1.5.1 全称量词与存在量词（3知识点+6题型）-2024年新高一数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

1.5.1全称量词与存在量词 明确学习目标 课标要求 1.理解全称量词、全称量词命题的定义． 2.理解存在量词、存在量词命题的定义． 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假． 重点难点 1.理解全称量词、全称量词命题的定义;2.理解存在量词、存在量词命题的定义; 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假． 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 全称量词与全称量词命题 1.全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号表示 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 2.理解： (1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定． (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”． (3)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立． (4)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是假命题，只需举出一个反例即可． 3.判定全称量词命题及其真假 (1)判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的，任意一个，一切，每一个，任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别． (2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中每一个元素都要使结论成立，间接法就是找到一个元素使结论不成立即可判断命题是假命题． 知识点2 存在量词与存在量词命题 1.存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的、对某些 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 2.理解： (1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题． (2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题． (3)要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需要在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可． (4)要判断一个存在量词命题是假命题，需对集合M中的任意一个元素x，证明p(x)都不成立． 3.判定存在量词命题及其真假 (1)判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有“存在一个，至少有一个，有些，有一个，对某些，有的”等表示部分的量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别． (2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中有一个元素使结论成立即可判断命题是真命题，间接法就是对集合中所有的元素使结论不成立可判断命题是假命题． 知识点3 依据含量词命题的真假求参数的取值范围 含量词命题的真假求参数取值范围 把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围． 2提升学科能力 题型一 全称量词的判定 例1．下列命题中，是全称量词命题的有（    ） A．至少有一个，使成立 B．对任意的，都有成立 C．对所有的，都有不成立 D．存在，使成立 跟踪训练1 1．将命题“实数的平方大于等于零”表示为全称量词命题： .（用符号语言表示） 2．将“方程无实根”改写成含有一个量词的命题的形式，可以写成 ． 3．判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词： (1)每一个多边形的外角和都是； (2)所有的素数都是奇数； (3)对任意的无理数x，也是无理数； (4)，x都有平方根； (5)，有． 题型二 判定全称量词的真假 例2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ） A．， B．对任意实数，，若，则 C．若为偶数，则 D．是无理数 跟踪训练2 1．下列全称量词命题为真命题的是（    ） A．所有的质数都是奇数 B．， C．对每一个无理数，也是无理数 D．所有能被5整除的整数，其末位数字都是5 2．下列命题中，是真命题且是全称命题的是（    ） A．对任意实数a，b，都有 B．梯形的对角线不相等 C． D．所有的集合都有子集 3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（    ） A． ， B．，为偶数 C．所有菱形的四条边都相等 D．