预习09 函数的概念及其表示（七大考点）-2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019）

2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019） 预习09函数的概念及其表示 一、函数的概念 1．函数的定义：设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作. 2．函数的定义域与值域：函数中,叫做自变量,x的取值范围叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域．显然,值域是集合的子集． 3．对应关系 除解析式、图象表格外,还有其他表示对应关系的方法,引进符号统一表示对应关系． 注意： （1）当为非空数集时,符号“”表示到的一个函数． （2）集合中的数具有任意性,集合中的数具有唯一性． （3）符号“”它表示对应关系,在不同的函数中的具体含义不一样． 二、同一个函数 1．函数三要素：由函数的定义可知,一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域． 2．相同函数：值域是由定义域和对应关系决定的,如果两个函数的定义域和对应关系相同,我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同,但定义域不同,则它们不是相同的函数． 三、区间 1．区间的概念(为实数,且) 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 2．其他区间的表示 定义 符号 四、常见函数的定义域和值域 函数 函数关系式 定义域 值域 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 考点01 函数关系的判断 【方法点拨】（1）判断对应关系是否为函数的2个条件：:①必须是非空数集；②中任意一元素在中有且只有一个元素与之对应； （2）根据图形判断对应是否为函数的方法：①任取一条垂直于轴的直线.②在定义域内平行移动直线.③若与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 1．下图中可表示函数的图象是（    ） A．B．C．D． 2．（多选）下列对应关系：是集合到集合的函数关系的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 4．给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（    ） A． B． C． D． 5．已知是集合A到集合B的函数，如果集合，那么集合A可能情况数为（    ） A．9 B．10 C．31 D．32 考点02 用区间表示数集 【方法点拨】应用区间时的3个注意点：①区间是数集，区间的左端点小于右端点；②在用区间表示集合时，开和闭不能混淆；③用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点． 6．下列叙述正确的是（    ） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 7．将下列集合用区间表示出来． (1)； (2)； (3)； (4)或． 8．已知集合，，则 ． 9．用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合. 10．下列集合不能用区间的形式表示的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 考点03 求具体函数的定义域 【方法点拨】（1）若是整式，则函数的定义域是R； （2）若是分式，则应考虑使分母不为零； （3）若是偶次根式，则被开方数大于或等于零； （4）若是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集； （5）若是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义 11．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 12．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 13．求下列函数的定义域 (1) (2) (3) 14．函数的定义域为 ． 15．函数的定义域是 .（结果写成集合或区间形式，否则不得分） 考点04 同一函数的判断 【方法点拨】判断两个函数是否为同一函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同． 16．下列四个函数中，与表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 17．与表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 18．（多选）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 19．（多选）下列各组函数表示同一函数的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 20．（多选）下列每组函数不是同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 考点05 求函数值 【方法点拨】（1）已知的表达式时，只需用替换表达式中的即得的值． （2）求的值应遵循由里往外的原则． 21．已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．3 22．已知函数，且，则 ． 23．已知，则 ． 24．设函数的定义域为，满足，当时，，则 25．已知函数，若则a的值为 ． 考点06 求函数值域 【方法点拨】常用方法：①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到； ②配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域； ③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域； ④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于 (其中为常数，且型的函数常用换元法． 26．下列函数的定义域与值域相同的是（    ） A． B． C． D． 27．求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 28．（多选）下列函数中，值域为R的是（    ） A． B．   C． D． 29．给出下列4个函数：① ；② ；③ ﹔④ ．