专题1.8 勾股定理的应用（专项练习）（基础练）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.8 勾股定理的应用（专项练习）（基础练） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24八年级下·四川德阳·期中）如图，一个梯子长为5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角间的距离为3米，梯子滑动后停在的位置上，测得的长为1米，则梯子顶端A下落了（　　） A．1米 B．2米 C．3米 D．5米 2．（23-24八年级下·河南新乡·期中）《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长?若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的C处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·安徽·假期作业）如图，一棵树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离底部8米处，树折断之前的高度是（   ） A．6米 B．8米 C．10米 D．16米 5．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，一根长的牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，甲乙两艘轮船从某港口同时出发，各自沿一固定方向航行，其中甲航行方向为北偏西，乙航行方向为北偏东，甲每小时航行12海里，乙每小时航行16海里，他们离开港口两小时后分别位于点处，则此时两船相距（    ）海里． A．36 B．40 C．48 D．50 7．（2024八年级下·全国·专题练习）山西地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型，整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（）绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（　　） A．7km B．6km C．5km D．2km 8．（23-24八年级下·宁夏石嘴山·期中）如图，在高为，斜坡长为的楼梯台阶上铺地毯（    ） A．7 B．8 C．9 D．5 9．（23-24八年级下·河北唐山·期中）《醉翁亭记》中写道：“射者中”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（    ）    A． B． C． D． 10．（2023·河北秦皇岛·三模）如图，点P为观测站，一艘巡航船位于观测站P的南偏西方向的点A处，一艘渔船在观测站P的南偏东方向的点B处，巡航船和渔船与观测站P的距离分别为45海里、60海里．现渔船发生紧急情况无法移动，巡航船以30海里/小时的速度前去救助，至少需要的时间是（    ）    A．小时 B．2小时 C．小时 D．4小时 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2024八年级下·天津·专题练习）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，底端离墙的距离为，当梯子下滑到时，，则 m． 12．（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米．若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离（）5米．则旗杆的高度为 ． 13．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）如图，有两棵树，一棵高为米，另一棵高为米，两树相距米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，那么小鸟至少飞行 米． 14．（23-24八年级下·湖北荆州·期末）我国古代数学著作《九章算术》有一个问题：如图，一根竖直的竹子高1丈（1丈10尺），折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度是 ． 15．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，一根长为的吸管一端触底放在一个圆柱形杯子中，测得杯子的内部底面直径为，高为，则吸管露出杯口外的长度x的取值范围是 ． 16．（23-24七年级下·全国·假期作业）一艘轮船以的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距 ． 17．（22-23八年级下·浙江台州·期中）某工程队负责挖掘一处通山隧道，为了保证山脚A，B两处出口能够直通，工程队在工程图上留下了一些测量数据（此为山体俯视图，图中测量线拐点处均为直角，数据单位：米）．据此可以求得该隧道预计全长 米． 18．（22-23八年级下·重庆忠县·期末）如图是某幼儿园楼梯的截面图，拟在楼梯上铺设防撞地段，若防撞地毯每平方米售价为元，楼梯宽为2米，则幼儿园购买防撞地毯至少需要 元．    三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）（23-24八年级下·河南新乡·期中）小区内有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送1.8m（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 20．（8分）（23-24八年级下·河南漯河·期中）如图①，为直立在水平操场上的旗杆，旗绳自然下垂，发现旗绳的长度比旗杆的高度多，现在要测量旗杆的高度（不许将旗杆放倒）． (1)第一小组的方法是将旗绳的底端从点B滑动到点C，并使旗绳笔直，如图②，此时测量得出，请按此方法求出旗绳的长度； (2)第二小组的方法是利用高的标杆，将旗绳的底端与标杆顶端D重合，并移动标杆至旗绳笔直，且标杆垂直于地面，如图③，请利用（1）中的结论求出标杆和旗杆的水平距离的长度）． 21．（10分）（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，大风把一棵树刮断，已知被刮断前树高，倒下后树干顶部离根部距离，求树折断处与地面的距离（即的长）． 22．（10分）（20-21八年级上·江苏扬州·期末）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边．求水深和芦苇长各是多少尺？ 23．（10分）（23-24八年级上·广东佛山·期中）某段公路限速是100km/h．“流动测速小组”的小王在距离此公路400m的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从C处行驶10s后到达B处，测得，若． (1)求BC的长度； (2)求出速度判断可疑汽车是否超速？ 24．（12分）在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一处需要爆破，已知点与公路上的停靠站的距离为300米，与公路上另一停靠站的距离为400米，且，如图，为了安全起见，爆破点周围250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路段是否有危险？是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】本题考查了勾股定理的应用；解决本题关键在于能找出其中的不变量，在不同的直角三角形中应用勾股定理．在中用勾股定理可得，梯子长，在中用勾股定理可得的长，即可计算． 【详解】解：中，米 中，米，梯子长， 米， 米； 故选A． 2．A 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据题意利用勾股定理可直接进行列式求解． 【详解】解：设绳索长x尺，则木柱高为尺， 由题意得：； 故选：A． 3．A 【分析】本题考查勾股定理解实际问题，读懂题意，作出图形，数形结合求出最短路径长度是解决问题的关键． 过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是， 故选：A． 4．D 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据图形，可以知道两直角边的长度，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边的长，即可得解． 