．2和2 D．2和3 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 根据单项式系数和次数的概念求解． 【详解】解：单项式的系数和次数分别是和3． 2．（23-24六年级下·全国·假期作业）的系数与次数分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的系数与次数的概念，掌握定义是解题的关键．单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．利用单项式系数和次数的概念求解即可． 【详解】解：的系数与次数分别为，， 故选：B． 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）单项式的系数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式的系数，掌握单项式的系数是解题的关键． 【详解】解：单项式的系数是． 故答案为：． 4．（23-24七年级·全国·假期作业）（1）单项式的系数是 ，次数是 ； （2）单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 / 7 1 4 【分析】本题考查了单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和． （1）根据单项式的概念解答即可； （2）根据单项式的概念解答即可． 【详解】解：（1）单项式的数字因数为系数，即系数是，字母的指数和为，即次数是7， 故答案为：，7； （2）单项式的数字因数1为系数，字母的指数和为，即次数是4， 故答案为：1，4． 5．（23-24六年级下·全国·假期作业）已知是一个六次单项式，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查的是单项式的次数，求解代数式的值，单项式中所有字母的指数和是单项式的次数，根据定义建立方程，再解方程后代入计算即可． 【详解】解：∵是一个六次单项式，， ∴， 解得：， 当时， 6．（23-24七年级上·甘肃白银·期中）根据题意列出单项式，并指出它们的系数和次数． (1)某产品前年的产量是n件，去年的产量是前年产量的m倍，则去年产量为多少？ (2)某班总人数为m人，女生人数是男生人数的，那么该班男生人数为多少？ 【答案】(1)去年产量为件，系数为1，次数为2 (2)该班男生有人，系数为，次数为1 【分析】（1）根据倍数关系用乘法列单项式，指出这个单项式的系数和次数即可； （2）写出表示男生人数的单项式，指出这个单项式的系数和次数即可； 【详解】（1）解：去年产量为件，系数为1，次数为2； （2）该班男生人数为人，系数为，次数为1 【点睛】本题考查了列代数式、单项式的系数和次数，理解题意列出代数式是解题的关键． 【典型例题八 单项式规律题】 1．（23-24七年级上·云南昆明·期末）按一定规律排列的单项式：，……，它的第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是单项式，根据题意找出规律是解答此题的关键．系数均为奇数，可用表示；字母和字母的指数可用表示． 【详解】解：依题意，得第n项为， 故选：A． 2．（23-24七年级上·广东珠海·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，……，则第7个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字的变化类、单项式．从三方面(符号、系数的绝对值、指数)总结规律，再根据规律进行解答便可． 【详解】解：通过观察知道： 符号的规律：都是负正交替出现，即第奇数个为负，第偶数个为正； 系数的绝对值的规律：第n个对应的系数的绝对值是2n． 指数的规律：第n个对应的指数是． ∴第n个单项式可表示为． ∴第7个单项式是： 故选：D． 3．（23-24七年级上·甘肃酒泉·期中）已知单项式a、、、，…按一定的规律排列，试写出第n个单项式 ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类、单项式．从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，再根据规律进行解答便可． 【详解】解：通过观察知道： 符号的规律：都是正号； 系数的绝对值的规律：第n个对应的系数的绝对值是n． 指数的规律：第n个对应的指数是n． ∴第n个单项式可表示为． 故答案为：． 4．（22-23七年级上·河北保定·期末）观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2020个单项式是 ． 【答案】2020 【解析】根据系数的规律：第n个对应的系数是2n-1．指数的规律：第n个对应的指数是n，即可求解． 【详解】根据分析的规律可知， 系数的规律：第n个对应的系数是2n-1．指数的规律：第n个对应的指数是n， 所以第2020个单项式是: (2020×2−1)x2020， 即4039x2020， 故答案为4039x2020． 【点睛】考查单项式，找出单项式系数以及次数的规律是解决问题的关键． 5．（23-24七年级上·全国·课堂例题）有一列单项式：． (1)写出第99个，第2024个单项式； (2)写出第个，第个单项式． 【答案】(1)第99个单项式为，第2024个单项式为 (2)第个单项式为，第个单项式为 【分析】（1）根据题意得出规律：系数是连续的整数，次数和系数相同，即可得出答案； （2）根据（1）的规律解答即可． 【详解】（1）根据题意，得：第99个单项式为，第2024个单项式为； （2）第个单项式为，第个单项式为． 【点睛】本题考查了整式的规律探寻，找到规律是解题的关键． 6．（23-24七年级上·江西上饶·阶段练习）观察下列单项式：写出第个单项式，为了解决这个问题，特提供下面的解题思路． (1)这组单项式的系数依次为多少？系数符号的规律是什么？系数绝对值规律是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)根据上面的归纳，你可以猜想出第个单项式是什么？ 【答案】(1)这组单项式的系数依次为，3，，7，…，，39，…；奇次项的系数符号为负号，偶此项的系数符号为正号；系数绝对值为： (2)这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数 (3) 【分析】此题主要考查了单项式的变化规律问题． （1）根据单项式系数的定义可写出单项式的系数；观察所给单项式，可直接得出系数符号的规律以及系数绝对值的规律； （2）观察所给单项式，可知次数的规律是从1开始的连续自然数； （3）根据系数符号的规律、系数绝对值的规律和次数的规律，总结即可． 通过观察，得出次数与系数的变化规律是解题关键． 【详解】（1）观察所给单项式可知：这组单项式的系数依次为，3，，7，…，，39，…；奇次项的系数符号为负号，偶此项的系数符号为正号；系数绝对值为：； （2）这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数； （3）根据系数符号的规律、系数绝对值的规律和次数的规律可知，第个单项式是：． 【典型例题九 多项式的项、项数或次数】 1．（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）多项式是（    ） A．四次三项式 B．五次三项式 C．三次四项式 D．三次五项式 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式次数和项的定义，几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此求解即可． 【详解】解：多项式是五次三项式， 故选：B． 2．（23-24七年级上·新疆喀什·阶段练习）关于多项式，下列说法中正确的是（    ） A．它的系数是1 B．它的次数是3 C．它的常数项是1 D．它的项是，b 与1 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式项及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． 