其中值域为的函数有 （写出所有正确的序号） 30．试求下列函数的定义域与值域． (1)，； (2)； (3)； (4). 考点07 求抽象函数的定义域 【方法点拨】（1）已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，则中，从中解得的取值集合即为的定义域． （2）已知的定义域，求的定义域：若f[g(x)]的定义域为，即，求得的取值范围，的值域即为的定义域． 31．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 32．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 33．若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 34．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 35．若函数的定义域为，则函数的定义域为 . 一、单选题 1．如下图所示，向高为的水瓶 A，B，C，D 同时以等速注水，注满为止；若水深 与注水时间 的函数图象如图，则水瓶的形状是（    ）    A．     B．   C．   D．   2．已知集合，（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．若，那么（    ） A．0 B．3 C．15 D．30 5．下列各组函数是同一函数的是（    ） ①，；②与 ③与；④， A．②③ B．①④ C．①② D．②③④ 二、多选题 6．已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（    ） A． B． C． D． 7．函数的图象如图所示，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．当时，只有唯一的与之对应 D． 三、填空题 8．若函数的定义域为，则的定义域为 ． 9．写出一个定义域为，值域为的函数 ． 四、解答题 10．已知函数， (1)求的定义域； (2)求，的值； 11．已知函数. (1)求的定义域； (2)若，求的值； (3)求证：. 12．求下列函数的值域. (1); (2); (3),. 13．已知函数 (1)求的值． (2)求证：是定值． (3)求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019） 预习09函数的概念及其表示 一、函数的概念 1．函数的定义：设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作. 2．函数的定义域与值域：函数中,叫做自变量,x的取值范围叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域．显然,值域是集合的子集． 3．对应关系 除解析式、图象表格外,还有其他表示对应关系的方法,引进符号统一表示对应关系． 注意： （1）当为非空数集时,符号“”表示到的一个函数． （2）集合中的数具有任意性,集合中的数具有唯一性． （3）符号“”它表示对应关系,在不同的函数中的具体含义不一样． 二、同一个函数 1．函数三要素：由函数的定义可知,一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域． 2．相同函数：值域是由定义域和对应关系决定的,如果两个函数的定义域和对应关系相同,我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同,但定义域不同,则它们不是相同的函数． 三、区间 1．区间的概念(为实数,且) 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 2．其他区间的表示 定义 符号 四、常见函数的定义域和值域 函数 函数关系式 定义域 值域 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 考点01 函数关系的判断 【方法点拨】（1）判断对应关系是否为函数的2个条件：:①必须是非空数集；②中任意一元素在中有且只有一个元素与之对应； （2）根据图形判断对应是否为函数的方法：①任取一条垂直于轴的直线.②在定义域内平行移动直线.③若与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 1．下图中可表示函数的图象是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【详解】根据函数的定义可知一个只能对应一个值，故答案为B. 故选：B. 2．（多选）下列对应关系：是集合到集合的函数关系的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】AC 【详解】对于A中，集合，，可得为多对一对应， 所以是函数关系，符合题意； 对于B中，集合，可得集合中的元素，在集合中没有元素与之对应，所以不是函数关系，不符合题意； 对于C中，集合，，可得为多对一对应， 所以是函数关系，符合题意； 对于D中，集合，，可得集合中的一个元素，在集合中有两个元素与之对应，所以不是函数关系，不符合题意. 故选：AC. 3．设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A,集合M中的3对应了集合N中的两个数,A错误; 对于B,集合M中的2对应了集合N中的两个数,B错误; 对于C,集合M中的每个数在集合N中都有唯一的数对应,C正确; 对于D,集合M中的3对应了集合N中的两个数,D错误, 故选:C. 4．给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A选项，，当时，，由于，故A选项不合要求； B选项，，存在唯一确定的，使得，故B正确； CD选项，对于，不妨设，此时，解得， 故不满足唯一确定的与其对应，不满足要求，CD错误. 故选：B 5．已知是集合A到集合B的函数，如果集合，那么集合A可能情况数为（    ） A．9 B．10 C．31 D．32 【答案】C 【详解】由题意可知，是集合A到集合B的函数， 令，得，令，得，令，得， 所以集合是集合的非空子集，并且非空子集的个数为个. 故选：C 考点02 用区间表示数集 【方法点拨】应用区间时的3个注意点：①区间是数集，区间的左端点小于右端点；②在用区间表示集合时，开和闭不能混淆；③用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点． 6．下列叙述正确的是（    ） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 【答案】D 【详解】对于A，用区间可表示为，错误； 对于B，用区间可表示为，错误； 对于C，用集合可表示为，错误； 对于D，用集合可表示为，正确； 故选：D 7．