4.2对数的运算讲义-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

授课主题 对数的运算 年 级 高一 知 识 梳 理 对数运算性质 1.如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R). 拓展：logamMn＝logaM(n∈R，m≠0). 2.换底公式 对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). 特别地：(1)logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1). (2)logab·logbc·logca＝1(a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c≠1)． 例题讲解 知识点一、对数运算性质 例1、求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3). 例2、求下列各式的值． (1)；(2)；(3)；(4). 例3、计算下列各式的值： (1)； (2). (3)； (4) (5)． 练习： 1．计算下列各式的值(或的值)： (1) (2) (3) (4) 2．计算下列各式的值． (1)； (2)． (3)； (4)． (5) . (6) . (7)； (8) (9)； (10) (11), (12), 知识点二、对数与指数的综合应用 例1、已知，则(    ) A． B． C． D． 例2、已知均为正实数，若，则＝(    ) A．或 B． C． D．2或 例3、已知a，b，c均为正数，且，求证：； 练习： 1．已知，则的值(    ) A． B． C．1 D．2 2．已知，则 . 3．已知，，则的值为 ． 4．下列计算恒成立的是 A． B． C． D． 知识点三、对数的实际应用 例1、17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对(为素数)型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在的素数中，当，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，是素数，其它都是合数.除了和两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在型素数研究中所做的开创性工作，就把型的素数称为“梅森素数”，记为.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数，第8个梅森素数，则约等于(参考数据：)(    ) A．17.1 B．8.4 C．6.6 D．3.6 练习： 1．要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性．动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原来的会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中含量占原来的，推算该古物约是m年前的遗物(参考数据：)，则m的值为(    ) A．12302 B．13304 C．23004 D．24034 2．二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3×1015个二维码，那么大约可以用(    )(，) A．万年 B．万年 C．万年 D．万年 3．已知声强级(单位：分贝)，其中常数是能够引起听觉的最弱的声强，是实际声强.当声强级降低1分贝时，实际声强是原来的(    ) A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 课 堂 小 结 利用对数运算性质化简与求值 1.基本原则： ①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行. 2.两种常用的方法： ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差). 课 后 作 业 1、＝(    ) A．1 B．2 C．－1 D．－5 2、(    ) A． B． C．15 D．12 3、设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是(    ) A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac 4、若实数、、满足，则下列式子正确的是 A． B． C． D． 5、正数满足，则的最大值为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 6、已知，，且，则的最小值是(    ) A．18 B．16 C．10 D．4 7、(多选)已知，，，下列结论正确的是(    ) A．的最小值为9 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 8、(多选)下列各式不正确的是(    ) A． B． C． D． 9、(多选)下列等式不成立的是(    ) A． B． C． D． 10、(多选)设是均不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是(    ) A． B． C． D． 11、(多选)下列运算正确的是(    ) A． B． C． D． 12、(多选)下列四个命题：①；②若，则；③；④.其中真命题是(    ) A．① B．② C．③ D．④ 13、 . 14、计算： ． 15、 ． 16、计算： . 17、 ． 18、(1) (2). 19、计算：(1)； (2)． (3)； (4)．(5)； (6)． (7)计算：； (8)若，求的值． (9)； (10). 20、求下列各式中x的值： (1)；(2)；(3)；(4)；(5). 21、(1)求的值． (2)若，且满足，求的值． 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 对数的运算 年 级 高一 知 识 梳 理 对数运算性质 1.如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R). 拓展：logamMn＝logaM(n∈R，m≠0). 2.换底公式 对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). 特别地：(1)logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1). (2)logab·logbc·logca＝1(a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c≠1)． 例题讲解 知识点一、对数运算性质 例1、求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3). 【解析】(1)∵，∴，∴； (2)∵，∴，∴； (3)由可得，，故，所以. 例2、求下列各式的值． (1)；(2)；(3)；(4). 【解析】(1)； (2)； (3) (4) 例3、计算下列各式的值： (1)； (2). (3)； (4) (5)． 【解析】(1)解法一： 原式. 解法二：原式. (2)原式 . (3)原式 (4)原式 (5)原式． 练习： 1．计算下列各式的值(或的值)： (1) (2) (3) (4) 【解析】(1)由，得，所以； (2)由两边取以10为底对数，得，即，解得； (3)由，得，所以，即； (4). 2．