【详解】解：由题意得：米，米，， ∴米， （米． 树折断之前有16米． 故选：D． 5．C 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键． 根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：牙刷在杯内的长度，最短为竖直放置时长度为水杯高，此时露在杯子外面的长度为，最长； 当牙刷倾斜放置对角线位置时，杯内长度最长为，此时露在杯外的长度最短为． ∴， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查勾股定理解三角形，理解方位角的定义，准确建立直角三角形，熟练运用勾股定理是解题关键．由题意，首先确定出直角三角形，以及两直角边长，然后结合勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴，即为直角三角形， 两小时后，（海里），（海里）， ∴在中，（海里）， ∴此时两轮船相距40海里． 故选：B． 7．B 【分析】本题考查勾股定理，由勾股定理求出，因此，即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴从A村到B村比原来减少的路程为． 故选：B． 8．A 【分析】此题考查了勾股定理的应用及平移的知识，利用勾股定理求出的长度是解答本题的关键．先求出的长，利用平移的知识可得出地毯的长度． 【详解】解：在中，（米）， 故可得地毯长度（米）， 故选：A． 9．A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，求出箭在投壶外面部分的最大长度和最小长度即可判断求解，利用勾股定理求出箭在投壶外面部分的最小长度是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，箭在投壶外面部分的最大长度为， 最小长度为， ∴箭在投壶外面部分的长度不可能是， 故选：． 10．C 【分析】利用角度关系得到直角，再利用勾股定理求出，再使用路程公式求出时间即可． 【详解】， 连接，   中， 巡航船前去救助，沿直线方向用时最少， 故选C． 【点拨】本题考查解直角三角形，利用题中的数据找到直角三角形，并采用勾股定理求出路程是解题的关键． 11．2 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用．在中，根据勾股定理得出，进而得出，利用勾股定理得出，进而解答即可． 【详解】解：在中，根据勾股定理，可得：（米）， （米）， 在中，（米）， （米）， 故答案为：2． 12．12米/ 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设旗杆米，则绳长米，利用勾股定理解即可． 【详解】解：设旗杆米，则绳长米， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， 即旗杆的高度为12米， 故答案为：12米． 13．26 【分析】本题考查了勾股定理与实际问题，根据题意构建模型，过点B作，交于点A，由题意可得，，，根据题意可证明四边形是矩形，，，可得，在中，，根据勾股定理得，即可得，掌握两点之间线段最短，矩形的判定，勾股定理，根据题意构建出模型是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点B作，交于点A， 由题意可得，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，根据勾股定理得， ， 即一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，那么小鸟至少飞行， 故答案为：． 14．尺 【分析】本题考查了勾股定理的应用，竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：1丈10尺， 设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得： 解得：． 答：折断处离地面的高度为尺． 故答案为：尺． 15． 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理，并在实际问题中构造直角三角形是解答的关键；根据杯子内吸管的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：当吸管与杯底垂直时x最大， ； 当吸管与杯底及杯高构成直角三角形时x最小， ∴ 故答案为：． 16．17 【分析】本题考查了勾股定理得实际应用，正确理解题意并熟练掌握勾股定理是解题的关键；根据题意可得，再分别求出，，进而运用勾股定理求解即可； 【详解】如图，由题意知，， 在中，， 它们离开港口半小时后相距， 故答案为：17 17．1000 【分析】延长700米和400米的两边，交于点C，分析得出，再分别求出和，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，延长700米和400米的两边，交于点C， 由题意可得：， 由图中数据可得：， ， ∴米， 故答案为：1000． 【点拨】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形． 18． 【分析】根据勾股定理得，水平的直角边为，地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长，即可得地毯的长为，根据地毯的宽为2米，即可得地毯的面积为，即可地． 【详解】解：根据勾股定理得，水平的直角边为：， 地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长， 即地毯的长为， ∵地毯的宽为2米， ∴地毯的面积为：， ∴幼儿园购买防撞地毯至少需要：（元）， 故答案为：． 【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，掌握勾股定理． 19．绳索的长度是3米． 【分析】此题考查了勾股定理的应用．设秋千的绳索长为，表示出的长，列出，代入数据即可求解． 【详解】解：设秋千的绳索长为，根据题意可得， 由题意得，， ∴， 在中，， ， 解得：， 绳索的长度是3米． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键将实际问题转化为几何问题． （1）根据题意可知构成直角三角形，设，根据勾股定理即可求得的长度； （2）过点D作，垂足为F，于是构成矩形，在直角三角形中利用勾股定理即可求得的长，即为标杆和旗杆的水平距离的长度． 【详解】（1）设旗绳的长度为，则旗杆的长为， 解得：，即． 答：旗绳的长度为． （2）由题意可知： 过点D作，垂足为F， 则， 答：标杆与旗杆的水平距离为． 21． 【分析】本题考查了勾股定理的应用．由题意知，，，即，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，，即， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴ 树折断处与地面的距离（即的长）为． 22．水深尺，芦苇长尺 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为尺，则尺，设出尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺，    因为尺，所以尺， 在中，， 解之得， 即水深尺，芦苇长尺． 23．(1)m； (2)可疑汽车已经超速． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用． （1）根据勾股定理求出敌方汽车行驶的距离； （2）根据速度的计算公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，m，m， 由勾股定理得，m； （2）解：km/h， ， 答：可疑汽车已经超速． 24．有危险，需要暂时封锁；理由见解析． 【分析】本题需要判断点C到AB的距离是否小于250米，如果小于则有危险，大于则没有危险．因此过C作于D，然后根据勾股定理在中即可求出的长度，然后利用三角形的面积公式即可求出，然后和250米比较大小即可判断需要暂时封锁． 【详解】解：有危险，需要暂时封锁． 理由：如图，过作于，    米，米，， ∴在中，米， ∵， ∴米． ∵， ∴有危险，段公路需要暂时封锁． 【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用直角三角形的性质求出的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$