预习10函数的表示法（八大考点）-2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019）

2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019） 预习10函数的表示法 一、函数的表示法 函数的表示法 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 注意：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示． 二、分段函数 1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数． （2）分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如，其“段”是不等长的． （3）分段函数的图象要分段来画． 考点01 函数的表示法 【方法点拨】（1）列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念；（2）判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义． 【例1】已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段的长度为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（    ） A． B． C． D． 【例2】已知函数和分别由下表给出： 1 2 3 4 5 1 4 9 16 25 2 3 4 5 6 1 3 2 4 5 则 ． 【变式1-1】（多选）下列结论中正确的是（    ） A．任意一个函数都可以用解析式表示 B．函数，的图象是直线上一些孤立的点 C．表格可以表示y是x的函数 x 有理数 无理数 y 1 D．图象 可以表示函数的图象 【变式1-2】（多选）某工厂8年来某产品产量与时间的函数关系如图，则以下说法中正确的是（    ） A．前2年的产品产量增长速度越来越快 B．前2年的产品产量增长速度越来越慢 C．第2年后，这种产品停止生产 D．第2年后，这种产品产量保持不变 【变式1-3】已知函数分别由右表给出：满足的x的集合是 . x 1 2 3 x 1 2 3 1 3 1 3 2 1 考点02 待定系数法求解析式 【方法点拨】若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． 【例3】已知是一次函数，，，则（    ） A． B． C． D． 【例4】已知为二次函数且，，则 ． 【变式2-1】已知函数是一次函数，且，则（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【变式2-2】已知函数，其中是x的正比例函数，是x的反比例函数，且，则（    ） A．3 B．8 C．9 D．16 【变式2-3】已知二次函数满足，且.求的解析式. 考点03 换元法求解析式 【方法点拨】已知函数的解析式求的解析式，可用换元法，即令，反解出，然后代入中求出，从而求出 【例5】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【例6】函数满足若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知，则函数 . 【变式3-2】已知:函数，，则 . 【变式3-3】已知f(x＋)＝x2＋，则函数f(x)＝ ． 考点04 解方程组法求解析式 【方法点拨】已知关于与或的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 【例7】已知定义在上的函数满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 【例8】已知函数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知满足，求的解析式. 【变式4-2】若函数在其定义域内满足，则的函数表达式为 .（含自变量的取值范围） 【变式4-3】已知函数满足，则函数的解析式为 . 考点05 分段函数求值 【方法点拨】分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理 【例9】已知函数，则（    ） A．14 B．5 C．1 D．-1 【例10】函数满足：，且，则 ． 【变式5-1】已知函数，则 . 【变式5-2】已知函数，则的值为 . 【变式5-3】设，定义符号函数，则（    ） A． B． C． D． 考点06 已知分段函数的函数值，求参数 【方法点拨】已知函数值，求自变量的值时，要先将“”脱掉，转化为关于自变量的方程求解 【例11】设函数，若，则（     ） A． B． C．或 D．或 【例12】设． (1)求的值； (2)若，求t值. 【变式6-1】设函数f(x)＝若f(2)＝4，则实数a的取值范围是 ． 【变式6-2】设函数，若，则 . 【变式6-3】已知函数. (1)求，的值； (2)若，求实数的值. 考点07 分段函数的图象 【方法点拨】作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可 【例13】函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【例14】设函数． (1)在平面直角坐标系中画出它的图象； (2)解不等式． 【变式7-1】已知函数， (1)在同一坐标系里画出函数的图象； (2)，用表示中的较小者，记为，请分别图象法和解析法表示函数． 【变式7-2】作出下列函数的标准图象： (1)； (2)． 【变式7-3】已知函数 (1)在给出的坐标系中画出函数的图象； (2)求的值； 考点08 分段函数的值域 【方法点拨】先分段研究，再合并表达． 【例15】已知，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【例16】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则狄利克雷函数的值域为 ． 