【详解】解：多项式的次数是3，常数项是，它的项是，b 与，多项式没有系数的说法， ∴四个选项中，只有B选项说法正确，符合题意， 故选：B． 3．（23-24六年级下·黑龙江大庆·期中）多项式最高次项的系数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式．根据多项式的意义，即可解答． 【详解】解：多项式的最高次项的系数是， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）多项式，它是 次 项式，常数项为 ． 【答案】 六 四 【分析】根据多项式的项数：“多项式中单项式的个数”，次数：“最高项的次数”，常数项：“不含字母因式的项”，进行作答即可． 【详解】解：多项式是六次四项式，常数项为； 故答案为：六、四、． 5．（23-24六年级上·山东济南·期中）多项式是关于的三次三项式，并且二次项系数为1，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的相关定义，掌握多项式的每一项都有次数，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数．根据题意得出，即可解答． 【详解】解：∵多项式是关于的三次三项式，二次项系数为1， ∴， 解得：， ∴． 6．（23-24七年级上·河南新乡·期中）对于多项式 (1)若此多项式是关于的三次三项式，求的值． (2)若此关于的多项式不含常数项，求的值． 【答案】(1) (2)1或 【分析】此题主要考查了多项式的定义及整式的加减，正确把握其次数与系数是解题关键． （1）利用多项式的定义进行解答即可； （2）关于的多项式不含常数项，得出，再进行计算即可解答． 【详解】（1）由题意可知 所以 （2）由题意可知， ， 所以或． 【典型例题十 多项式系数、指数中字母求值】 1．（23-24七年级上·云南昭通·期末）已知关于的多项式不含三次项和一次项，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式的项和次数．根据题意可知三次项和一次项的系数为，据此求出与的值，再代入进行解题即可． 【详解】解：的多项式不含三次项和一次项， ，， 解得，． 则． 故选：B． 2．（23-24九年级上·广西防城港·期中）方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，，9 C．2，6，9 D．2，， 【答案】D 【分析】根据一元二次方程相关定义确定二次项系数、一次项系数、常数项即可． 【详解】解：方程的二次项系数为2，一次项系数为、常数项为， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的知识，熟记一元二次方程的有关概念是解题关键． 3．（22-23七年级上·广西防城港·期末）若多项式是一个关于，的四次四项式，则的值为 ． 【答案】2 【分析】根据多项式的次数和项数的定义，即可求解． 【详解】解：∵多项式是一个关于，的四次四项式， ∴且， 解得：， 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了多项式，熟练掌握一个多项式有几项就叫几项式，次数最高的项的次数是几就叫几次多项式是解题的关键． 4．（23-24七年级上·全国·课堂例题）如果多项式是个三次多项式，那么 ． 【答案】2 【分析】根据多项式的次数的定义，即可进行解答． 【详解】解：∵多项式是个三次多项式， ∴，解得：， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了多项式及相关概念，解题的关键是掌握多项式项数、次数等相关概念．多项式的每一项都有次数，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数． 5．（23-24六年级下·全国·假期作业）已知多项式是关于x，y的六次四项式，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查了多项式的次数和项数．单项式的个数是多项式的项数，单项式的最高次项的次数是多项式的次数，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵多项式是关于x，y的六次四项式， ∴，， 即，， ∴． 6．（22-23七年级上·陕西渭南·期中）若多项式是一个四次三项式，且n是最高次项的系数的倒数，求的值． 【答案】 【分析】根据多项式的次数和最高次项的系数求出m，n的值，代入代数式求值即可． 【详解】解：∵多项式是一个四次三项式， ∴， ∴， ∵n是最高次项的系数的倒数， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了多项式的次数和系数，掌握多项式中，次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键． 【典型例题十一 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列】 1．（2023七年级上·全国·专题练习）将代数式按y的降幂排列是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据y的指数从大到小的方式排列即可． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．此题还要注意分清按x还是y的降幂或升幂排列． 2．（22-23七年级上·河南南阳·期中）将多项式按的降幕排列为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由多项式按某一字母降幂排列的概念，即可解决问题． 【详解】解：多项式按的降幂排列为：， 故选：C． 【点睛】本题考查多项式的有关概念，关键是掌握：把一个多项式按某一字母的指数从高到低的顺序排列起来，叫把多项式按这个字母降幂排列． 3．（23-24七年级上·上海松江·期末）将按字母a升幂排列是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式．根据多项式的次数进行升幂排列即可． 【详解】解：将按字母升幂排列是， 故答案为：． 4．（22-23七年级上·四川眉山·期中）将多项式按的降幂排列为 ． 【答案】 【分析】此题考查了将多项式进行按某字母降幂排列的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．按照整式降幂排列的知识进行改写即可． 【详解】解：将多项式按降幂排列为， 故答案为：． 5．（23-24七年级上·吉林长春·期中）把多项式重新排列： (1)按字母的降幂排列； (2)按字母的升幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察x的指数，按x的指数从大到小排列，即可； （2）观察y的指数，按y的指数从小到大排列，即可． 【详解】（1）解：按字母的降幂排列：； （2）解：按字母的升幂排列：． 【点睛】本题主要考查多项式的相关概念，掌握多项式的升幂或降幂排列的意义，是解题的关键． 6．（23-24七年级上·全国·课堂例题）先阅读下列材料，然后解答问题． 材料一：将多项式按某个字母（如）的指数从大到小（或从小到大）依次排列，叫做这个多项式按这个字母（如）的降幂（或升幂）排列．如：把多项式按字母的降幂排列为． 材料二：多项式中含有项，项，常数项，按的降幂排列缺项，我们可以补入作为的二次项，使原式成为的形式，这样的做法叫做补入多项式的缺项． 解答下列问题： (1)把多项式按字母的升幂排列； (2)请补入多项式的缺项，并按的降幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据y的指数从小到大的方式排列即可； （2）根据题意先补入多项式的缺项，再根据x的指数从大到小的方式排列即可． 【详解】（1）解：把多项式按字母的升幂排列为：； （2）由题意得：补入多项式的缺项后为， 再按的降幂排列为：． 【点睛】本题考查了多项式的排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．此题还要注意分清按x还是y的降幂或升幂排列． 【典型例题十二 整式的判断】 1．