第09讲 反比例函数（四）（1个知识点+1种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第09讲 反比例函数（四）（1个知识点+1种经典题型+试题练习） 知识点合集 知识点．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 【例1】（2024•安徽）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则的值为　　 A． B． C．1 D．3 【变式1】（2024•桐城市校级三模）如图，一次函数与的图象与反比例函数的图象在第一象限分别交于、两点，已知面积为3，则的值为 　　． 【变式2】（2024•黄山二模）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，点是坐标系中的一点，若，则的长为 　　． 【变式3】（2023秋•淮北期中）如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点． （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，，求的面积； （3）直接写出当时，关于的不等式的解集． 经典题型汇编 题型一．反比例函数与一次函数的交点问题 1．（2024•安徽二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，以为直角边的直角的斜边与轴垂直，垂足为，则的面积为 　　． 2．（2024•淮北一模）在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点，已知点的坐标为，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 3．（2024•合肥二模）如图，、是反比例函数图象上的两点，、两点的横坐标分别为1，2，线段的延长线交轴于点．若的面积为6． （1）求的值及直线的函数表达式； （2）写出的函数值大于的函数值时的取值范围． 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）下列函数中，属于反比例函数的是(   ) A． B． C． D． 2．（九年级上·安徽安庆·期末）若反比例函数的图象经过点（2，-3），则k值是（   ） A．6 B．-6 C． D． 3．（20-21九年级·全国·课后作业）已知反比例函数的图象过，则它的图象一定不经过点（    ）． A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）下列各点中，在反比例函数的图象上的为（    ） A． B． C． D． 5．（20-21九年级上·安徽滁州·阶段练习）已知与成反比例，当时，．那么当时，的值为（    ） A．4 B． C．3 D． 6．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作垂直于轴，C，D在轴上，，则平行四边形的面积是（     ） A．3 B．6 C．12 D．24 7．（安徽安庆·中考模拟）在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积时，气体的密度也随之改变，与在一定范围内满足，它的图象如图所示，则该气体的质量为（    ） A． B． C． D． 8．（20-21九年级上·安徽安庆·期末）已知直线（，k是常数）与双曲线交于点，两点，则的值为（　　　） A．5 B．0 C． D． 9．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，将直线向下平移m（m＞0）个单位长度后得到直线l，直线l与反比例函数的图像在第一象限内相交于点A，与x轴相交于点B，则（    ） A．16 B．12 C．8 D．6 10．（22-23九年级上·安徽马鞍山·期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（    ）    A．    B．   B． C．   D．   11．（23-24九年级上·安徽六安·期中）若正比例函数与反比例函数的图象交于点，则的值是 ． 12．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，点是反比例函数的图象上的任意一点，若过点作轴，垂足为，使得的面积等于，则 ．    13．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，点B和点C都是第二象限内的点，，，双曲线经过点C且与交于点E．    （1）直线的表达式为 ； （2）若，，则 ． 14．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，的边在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过点．为反比例函数图像上一动点，过点作轴交于点，交于点， （1）反比例函数的表达式为 ； （2）当点运动到直线上时，连接，记的面积为，的面积为，则的值为 ． 三、解答题 15．（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知点、、、、在同一函数图像上． (1)求与函数关系式； (2)若，直接写出的取值范围． 16．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，一次函数A，B是反比例函数图象上的两点，点A的坐标为，点B的坐标为，线段的延长线交x轴于点C．    (1)求反比例函数的函数关系式． (2)求的面积． 17．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知点在反比例函数的函数值． (1)当时，求的值； (2)当时，求的取值范围． 18．（21-22九年级上·安徽合肥·期末）已知点在反比例函数的图象上. (1)求反比例函数的解析式； (2)已知且，与两点都在该反比例两数的图像上，试比较与的大小． 19．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，、是反比例函数图象上两点，连接、，求的面积．    20．（23-24九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，反比例函数的图象分别交正方形的边于点、，若点坐标为，若是等边三角形，求的值．    