【变式8-2】（多选）定义为中最大值，设，则的函数值可以取（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式8-3】用表示，两个数中的最小值，设，则的最大值为 ． 一、单选题 1．若函数对任意，均有，则下列函数可以为解析式的是（    ） A． B． C． D． 2．下图是函数的图像，的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知函数，则（    ） A． B．-3 C． D． 4．在数学中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来分析函数图象的特征.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知函数 则（    ） A． B．的最小值为 C．的定义域为 D． 的值域为 7．已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．若，则x的值是 三、填空题 8．已知函数，若，则实数的值为 ． 9．已知函数和分别由下表给出，则 ，若，则实数的取值集合为 . 1 2 3 4 5 1 4 9 16 25 2 3 4 5 6 1 3 2 4 5 四、解答题 10．（1）若二次函数满足，且图象过原点，求的解析式; （2）已知是一次函数，且满足，求的解析式. 11．已知函数的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．    (1)写出函数的解析式、定义域和值域； (2)求，的值． 12．已知函数. (1)画出函数的图象； (2)求函数的值域. 13．已知一次函数满足. (1)求的解析式； (2)若，求的值. 14．下表为某市居民用水阶梯水价表（单位：元/立方米）． 阶梯 户年用水量（立方米） 水价 其中 自来水费 水资源费 污水处理费 第一阶梯 0～180（含） 5.00 2.1 1.5 1.4 第二阶梯 180～260（含） 7.00 4.1 第三阶梯 260以上 9.00 6.1 (1)试写出用户所交水费为（元）与用水量为（立方米）的函数关系式； (2)若某户居民一年交水费1110元，求其中水资源费和污水处理费分别为多少？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019） 预习10函数的表示法 一、函数的表示法 函数的表示法 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 注意：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示． 二、分段函数 1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数． （2）分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如，其“段”是不等长的． （3）分段函数的图象要分段来画． 考点01 函数的表示法 【方法点拨】（1）列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念；（2）判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义． 【例1】已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段的长度为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据函数图象可知：函数图象具有对称性，故C错误； 对于A：由等边三角形可知：线段的长度先增大再减小，再增大，后减小，故A错误； 对于D：由圆可知：线段的长度不会是线性变化，故D错误； 对于C：由正方形可知：线段的长度先增大再减小，且一开始线性增大，符合题意，故B正确； 故选：B. 【例2】已知函数和分别由下表给出： 1 2 3 4 5 1 4 9 16 25 2 3 4 5 6 1 3 2 4 5 则 ． 【答案】2 【详解】依题意，，所以. 故答案为：2 【变式1-1】（多选）下列结论中正确的是（    ） A．任意一个函数都可以用解析式表示 B．函数，的图象是直线上一些孤立的点 C．表格可以表示y是x的函数 x 有理数 无理数 y 1 D．图象 可以表示函数的图象 【答案】BC 【详解】对于A项，并非所有函数都有解析式，故A错误； 对于B项，函数，，是直线上对应的五个点，故B正确； 对于C项，表格表示函数，因为对于任意自变量，都有唯一的函数值与之对应，故C正确； 对于D项，图中对于任意自变量，并非都有唯一的函数值与之对应，故D错误. 故选：BC 【变式1-2】（多选）某工厂8年来某产品产量与时间的函数关系如图，则以下说法中正确的是（    ） A．前2年的产品产量增长速度越来越快 B．前2年的产品产量增长速度越来越慢 C．第2年后，这种产品停止生产 D．第2年后，这种产品产量保持不变 【答案】AD 【详解】根据题意，根据给定的年产量与时间的函数关系图， 可得：前2年的产品产量增长速度越来越快，所以A正确，B不正确； 第2年后，这种产品的年产量保持不变，所以C错误，D正确. 故选：AD. 【变式1-3】已知函数分别由右表给出：满足的x的集合是 . x 1 2 3 x 1 2 3 1 3 1 3 2 1 【答案】 【详解】，故，满足要求， ，故，不满足要求， ，故，满足要求， 所以满足的的集合为. 故答案为： 考点02 待定系数法求解析式 【方法点拨】若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． 【例3】已知是一次函数，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，设，则有，解得， 所以. 故选：D 【例4】已知为二次函数且，，则 ． 【答案】 【详解】设， ， ， ． 又， . 故答案为： 【变式2-1】已知函数是一次函数，且，则（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】A 【详解】设， 则， 整理得， 所以，解， 所以，所以. 