（23-24七年级上·河南许昌·期末）在代数式，，，，，中，是整式的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查了整式，掌握单项式和多项式统称为整式，分母中含有字母的式子是分式不是整式是解题的关键． 根据单项式和多项式统称为整式，可得答案． 【详解】解：是整式的有，，，，所以有4个， 故选：B． 2．（23-24七年级上·吉林松原·阶段练习）下列式子中：，，，，，整式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查了整式的概念，根据整式的定义：单项式和多项式统称为整式，即可求解． 【详解】解：整式有，，，共4个． 故选：C． 3．（23-24七年级上·吉林白山·期中）下列各式：①；②；③；④；⑤中，整式的个数有 个． 【答案】2 【分析】根据单项式和多项式统称整式，进行判断即可． 【详解】解：①是单项式，是整式；②是等式，不是整式；③是多项式，是整式；④是不等式，不是整式；⑤分母中含有字母，不是整式， 综上：是整式的是①③，共2个； 故答案为：2． 4．（23-24七年级上·陕西汉中·期中）在代数式①；②；③；④2021；⑤；⑥中，是整式的有 ．（填序号） 【答案】②③④⑥ 【分析】此题主要考查了整式，正确掌握整式的定义是解题关键．根据单项式和多项式统称为整式，进而得出答案． 【详解】解：①；②；③；④2021；⑤；⑥中，是整式的有②；③；④2021；⑥． 故答案为：②③④⑥． 5．（22-23七年级·上海·假期作业）在代数式，0，中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ 【答案】单项式：，，0；多项式：，；整式：，，，0， 【分析】整式是代数式的一部分，在代数式中可以包含加，减，乘，除，乘方五种运算，但在整式中除数（分母）不能含有字母，整式分为单项式和多项式． 【详解】解：分母中含有字母，不属于整式， 单项式：，，0； 多项式：，； 整式：，，，0，． 【点睛】本题主要考查单项式、多项式和整式的概念．掌握整式是分母中不能含字母的代数式是解决此题的关键． 6．（22-23七年级上·山东滨州·期末）简答题：在人教版七年级上册第二章《整式的加减》中，我们主要研究了整式的加法和减法，请类比数的运算，你认为我们在以后的学习中还会研究整式的什么运算？并举例说明（只列式,至少举出三个）。 【答案】将会研究整式的乘法、除法、乘方；举例见解析 【分析】根据类比数的运算推断即可得出结论． 【详解】将会研究整式的乘法、除法、乘方；举例（根据答案酌情给分）． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解答本题的关键． 【典型例题十三 数字类规律探索】 1．（2024·云南昭通·一模）按一定规律排列的多项式：，第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数式的变化规律．根据题意，把多项式拆成两个单项式，再找出每个单项式的变化规律即可． 【详解】解：根据题意，多项式的第一项依次是 多项式的第二项依次是 故第个多项式是． 故选：B． 2．（2024·云南昆明·一模）按一定规律排列的多项式： 第n个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探究，找出次数和系数变化的规律是解答本题的关键．根据所给多项式次数和系数总结出次数和系数变化的规律求解即可． 【详解】解：多项式的x项的次数依次为1，2，3，…， 第n个多项式的x项次数为n， 多项式的y项的系数依次为1，3，5，…， 第n个多项式的y项系数为， 第n个多项式为， 故选：B． 3．（23-24七年级上·广东惠州·期末）根据整数指数幂的意义有：，，……根据这些等式的规律，试在 的括号中填上适当的数字使之成立． 【答案】 【分析】本题考查了数式中的规律问题，解决这类问题的关键是找出式子中变化的数据与等式序号之间的关系． 【详解】解：∵第1个等式为：； 第2个等式为：； 第3个等式为：； 第4个等式为：； 第n个等式即等式的序号为n，根据等式中被减数的指数比等式的序号大1，减数与差的指数与序号相同，其余的数值都不变可得， 第n个等式为：． ∴为． 4．（24-25七年级上·全国·假期作业）观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3个数，你能说出第10个数、第105个数、第2015个数吗？ （1）一列数：1，，3，，5，， ， ， ，…； （2）一列数：，，，，，， ， ， ，…. 【答案】 7 9 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数，探索出数的排列规律是解题的关键． （1）通过观察可得第个数是，再分别求解即可； （2）通过观察可得第奇数个数为，第偶数个数为，由此求解即可． 【详解】解：（1），，3，，5，，7，，9，， 第个数是， 第10个数是，第105个数是105，第2015个数是， 故答案为：7，，9； （2），，，，，，，，，， 第奇数个数为，第偶数个的数为， 第10个数，第105个数是，第2015个数是， 故答案为：，，． 5．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是，如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数依此类推， (1)__________________ (2)求的值？ 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了与有理数运算相关的规律题型，找到规律是解题的关键． （1）根据差倒数的定义求出，，； （2）根据（1）的结论，可发现每3个数一个循环，且3个数的和为，依照规律即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，， ， ， ， 故答案为：，，； （2）解：∵，，，，…， 根据以上数据发现：3个数一个循环， 3个数的和为：， ∵， ∴第10个数是， ∴． 6．（23-24六年级上·山东烟台·期中）设是不为1的数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数为，的差倒数为，已知，是的差倒数，是的差倒数……，依此类推 (1)试求，和的值； (2)请直接写出的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查数字的变化规律题，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字变化的特点． （1）根据题意可以写，和的值； （2）根据题意可以写出前几个数，从而可以发现数字的变化规律，进而求得的值． 【详解】（1）解：由题意可得， （2）由（1）可得数字的变化规律为每三个一循环， 【典型例题十四 图形类规律探索】 1．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第个图形需棋子（    ）枚 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形规律问题 ，旨在考查学生的抽象概括能力，根据图示确定一般规律即可求解． 【详解】解：由图可知：第个图形需棋子：（枚）； 第个图形需棋子：（枚）； 第个图形需棋子：（枚）； …… ∴第个图形需棋子：（枚）； 故选：C． 2．（23-24七年级上·浙江·期末）中国古代算筹计数法可追溯到公元前5世纪，算筹（小棍形状的记数工具）有纵式和横式两种摆法（如图）．计数方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横这样纵横依次交替，零以空格表示，则“”所表示的数是（   ） A．402 B．411 C．398 D．389 【答案】C 【分析】本题考查算筹计数，掌握已知图示是解题关键．由对应已知图示，可直接得出答案． 【详解】解：由已知得：所表示的数分别为3、9、8， 所以所表示的数为398， 故选：C． 3．（22-23七年级上·山东青岛·阶段练习）用同样大小的黑色棋子按如图表示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第100个图形需棋子 枚． 