巩固培优：长方体和正方体(讲义)-2023-2024学年五年级下册数学人教版

长方体和正方体 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 1．长方体的特征 【知识点归纳】 长方体的特征： 1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同． 2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱． 3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高． 4．长方体相邻的两条棱互相垂直． 2．长度的单位换算 【知识点归纳】 1千米＝1000米， 1米＝10分米＝100厘米＝1000毫米； 1分米＝10厘米＝100毫米； 1厘米＝10毫米． 单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率． 3．体积、容积及其单位 【知识点归纳】 体积，或称容量、容积，几何学专业术语，是物件占有多少空间的量． 体积的国际单位制是立方米． 常用的单位：立方米、立方分米、立方厘米、立方毫米． 4．体积、容积进率及单位换算 【知识点归纳】 体积单位： 1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米 1立方分米＝1000立方厘米， 容积单位： 1升＝1000毫升 1升＝1立方分米＝1000立方厘米 1毫升＝1立方厘米 单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率． 5．长方体和正方体的表面积 【知识点归纳】 长方体表面积：六个面积之和． 公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体表面积：六个正方形面积之和． 公式：S＝6a2．（a表示棱长） 6．长方体和正方体的体积 【知识点归纳】 长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长） 7．长方体、正方体表面积与体积计算的应用 【知识点归纳】 （1）长方体： 底面是矩形的直平行六面体，叫做长方体． 长方体的性质：六个面都是长方形，（有时有两个面是正方形）；相对的面面积相等；12条棱相对的4条棱长相等；8个顶点；相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫长、宽、高；两个面相交的边叫做棱；三条棱相交的点叫做顶点． 长方体的表面积：等于它的六个面的面积之和． 如果长方体的长、宽、高、表面积分别用a、b、h、S表示，那么：S表＝2（ab+ah+bh） 长方体的体积：等于长乘以宽再乘以高． 如果把长方体的长、宽、高、体积分别用a、b、h、V表示，那么：V＝abh （2）正方体： 长宽高都相等的长方体，叫做正方体． 正方体的性质：六个面都是正方形；六个面的面积相等；有12条棱，棱长都相等；有8个顶点；正方体可以看做特殊的长方体． 正方体的表面积：六个面积之和． 如果正方体的棱长、表面积分别用a、S表示，那么：S表＝6a2 正方体的体积：棱长乘以棱长再乘以棱长． 如果把正方体的棱长、体积分别用a、V表示，那么：V＝a3 第二部分 典型例题 例题1：用如图的五块玻璃做一个鱼缸，这个鱼缸能装多少升水？（玻璃的厚度不计） 【分析】由于这个鱼缸无盖，看哪个规格的玻璃只有一块，那么这块玻璃就是底面；根据长方体的前后两面相等、左右两面相等，就可以确定其他四个面，进而得到长方体的长、宽和高；根据长方体的体积公式V＝abh得到这个鱼缸的体积，进而确定它的容积。 【解答】解：如图所示安装玻璃，即可做成长方体无盖鱼缸； 4.5×2×1.5 ＝9×1.5 ＝13.5（立方分米） 13.5立方分米＝13.5升 答：这个鱼缸能装水13.5升。 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征及应用，长方体的体积（容积）公式及应用，关键是熟记公式。 例题2：下面容器的容量各是多少？连一连。 【分析】根据各容器所盛液体的多少，直接连线即可。 【解答】解： 【点评】此类问题要联系实际，不能和实际相违背。六．操作题（共1小题） 例题3：宣纸质地柔韧、经久耐用，被称为千年寿纸。陈师傅将宣纸加工制作成一个封闭的长方体灯罩，它长3cm、宽1cm且它的侧面展开图（如图）是一个正方形。 （1）请在右图中画出灯罩的另外两个面。 （2）求这个封闭灯罩的表面积和体积。 【分析】（1）根据已知的两个面，可以确定另外两个面的长和宽，据此画出即可。 （2）根据正方形的边长，可计算出这个长方体的长，再根据长方体的表面积和体积公式解答即可。 