是无理数 题型三 存在量词的判定 例3．下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等 C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数 跟踪训练3 1．给出下列命题：其中是存在量词命题的为（　　） A．存在实数, 使 B．全等的三角形必相似 C．有些相似三角形全等 D．至少有一个实数，使的根为负数 2．命题，是 （填“全称量词命题”或“存在量词命题”），它是 （填“真”或“假”）命题. 3．下列语句中，是全称量词命题的是 ，是存在量词命题的是 ． ①菱形的四条边相等； ②所有含两个60°角的三角形是等边三角形； ③负数的立方根不等于0； ④至少有一个负整数是奇数． 题型四 判定存在量词的真假 例4．下列命题中的假命题是（    ） A．， B．， C．， D．， 跟踪训练4 1．下列四个命题中，是存在量词命题并且是真命题的是（    ） A．存在实数，使 B．有一个无理数，它的立方是有理数 C．存在一个实数，它的倒数是它的相反数 D．每个三角形的内角和都是 2．下列存在量词命题中，是假命题的是（    ） A． B．至少有一个，使能同时被2和3整除 C． D．有些自然数是偶数 3．(多选题)下列命题中的真命题是（    ） A．， B． C．， D．， 题型五 根据全称量词的真假求参数 例5．命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练5 1．若，使的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．若，方程恒有解，求实数的取值范围. 3．是否存在整数m，使得命题“”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 题型六 根据存在量词的真假求参数 例6．若，使得成立是假命题，则实数可能的取值是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练6 1．已知命题：，，若为真命题，则的值可以为（    ） A． B． C．0 D．3 2．已知集合，，且.若命题q：“”是真命题，求m的取值范围. 3．设命题，不等式恒成立；命题，使得不等式成立. (1)若p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围. 3质量检测评价 一、单选题 1．下列全称量词命题为真命题的是（    ） A．所有的质数都是奇数 B．， C．对每一个无理数，也是无理数 D．所有能被5整除的整数，其末位数字都是5 2．已知集合，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．命题“，”不可以表述为（    ） A．有一个，使得 B．对有些，使得 C．任选一个，使得 D．至少有一个，使得 4．设非空集合P，Q满足，则表述正确的是（    ） A．，有 B．，有 C．，使得 D．，使得 5．若命题“任意，使”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．能说明全称量词命题“”为假命题的例子是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列各命题中为假命题的是（    ） A．， B．如果，则 C．， D．， 8．下列全称命题与特称命题中，是真命题的为（    ） A．设A，B为两个集合，若，则对任意，都有 B．设A，B为两个集合，若A不包含于B，则存在，使得 C．是无理数 ，是有理数 D．是无理数，是无理数 9．已知p：，成立，则下列选项是p的充分不必要条件的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题 10．有下列四个命题： ①对任意实数均有；             ②不存在实数使； ③方程至少有一个实数根；   ④使， 其中假命题是 （填写所有假命题的序号）． 11．已知命题”为真命题，则实数的取值范围为 . 12．已知集合，，若命题，是真命题，则m的取值范围为 ． 四、解答题 13．命题：“，”，命题：“，”，若，都为真命题时，求实数的取值范围． 14．已知集合，或 (1)求CRB、(CRA) ∪B； (2)若集合，且，为假命题，求的取值范围. 15．已知集合，. (1)若“命题：，”是真命题，求的取值范围. (2)“命题：，”是假命题，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5.1全称量词与存在量词 明确学习目标 课标要求 1.理解全称量词、全称量词命题的定义． 2.理解存在量词、存在量词命题的定义． 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假． 重点难点 1.理解全称量词、全称量词命题的定义;2.理解存在量词、存在量词命题的定义; 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假． 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 全称量词与全称量词命题 1.全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号表示 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 2.