【答案】301 【分析】认真观察给出的第一个图，第二个图，第三个图，试猜想第个图，找到与点数的关系，再按照这个规律求出第100个图所需棋子枚数． 【详解】解：第一个图，点数4， 第二个图，点数， 第三个图，点数， 猜想 第四个图，点数， 第五个图，点数， ． 第个图，点数， 第100个图形需棋子：（枚． 故答案为：301． 【点睛】本题考查了图形变化，解题的关键是读懂题意，能发现变化中的规律，利用规律解决问题． 4．（22-23七年级上·辽宁葫芦岛·期末）按如下规律摆放五角星： 第个图案有五角星 颗． 【答案】 【分析】根据后一幅图和前一幅图的规律发现，从第二幅图开始依次增加3颗，利用规律求出第五幅图比第四幅图多3颗，求出即可． 【详解】解：第一幅图五角星4颗； 第二幅图五角星7颗； 第三幅图五角星颗； 第四幅图五角星颗； 发现每次增加三颗五角星， 所以第n幅图五角星颗； 故答案为：． 【点睛】本题考查了数据观察、分析；能够发现数据之间的变化规律是解题的关键． 5．（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）如图，用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案．从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个六边形和两个三角形． (1)求第5个图案中三角形的个数； (2)求第n个图案中三角形的个数．（用含n的代数式表示） 【答案】(1)第5个图案中三角形的个数是12个； (2)第n个图案中三角形的个数是个． 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现三角形的个数依次增加2是解题的关键． （1）根据前三个图形中三角形的个数，发现规律即可解决问题； （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 第1个图案中三角形的个数为：； 第2个图案中三角形的个数为：； 第3个图案中三角形的个数为：； ， 所以第个图案中三角形的个数为：． 当时， （个， 即第5个图案中三角形的个数为12个； （2）解：由（1）知， 第个图案中三角形的个数为个． 6．（22-23六年级下·上海静安·期末）如图，从点O引出的射线（任两条不共线）条数与角的总个数有如下关系：从点O引出两条射线形成1个角；如图1从点O引出3条射线共形成3个角；如图2从点O引出4条射线共形成6个角；如图3从点O引出5条射线共形成10个角． (1)观察操作：当从点O引出6条射线共形成有___________个角． (2)探索发现：如图4当从点O引出n条射线共形成____________个角．（用含n的式子表示） 【答案】(1)15； (2) 【分析】本题考查了角的概念，列代数式，规律型：图形的变化类，从数字找规律是解题的关键． （1）依次列出即可从数字找规律即可解答； （2）利用第（1）找到的规律即可解答； 【详解】（1）从点O引出3条射线共形成3个角，， 从点O引出4条射线共形成6个角，， 从点O引出5条射线共形成10个角，， 从点O引出6条射线共形成的角的个数有：， 故答案为：15； （2）由（1）得：从点O引出n条射线共形成的角的个数为： 故答案为． 【变式训练1 用代数式表示式】 1．（2024·河北邢台·模拟预测）x表示一个两位数，把6写到x的右边组成一个三位数，则表示这个三位数的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 根据题意，可知新组成的数字，6在个位上，x扩大10倍，从而可以得到表示这个三位数的式子为，本题得以解决． 【详解】解：∵6写到x的右边组成一个三位数， ∴这个三位数是， 故选：B． 2．（2024·河南驻马店·三模）为加快人工智能等新技术赋能，打造一批有竞争力的平台和企业，政府部门安排设备更新计划．经市场调研，某企业更新生产设备后，生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产x件产品，则更新设备后每天生产 件产品（用含x 的式子表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，根据更新生产设备后，生产效率比更新前提高了列式求解即可． 【详解】解：由题意得，更新设备后每天生产件产品， 故答案为：． 3．（2024·安徽·模拟预测）春节期间，聪聪两次去超市购买A，B两种不同单价的坚果，第一次购买A种坚果的质量比B种坚果的质量多，第二次购买B种坚果的质量是A种坚果质量的4倍，第二次购买坚果的总质量比第一次购买坚果的总质量多． (1)设第一次购买B种坚果的质量为x克，请用含x的代数式填表： A种坚果质量/克 B种坚果质量/克 总质量/克 第一次 x 第二次 ___________ ___________ ___________ (2)若第二次购买坚果的总费用比第一次购买坚果的总费用少（两次购买A，B两种坚果的单价不变），求B种坚果与A种坚果单价的比值． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查列代数式. （1）先求出第二次购买坚果的总质量，再根据第二次购买B种坚果的质量是A种坚果质量的4倍，可得出B种坚果质量和A种坚果质量． （2）令A，B两种坚果的单价分别为a元和b根据题意建立关于a，b的等式即可解决问元题． 【详解】（1）解：∵第二次购买坚果的总质量比第一次购买坚果的总质量多， ∴第二次购买的坚果质量为∶(克)； 又∵第二次购买B种坚果的质量是A种坚果质量的4倍， ∴第二次购买的A种坚果质量为∶ (克)， 第二次购买的B种坚果质量为∶(克)， 故答案为∶ ；； （2）设A种坚果的单价为a元，B种坚果的单价为b元， 则， 整理得：， 故B种坚果与A种坚果单价的比值是． 【变式训练2 用代数式表示数、图形的规律】 1．（23-24七年级上·山东德州·期末）将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形，…，如此下去，则第2020个图中共有正方形的个数为（    ）    A．2021 B．2020 C．6051 D．6058 【答案】D 【分析】本题主要考查图形规律，根据图示找出每个图示中正方形的个数，得出规律为：正方形的个数是，由此即可求解，理解图示，掌握有理数的混合运算，整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：第一个图示中，正方形的个数为； 第二个图示中，正方形的个数为； 第三个图示中，正方形的个数为； 第四个图示中，正方形的个数为； 第个图示中，正方形的个数为， ∴第个图示中，正方形的个数为：， 故选：． 2．（23-24七年级上·吉林长春·期中）如图，长方形的长为，宽为用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】利用长方形的面积减去一个圆的面积即可． 【详解】解：阴影部分的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式，明确题意，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 3．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）解答下列各题 (1)如图，在中，以为顶点引射线，填表： 内射线的条数 角的总个数 ______ ______ ______ _____ (2)若内射线的条数是，请用关于的式子表示出上面的结论． (3)若内有射线条数是，则角的总个数为多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)2051325 【分析】本题主要考查的是角的概念，规律探究，掌握其规律是解题的关键．有公共顶点的n条射线，一共可构成个角． （1）若内射线的条数是n，可构成个角，依据规律回答即可； （2）若内射线的条数是n，可构成个角，依据规律回答即可； （3）把2020代入求解即可． 【详解】（1）解：填表如下： 内射线的条数 1 2 3 4 角的总个数 3 6 10 15 （2）解：当时，角总个数为：， 当时，角总个数为：， 当时，角总个数为：， 当时，角总个数为：， 当有n条射线时，角总个数为： ； （3）解：当内有射线条数是2024时， 角总个数为：（个）． 