21．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)在轴上取一点，当的面积为2时，求点的坐标； (3)将直线向下平移2个单位长度后得到直线，当函数值时，求的取值范围． 22．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）一次函数的图象与反比例函数的图象交于，．与x轴交于C． (1)求a，b，k的值； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)延长交反比例函数图象于点P．求的面积． 23．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，长方形的边分别在轴、轴上，点的坐标为，双曲线的图象经过线段的中点． (1)求的值； (2)若点在反比例函数的图象上运动（不与点重合），过作轴于点，记的面积为，求关于的解析式，并写出的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 反比例函数（四）（1个知识点+1种经典题型+试题练习） 知识点合集 知识点．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 【例1】（2024•安徽）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则的值为　　 A． B． C．1 D．3 【分析】将代入一次函数中，求得，再将代入反比例函数中，求得的值． 【解答】解：将代入中， 得：， 将代入中， 得：， 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，将交点横坐标代入解析式中是解题的关键． 【变式1】（2024•桐城市校级三模）如图，一次函数与的图象与反比例函数的图象在第一象限分别交于、两点，已知面积为3，则的值为 　2　． 【分析】设的图象与轴的交点为，连接，求得点的坐标，即可求得，利用三角形面积求得的纵坐标，代入求得横坐标，然后利用待定系数法求得． 【解答】解：设的图象与轴的交点为，连接， 令，则， ， ， 直线与直线平行， ， ， ， 把代入，求得， ， 反比例函数的图象过点， ， 故答案为：2． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，两条直线平行问题，三角形的面积，求得点的坐标是解题的关键． 【变式2】（2024•黄山二模）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，点是坐标系中的一点，若，则的长为 　10　． 【分析】根据正比例函数及反比例函数图象的对称性可得出的值，进而可求出的长，最后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题． 【解答】解：因为正比例函数与反比例函数的图象都关于坐标原点成中心对称， 所以点和点关于点对称． 因为点坐标为，点的坐标为， 所以， 所以点的坐标为， 则， 所以． 因为，且点为中点， 所以． 故答案为：10． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键． 【变式3】（2023秋•淮北期中）如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点． （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，，求的面积； （3）直接写出当时，关于的不等式的解集． 【分析】（1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）两函数解析式联立成方程组，求出点的坐标，然后根据的面积即可以解决问题； （3）根据图象即可解决问题． 【解答】解：（1）将，代入， 得， 解得：， 一次函数的解析式为， 将代入， 得， 反比例的解析式为； （2）直线的解析式为与轴交点， 点的坐标为， 由，解得或， 点的坐标为， 的面积； （3）观察图象，当时，关于的不等式的解集是或． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强． 经典题型汇编 题型一．反比例函数与一次函数的交点问题 1．（2024•安徽二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，以为直角边的直角的斜边与轴垂直，垂足为，则的面积为 　5　． 【分析】将、分别代入和，求出点和点的坐标，因此可知的长，再证明，利用“相似三角形的面积比等于其对应边长比的平方”，即可求得的面积． 【解答】解：由题意得 将、分别代入和得， ，， 解得，，，， 即，， ， 轴于点， ， ，， ， ， ， 故答案为：5． 【点评】本题是反比例函数和一次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识． 2．（2024•淮北一模）在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点，已知点的坐标为，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】本反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【解答】解：由题意可知点与关于原点对称，点的坐标为， 点的坐标为． 故选：． 【点评】题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，熟练掌握中心对称图形性质是关键． 3．（2024•合肥二模）如图，、是反比例函数图象上的两点，、两点的横坐标分别为1，2，线段的延长线交轴于点．若的面积为6． （1）求的值及直线的函数表达式； （2）写出的函数值大于的函数值时的取值范围． 【分析】（1）根据两点的横坐标，可得两点的纵坐标，利用中位线得到，根据面积求出值，最后根据待定系数法求出直线解析式即可； （2）根据函数图象，直接写出反比例函数值大于的函数值时的取值范围即可． 【解答】解：（1）作轴，垂足为，轴，垂足为， 点在反比例函数图象上，且、两点的横坐标分别为1，2， ，， ， ， ， 是的中位线， ， ， 的面积为6， ， 解得：， ，，， 设直线的解析式为：，代入坐标得： ，解得， 直线的解析式为：． （1）根据两个函数图象及交点坐标可知反比例函数值大于直线的函数值时的取值范围为： 或． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键． 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）下列函数中，属于反比例函数的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义逐一判断即可解题． 【详解】解：A、是正比例函数，不符合题意； B、当时，不是反比例函数，不符合题意； C、 是反比例函数，符合题意； D、不是反比例函数，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数的定义，形如的式子叫做反比例函数． 2．（九年级上·安徽安庆·期末）若反比例函数的图象经过点（2，-3），则k值是（   ） A．6 B．-6 C． D． 【答案】B 【分析】直接把点代入反比例函数解析式即可得出k的值． 【详解】∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 3．（20-21九年级·全国·课后作业）已知反比例函数的图象过，则它的图象一定不经过点（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的定义可直接进行求解． 【详解】解：设该反比例函数为，则有： ∵反比例函数的图象过， ∴， ∴选项A的点一定不经过该反比例函数； 故选A． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 4．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）下列各点中，在反比例函数的图象上的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，将各点代入解析式进行验证，即可求解． 【详解】解：∵ A.当时，，则不在反比例函数的图象上，故该选项不正确，不符合题意； B.当时，，则在反比例函数的图象上，故该选项正确，符合题意； C.当时，，则不在反比例函数的图象上，故该选项不正确，不符合题意； D.当时，，则不在反比例函数的图象上，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 5．（20-21九年级上·安徽滁州·阶段练习）已知与成反比例，当时，．那么当时，的值为（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】据时，，求出反比例函数的关系式，把y=4代入到关系式中，可求出对应x的值． 【详解】解：设，把，代入得 ， ∴ 所以该反比例函数为， 把y=4代入，得 ，解得x=3 故选：C． 【点睛】此题考查求反比例函数关系式及已知函数值求对应的自变量的值，是基础题型． 6．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作垂直于轴，C，D在轴上，，则平行四边形的面积是（     ） A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【分析】作于，根据四边形为平行四边形得轴，则可判断，根据反比例函数的几何意义得到，据此即可得到答案． 【详解】解：过点作于，如图， 四边形为平行四边形， 轴， ， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是掌握从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为． 7．（安徽安庆·中考模拟）在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积时，气体的密度也随之改变，与在一定范围内满足，它的图象如图所示，则该气体的质量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将点代入，即可求得的值． 【详解】解：点在图象上， ， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是由点的坐标，求出函数的解析式． 8．（20-21九年级上·安徽安庆·期末）已知直线（，k是常数）与双曲线交于点，两点，则的值为（　　　） A．5 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】先根据点A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线上的点可得出x1•y1=x2•y2=5，再根据直线y=kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点可得出x1=-x2，y1=-y2，再把此关系代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线上的点， ∴x1•y1=x2•y2=5， ∵直线y=kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点， ∴x1=-x2，y1=-y2 ，y1= k x1，y2= k x2， ∴原式=2k x1 x2- k x1 x2= k x1 x2==-5． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的对称性，根据反比例函数的图象关于原点对称得出x1=-x2，y1=-y2是解答此题的关键． 9．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，将直线向下平移m（m＞0）个单位长度后得到直线l，直线l与反比例函数的图像在第一象限内相交于点A，与x轴相交于点B，则（    ） A．16 B．12 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数的平移规律，平移后解析式是，代入求出与x轴交点B的坐标是，设A的坐标是，求出，代入求出即可． 【详解】解：∵平移后解析式是， 代入得：， 即，与x轴交点B的坐标是，， 设A的坐标是， ∴ 故选：B． 10．（22-23九年级上·安徽马鞍山·期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（    ）    A．    B．   B． C．   