【解答】解：（1）如下： （画法不唯一） （2）（3+1）×2＝8（厘米） 表面积：（3×1+3×8+1×8）×2 ＝35×2 ＝70（平方厘米） 体积：3×1×8＝24（立方厘米） 答：这个封闭灯罩的表面积是70平方厘米，体积是24立方厘米。 【点评】本题主要考查了长方体的特征及表面积、体积的计算方法。 第三部分 高频真题 一．选择题（共5小题） 1．下面物体中，（　　）的体积最接近1cm3。 A． B． C． D． 2．在下面的容器中，（　　）的容量比1升小。 A．一次性纸杯 B．电饭煲 C．电冰箱 3．四个同样的礼品盒，每个长10cm，宽7cm，高2cm。下面三种不同的包装方式，（　　）最省包装纸。 A． B． C． 4．一个长方体，如果将高增加2cm就变成一个棱长为acm正方体，那么这个长方体变成正方体过程中，体积和表面积分别增加了（　　） A．2a2cm3和4acm2 B．2a2cm3和8acm2 C．4a2cm3和8acm2 5．把一个长10cm、宽8cm、高6cm的长方体，切成两个相等的长方体，它们的表面积之和比原来最多增加（　　）平方厘米。 A．480 B．160 C．96 D．80 二．填空题（共5小题） 6．把1.8米的长方体材料（如图），平均锯成3段，表面积比原来增加2.8平方分米，原来这根木料的体积是 　 　立方分米。 7．4300立方厘米＝　 　立方分米 0.08立方米＝　 　立方厘米 2升＝　 　立方厘米 450毫升＝　 　升 8．一个正方体的棱长是3.5cm，它的棱长总和是 　 　cm，一个长方体长5cm、宽4cm、高3cm，它的棱长总和是 　 　cm。 9．9升＝　 　立方分米 6升30毫升＝　 　升 10．2.02立方米＝　 　立方米 　 　立方分米 4.5千米＝　 　米 500毫升＝　 　升 三．判断题（共5小题） 11．把体积1立方分米的长方体放在桌子上，它所占面积是1平方分米．　 　． 12．判断对错。（1）求长方体水池的占地面积就是求长方体的底面积。　 　 （2）长方体最多有4个面完全相同。　 　 （3）长方体或正方体的6个面，叫做它的表面积。　 　 （4）如果一个长方体和一个正方体的所有棱长之和相等，那么它们的表面积也相等。　 　 （5）一个长方体的长、宽、高都扩大2倍，它的表面积就扩大8倍。　 　 （6）棱长为a的正方体的表面积是6a。　 　 （7）如果一个正方体的棱长之和是24cm，那么它的表面积是24cm2。　 　 13．《九章算术）书中在求底面是正方形的长方体体积时，这样概述；“方自乘，以高乘之即积尺”，就是说先用边长乘边长再乘高就得到长方体的表面积。 　 　 14．长方体（正方体除外）最多有4个大小相等的面．　 　． 15．从一个长方体上截下一个正方体，剩余部分的表面积一定比原长方体的表面积小。 　 　 四．计算题（共2小题） 16．一个正方体棱长和是60分米．求体积和表面积． 17．求如图图形的表面积． 五．应用题（共2小题） 18．一节长方体形状的铁皮通风管长2.5米，横截面是边长10厘米的正方形。做12节这样的通风管至少需要多少平方米铁皮？ 19．学校餐厅长10m，宽8m，高5m。除去门窗面积18.4m2，餐厅的墙壁和房顶都贴上壁纸。平均每平方米壁纸的价钱为5元，购买壁纸至少需要多少元？ 长方体和正方体 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 1．下面物体中，（　　）的体积最接近1cm3。 A． B． C． D． 【分析】根据生活实际情况和对体积的认识，的体积最接近1立方厘米，据此解答即可。 【解答】解：的体积最接近1立方厘米。 故选：B。 【点评】此类问题要联系实际，不能和实际相违背。 2．在下面的容器中，（　　）的容量比1升小。 A．一次性纸杯 B．电饭煲 C．电冰箱 【分析】根据生活实际，一次性纸杯的容量比1升小，据此解答即可。 【解答】解：一次性纸杯的容量比1升小，另外两个选项中容器的容积比1升大。 故选：A。 【点评】此类问题要联系实际，不能和实际相违背。 3．四个同样的礼品盒，每个长10cm，宽7cm，高2cm。下面三种不同的包装方式，（　　）最省包装纸。 A． B． C． 【分析】要想更省包装纸，就是四个长方体这盒拼成大长方体的表面积最小，由题意可知：只要求出哪种情况下，拼组后的大长方体的表面积与原来四个长方体的表面积之和相比，减少的面的面积最大，就最省包装纸。据此解答即可。 【解答】解：A、表面积减少了：10×7×6 ＝70×6 ＝420（平方厘米） B、表面积减少了：（10×2+7×2）×4 ＝34×4 ＝136（平方厘米） C、表面积减少了：（10×7+7×2）×4 ＝84×4 ＝336（平方厘米） 420＞336＞136 答：最省包装纸的方法是选项A。 故选：A。 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义及应用。