【变式训练3 代数式表示的实际意义】 1．（23-24七年级上·河南周口·期中）某商店举办促销活动，促销的方法是将原价元的衣服以元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是（    ） A．原价减去5元后再打6折 B．原价打6折后再减去5元 C．原价减去5元后再打4折 D．原价打4折后再减去5元 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式的实际应用，表示原价打六折后的售价，则表示原价在原价打六折后的基础上再降价5元，据此可得答案． 【详解】解：∵表示原价打六折后的售价， ∴表示原价在原价打六折后的基础上再降价5元， 故选B． 2．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）某工程队要修路，计划平均每天修，则计划完成此项工程的时间为 天． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，根据题意列出代数式是解题的关键． 根据工作时间=工作量÷工作效率，结合代数式的书写规则求解即可． 【详解】∵工程队要修路，计划平均每天修， ∴划完成此项工程的时间为：天， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）写出下列各代数式的意义： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)的2倍与3的差 (2)与3的差的2倍 (3)，两数的平方和 【分析】本题主要考查代数式的意义，熟练掌握代数式的概念是解题的关键．根据代数式的实际意义可直接进行求解． 【详解】（1）解：表示的意义为：的2倍与3的差； （2）解：表示的意义为：与3的差的2倍； （3）解：表示的意义为：，两数的平方和． 【变式训练4 已知字母的值，求代数式的值】 1．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）已知摄氏温度与华氏温度之间存在对应关系（为常数），下表的数据满足该对应关系，则的值为（    ） 摄氏温度 0 ．．． 华氏温度 ．．． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了已知字母的值 ，求代数式的值，根据表格数据求出的值是解题关键． 【详解】解：由表格数据可知：当时， ∴ ∴ 将代入得： 故选：D 2．（23-24七年级上·河南安阳·期末）请写出一个含字母的整式，且满足当时，该整式的值等于3．你写的整式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查代数式求值，写出一个含x的整式，使得时，该整式的值等于3即可． 【详解】解：当时，，符合要求， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）若，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查非负数的性质．根据非负数的性质，可得，，求出a、b的值，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 【变式训练5 已知式子的值，求代数式的值】 1．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）若互为相反数，则的值为（  　） A．2 B．0 C． D．0或2 【答案】A 【分析】本题考查了相反数及代数式求值，根据题意得，再代入即可求解，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：依题意得：， ， 故选A． 2．（22-23七年级上·湖南岳阳·期末）若代数式的值为2，则代数式的值为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了数式求值，正确对代数式进行变形成为解题的关键． 由题意可得即，再由，然后将整体代入即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为11． 3．（23-24七年级上·吉林长春·期中）【教材呈现】下题是华师版七年级上册数学教材第117页的部分内容． 17．代数式的值为9，则代数式的值为______． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下： 由题意得，则有， ．所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则______． （2）若代数式的值为15，求代数式的值． 【拓展应用】若，则代数式的值为______． 【答案】[方法运用]（1）；（2）；[拓展应用] 【分析】本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键； [方法运用]（1）先由可得，然后整体代入计算即可； （2）先由可得，由可得，然后整体代入计算即可； [拓展应用]先由可得、，然后把可得化成，然后整体代入计算即可． 【详解】解：[方法运用] （1）由可得， 则． 故答案为：． （2）由可得， 则． [拓展应用]由、可得、， 则． 故答案为：． 【变式训练6 程序流程图与代数式求值】 1．（23-24七年级上·山东济宁·期中）如图是一个计算程序，若输入的值为，则输出的结果应为（    ） A． B．0 C．10 D．22 【答案】A 【分析】本题考查程序流程图与代数式求值，正确确定代数式是解题关键．将代入程序流程图所表达的代数式计算即可． 【详解】解：由图可知，所求代数式为， 将代入，得：． 故选A． 2．（23-24七年级上·山东济南·期中）按照如图的程序计算，若开始输入的值为，则最后的输出结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查流程图与代数式求值．将的值代入，求值即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴最后的输出结果是； 故答案为：． 3．（23-24七年级上·陕西汉中·期中）下图是“数值转换机”的示意图． (1)当输入，时，输出的数是多少？ (2)当输入，时，输出的数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查流程图与代数式求值． （1）根据流程图的流程，列出代数式，代值计算即可； （2）根据流程图的流程，列出代数式，代值计算即可． 【详解】（1）解：由流程图列出代数式为：， 当，时，原式； （2）当，时，原式． 【变式训练7 单项式的系数、次数】 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）关于单项式的叙述正确的是（    ） A．系数是 B．系数是 C．次数是2次 D．次数是4次 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的次数与系数，注意单项式的系数包括前面的符号，它是除字母因数外的部分，次数则只与字母的指数有关．数与字母的积称为单项式，其中的数称为单项式的系数，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数，根据单项式的系数与次数的含义判断即可． 【详解】解：单项式的系数是，次数是3次，故选项B正确； 故选：B． 2．（2024·江苏南通·二模）若单项式的系数是m，次数是n，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式有关概念，正确把握定义是解题关键．根据单项式的次数与系数的定义分别得出m，n的值，进而得出答案． 【详解】解：∵单项式的系数是m，次数是n， ∴，， ∴， 故答案为： 3．（22-23七年级上·广东东莞·期中）若是关于x，y的单项式，且系数为，次数是3，求a和b的值． 【答案】，或 【分析】本题主要考查单项式次数和系数的问题，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x，y的单项式，且系数为，次数是3， ∴， ∴ ∴或． 