理解： (1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定． (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”． (3)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立． (4)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是假命题，只需举出一个反例即可． 3.判定全称量词命题及其真假 (1)判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的，任意一个，一切，每一个，任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别． (2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中每一个元素都要使结论成立，间接法就是找到一个元素使结论不成立即可判断命题是假命题． 知识点2 存在量词与存在量词命题 1.存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的、对某些 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 2.理解： (1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题． (2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题． (3)要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需要在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可． (4)要判断一个存在量词命题是假命题，需对集合M中的任意一个元素x，证明p(x)都不成立． 3.判定存在量词命题及其真假 (1)判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有“存在一个，至少有一个，有些，有一个，对某些，有的”等表示部分的量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别． (2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中有一个元素使结论成立即可判断命题是真命题，间接法就是对集合中所有的元素使结论不成立可判断命题是假命题． 知识点3 依据含量词命题的真假求参数的取值范围 含量词命题的真假求参数取值范围 把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围． 2提升学科能力 题型一 全称量词的判定 例1．下列命题中，是全称量词命题的有（    ） A．至少有一个，使成立 B．对任意的，都有成立 C．对所有的，都有不成立 D．存在，使成立 【答案】BC 【分析】利用全称量词命题的定义逐项判断可得出结论. 【详解】由全称量词命题的否定可知，BC选项中的命题为全称量词命题，AD选项中的命题不是全称量词命题. 故选：BC. 跟踪训练1 1．将命题“实数的平方大于等于零”表示为全称量词命题： .（用符号语言表示） 【答案】 【分析】根据全称量词命题转化为符号表示即可. 【详解】命题“实数的平方大于等于零”表示为全称量词命题，即. 故答案为：. 2．将“方程无实根”改写成含有一个量词的命题的形式，可以写成 ． 【答案】 【分析】根据全称量词命题的形式改写即可． 【详解】由已知，“方程无实根”是全称量词命题， 故可改写为：， 故答案为：． 3．判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词： (1)每一个多边形的外角和都是； (2)所有的素数都是奇数； (3)对任意的无理数x，也是无理数； (4)，x都有平方根； (5)，有． 【答案】(1)是，“每一个” (2)是，“所有” (3)是，“任意” (4)是，“” (5)是，“” 【分析】根据全称量词命题的判断即可. 【详解】（1）命题中含有全称量词“每一个”，故是全称量词命题． （2）命题中含有存在量词“所有”，是全称量词命题． （3）命题中含有全称量词“任意”，是全称量词命题． （4）命题中含有全称量词“”，是全称量词命题． （5）命题中含有全称量词“”，是全称量词命题． 题型二 判定全称量词的真假 例2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ） A．， B．对任意实数，，若，则 C．若为偶数，则 D．是无理数 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的定义判断即可. 【详解】对于A：，，为全称量词命题， 但是时，故为假命题，故A错误； 对于B：对任意实数，，若，则，为全称量词命题，且为真命题，故B正确； 对于C：若为偶数，则，为全称量词命题， 当时为偶数，但是，故为假命题，故C错误； 对于D：是无理数不是全称量词命题，故D错误. 故选：B. 跟踪训练2 1．下列全称量词命题为真命题的是（    ） A．所有的质数都是奇数 B．， C．对每一个无理数，也是无理数 D．