明确：要使拼组后的表面积最小，则把最大的面相粘合。 4．一个长方体，如果将高增加2cm就变成一个棱长为acm正方体，那么这个长方体变成正方体过程中，体积和表面积分别增加了（　　） A．2a2cm3和4acm2 B．2a2cm3和8acm2 C．4a2cm3和8acm2 【分析】根据题意可知，一个长方体如果高增加2厘米，就变成了一个棱长为acm正方体；说明长和宽相等且都是a厘米，因此增加表面积是底面边长为a厘米，宽为a厘米，高为2厘米的长方体的侧面积，利用侧面积＝底面周长×高即可求解，增加的体积是V＝a×a×2。 【解答】解：增加表面积： （a+a）×2×2 ＝2a×4 ＝8a（平方厘米） 增加体积： a×a×2＝2a2（立方厘米） 答：增加表面积8a平方厘米；增加体积2a2立方厘米。 故选：B。 【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 5．把一个长10cm、宽8cm、高6cm的长方体，切成两个相等的长方体，它们的表面积之和比原来最多增加（　　）平方厘米。 A．480 B．160 C．96 D．80 【分析】由“一个长方体长10cm、宽8cm、高6cm，把它切成两个小长方体”可知，切成小长方体后增加了两个面，要求表面积最多增加多少，则增加的两个面是原长方体的两个最大面：长10cm，宽8cm的面，再根据长方形面积公式S＝长×宽，即可得出答案。 【解答】解：2×10×8 ＝20×8 ＝160（平方厘米） 答：它们的表面积之和比原来最多增加160平方厘米。 故选：B。 【点评】解答此题的关键是明白，切成小长方体后增加了两个面，要求表面积最多增加多少，则增加的两个面是原长方体的两个最大面。 二．填空题（共5小题） 6．把1.8米的长方体材料（如图），平均锯成3段，表面积比原来增加2.8平方分米，原来这根木料的体积是 　126　立方分米。 【分析】通过观察图形可知，把这个长方体木料横截成3段后，表面积比原来增加4个截面的面积，级才可以求出一个截面的面积，然后根据长方体的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。 【解答】解：1.8米＝18分米 2.8÷4×18 ＝7×18 ＝126（立方分米） 答：原来这根木料的体积是126立方分米。 故答案为：126。 【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 7．4300立方厘米＝　4.3　立方分米 0.08立方米＝　80000　立方厘米 2升＝　2000　立方厘米 450毫升＝　0.45　升 【分析】低级单位立方厘米化高级单位立方分米除以进率1000。 高级单位立方米化低级单位立方厘米乘进率1000000（即先乘1000化成立方分米，再乘1000化成立方厘米）。 高级单位升化低级单位立方厘米乘进率1000。 低级单位毫升化高级单位升除以进率1000。 【解答】解：4300立方厘米＝4.3立方分米 0.08立方米＝80000立方厘米 2升＝2000立方厘米 450毫升＝0.45升 故答案为：4.3，80000，2000，0.45。 【点评】立方米、立方分米（升）、立方厘米（毫升）相邻单位之间的进率是1000，由高级单位化低级单位乘进率，反之除以进率。 8．一个正方体的棱长是3.5cm，它的棱长总和是 　42　cm，一个长方体长5cm、宽4cm、高3cm，它的棱长总和是 　48　cm。 【分析】根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，代入数据，求出正方体棱长总和。根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长+宽+高）×4，代入数据，求出长方体棱长总和。 【解答】解：3.5×12＝42（cm） （5+4+3）×4 ＝（9+3）×4 ＝12×4 ＝48（cm） 答：一个正方体的棱长是3.5cm，它的棱长总和是42cm，一个长方体长5cm、宽4cm、高3cm，它的棱长总和是48cm。 故答案为：42；48。 【点评】本题考查的是长方体和正方体棱长总和计算方法的运用。 9．9升＝　9　立方分米 6升30毫升＝　6.03　升 【分析】1立方分米＝1升，1升＝1000毫升，单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率。 【解答】解：9升＝9立方分米 6升30毫升＝6.03升 故答案为：9，6.03。 【点评】此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率；把低级单位的名数换算成高级单位的名数，就除以单位间的进率。 10．