【变式训练8 单项式规律题】 1．（22-23九年级上·云南昭通·期中）观察下列按一定规律排列的n个数：x，，，，……，按照上述规律，第2022个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找出系数和次数的规律，然后写出第n个单项式即可． 【详解】解：根据题意可得： 系数依次为连续的奇数，次数依次为连续的正整数， 则第n个单项式为：， 当时，， 故选：C． 【点睛】此题考查单项式问题，分别找出单项式的系数和指数的规律是解决此类问题的关键． 2．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）观察下面一列式子，按规律在横线上填写适当的式子，则第n个式子为 ． 【答案】 【分析】观察各单项式的系数、对应字母的次数，即可找到一般规律求解． 【详解】解：观察可知：奇数项系数为正，偶数项系数为负，故则第n个式子的系数为： 关于的部分依次为：故则第n个式子关于的部分为： 关于的部分依次为：故则第n个式子关于的部分为： 则第n个式子为： 故答案为： 【点睛】本题考查单项式中的规律问题．旨在考查学生的抽象概括能力． 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）观察下列单项式：，．回答下列问题： (1)这组单项式的系数的规律是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)根据上面的归纳，你可以猜想出第（为正整数）个单项式是什么吗？ (4)根据你的猜想，请写出第2022，2023个单项式． 【答案】(1)这组单项式的系数的符号的规律是，系数的绝对值的规律是 (2)这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数 (3)第（为正整数）个单项式是 (4)第2022个单项式是，第2023个单项式是 【分析】（1）根据单项式系数的含义进行求解，再观察其绝对值的规律即可； （2）观察这组单项式的次数的变化，从而可求解； （3）结合（1）（2）进行分析即可； （4）根据（3）进行求解即可． 【详解】（1）解：这组单项式的系数的符号的规律是，系数的绝对值的规律是． （2）解：这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数． （3）解：第（为正整数）个单项式是． （4）解：第2022个单项式是，第2023个单项式是． 【点睛】本题主要考查探究单项式的规律，能够通过观察题中的单项式找出规律是解题关键． 【变式训练9 多项式的项、项数或次数】 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（   ）． A．x的次数是0 B．单项式的系数是 C．是二次三项式 D．是三次单项式 【答案】D 【分析】本题考查了单项式及多项式的定义，解题的关键是牢记单项式的系数、次数及多项式的次数、项数． 根据多项式及单项式的有关定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】对于A选项，x的系数是1，此选项说法错误； 对于B选项，单项式的系数是，此选项说法错误； 对于C选项，是三次三项式，此选项说法错误； 对于D选项，是三次单项式，此选项说法正确； 故选：D． 2．（23-24七年级上·河南新乡·期末）一个关于字母的二次三项式，它的常数项是，请写出一个满足条件的多项式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了多项式的性质，根据条件及多项式的项及次数的定义可以得出所求的多项式．根据题意写出满足条件的多项式即可． 【详解】解：由题意得：该多项式为：． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）如图（图中长度单位：m），求图中阴影部分的面积，并指出这个多项式的项和次数． 【答案】；项依次为， ，；次数是． 【分析】本题考查了列代数式，多项式的定义；根据三个长方形的面积相加，进行计算，即可求解． 【详解】解：阴影部分的面积为 项依次为， ，；次数是． 【变式训练10 多项式系数、指数中字母求值】 1．（23-24七年级上·河南洛阳·阶段练习）如果是关于a的二次三项式，那么m、n满足的条件是（    ） A． B． C．，n为大于3的整数 D． 【答案】D 【分析】根据二次三项式的定义，可知多项式的最高次数是二次，共有三项，据此列出n的关系式，从而确定m、n满足的条件． 【详解】解：∵多项式是关于a的二次三项式， ∴且， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次三项式的定义：一个多项式含有几项，是几次就叫几次几项式．注意一个多项式含有哪一项时，哪一项的系数就不等于0． 2．（23-24七年级上·辽宁大连·期中）多项式是四次三项式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查多项式的次数：“最高项的次数”，项数：“单项式的个数”，根据相关定义，进行求解即可． 【详解】解：∵多项式是四次三项式， ∴， ∴； 故答案为：3． 3．（22-23七年级上·湖南邵阳·期中）已知关于x的多项式是二次二项式． (1)求k的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用二次二项式的定义解答即可； （2）将的值代入，利用有理数的乘方的意义计算即可． 【详解】（1）解：∵关于x的多项式是二次二项式， ∴， ∴； （2）解：把代入得： ． 【点睛】本题主要考查了求代数式的值，多项式的意义，有理数的乘方的意义，利用二次二项式的定义求得k值是解题的关键． 【变式训练11 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列】 1．（22-23七年级上·福建泉州·期末）把多项式按a的降幂排列，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式的降幂排列．根据要求进行排列即可． 【详解】解：把多项式按a的降幂排列为：， 故选：B． 2．（23-24七年级下·北京房山·期中）把多项式按字母x降幂排列为 【答案】 【分析】本题考查了多项式，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 【详解】解：多项式按字母x降幂排列为， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）将下列多项式按字母的降幂排列． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据降幂排列的概念，将多项式的各项按的指数由大到小排列可得； （2）根据降幂排列的概念，将多项式的各项按的指数由大到小排列可得． 【详解】（1）解：按字母的降幂排列：． （2）解：按字母的降幂排列：． 【点睛】本题考查了多项式的降幂排列，熟练掌握多项式的降幂排列是解题的关键． 【变式训练12 整式的判断】 1．（22-23七年级上·黑龙江·期末）代数式，0.5中整式的个数（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】 此题主要考查了整式，正确把握整式的定义是解题关键．整式的定义：单项式和多项式统称为整式．直接利用整式的定义得出答案． 【详解】解：根据整式的定义，代数式，0.5中，整式有：0.5，共有4个． 故选：B 2．（22-23七年级上·吉林松原·期中）下列式子0，，，，中，其中整式有 个． 【答案】3 【分析】根据单项式和多项式统称整式，可得答案． 【详解】解：0，，是整式，共有3个， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了整式，整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法． 3．（22-23七年级上·安徽六安·阶段练习）对下列式子进行分类． ． 单项式：（                       ）； 多项式：（                       ）； 整式：（                         ）． 