D．   【答案】D 【分析】根据二次函数图象确定、以及的符号，再根据符号来判断一次函数和反比例函数所经过的象限即可． 【详解】解：由图可知，抛物线的开口向上，则； 对称轴在轴的右侧，则，即与异号，则； 抛物线与轴负半轴相交，则，故，则一次函数经过第一、第二和第四象限； 由图可知，当时，，故反比例函数经过第二、四象限； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象，熟练掌握图象与函数关系式中系数的关系是解题的关键． 11．（23-24九年级上·安徽六安·期中）若正比例函数与反比例函数的图象交于点，则的值是 ． 【答案】 【分析】将点代入正比例函数表示出的值，再代入反比例函数表示出的值，根据两个的值相等列式，最后计算分式方程的值即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵正比例函数与反比例函数的图象交于点， ∴，则，，则， ∴，整理得，， ∴， 检验：当时，的分母不为零，有意义， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正比例函数与反比例函数的综合，解分式方程的方法，掌握以上知识及计算方法是解题的关键． 12．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，点是反比例函数的图象上的任意一点，若过点作轴，垂足为，使得的面积等于，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即，由此计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：，即． 又反比例函数的图象位于第二象限， ， ． 故答案为：． 13．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，点B和点C都是第二象限内的点，，，双曲线经过点C且与交于点E．    （1）直线的表达式为 ； （2）若，，则 ． 【答案】 32 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，等腰直角三角形的判定与性质，待定系数法等知识．掌握待定系数法是解题的关键． （1）设，求出点B的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）过E作轴于F，判定是等腰直角三角形，可求出点E的坐标，然后求出反比例函数的解析式，设，表示出点C的坐标，把C的坐标代入反比例函数解析式可求出，即可求解． 【详解】解：（1）设， 则， ∵，， ∴，都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为； （2）过E作轴于F，    ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 把代入，得，解得， ∴ 设， 则， 把代入，得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；32． 14．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，的边在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过点．为反比例函数图像上一动点，过点作轴交于点，交于点， （1）反比例函数的表达式为 ； （2）当点运动到直线上时，连接，记的面积为，的面积为，则的值为 ． 【答案】 / 【分析】（1）将代入求出反比例函数解析式即可； （2）先求出直线的解析式为，得出，再求出，得出，根据平行四边形的性质得出，，证明，得出即可． 【详解】解：（1）将代入得：， 解得：， ∴反比例函数解析式为； 故答案为：； （2）∵， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴， 把代入得：， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质、平行四边形的性质、求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 三、解答题 15．（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知点、、、、在同一函数图像上． (1)求与函数关系式； (2)若，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）通过分析几个点可以得出横纵坐标的积都一样，即点在反比例函数上即可． （2）通过反比例函数的增减性质即可求出不等式． 【详解】（1）解：∵， ∴，即． （2）解：由于可知，该反比例函数在一，三象限内，第三象限内的，所以当时，成立， 当x＞0时，解不等式，解得． 综上：或 【点睛】本题主要考查求反比例函数解析式的方法及利用反比例函数性质解不等式，能够快速发现是反比例函数并通过性质解不等式是解题关键． 16．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，一次函数A，B是反比例函数图象上的两点，点A的坐标为，点B的坐标为，线段的延长线交x轴于点C．    (1)求反比例函数的函数关系式． (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数的函数关系式为； (2)的面积6． 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合． （1）把代入，可求出反比例函数解析式； （2）把代入反比例函数解析式求得，运用代数系数法求出所在直线的解析式，并求出的坐标，可确定的长，由此即可求解． 【详解】（1）解：把代入得，，解得， ∴反比例函数的函数关系式为； （2）解：把代入得，，解得， ∴． ∴， 设直线的函数关系式为，把，分别代入， ∴，解得，， ∴直线的函数关系式为， 当时，，即点的坐标为， ∴，， ∴， ∴的面积6． 17．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知点在反比例函数的函数值． (1)当时，求的值； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)y的值为 (2)y的取值范围是 【分析】（1）先将点P的坐标代入反比例函数的解析式，求得k的值，然后再将x的值代入反比例函数即可求得y的值． （2）先由x的两个大小边界值求得对应的y的两个大小边界值，然后根据反比例函数在第二象限的增减性，即可确定y的取值范围． 