故选：A 【变式2-2】已知函数，其中是x的正比例函数，是x的反比例函数，且，则（    ） A．3 B．8 C．9 D．16 【答案】C 【详解】根据题意设，则， 因为， 所以，解得， 所以， 所以， 故选：C 【变式2-3】已知二次函数满足，且.求的解析式. 【答案】 【详解】设二次函数， 因为，所以， 由，得， 得， 所以，得， 故. 考点03 换元法求解析式 【方法点拨】已知函数的解析式求的解析式，可用换元法，即令，反解出，然后代入中求出，从而求出 【例5】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，且，则， 可得， 所以. 故选：B. 【例6】函数满足若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以，则. 故选：A. 【变式3-1】已知，则函数 . 【答案】 【详解】， 所以. 故答案为： 【变式3-2】已知:函数，，则 . 【答案】 【详解】函数，，则. 故答案为： 【变式3-3】已知f(x＋)＝x2＋，则函数f(x)＝ ． 【答案】x2－2(|x|≥2) 【详解】配凑法. f(x＋)＝x2＋＝(x2＋2＋)－2＝(x＋)2－2，所以f(x)＝x2－2(|x|≥2). 考点04 解方程组法求解析式 【方法点拨】已知关于与或的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 【例7】已知定义在上的函数满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为定义在上的函数满足， 所以，所以， 所以，解得， 所以， 故选：D 【例8】已知函数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，将换成，可得， 即， 联立方程组，解得， 所以. 故选：B. 【变式4-1】已知满足，求的解析式. 【答案】 【详解】对于任意的x都有， 所以将x替换为，得， 联立方程组：，消去，可得. 【变式4-2】若函数在其定义域内满足，则的函数表达式为 .（含自变量的取值范围） 【答案】 【详解】，① 则由换元法得1， 即，② 由得， ，其中. 故答案为： 【变式4-3】已知函数满足，则函数的解析式为 . 【答案】 【详解】由， 用代替，可得， 联立方程组，解得， 所以函数的解析式为. 故答案为：. 考点05 分段函数求值 【方法点拨】分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理 【例9】已知函数，则（    ） A．14 B．5 C．1 D．-1 【答案】B 【详解】因为，所以. 故选：B 【例10】函数满足：，且，则 ． 【答案】 【详解】， 则， 所以． 故答案为：. 【变式5-1】已知函数，则 . 【答案】 【详解】由函数，可得，所以. 故答案为：. 【变式5-2】已知函数，则的值为 . 【答案】/ 【详解】因为， 所以, 则. 故答案为：. 【变式5-3】设，定义符号函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项A，，，故，故A不正确； 对于选项B，，，故，故B不正确； 对于选项C， ，，故，故C不正确； 对于选项D，，，故，故D正确. 故选：D. 考点06 已知分段函数的函数值，求参数 【方法点拨】已知函数值，求自变量的值时，要先将“”脱掉，转化为关于自变量的方程求解 【例11】设函数，若，则（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】因为，又， 所以或， 解得或. 故选：C 【例12】设． (1)求的值； (2)若，求t值. 【答案】(1)0 (2)或或 【详解】（1）. （2）当时，，∴； 当时，，解得：； 当时，，∴， 综上所述：或或． 【变式6-1】设函数f(x)＝若f(2)＝4，则实数a的取值范围是 ． 【答案】(－∞，2] 【详解】 因为f(2)＝4，所以2∈[a，＋∞) 【变式6-2】设函数，若，则 . 【答案】2 【详解】函数，有， 则，解得. 故答案为：2 【变式6-3】已知函数. (1)求，的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为，且，所以. 因为，所以. （2）依题意，令， 若，则，解得， 与矛盾，舍去； 若，则，解得， 故，解得，所以实数的值为； 综上所述：的值为. 考点07 分段函数的图象 【方法点拨】作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可 【例13】函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，结合一次函数的图象可知ABC错误；D正确. 故选：D. 【例14】设函数． (1)在平面直角坐标系中画出它的图象； (2)解不等式． 【答案】(1)答案见解析 (2)或或 【详解】（1） 的图象如下： （2）由，结合（1）可得 ①或②， 解①得或 解②得 故的解集为或或. 【变式7-1】已知函数， (1)在同一坐标系里画出函数的图象； (2)，用表示中的较小者，记为，请分别图象法和解析法表示函数． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）结合函数， 画出对应的图像 （2）由图可知： 解析法表示函数. 【变式7-2】作出下列函数的标准图象： (1)； (2)． 【答案】(1)图象见解析 (2)图象见解析 【详解】（1）由题意得，其图象可由的图象先向右平移1个单位， 再向上平移2个单位得到，即：    （2）由题意得， 分段作出二次函数图象，则图象为： 【变式7-3】已知函数 (1)在给出的坐标系中画出函数的图象； (2)求的值； 【答案】(1)作图见解析 (2)5 【详解】（1）利用二次函数的图象与常数图象的特征即可画出分段函数的图象，如图所示： ； （2）因为， 所以， 所以. 考点08 分段函数的值域 【方法点拨】先分段研究，再合并表达． 【例15】已知，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得：， 其图象，如图所示：    由图象知：函数y的值域为， 故选：A 【例16】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，； 当时，； 当时，， 所以函数的值域为. 