【答案】，，，；，，；，，，，，， 【分析】单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式． 多项式：若干个单项式的代数和组成的式子．多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．不含字母的项叫做常数；整式：单项式和多项式统称为整式． 【详解】单项式：（，，，） 多项式：（，，） 是整式：（，，，，，，） 【点睛】本题考查整式、单项式、多项式的概念，熟练掌握相关的概念是解题的关键． 【变式训练13 数字类规律探索】 1．（23-24九年级上·辽宁锦州·阶段练习）观察元素原子结构示意图的规律，则某元素原子结构的原子核中应填的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字规律． 通过观察三种原子结构示意图的电子分布规律发现原子核外电子的电子数之和等于原子核中的数字，据此即可解答． 【详解】解：由三种原子结构示意图可知：原子核外电子排布为第一层2个，第二层8个，三个电子层的电子数之和等于原子核中的数字． 故：该元素原子结构的原子核中数字， 故选C． 2．（2024七年级·全国·竞赛）观察：则在第 组（从左往右数依次为第1，2，3，…组）． 【答案】 【分析】本题考查了数字规律问题，旨在考查学生的抽象概括能力． 【详解】解： 是第个奇数， ∴第个奇数在第组，即在第组． 故答案为： 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解：小华是一个勤奋好学的学生，常常通过书籍、网络等渠道主动学习各种知识．下面是她从网络搜到的两位数乘11的速算法，其口诀是：“头尾一拉，中间相加，满十进一”．例如：①．计算过程：24两数拉开，中间相加，即，最后结果264；②，计算过程：68两数拉开，中间相加，即，满十进一，最后结果748 (1)计算： ①__________， ②_____________； (2)若某一个两位数十位数字是，个位数字是，将这个两位数乘11，得到一个三位数，则根据上述的方法可得，该三位数百位数字是_______，十位数字是________，个位数字是_______；（用含a、b的式子表示） 【答案】(1)①；②； (2)a，，b； 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）根据口诀：“头尾一拉，中间相加，满十进一”，即可求解； （2）由（1）中两位数十位数字是a，个位数字是b，将这个两位数乘，得到一个三位数即可得到结果． 【详解】（1）解：①，计算过程：两数拉开，中间相加，即，最后结果； ②，计算过程：两数拉开，中间相加，即，满十进一，最后结果； 故答案为：①；②； （2）解：某个两位数十位数字是a，个位数字是b（）， 则根据数拉开，中间相加得到：百位数字是：a，十位数字是，个位数字是：b； 故答案为：a，，b． 【变式训练14 图形类规律探索】 1．（2024·重庆·二模）下列图形都是由边长相等且面积为1的等边三角形按一定的规律组成，其中，第①个图形面积为1，第②个图形面积为4，第③个图形面积为9，…，则第⑩个图形中三角形的个数是（　　） A．81 B．100 C．99 D．101 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的规律，通过已有图形发现规律成为解题的关键． 先根据已有图形归纳规律，然后再运用规律即可解答． 【详解】解：第①个图有个三角形， 第②个图形有个三角形， 第③个图形有个三角形， … 第⑩个图形有个三角形． 故选B． 2．（2024八年级·全国·竞赛）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形，接着把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，再把面积为一的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去．试利用图形揭示的规律计算： ．（n为正整数） 【答案】 【分析】本题考查了图形的规律，找出规律即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ 故答案为：． 3．（2023七年级上·全国·专题练习）如图，从点O引出的射线（任两条不共线）条数与角的总个数有如下关系：从点O引出两条射线形成1个角；如图1从点O引出3条射线共形成3个角；如图2从点O引出4条射线共形成6个角；如图3从点O引出5条射线共形成10个角； (1)观察操作：当从点O引出6条射线共形成有 个角； (2)探索发现：如图4当从点O引出n条射线共形成 个角；（用含n的式子表示） (3)实践应用：8支篮球队进行单循环比赛（参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），总的比赛场数为 场．如果n支篮球队进行主客场制单循环赛（参加的每个队都与其它所有队各赛2场）总的比赛场数是 场． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】考查了数角的个数、归纳总结规律以及迁移应用规律的能力，根据题意总结规律和迁移应用规律是解答本题的关键． （1）观察图形可知， 2条射线组成1个角，3条射线就可以组成个角，4条射线可以组成个角，依此可得6条射线组成角的个数是，然后计算即可； （2）根据（1）的规律可知：n条射线组成角的个数是，然后计算即可； （3）将每只球队当作一条射线，每场单循环赛当作一个角，然后利用（2）的规律解答即可； 【详解】（1）解：观察图形可知，2条射线组成1个角，3条射线就可以组成个角， 4条射线可以组成个角， 依此可得6条射线组成角的个数是， 故答案为： （2）解：根据（1）的规律可知：n条射线组成角的个数是； 故答案为： （3）解：将每只球队当作一条射线，每场单循环赛当作一个角，所以8支篮球队进行单循环比赛相当于8条射线可以组成的角，即比赛场数； 如果n支篮球队进行主客场制单循环赛（参加的每个队都与其它所有队各赛2场）总的比赛场数是． 故答案为：， 1．（2024·河北·一模）数学老师给所教的名同学各买了一件相同的毕业纪念礼物，扫码支付了元，则每件礼物的价格可表示为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式．理解题意是解题的关键． 由题意知，每件礼物的价格可表示为元，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，每件礼物的价格可表示为元， 故选：A． 2．（2024·辽宁锦州·二模）若，则整式的值是（    ） A． B．3 C．5 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了整体思想求代数式的值．将变形为，再将整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B 3．（23-24七年级上·重庆北碚·期末）把多项式按x的升幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．根据x的次数从小到大排列即可． 【详解】解：多项式按x的升幂排列为． 故选C． 4．（23-24七年级上·四川自贡·阶段练习）将一列有理数，，，，，，，如图所示有序排列，根据图中的排列规律可知：“峰1”中峰顶的位置（的位置）是有理数，那么，“峰6”中的位置是有理数（ ），应排在、、、、中的位置（  ），其中两个填空依次为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了图形的数字规律，根据相邻两峰的差值找出峰顶数字的循环规律，将峰6代入求值即可，再求出离最近的峰顶数字即可解答； 【详解】解：由题意可知：奇数为负数，偶数为正数， 由图可知：在不考虑正负号的情况下，相邻两峰顶的差为5， ∴峰1是4， 峰2是，因为9是奇数，所以峰2是， 峰3是，因为14是偶数，所以峰3是14， 峰4是，因为19是奇数，所以峰4是， … 峰n是，结果是奇数便为负，结果是偶数便为正， 峰6是，29是奇数，所以峰6是， ∵峰405是， ∴在位置， 故选：B． 