【详解】（1）将代入中，得． 故反比例函数的解析式为：． 当时，． （2）当时， ； 当时， ， 又当时，y随x的增大而增大， 所以y的取值范围是． 【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、已知自变量的值求函数的值、已知自变量的取值范围求函数值的取值范围，解题的关键是熟练运用反比例函数的增减性． 18．（21-22九年级上·安徽合肥·期末）已知点在反比例函数的图象上. (1)求反比例函数的解析式； (2)已知且，与两点都在该反比例两数的图像上，试比较与的大小． 【答案】(1) (2)当时，；当时， 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求反比例函数解析式． （1）把代入函数解析式即可求解； （2）根据反比例函数图像的性质即可解答． 【详解】（1）解： ∵点在反比例函数的图象上， ∴. ∴ （2）∵反比例函数为，其图象在二、四象限内，且在每一象限内随的增大而增大， 又， ∴①当时，有， 此时点在第四象限的图象上，， 点 在第二象限的图象上，， 则， ②当时，有 ∴. 19．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，、是反比例函数图象上两点，连接、，求的面积．    【答案】 【分析】根据反比例函数的坐标特征得到，解得，；由反比例函数系数的几何意义，根据求得即可． 【详解】解：点、是函数图象上的两点， ， 解得，， 、， 作轴于，轴于，    ∴由反比例函数k的几何意义可知， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例图象上点的坐标特征，根据图象得到是解题的关键． 20．（23-24九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，反比例函数的图象分别交正方形的边于点、，若点坐标为，若是等边三角形，求的值．    【答案】 【分析】证明，可得，从而得到，设，则，根据勾股定理可得，从而得到点D的坐标为，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵点坐标为， ∴， ∴，， ∴， 解得：，，舍去， ∴， 即点D的坐标为， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的交点以及反比例函数系数k的几何意义、正方形和等边三角形的性质、勾股定理等，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．本知识点是中考的重要考点． 21．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)在轴上取一点，当的面积为2时，求点的坐标； (3)将直线向下平移2个单位长度后得到直线，当函数值时，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求解析式； （1）将代入，求得，进而可得，得出，进而待定系数法求得一次函数解析式； （2）根据的面积为2，得出，根据，进而即可求解； （3）根据一次函数的平移得出的解析式，进而联立，得出交点坐标，进而结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）， ， ∴ 由 得，， （2）， ， ，当时，，则， 或 （3）∵直线向下平移2个单位长度后得到直线， ∴ 当时，解得， 根据函数图象可得：当时，或． 22．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）一次函数的图象与反比例函数的图象交于，．与x轴交于C． (1)求a，b，k的值； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)延长交反比例函数图象于点P．求的面积． 【答案】(1)，，； (2)或； (3) 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，以及三角形的面积等，数形结合是解题的关键． （1）把点的坐标代入，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，进而求得点的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式； （2）根据图象即可求得； （3）求得的坐标，然后根据即可求得的面积，根据反比例函数的对称性即可求得． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过， ， ， ， ， ， 点、在的图象上， ， 解得：， ∴，，； （2）解：由图象可得：不等式的解集为或； （3）解：由（1）可知一次函数为， 令，则， ， ， ， 延长交反比例函数图象于点，则点与点关于原点对称， ， ． 23．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，长方形的边分别在轴、轴上，点的坐标为，双曲线的图象经过线段的中点． (1)求的值； (2)若点在反比例函数的图象上运动（不与点重合），过作轴于点，记的面积为，求关于的解析式，并写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据长方形的性质得到点的坐标，再代入到即可求解； （）由（）得到反比例函数解析式为，由反比例函数可得，，分点在的上方和下方两种情况解答即可求解； 本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的几何应用，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵长方形的边分别在轴、轴上，点的坐标为， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴反比例函数解析式为， ∵点在反比例函数的图象上运动（不与点重合）， ∴， 当点在的上方运动时，如图，此时， ∵轴， ∴，， ∴ ∴； 当点在的上方运动时，如图，此时， ∵轴， ∴，， ∴， ∴； 综上，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$