巩固培优：因数与倍数(讲义)-2023-2024学年五年级下册数学人教版

因数与倍数 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 1．因数和倍数的意义 【知识点归纳】 假如整数n除以m，结果是无余数的整数，那么我们称m就是n的因子． 需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立． 反过来说，我们称n为m的倍数． 2．找一个数的因数的方法 【知识点归纳】 1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、2、3、4、6、8、12、24． 2．找配对．例如：24＝1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因数就有：1、24、2、12、3、8、4、6． 3．找一个数的倍数的方法 【知识点归纳】 找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的． 1．末尾是偶数的数就是2的倍数． 2．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样． 3．最后两位数能被4整除的数是4的倍数． 4．最后一位是5或0的数是5的倍数． 5．最后3位数能被8整除的数是8的倍数． 6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除． 4．合数与质数的初步认识 【知识点解释】 合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0”“1”既不是质数也不是合数． 质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数） 5．2、3、5的倍数特征 【知识点归纳】 （1）2 的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2 的倍数。 （2）偶数与奇数： ①自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数（俗称双数），习惯用2n表示。；最小的偶数是 0。 ②不是 2 的倍数的数叫做奇数（俗称单数），习惯用2n﹣1表示；最小的奇数是 1。 （3）3 的倍数的特征：一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 （4）5 的倍数的特征：个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。 （5）如果一个数同时是 2 和 5 的倍数，那它的个位上的数字一定是 0。 【方法总结】 每相邻的2个自然数中，就会有一个是2的倍数；每相邻的3个自然数中，就会有一个是3的倍数；每相邻的5个自然数中，就会有一个是5的倍数。 2、5的倍数末尾只能是0和5，而3的倍数末尾没有限制。 第二部分 典型例题 例题1：75名同学参加团体操表演。如果要求每排人数必须相等，并且每排不能少于10人，不能多于30人，那么符合要求的队列一共有几种？ 【分析】由题意，把75拆成2个因数的积，要求每排人数必须相等，而且每排不能少于10人，也不能多于30人，即75的一个因数大于10小于30，找出符合要求的因数，有几组就有几种排列；据此解答。 【解答】解：75＝3×25＝5×15 由于每排人数必须相等，并且每排不能少于10人，不能多于30人，所以每排人数可以为25或15。 答：符合要求的队列一共有2种。 【点评】根据题意，把75拆成2个因数的积，从而找出符合要求的因数是解答此题的关键。 例题2：找一找、连一连． 【分析】根据求一个数的因数、倍数的方法，进行依次列举即可． 【解答】解：12的因数有：2、12、6、3， 12的倍数有：60、12、24、36 【点评】此题考查的是求一个数因数倍数的方法，应有顺序的写，做到不重复，不遗漏． 第三部分 高频真题 一．选择题（共5小题） 1．正方形的边长是一个质数，它的面积一定是一个（　　） A．质数 B．奇数 C．合数 2．如果a＝2×5×7，那么a的因数一共有____个。（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 3．既是3的倍数，又是36的因数的数是（　　） A．2 B．4 C．15 D．18 4．下面各组数中，存在因数和倍数关系的是（　　） A．19和4 B．3.5和0.5 C．9和81 D．和 5．17是一个质数，它的倍数是（　　） A．合数 B．质数 C．质数或合数 D．以上都不对 二．填空题（共5小题） 6．在横线里填上合适的质数。 45＝　 　×　 　×　 　 51＝　 　×　 　 33＝　 　+　 　 78＝　 　+　 　 7．100以内最大的质数是 　 　，10以内既是奇数又是合数的数是 　 　。 8．在20÷4＝5中，　 　和 　 　是 　 　的因数，　 　是 　 　和 　 　的倍数。 9．在“2、5、9、14、18、21、39、51”这8个数中，质数有 　 　，是5的倍数的数有 　 　，既有因数7也是偶数的有 　 　。 10．在横线里填上合适的不同的质数。 12＝　 　+　 　+　 　 18＝　 　+　 　+　 　 三．判断题（共5小题） 11．一个数是6的倍数，这个数不一定是2和3的倍数。 　 　 12．所有整数（0除外）中，不是质数就是合数。 　 　 13．个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数．　 　 14．1是自然数，也是质数。 　 　 15．18的全部因数有1、2、3、6、9　 　 四．计算题（共2小题） 16．按要求填数字。 既是2的倍数又是3的倍数。 5□　 　 5□0 　 　 □52 　 　 154□　 　 17．在□里填上合适的数，使2□□既是3的倍数，又是5的倍数． 五．