2.02立方米＝　2　立方米 　20　立方分米 4.5千米＝　4500　米 500毫升＝　0.5　升 【分析】2.02立方米看作2立方米与0.02立方米之和，把0.02立方米乘进率1000化成20立方分米。 高级单位千米化低级单位米乘进率1000。 低级单位毫升化高级单位升除以进率1000。 【解答】解：2.02立方米＝2立方米20立方分米 4.5千米＝4500米 500毫升＝0.5升 故答案为：2，20；4500；0.5。 【点评】此题考查了长度的单位换算、体积（容积）的单位换算。单位换算首先要弄清是由高级单位化低级单位还是由低级单位化高级单位，其次记住单位间的进率。 三．判断题（共5小题） 11．把体积1立方分米的长方体放在桌子上，它所占面积是1平方分米．　×　． 【分析】根据正方体的特征，正方体的6个面都是正方形，6个面的面积都相等；如果是正方体，那么体积是1立方分米的木块放在桌面上所占桌面的面积也就是1平方分米；如果是长方体或其它形状，所占的桌面面积就不一定是1平方分米，据此判断即可． 【解答】解：如果是正方体，体积是1立方分米的正方体的棱长是1分米，它的底面积是：1×1＝1（平方分米）， 那么体积是1立方分米的物体放在桌面上，所占的桌面面积一定是1平方分米； 如果是长方体或其它形状，所占的桌面面积就不一定是1平方分米． 因此，把体积1立方分米的长方体放在桌子上，它所占面积是1平方分米．这种说法是错误的． 故答案为：×． 【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体、长方体等立体图形的特征． 12．判断对错。（对的打“√”，错的打“×”） （1）求长方体水池的占地面积就是求长方体的底面积。　√　 （2）长方体最多有4个面完全相同。　√　 （3）长方体或正方体的6个面，叫做它的表面积。　×　 （4）如果一个长方体和一个正方体的所有棱长之和相等，那么它们的表面积也相等。　×　 （5）一个长方体的长、宽、高都扩大2倍，它的表面积就扩大8倍。　×　 （6）棱长为a的正方体的表面积是6a。　×　 （7）如果一个正方体的棱长之和是24cm，那么它的表面积是24cm2。　√　 【分析】（1）根据长方体的特征及面积的意义可知，求长方体水池的占地面积就是求长方体的底面积。据此判断； （2）根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），所以长方体最多有4个面完全相同。据此判断； （3）根据表面积的意义，围成长方体或正方体的6个面的总面积就是它们的表面积。据此判断； （4）长方体的棱长之和＝（长+宽+高）×4，长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2；正方体的棱长之和＝棱长×12；正方体的表面积＝棱长×棱长×6。由此可知，长方体和正方体的棱长总和相等，它们的表面积不一定相等。据此判断； （5）根据长方体的表面积公式：长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2；再根据因数与积的变化规律，一个长方体的长、宽、高都扩大2倍，它的表面积就扩大4倍。据此判断； （6）根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6。据此判断； （7）根据正方体的棱长之和＝棱长×12；正方体的表面积＝棱长×棱长×6。把数据代入公式求出结果，进而做出判断。 【解答】解：（1）求长方体水池的占地面积就是求它的底面的面积。故正确。 （2）长方体相对的面相同，当长、宽、高中有两个相等时，就有4个面完全相同。故正确。 （3）长方体或正方体的6个面的面积之和，叫做它的表面积，原说法错误。 （4）长方体的长宽高分别为4厘米、3厘米、2厘米，棱长之和为（4+3+2）×4＝36（厘米）； 表面积则为：（4×3+4×2+3×2）×2＝52（平方厘米）； 与其棱长之和相等的正方体的棱长：36÷12＝3（厘米），其表面积：3×3×6＝54（平方厘米）； 所以如果一个长方体和一个正方体棱长和相等，那么他们的表面积不一定相等，原说法错误； （5）一个长方体的长、宽、高都扩大2倍，扩大后的长方体的表面积＝（2×长×2×宽+2×长×2×高+2×宽×2×高）×2＝4×（长×宽+长×高+宽×高）×2，所以它的表面积就扩大到原来的4倍，原说法错误。 （6）棱长为a的正方体的表面积是6a2。故错误。 （7）如果一个正方体的棱长之和是24cm，那么它的棱长是24÷12＝2（cm） 它的表面积是：2×2×6＝24（cm2）。故正确。 故答案为：✓；✓；×；×；×；×；✓。 【点评】此题考查的目的是理解长方体、正方体表面积、体积的意义及应用，长方体、正方体的表面积公式、体积公式、棱长总和公式及应用。 13．《九章算术）书中在求底面是正方形的长方体体积时，这样概述；“方自乘，以高乘之即积尺”，就是说先用边长乘边长再乘高就得到长方体的表面积。 　