故选:A. 【变式8-1】德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则狄利克雷函数的值域为 ． 【答案】 【详解】因为，所以的值域为. 故答案为： 【变式8-2】（多选）定义为中最大值，设，则的函数值可以取（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】CD 【详解】在同一坐标系内分别作出， 可得的图象（图中实线部分），    所以的值域为， 结合选项可知CD正确，AB错误. 故选：CD. 【变式8-3】用表示，两个数中的最小值，设，则的最大值为 ． 【答案】6 【详解】在坐标系内画出函数的图象， ，解得， 如图， 由图象知，， ∴的最大值为； 故答案为：6． 一、单选题 1．若函数对任意，均有，则下列函数可以为解析式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A, 故，故A错误， 对于B，故，故B错误， 对于C, 故，故C正确， 对于D, 故，故D错误， 故选：C 2．下图是函数的图像，的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】由图象可知时，为一次函数，且过点，， 设时，，则，解得，则， 因此， 故选：A. 3．已知函数，则（    ） A． B．-3 C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，所以. 故选:C. 4．在数学中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来分析函数图象的特征.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为R，不符合函数图像，排除B； 当时，，不符合函数图像，排除C； ，故函数为偶函数，不符合函数图像，排除D. 故选：A. 5．已知函数，若值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， 值域为当时，由，得， 由，得，解得或， 作出的图象如下图所示， 由图象可得：，即实数的取值范围是. 故选：C. 二、多选题 6．已知函数 则（    ） A． B．的最小值为 C．的定义域为 D． 的值域为 【答案】CD 【详解】依题意，，则，A错误； 当时，，当且仅当时取等号，B错误； 在中，，解得，因此的定义域为，C正确； 显然，，于是，因此 的值域为，D正确. 故选：CD 7．已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．若，则x的值是 【答案】BD 【详解】对于A，因为， 所以的定义域为，所以A错误； 对于B，当时，，当时，， 所以的值域为，所以B正确； 对于C，因为，所以，所以C错误； 对于D，当时，由，得，解得（舍去）， 当时，由，得，解得或（舍去）， 综上，，所以D正确. 故选：BD. 三、填空题 8．已知函数，若，则实数的值为 ． 【答案】3 【详解】当时，，解得（舍）； 当时，，解得或（舍）， 所以实数的值为3， 故答案为：3. 9．已知函数和分别由下表给出，则 ，若，则实数的取值集合为 . 1 2 3 4 5 1 4 9 16 25 2 3 4 5 6 1 3 2 4 5 【答案】 【详解】根据表格可得，， 所以，. 根据表格可得， 当时，满足，此时； 当时，满足，此时； 当时，满足，此时. 综上可得，实数的取值集合为. 故答案为：；. 四、解答题 10．（1）若二次函数满足，且图象过原点，求的解析式; （2）已知是一次函数，且满足，求的解析式. 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）设 , , 且图象过原点, 解得 （2）设 ， 则, , 即 不论为何值都成立, 解得 11．已知函数的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．    (1)写出函数的解析式、定义域和值域； (2)求，的值． 【答案】(1)，定义域为，值域为； (2)，. 【详解】（1）根据题意及图象可知：当时，可设线段解析式为， 将点代入解析式可得，即； 当时，图象为抛物线一部分，可设解析式为， 由图象可知其顶点为且过点，所以， 即， 则， 结合图象，所以的定义域为，值域为； （2）由上可知，， 即，. 12．已知函数. (1)画出函数的图象； (2)求函数的值域. 【答案】(1)图象见解析； (2). 【详解】（1）依题意，当时，，则函数在上的图象是抛物线在的部分， 当时，，则函数在上的图象是直线在的部分， 当时，，则函数在上的图象是抛物线在的部分，如图， （2）当时，的取值集合为， 当时，的取值集合为， 当时，的取值集合为， 所以函数的值域为. 13．已知一次函数满足. (1)求的解析式； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设. 则， 于是有，解得，. （2）由（1）知，则，. ，， . 14．下表为某市居民用水阶梯水价表（单位：元/立方米）． 阶梯 户年用水量（立方米） 水价 其中 自来水费 水资源费 污水处理费 第一阶梯 0～180（含） 5.00 2.1 1.5 1.4 第二阶梯 180～260（含） 7.00 4.1 第三阶梯 260以上 9.00 6.1 (1)试写出用户所交水费为（元）与用水量为（立方米）的函数关系式； (2)若某户居民一年交水费1110元，求其中水资源费和污水处理费分别为多少？ 【答案】(1) (2)水资源费为315元，污水处理费为294元． 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，， 综上：. （2）当，，当，， 所以当居民水费为1110时，用水量满足，解得：， 由，， 所以：该居民水资源费为315元，污水处理费为294元． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$