所有能被5整除的整数，其末位数字都是5 【答案】B 【分析】ACD选项通过举反例排除，B选项可证明. 【详解】质数中2不是奇数，A选项为假命题； ，都有，则，B选项为真命题； 为无理数，但是有理数，C选项为假命题； 所有能被5整除的整数，其末位数字可以是5也可以是0，D选项为假命题. 故选：B 2．下列命题中，是真命题且是全称命题的是（    ） A．对任意实数a，b，都有 B．梯形的对角线不相等 C． D．所有的集合都有子集 【答案】D 【分析】根据全称量词定义可知A，B，D为全称量词命题，进而根据不等式性质可判断A选项，根据梯形的性质可判断B选项，根据子集的定义可判断D选项. 【详解】根据全称命题的定义可知，全称命题有A，B，D三项，C为特称命题， 对于A，有，故A为假命题； 对于B，梯形的对角线不一定相等，故B为假命题； 对于D，根据子集的定义可知，D为真命题. 故选：D. 3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（    ） A． ， B．，为偶数 C．所有菱形的四条边都相等 D．是无理数 【答案】AC 【分析】判断命题是否为全称量词命题，关键在于有无“，所有的，全部的，任意的”这些量词连接，判断命题真假需要具体分析，说明全称量词命题为真需要推理，为假时只需举个反例推翻；说明存在量词命题为真只需举个例子，为假时需要推理. 【详解】对于A项，因，恒成立，故该命题是全称量词命题，且是真命题，故A正确； 对于B项，该命题是真命题，但不是全称量词命题，故B不正确； 对于C项，该命题是全称量词命题，且是真命题，故C正确； 对于D项，该命题是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确． 故选：AC. 题型三 存在量词的判定 例3．下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等 C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数 【答案】D 【分析】利用全程量词和存在量词的定义，找出命题中对应的量词即可得出ABC为全称量词命题，D选项为存在量词命题. 【详解】根据全称量词和存在量词的定义可知， A选项，“平行四边形的对边相等”是所有的平行四边形性质，是全称量词命题； B选项，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全称量词命题； C选项，“任何实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词，故其为全称量词命题； D选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，其为存在量词命题. 故选：D 跟踪训练3 1．给出下列命题：其中是存在量词命题的为（　　） A．存在实数, 使 B．全等的三角形必相似 C．有些相似三角形全等 D．至少有一个实数，使的根为负数 【答案】ACD 【分析】判断命题说法含有存在量词, 推出结果即可. 【详解】A选项，存在实数 , 使 , 是含有存在量词的命题; B选项，全等的三角形必相似, 是含有全称量词的命题; C选项，有些相似三角形全等; 是含有存在量词的命题; D选项，至少有一个实数，使 的根为负数. 是含有存在量词的命题; 故选: ACD. 2．命题，是 （填“全称量词命题”或“存在量词命题”），它是 （填“真”或“假”）命题. 【答案】 存在量词命题 假 【分析】利用存在量词命题可判断命题的类型，利用配方法可判断命题的真假. 【详解】由存在量词命题的定义可知，命题，是存在量词命题， 因为，故命题为假命题. 故答案为：存在量词命题；假. 3．下列语句中，是全称量词命题的是 ，是存在量词命题的是 ． ①菱形的四条边相等； ②所有含两个60°角的三角形是等边三角形； ③负数的立方根不等于0； ④至少有一个负整数是奇数． 【答案】 ①②③ ④ 【分析】根据命题中所含量词，以及全称命题与特称命题的概念，逐项判断，即可得出结果. 【详解】①可表述为“每一个菱形的四条边相等”，是全称量词命题； ②含有全称量词“所有”，是全称量词命题； ③可表述为“所有负数的立方根都不等于0”，是全称量词命题； ④含有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题. 故答案为： ①②③，④ 题型四 判定存在量词的真假 例4．下列命题中的假命题是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】逐个判定命题的真假即可 【详解】对于A：，所以，A是真命题； 对于B：，所以当时命题不成立，B是假命题； 对于C：取，则满足，所以，，C是真命题； 对于D：取，则满足，所以，，D是真命题， 故选：B 跟踪训练4 1．下列四个命题中，是存在量词命题并且是真命题的是（    ） A．存在实数，使 B．有一个无理数，它的立方是有理数 C．存在一个实数，它的倒数是它的相反数 D．每个三角形的内角和都是 【答案】AB 【分析】根据存在量词命题的定义，结合存在量词命题的真假判定，逐项判定，即可求解. 【详解】A中，命题：存在实数，使为存在量词命题，且为真命题，所以A正确； B中，命题：有一个无理数，它的立方是有理数为存在量词命题，且为真命题，所以B正确； C中，命题：存在一个实数，它的倒数是它的相反数为存在量词命题，但为假命题，所以C不正确； D中，命题：每个三角形的内角和都是为全称量词命题，所以D不正确. 故选：AB. 2．