5．（2024·山西吕梁·一模）青苗小组的同学在探究的结果时，发现可以进行如下操作：如图，将边长为1的大正方形纸片进行分割，①的面积为大正方形面积的一半，即；②的面积为①的面积的一半，即；③的面积为②的面积的一半，即；……由此得到结论：．这种探究问题的方法体现了（   ） A．方程思想 B．分类讨论思想 C．模型思想 D．数形结合思想 【答案】D 【分析】本题考查了图形变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题．这种探究问题的方法体现了数形结合思想． 【详解】将边长为1的大正方形纸片进行分割，①的面积为大正方形面积的一半，即；②的面积为①的面积的一半，即；③的面积为②的面积的一半，即；……由此得到结论：．这种探究问题的方法体现了数形结合思想． 6．（23-24七年级上·江西宜春·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，掌握整体思想是解题关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 7．（22-23七年级上·广东河源·期末）如图是一个数值转换机，若输入a的值为，则输出的结果应为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了代数式求值．解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序． 根据题意可知，该程序计算是先平方，再减2，再乘，最后加4．将输入即可求解． 【详解】解：依题意，所求代数式为， 当时，原式， 故答案为：7． 8．（23-24六年级上·山东济宁·阶段练习）观察下列单项式： 根据摆放规律，从第2018个单项式到第2019个单项式的箭头是 ．（填→、↑、←、↓） 【答案】→ 【分析】本题考查了规律型—图形类规律与探究，根据箭头方向按“下、右、上、右”四个依次循环解答即可． 【详解】解：由图可知，箭头方向按“下、右、上、右”四个依次循环， ∵， ∴2018位于一个循环中的左下角， ∴从第2018单项式到第2019个项式的箭头分别是→． 故答案为：→． 9．（2024·陕西西安·模拟预测）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑩个图案用的木棍根数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，找出图形的数字规律是解答本题的关键．根据前几个图形，得出后一个图形比前一个的木棍数多5根，据此规律求解即可． 【详解】解：由图可知：第1个图案用了根木棍， 第2个图案用了根木棍， 第3个图案用了根木棍， 第4个图案用了根木棍， 第个图案用的木棍根数是； 当时，， 故答案为：． 10．（2023·陕西西安·二模）在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，我们称这个三角形为“杨辉三角”，这个三角形给出了的展开式（按x的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，如，其展开式中的系数1、3、3、1对应三角形图形中第四行，根据上下行之间的数字规律，求代数式的值为 ．    【答案】15 【分析】根据“杨辉三角”的特点，求得各数，再求和即可. 【详解】解：根据“杨辉三角”的特点，知：，，， ∴， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了探索数字规律，找到各数之间的规律是解题的关键． 11．（23-24七年级上·河南许昌·期中）已知多项式是五次四项式． (1)求出的值． (2)单项式的次数与该多项式的次数相同，求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了多项式的次数和单项式的次数． （1）先根据多项式的次数得出，即可求出m的值． （2）由（1）可知：，把代入单项式，再根据单项式的次数也是5即可得出，进而可求出n的值． 【详解】（1）解：∵多项式是五次四项式， ∴， ∴． （2）由（1）可知：， ∴单项式为， ∵单项式的次数与该多项式的次数相同， ∴， 解得：． 12．（22-23六年级下·全国·单元测试）观察下面一行式子：，… (1)你有什么发现？ (2)根据你发现的规律写出第个式子． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题目所给的式子可得系数为，次数为； （2）根据（1）中的规律写出第个式子． 【详解】（1）解：由题意得，单项式的系数为，次数为； （2）第个式子为：． 【点睛】本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 13．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）用火柴棒按如图所示的规律排列成一串图形： (1)第4个图形中有几根火柴棒？第5个呢？第个呢？ (2)小梧发现：按照这种方式搭图形会产生若干个六边形，若使用1603根火柴搭图形，则图中会产生多少个六边形？ 【答案】(1)第4个：35根 ； 第5个：43根 ； 第个：； (2)产生400个六边形． 【分析】本题考查规律类问题的应用． （1）根据所给图形总结出火柴棒的规律是解题的关键，通过规律即可知道第四个第五个即第个图形火柴棒数量； （2）根据题意找出第一个图形有2个正六边形，第2个图形有4个正六边形，以此得到规律即可得知1063个火柴棒是第几个图形，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：∵根据图形规律可知，第一个图形火柴棒11根，第2个图形火柴棒19根，第3个图形火柴棒27根．．．．．． ∴据此可知第四个图形火柴棒35根，第五个图形火柴棒43根，第个图形火柴棒数量为； （2）解：∵第个图形火柴棒数量为， ∴根据题意可得，解得：， ∵第一个图形有2个正六边形，第2个图形有4个正六边形，第三个图形有6个正六边形， ∴第个图形有正六边形， ∴， 综上所述：使用1603根火柴搭图形，则图中会产生400个六边形． 14．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）某超市将每个进价为10元的文具袋以每个16元的销售价售出，平均每月能售出250个． 市场调研表明：当每个文具袋的销售价下降1元时，其月销售量增加60个． 若设每个文具袋的销售价下降元． (1)试用含的式子填空： ①降价后，每个文具袋的利润为___________元（利润销售价进价）； ②降价后，该超市的文具袋平均每月销售量为___________个； (2)如果（1）中的，请计算该超市该月销售这种文具袋的利润是多少元（总利润单个利润销售数量）？ 【答案】(1)①② (2)980元 【分析】本题考查列代数式及代数式求值，解题的关键是读懂题意，用含m的式子表示出每个利润和销售量． （1）①降价后，每个文具袋的利润为元； ②降价后，该超市的文具袋平均每月销售量为个； （2）当时，求出的值可得答案． 【详解】（1）解：①降价后，每个文具袋的利润为元； 故答案为：； ②∵当每个文具袋的销售价下降1元时，其月销售量增加60个． 若设每个文具袋的销售价下降元． ∴降价后，该超市的文具袋平均每月销售量为个； 故答案为：； （2）解：当时， （元）， ∴该超市该月销售这种文具袋的利润是980元． 15．（2023·安徽·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)利用你发现的规律可知_______；（填具体数字） (2)写出第（为正整数）个等式：_______， (3)计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，正确得出等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键． （1）根据所给的式子可得，计算即可； （2）根据题目已知式子写出第个（n为正整数）等式； （3）利用（2）中的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2） （3） ． 学科网（北京）股份有限公司 $$