应用题（共2小题） 18．有85个面包，如果每2个装成一袋，能正好装完吗？如果每5个装成一袋，能正好装完吗？如果每3个装成一袋，能正好装完吗？为什么？ 19．把20个月饼装在盒子里，每个盒子装得同样多，有几种装法？每种装法需要几个盒子？ 六．操作题（共1小题） 20．把3的倍数勾选出来。 因数与倍数 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 1．正方形的边长是一个质数，它的面积一定是一个（　　） A．质数 B．奇数 C．合数 【分析】根据质数与合数的意义：一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；及正方形面积的计算方法，可知面积一定是合数；由此解答。 【解答】解：正方形的面积＝边长×边长，它的面积有三个因数，所以说一定是合数。 故选：C。 【点评】此题主要考查质数与合数的意义，判断一个数是质数还是合数，就看这个数有多少个因数。 2．如果a＝2×5×7，那么a的因数一共有____个。（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】a＝2×5×7＝70，70的因数有：1、2、5、7、10、14、35、70。据此选择即可。 【解答】解：a＝2×5×7＝70，70的因数有：1、2、5、7、10、14、35、70，一共有8个因数。 故选：D。 【点评】本题考查了找因数的方法，要熟练掌握。 3．既是3的倍数，又是36的因数的数是（　　） A．2 B．4 C．15 D．18 【分析】一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大倍数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身．据此解答． 【解答】解：36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36； 既是3的倍数，又是36的因数的数是：3、6、9、12、18，36． 故选：D。 【点评】此题考查的目的是理解因数、倍数的意义，掌握一个数的因数、倍数的方法． 4．下面各组数中，存在因数和倍数关系的是（　　） A．19和4 B．3.5和0.5 C．9和81 D．和 【分析】根据因数和倍数的意义：如果整数a能被整数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（为了方便，我们在研究因数和倍数时，所说的数一般指不是零的自然数）；由此进行选择即可。 【解答】解：根据因数和倍数的意义可知： A、19÷4＝4……3，不能整除，所以19和4不是倍数关系； B、3.5和0.5是小数，所以3.5和0.5不是倍数关系； C、81÷9＝9，所以属于因数和倍数关系的是9和81； D.和是分数，所以和不是倍数关系。 故选：C。 【点评】此题考查了因数和倍数的意义，要熟练掌握。 5．17是一个质数，它的倍数是（　　） A．合数 B．质数 C．质数或合数 D．以上都不对 【分析】一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，即合数是含有3个或3个以上约数的数，质数只要两个约数，据此解答． 【解答】解：17的倍数最小的是17，17只含有1和它本身2个约数，17的2倍是34，34是合数，所以17是一个质数，它的倍数是质数或合数； 故选：C． 【点评】本题主要考查合数的意义，注意合数含有3个或3个以上约数． 二．填空题（共5小题） 6．在横线里填上合适的质数。 45＝　3　×　3　×　5　 51＝　3　×　17　 33＝　2　+　31　 78＝　37　+　41　 【分析】自然数中，一个数只有1和它本身两个因数（0，1除外），这个数叫作质数。 【解答】解： 45＝3×3×5 51＝3×17 33＝2+31 78＝37+41 故答案为：3，3，5；3，17；2，31；37，41（答案不唯一）。 【点评】本题主要考查质数及合数、分解质因数，解题的关键是理解质数、合数的意义。 7．100以内最大的质数是 　97　，10以内既是奇数又是合数的数是 　9　。 【分析】根据一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数（或素数）；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数。将小于100的数从大到小分析即可找出100以内最大的质数。能被2整除的数叫作偶数；不能被2整除的数叫作奇数。将10以内是合数全部列举出来，找出其中的奇数即可。 【解答】解：根据分析，小于100的数中99和98除了1和它本身还有别的因数，因此是合数；97只有1和97两个因数，因此97是100以内最大的质数。 10以内的合数有：4，6，8，9。其中只有9是奇数。 因此100以内最大的质数是97，10以内既是奇数又是合数的数是9。 故答案为：97；9。 【点评】此题考查了合数与质数的初步认识，要求学生掌握。 8．在20÷4＝5中，　4　和 　5　是 　20　的因数，　20　是 　4　和 　5　的倍数。 【分析】若整数a能够被b整除，a叫作b的倍数，b就叫作a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。 【解答】解：在20÷4＝5中，4和5是20的因数，20是4和5的倍数。 故答案为：4，5，20，20，4，5。 【点评】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。 9．在“2、5、9、14、18、21、39、51”这8个数中，质数有 　2、5　，是5的倍数的数有 　5　，既有因数7也是偶数的有 　14　。 【分析】质数是指一个数只有1和它本身两个因数；5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数；偶数是指2的倍数的数；据此解答。 