下列存在量词命题中，是假命题的是（    ） A． B．至少有一个，使能同时被2和3整除 C． D．有些自然数是偶数 【答案】AC 【分析】计算出即可判断A；举例即可判断BD；根据即可判断C． 【详解】对于A，，即，解得，所以是假命题； 对于B，6能同时被2和3整除，所以是真命题； 对于C，因为所有实数的绝对值非负，即，所以是假命题； 对于D，2既是自然数又是偶数，所以是真命题． 故选：AC． 3．(多选题)下列命题中的真命题是（    ） A．， B． C．， D．， 【答案】ACD 【分析】根据全称量词与特称量词，分别判断即可． 【详解】对于A项，∵ ，∴，则，故A正确； 对于B项，∵，∴当时，与矛盾，故B错误； 对于C项，当时，，故C正确； 对于D项，当时，，故D正确， 故选：ACD． 题型五 根据全称量词的真假求参数 例5．命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意在恒成立，讨论、求对应参数范围，即可得答案. 【详解】当时，对于恒成立，满足； 当时，在恒成立，则，满足； 综上，. 故选：C 跟踪训练5 1．若，使的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，分离参数，求出二次函数在上最大值即得结果. 【详解】不等式，等价于， 依题意，，恒成立， 而函数在上单调递增，当时，，因此， 所以的取值范围为. 故选：C 2．若，方程恒有解，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】当时，；当时，得，即恒成立，再根据判别式小于等于可得结果. 【详解】当时，方程恒有解，所以； 当时，∵方程恒有解， ∴恒成立，即恒成立. 又是一个关于的一元二次不等式， ∴，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 3．是否存在整数m，使得命题“”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 【答案】存在，，理由见解析 【分析】由题意知，进而，解之即可求解. 【详解】假设存在整数m，使得命题“”是真命题． 当时，， ， 解得． 又m为整数，． 故存在整数，使得命题“”是真命题． 题型六 根据存在量词的真假求参数 例6．若，使得成立是假命题，则实数可能的取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由题意，转化为 在 上恒成立求解. 【详解】解：由题意得： ， 成立是真命题， 故 在 上恒成立， 由基本不等式得： ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以 ， 故选：AB 跟踪训练6 1．已知命题：，，若为真命题，则的值可以为（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】BCD 【分析】 将条件转化为对应方程有根问题，分和两种情况，进行求解即可． 【详解】 命题：，，为真命题， 即有根， 当时，成立， 当时，需满足，解得且， 的取值范围为， 故选：BCD． 2．已知集合，，且.若命题q：“”是真命题，求m的取值范围. 【答案】. 【分析】由题意分析知，根据正难则反的原则即可得到答案. 【详解】q为真，则，因为， 所以，解得，则, 若，则，解得， 则若，. 即m的取值范围为. 3．设命题，不等式恒成立；命题，使得不等式成立. (1)若p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将问题转化为恒成立，解不等式即可； （2）分类讨论结合集合的关系计算即可. 【详解】（1），由题意可知，解得； （2）当为真命题时，对于二次函数，其图象对称轴为，在区间上有，则， 故，成立等价于， 即， 若命题真假，结合（1）可知且，故， 若命题真假，结合（1）可知且，故， 综上，. 3质量检测评价 一、单选题 1．下列全称量词命题为真命题的是（    ） A．所有的质数都是奇数 B．， C．对每一个无理数，也是无理数 D．所有能被5整除的整数，其末位数字都是5 【答案】B 【分析】ACD选项通过举反例排除，B选项可证明. 【详解】质数中2不是奇数，A选项为假命题； ，都有，则，B选项为真命题； 为无理数，但是有理数，C选项为假命题； 所有能被5整除的整数，其末位数字可以是5也可以是0，D选项为假命题. 故选：B 2．已知集合，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】 根据子集的定义，结合任意性和存在性的定义逐一判断即可. 【详解】A：显然，，所以本选项不正确； B：显然，，所以本选项正确； C：因为，所以不存在，，因此本选项不正确； D：因为，，所以本选项不正确， 故选：B 3．命题“，”不可以表述为（    ） A．有一个，使得 B．对有些，使得 C．任选一个，使得 D．至少有一个，使得 【答案】C 【分析】,意为存在实数使得成立,故逐个选项判断即可. 【详解】“”是存在量词符号，与“有一个”、“有些”、“至少有一个”表示的含义相同， 但是“任选一个”是全称量词，所以C的表述不正确， 故选：C. 4．设非空集合P，Q满足，则表述正确的是（    ） A．，有 B．，有 C．，使得 D．，使得 【答案】B 【分析】根据子集的定义即可求解. 【详解】因为P⊆Q，则由子集的定义知集合P中的任何一个元素都在Q中， 而Q中元素不一定在P中(集合相等或不相等两种情况)，故B正确，ACD错误． 