将下列集合用区间表示出来． (1)； (2)； (3)； (4)或． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【详解】（1）解：用区间表示为； （2）解：用区间表示为； （3）解：用区间表示为； （4）解：或用区间表示为. 8．已知集合，，则 ． 【答案】 【详解】因为，，所以. 故答案为：. 9．用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）写成区间即为. （2），解出，写成区间即为. 10．下列集合不能用区间的形式表示的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】区间形式可以表示连续数集，是无限集 ①②是自然数集的子集，③是空集为有限集，都不能用区间形式表示， ④是图形的集合，不是数集，等边三角形组成的集合． ⑥Q是有理数，数轴上大于1的有理数不是连续的， 故只有⑤可以，区间形式为， 故答案为：D. 考点03 求具体函数的定义域 【方法点拨】（1）若是整式，则函数的定义域是R； （2）若是分式，则应考虑使分母不为零； （3）若是偶次根式，则被开方数大于或等于零； （4）若是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集； （5）若是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义 11．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】要使函数有意义，则，得，所以函数的定义域为． 故选：C． 12．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， ， 所以，所以， 故选:C． 13．求下列函数的定义域 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）要使分式有意义，则， 由任意，恒成立， 故函数的定义域为； （2）要使式子各部分有意义，则，解得，且. 故的定义域为； （3）要使分式有意义，则， 当时，，则在恒有意义； 当时，，则，无意义； 综上可知，的定义域为. 14．函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为函数的定义域为. 故答案为：. 15．函数的定义域是 .（结果写成集合或区间形式，否则不得分） 【答案】 【详解】由题意知，，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 考点04 同一函数的判断 【方法点拨】判断两个函数是否为同一函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同． 16．下列四个函数中，与表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，和的对应关系不相同，不是同一个函数，故选项A不符合； 对于B，和的对应关系不相同，不是同一个函数，故选项B不符合； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同， 不是同一个函数，故选项C不符合； 对于D，函数的定义域和对应关系与都相同，是同一个函数，故选项D符合. 故选：D. 17．与表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， A选项，，不符合题意. B选项，，不符合题意. C选项，，符合题意. D选项，，不符合题意. 故选：C 18．（多选）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BD 【详解】对A：对的定义域为，则， 故与不是同一函数，故A错误； 对B：，， 故与是同一函数，故B正确； 对C：定义域为，即，定义域为， 即或，故与不是同一函数，故C错误； 对D：与定义域与对应关系都相同， 故与是同一函数，故D正确. 故选：BD. 19．（多选）下列各组函数表示同一函数的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BCD 【详解】对于A，的定义域为，而函数的定义域为R，故A错误； 对于B，函数，，故B正确； 对于C，函数，，故C正确； 对于D，函数，，故D正确. 故选：BCD. 20．（多选）下列每组函数不是同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【详解】对于选项A：的定义域是，的定义域为R，定义域不同，故不是同一函数； 对于选项B：，对应法则不同，故不是同一函数； 对于选项C：由得或，所以的定义域是， 由得，所以的定义域为，定义域不同，故不是同一函数； 对于选项D： 与三要素相同，仅表示自变量的字母不同，是同一函数. 故选：ABC 考点05 求函数值 【方法点拨】（1）已知的表达式时，只需用替换表达式中的即得的值． （2）求的值应遵循由里往外的原则． 21．已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】取，有. 故选：D. 22．已知函数，且，则 ． 【答案】/0.5 【详解】令 . 故答案为：. 23．已知，则 ． 【答案】5 【详解】由题意，，则． 故答案为：5 24．设函数的定义域为，满足，当时，，则 【答案】/ 【详解】由可得， 又，所以， 可得. 故答案为： 25．已知函数，若则a的值为 ． 【答案】-2或1 【详解】由，解得或者， 故答案为：-2或1. 考点06 求函数值域 【方法点拨】常用方法：①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到； ②配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域； ③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域； ④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于 (其中为常数，且型的函数常用换元法． 26．下列函数的定义域与值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域和值域都为R，A正确； 的定义域为，值域为，B错误； 的定义域为R，值域为，C错误； 的定义域为R，值域为，D错误. 故选：A 27．求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）因为，所以．故值域为． （2）因为，且，所以，所以，故函数的值域为． （3）令，则，且， 所以（）．故函数的值域． （4），其中，， 当时，． 又因为，所以． 