×　 【分析】我国古代数学名著《九章算术）书中在求底面是正方形的长方体体积时，这样概述；“方自乘，以高乘之即积尺”，就是说先用边长乘边长再乘高就得到长方体的体积。据此判断。 【解答】解：“方自乘，以高乘之即积尺”，就是说先用边长乘边长再乘高就得到长方体的体积。 因此题干中的结论是错误的。 故答案为：×。 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的体积公式及应用，了解古代数学家对长方体体积计算方法的研究。 14．长方体（正方体除外）最多有4个大小相等的面．　√　． 【分析】根据长方体的特征：6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等．由此解答即可． 【解答】解：如果长方体有两个相对的面是正方形，那么其它4个是完全相同的长方形． 因此在长方体的6个面中，最多有4个面的面积相等． 所以“长方体（正方体除外）最多有4个大小相等的面”的说法是正确的． 故答案为：√． 【点评】此题考查的目的是掌握长方体的特征． 15．从一个长方体上截下一个正方体，剩余部分的表面积一定比原长方体的表面积小。 　×　 【分析】根据长方体、正方体表面积的意义，从一个长方体上截下一个正方体，有三种情况：①如果从长方体的顶点上截下一个小正方体，表面积不变；②如果从长方体的面的中间挖去一个小正方体，表面积增加小正方体的4个面的面积；③如果从长方体的棱上挖去一个小正方体，表面积增加小正方体的2个面的面积。据此判断。 【解答】解：从一个长方体上截下一个正方体，有三种情况： ①如果从长方体的顶点上截下一个小正方体，表面积不变； ②如果从长方体的面的中间挖去一个小正方体，表面积增加小正方体的4个面的面积； ③如果从长方体的棱上挖去一个小正方体，表面积增加小正方体的2个面的面积。 因此题干中结论是错误的。 故答案为：×。 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体、正方体表面积的意义及应用。 四．计算题（共2小题） 16．一个正方体棱长和是60分米．求体积和表面积． 【分析】由正方体的特征可知：正方体共有12条棱长，且每条棱长都相等，又因正方体的棱长之和已知，于是可以求出每条棱的长度，再利用正方体的表面积S＝6a2，和正方体的体积V＝a3，即可分别求出正方体的表面积和体积． 【解答】解：棱长是：60÷12＝5（分米） 表面积是：5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方分米）； 体积是：5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方分米）； 答：这个正方体的表面积是150平方分米，体积是125立方分米． 【点评】此题主要考查正方体的表面积和体积的计算方法，关键是明白：正方体共有12条棱长，且每条棱长都相等． 17．求如图图形的表面积． 【分析】根据正方体的表面积公式：s＝6a2，长方体的表面积公式：s＝（ab+ah+bh）×2，把数据分别代入公式解答即可． 【解答】解：6×6×6 ＝36×6 ＝216（平方厘米） 答：正方体的表面积是216平方厘米； （7.5×3+7.5×4+4×3）×2 ＝（22.5+30+12）×2 ＝64.5×2 ＝129（平方分米） 答：长方体的表面积是129平方分米． 【点评】此题主要考查长方体、正方体的表面积公式的灵活运用． 五．应用题（共2小题） 18．一节长方体形状的铁皮通风管长2.5米，横截面是边长10厘米的正方形。做12节这样的通风管至少需要多少平方米铁皮？ 【分析】把单位统一，都化成厘米，再运用底面周长乘通风管的长度就是通风管的表面积，最后乘12即可。 【解答】解：2.5米＝250厘米 10×4×250×12 ＝40×250×12 ＝120000（平方厘米） 120000平方厘米＝12平方米 答：做12个通风管至少需要12平方米的铁皮。 【点评】本题运用“底面周长×长度＝侧面积”进行计算即可，考查了学生灵活解决问题的能力。 19．学校餐厅长10m，宽8m，高5m。除去门窗面积18.4m2，餐厅的墙壁和房顶都贴上壁纸。平均每平方米壁纸的价钱为5元，购买壁纸至少需要多少元？ 【分析】“要在餐厅的墙壁和房顶都贴上壁纸”，就是贴壁纸的面积是5个面，求出5个面的面积，再减去门窗的面积，就是需要壁纸的面积，求出面积再乘上5，就是需要花的钱数。据此解答。 【解答】解：10×8+10×5×2+8×5×2﹣18.4 ＝80+100+80﹣18.4 ＝260﹣18.4 ＝241.6（平方米） 5×241.6＝1208（元） 答：购买壁纸至少需要1208元。 【点评】本题的关键是求出要贴壁纸的面积，再根据乘法的意义求出需要的钱数。 学科网（北京）股份有限公司 $$