【解答】解：在“2、5、9、14、18、21、39、51”这8个数中，质数有2、5，是5的倍数的数有5，既有因数7也是偶数的有14。 故答案为：2、5；5；14。 【点评】本题考查的主要内容是质数和合数的应用问题。 10．在横线里填上合适的不同的质数。 12＝　2　+　3　+　7　 18＝　2　+　3　+　13　 【分析】偶数+偶数＝偶数，奇数+奇数＝偶数，奇数+偶数＝奇数，要使三个数的和是12、18这样的偶数，那么必须要一个加数是偶数，偶数中唯一的质数是2，所以必须要有2，12﹣2＝10，则另两个质数的和是10，3+7＝10，符合要求；18﹣2＝16，则另两个质数的和是16，3+13＝16，符合要求。 【解答】解：12＝2+3+7 18＝2+3+13 故答案为：2，3，7；2，3，13。（答案不唯一） 【点评】解决本题关键是明确奇数、偶数在加法算式中的特点，掌握20以内多有的质数。 三．判断题（共5小题） 11．一个数是6的倍数，这个数不一定是2和3的倍数。 　×　 【分析】因为6是2和3的倍数，所以6的倍数一定是2和3的倍数，据此解答即可。 【解答】解：一个数是6的倍数，这个数一定是2和3的倍数。原题说法错误。 故答案为：×。 【点评】本题考查倍数的认识。 12．所有整数（0除外）中，不是质数就是合数。 　×　 【分析】根据1既不是质数也不是合数即可解答。 【解答】解：1既不是质数也不是合数； 故答案为：×。 【点评】本题主要考查1既不是质数也不是合数。 13．个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数．　×　 【分析】根据2的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8的自然数都是2的倍数．由此解答． 【解答】解：10.2，个位上是0，但不是2的倍数． 故个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数的说法是错误的． 故答案为：×． 【点评】此题主要考查2的倍数的特征． 14．1是自然数，也是质数。 　×　 【分析】根据1既不是质数也不是合数即可解答。 【解答】解：1既不是质数也不是合数。 所以原题说法错误。 故答案为：×。 【点评】本题主要考查1既不是质数也不是合数。 15．18的全部因数有1、2、3、6、9　×　 【分析】根据找一个因数的方法的方法，进行列举解答即可． 【解答】解：18的全部因数有：1、2、3、6、9、18； 所以18的全部因数有1、2、3、6、9的说法错误． 故答案为：×． 【点评】此题考查的是找一个数的因数的方法，应成对成对的找，然后按照从小到大的顺序排列，做到不重复、不遗漏． 四．计算题（共2小题） 16．按要求填数字。 既是2的倍数又是3的倍数。 5□　4　 5□0 　1、4、7　 □52 　2、5、8　 154□　2、8　 【分析】根据2、3的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数；既是2的倍数又是3的倍数的数，个位上是0、2、4、6、8且各位上的数字之和是3的倍数。据此解答即可。 【解答】解：既是2的倍数又是3的倍数。 5□4 5□0 1、4、7 □52 2、5、8 154□2、8 故答案为：4；1、4、7；2、5、8；2、8。 【点评】此题考查的目的是理解掌握2、3的倍数的特征及应用，关键是明确：既是2的倍数又是3的倍数的数，个位上是0、2、4、6、8且各位上的数字之和是3的倍数。 17．在□里填上合适的数，使2□□既是3的倍数，又是5的倍数． 【分析】根据题意可先确定能被3整除的数的特征、能被5整除的数的特征，再确定能同时被3，5整除的数的特征。解答即可。 【解答】解：使2□□既是3的倍数，又是5的倍数． 所以它的个位必须是0或5。当个位是0时，组成的数可以是210，240，270。当个位是5时，组成的数是：225。 故答案为：10；40；70；25。 【点评】本题主要考查能被3整除的数的特征和能被5整除的数的特征。 五．应用题（共2小题） 18．有85个面包，如果每2个装成一袋，能正好装完吗？如果每5个装成一袋，能正好装完吗？如果每3个装成一袋，能正好装完吗？为什么？ 【分析】（1）根据能被2整除的特征：即个位上是0、2、4、6、8的数判断即可； （2）根据能被5整除的特征：即个位上是0或5的数判断即可； （3）根据能被3整除的特征：各个数位上的数字之和能被3整除这个数就能被3整除，判断即可． 【解答】解：（1）85个位上是5，不能被2整除， 所以每2个装一袋，不能正好装完； 答：不能正好装完； （2）85个位上是5，能被5整除， 所以每5个装一袋，能正好装完； 答：能正好装完； （3）8+5＝13，不能被3整除， 所以每3个装一袋，不能正好装完； 答：不能正好装完． 【点评】此题根据能被2、3、5整除的数的特征，解决实际问题． 19．把20个月饼装在盒子里，每个盒子装得同样多，有几种装法？每种装法需要几个盒子？ 【分析】首先找出20的所有因数，再根据哪两个因数相乘是20，确定每盒装几个，装几盒，据此解答即可。 【解答】解：20的因数有：1、2、4、5、10、20； 20＝1×20；一盒20个，装1盒；或每盒装1个，装20盒； 20＝2×10，一盒装10个，装2盒；或每盒装2个，装10盒； 20＝4×5，一盒装4个，装5盒；或每盒装5个，装4盒； 答：一共有6种装法；①一盒20个，装1盒；②每盒装1个，装20盒；③一盒装10个，装2盒；④每盒装2个，装10盒；⑤一盒装4个，装5盒；⑥每盒装5个，装4盒。 【点评】此题主要考查了求一个数的因数的方法的应用。 六．操作题（共1小题） 20．把3的倍数勾选出来。 【分析】根据3的倍数的特征，一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数，据此解答。 【解答】解： 【点评】此题考查的目的是理解掌握3的倍数的特征及应用。 学科网（北京）股份有限公司 $$