故选：B 5．若命题“任意，使”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全称命题为真命题，结合实数的性质，可求得a的范围，即得答案. 【详解】由于任意，都有， 故要使命题“任意，使”为真命题，需有， 故选：B 6．能说明全称量词命题“”为假命题的例子是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出方程的根，即可判断. 【详解】因为，即，解得或或， 所以当且且时均能说明全称量词命题“”为假命题， 故符合题意的为D. 故选：D 二、多选题 7．下列各命题中为假命题的是（    ） A．， B．如果，则 C．， D．， 【答案】ABC 【分析】分别根据全称命题和特称命题的定义逐一进行判断即可. 【详解】对于A选项：当时，，所以命题“，”为假命题； 对于B选项：当时，则，所以命题“如果，则”为假命题； 对于C选项：当时，，所以命题“，”为假命题； 对于D选项，，，则，所以命题“，”为真命题； 故选：ABC. 8．下列全称命题与特称命题中，是真命题的为（    ） A．设A，B为两个集合，若，则对任意，都有 B．设A，B为两个集合，若A不包含于B，则存在，使得 C．是无理数 ，是有理数 D．是无理数，是无理数 【答案】ABD 【分析】对于选项A、B由集合直接的包含，不包含关系的定义判断； 对于选项C找出一个不符合即错误； 对于选项D找出一个符合即正确； 综上得出答案. 【详解】对于选项A：根据的定义可知，任意，都有，故A正确； 对于选项B：若A不包含于B，则存在，使得，故B正确； 对于选项C：是无理数，而还是无理数，故C错误； 对于选项D：是无理数，而还是无理数，故D正确. 故选：ABD. 9．已知p：，成立，则下列选项是p的充分不必要条件的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】依题意由存在量词命题为真求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 【详解】解：由p：，成立，得当时，，即. 对于A，“”是“”的充分不必要条件； 对于B，“”是“”的既不充分也不必要条件； 对于C，“”是“”的充分不必要条件； 对于D，“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：AC. 三、填空题 10．有下列四个命题： ①对任意实数均有；             ②不存在实数使； ③方程至少有一个实数根；   ④使， 其中假命题是 （填写所有假命题的序号）． 【答案】③ 【分析】根据不等式的性质判断①，根据完全平方数的非负性判断②，计算即可判断③，利用特殊值判断④. 【详解】对于①：因为，所以对任意实数均有，故①为真命题； 对于②：因为，所以不存在实数使，故②为真命题； 对于③：对于方程，， 故方程无实数根，所以③为假命题； 对于④：当时，故使，即④为真命题. 故答案为：③ 11．已知命题”为真命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】为真命题，即方程在范围内有实根，解得答案. 【详解】为真命题，即方程在范围内有实根， 故，故. 故答案为： 12．已知集合，，若命题，是真命题，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题可得，然后分类讨论根据集合的包含关系即得. 【详解】由于命题，是真命题， 所以, 当时，，解得； 当时，， 解得， 综上，m的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题 13．命题：“，”，命题：“，”，若，都为真命题时，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据任意性、存在性的定义，结合二次函数的性质、一元二次方程根的判别式进行求解即可. 【详解】由，当时，二次函数单调递增，所以有， 因为为真命题，所以有； 因为为真命题，所以方程有实数根， 因此有，或， 因此要想，都为真命题，只有，或，解得，或， 所以实数的取值范围为. 14．已知集合，或. (1)求CRB、(CRA) ∪B； (2)若集合，且，为假命题，求的取值范围. 【答案】(1)，或 (2)或 【分析】（1）利用补集、交集的定义计算可得集合、； （2）分析可知，分、两种情况讨论，结合可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：已知集合，或， 则或，，或. （2）解：因为，为假命题，则，为真命题，所以，. ①当时，即当时，，则成立； ②当时，即当时，，由题意可得或， 解得或，此时. 综上所述，或. 15．已知集合，. (1)若“命题：，”是真命题，求的取值范围. (2)“命题：，”是假命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由命题是真命题得，再根据集合关系求解即可； （2）由命题是假命题得，再分和两种情况讨论，从而可得答案. 【详解】（1）解：因为命题是真命题，所以， 当时，，解得， 当时，则，解得， 综上m的取值范围为； （2）解：因为“命题：，”是假命题，所以， 当时，，解得， 当时，则或，解得， 综上的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$