故函数的值域为． （5）因为，所以，所以， 当且仅当，即时，取等号，即取得最小值8． 故函数的值域为． 28．（多选）下列函数中，值域为R的是（    ） A． B．   C． D． 【答案】AC 【详解】和的值域都为R； 的值域为； 的值域为 ． 故选：AC． 29．给出下列4个函数：① ；② ；③ ﹔④ ．其中值域为的函数有 （写出所有正确的序号） 【答案】②④ 【详解】由一次函数的性质可知①的值域为R； 由二次函数的性质可知，即其值域为； 由反比例函数的性质可知③的值域为； 由分段函数的性质及绝对值的意义可知，即其值域为； 综上可知：②④正确. 故答案为：②④ 30．试求下列函数的定义域与值域． (1)，； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)定义域为，值域为 (2)定义域为，值域为 (3)定义域是，值域为 (4)定义域是，值域是. 【详解】（1）因为的定义域为，则， 同理可得，，，，所以函数的值域为. （2）函数的定义域为R，因为，所以函数的值域为. （3）函数的定义域为，因为， 所以函数的值域为. （4）要使函数有意义，需满足，即，故函数的定义域是. 设，则，于是， 又，所以，所以函数的值域为. 考点07 求抽象函数的定义域 【方法点拨】（1）已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，则中，从中解得的取值集合即为的定义域． （2）已知的定义域，求的定义域：若f[g(x)]的定义域为，即，求得的取值范围，的值域即为的定义域． 31．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得且，解得且， 故的定义域为. 故选：B 32．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】 【详解】∵函数的定义域为，即，可得， ∴函数的定义域为， 令，解得， 故函数的定义域为. 故答案为： 33．若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，函数的定义域为， 由得， 所以对于函数， 由，解得， 所以的定义域为. 故选：D 34．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【详解】由函数的定义域为，则有， 令，解得. 故答案为：. 35．若函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【详解】函数的定义域为，得，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 一、单选题 1．如下图所示，向高为的水瓶 A，B，C，D 同时以等速注水，注满为止；若水深 与注水时间 的函数图象如图，则水瓶的形状是（    ）    A．     B．   C．   D．   【答案】D 【详解】A中的水瓶水面上升的速率越来越慢，不符合题意； B中的水瓶水面上升的速率越来越快，不符合题意； C中的水瓶的水面上升是均匀的，图象是一条直线，不符合题意； D中的水瓶的水面上升的速率先变慢再变快，和给出的图象相符， 故选：D． 2．已知集合，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，得. 故选：D． 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为， 所以中，，解得：， 所以函数的定义域为. 故选：B 4．若，那么（    ） A．0 B．3 C．15 D．30 【答案】A 【详解】令，解得， 所以. 故选：A 5．下列各组函数是同一函数的是（    ） ①，；②与 ③与；④， A．②③ B．①④ C．①② D．②③④ 【答案】A 【详解】对于①，函数与的定义域均为， 但是，则两函数对应关系不同，故不是同一函数，不合题意； 对于②，的定义域为，的定义域为， 且，所以与是同一函数，符合题意； 对于③，与的定义域均为，且两函数对应关系相同， 故它们是同一函数，符合题意； 对于④，的定义域是； ，解得或， 所以的定义域是， 两函数定义域不同，所以不是同一函数，不合题意. 故选：A 二、多选题 6．已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，的图象可看作由的图象向左平移一个单位得到的，故值域不变，正确； 对于B，由可得，即的值域为，错误； 对于C，函数与函数的图象关于y轴对称， 故函数的值域与函数的值域相同，为，正确； 对于D，由可得，即的值域为，错误. 故选：AC 7．函数的图象如图所示，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．当时，只有唯一的与之对应 D． 【答案】ABD 【详解】函数的定义城为，值域为. A，B正确. 当时，只有唯一的与之对应，C错误. . D正确. 故选：ABD 三、填空题 8．若函数的定义域为，则的定义域为 ． 【答案】 【详解】因为函数的定义域为， 所以， 所以要使函数有意义， 则，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 9．写出一个定义域为，值域为的函数 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】因为定义域为，值域为，关于对称， 所以函数定义域为，值域为， 结合反比例函数模型可得， 故答案为：（答案不唯一） 四、解答题 10．已知函数， (1)求的定义域； (2)求，的值； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以， 所以的定义域为 （2）因为， 所以， 11．已知函数. (1)求的定义域； (2)若，求的值； (3)求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）要使函数有意义，只需，解得， 所以函数的定义域为． （2）因为， 所以，解得. （3）因为， 所以， 而， 所以. 12．求下列函数的值域. (1); (2); (3),. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设,则, 所以, 根据二次函数的图像和性质,函数的值域为. （2）函数的定义域为, , 所以函数的值域为. （3）因为函数的对称轴为, 所以函数在单调递减,单调递增, 所以函数的值域为. 13．已知函数 (1)求的值． (2)求证：是定值． (3)求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为， 所以； （2）证明：为定值； （3）由（2）可知，，， 所以 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$