计算下列各式的值． (1)； (2)． (3)； (4)． (5) . (6) . (7)； (8) (9)； (10) (11), (12), 【解析】(1)原式可化为： (2)原式可化为： (3. (4). (5)＝ ＝ ＝ ＝ (6) =2 (7)； (8) ． (9) ； (10). (11) (12)原式为: 知识点二、对数与指数的综合应用 例1、已知，则(    ) A． B． C． D． 【解析】由题意可得，， 所以， 所以.故选：B. 例2、已知均为正实数，若，则＝(    ) A．或 B． C． D．2或 【解析】令，则，所以，解得或， 所以或，所以或， 因为，所以或，所以或，所以或，故选：D 例3、已知a，b，c均为正数，且，求证：； 【解析】设，则.∴， ∴， 而，∴，得证. 练习： 1．已知，则的值(    ) A． B． C．1 D．2 【解析】因为，所以， 所以，故选：C 2．已知，则 . 【解析】由题意可得，，则，， 故.故答案为：2. 3．已知，，则的值为 ． 【解析】因为，，所以，， 所以．故答案为：2 4．下列计算恒成立的是 A． B． C． D． 【解析】因为，所以A不对； 因为，所以B不对； 因为，所以C不对； 因为，D正确.故选D. 知识点三、对数的实际应用 例1、17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对(为素数)型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在的素数中，当，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，是素数，其它都是合数.除了和两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在型素数研究中所做的开创性工作，就把型的素数称为“梅森素数”，记为.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数，第8个梅森素数，则约等于(参考数据：)(    ) A．17.1 B．8.4 C．6.6 D．3.6 【解析】由已知可得.故选：D 练习： 1．要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性．动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原来的会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中含量占原来的，推算该古物约是m年前的遗物(参考数据：)，则m的值为(    ) A．12302 B．13304 C．23004 D．24034 【解析】设原始量为，每年衰变率为，，，， ，. 2．二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3×1015个二维码，那么大约可以用(    )(，) A．万年 B．万年 C．万年 D．万年 【解析】万年用掉个二维码，大约能用万年，设， 则 即万年，故选：A 3．已知声强级(单位：分贝)，其中常数是能够引起听觉的最弱的声强，是实际声强.当声强级降低1分贝时，实际声强是原来的(    ) A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【解析】，则，所以，∴.故选：D. 课 堂 小 结 利用对数运算性质化简与求值 1.基本原则： ①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行. 2.两种常用的方法： ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差). 课 后 作 业 1、＝(    ) A．1 B．2 C．－1 D．－5 【解析】原式.故选：C 2、(    ) A． B． C．15 D．12 【解析】故选：A 3、设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是(    ) A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac 【解析】由logab·logcb＝·≠logca，故A错； 由logab·logca＝·＝＝logcb，故B正确； 对选项C，D，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立.故选：B. 4、若实数、、满足，则下列式子正确的是 A． B． C． D． 【解析】由已知，得 ，得 ， ，，所以，，，而，则， 所以，即 .故选A. 5、正数满足，则的最大值为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】因为正数满足，所以，当且仅当时，等号成立，得. 则，当且仅当时取等号， 所以的最大值为2，故选：B 6、已知，，且，则的最小值是(    ) A．18 B．16 C．10 D．4 【解析】因为，，且，所以， 所以，所以， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是16.故选：B 7、(多选)已知，，，下列结论正确的是(    ) A．的最小值为9 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【解析】因为，，，所以， 当且仅当，即时取等号，取得最小值9，故A正确； ， 根据二次函数的性质可知，当，时，取得最小值，故B错误； 因为，即，当且仅当，即时取等号， 所以，即最大值，故C错误； ，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，故D正确．故选：AD． 8、(多选)下列各式不正确的是(    ) A． B． C． D． 【解析】对于A中，由，所以A错误； 对于B中，由，所以B错误； 对于C中，由对数的换底公式，可得，所以C错误； 对于D中，由对数的换底公式，可得，所以D正确.故选：ABC. 9、(多选)下列等式不成立的是(    ) A． B． C． D． 【解析】对于A，因为，， 所以，所以A错误， 对于B，因为，，所以，所以B错误， 对于C，因为，所以C正确， 对于D，因为，， 所以，所以D错误，故选：ABD 10、(多选)设是均不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是(    ) A． B． C． D． 【解析】依题意，，A正确； 令，则，B错误； 令，则，C错误； ，D正确.故选：AD 11、(多选)下列运算正确的是(    ) A． B． C． D． 【解析】对于A，，A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确．故选：BCD. 12、(多选)下列四个命题：①；②若，则；③；④.其中真命题是(    ) A．① B．② C．③ D．④ 【解析】①，正确；②根据指数式和对数式的互化可知其正确； ③，错误；④，对数的真数部分是正数，因此无意义，错误.故选：AB 13、 . 【解析】原式. 14、计算： ． 【解析】 ， 15、 ． 【解析】原式 . 16、计算： . 【解析】因为 ， 所以.故答案为：. 17、 ． 【解析】. 18、(1) (2). 【解析】(1)解：由对数的运算性质，可得 ； (2)解： . 19、计算：(1)；(2)．(3)； (4)．(5)； (6)． (7)计算：； (8)若，求的值． (9)； (10). 【解析】(1)由题意 (2)由题意 (3)原式. (4)原式. (5)原式. (6)原式 . (7) (8)因为，所以，所以， 所以. (9. (10. 20、求下列各式中x的值： (1)；(2)；(3)；(4)；(5). 【解析】(1)， ，，. (2)，，. (3)，，，∴. (4)，，. (5)， ，. 21、(1)求的值． (2)若，且满足，求的值． 【解析】(1)原式 (2)因为，所以 ． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$