巩固培优：分数的意义和性质(讲义)-2023-2024学年五年级下册数学人教版

分数的意义和性质 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 1．分数的基本性质 【知识解释】 分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变．这叫做分数的基本性质． 2．最简分数 【知识点归纳】 分子、分母只有公因数1的分数叫做最简分数或者说分子和分母是互质数的分数，叫做最简分数，又称既约分数．如：，，等． 3．分数大小的比较 【知识点归纳】 分数比较大小的方法： （1）真、假分数或整数部分相同的带分数；分母相同，分子大则分数大；分子相同，则分母小的分数大；分子和分母都不相同，通分后化成同分母或者同分子的分数再进行比较大小． （2）整数部分不同的带分数，整数部分大的带分数就比较大． 4．约分和通分 【定义解释】 约分：把一个分数化成同它相等，但分子分母都比较小的分数，叫做约分． 约分就是把分数化简成最简分数． 约分时一般用分子和分母的公因数（1除外）去除分数的分子和分母，通常要除到得出最简分数为止． 通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分．通分就是把分母不同分数化成分母相同的分数． 约分和通分的依据是分数的基本性质：分数的分子和分母同乘以或除以同一个不等于0的数，分数的大小不变． （分数的分子和分母同时扩大或同时缩小相同的倍数（0除外），分数的大小不变） 约分方法： 约分：将分子和分母数共同的约数约去（也就是除以那个数）剩下如果还有相同因数就继续约去，直到没有为止； 通分的方法： 通分：使两个分数的分母相同但不改变原数大小的过程．先求出原来几个分母的最小公倍数，然后把各分数分别化成用这个最小公倍数作分母的分数． 5．小数与分数的互化 【知识点归纳】 （1）小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分 （2）分数化成小数：用分子去除分母，能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位数 （3）一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数 第二部分 典型例题 例题1：（1）请在图①的长方形中涂色表示出。 （2）如果图②的长方形表示，请你在它的基础上画出整个“1”。 【分析】（1）把整个图形看作单位“1”，平均分成了4份，涂色部分占3份，用分数表示是； （2）根据题意，分数的分母表示分得总份数，分子表示取得的份数，单位“1”是4份，再画出1份即可解答。 【解答】解：（1）（2） 【点评】此题考查了分数的意义，要求学生掌握。 例题2：找出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 51和17 24和36 10和13 【分析】51＝17×3，两个数成倍数关系时，它们的最大公因数是较小的那个数，最小公倍数是较大的那个数； 将24和36分别分解质因数，找出它们公共的质因数相乘即为最大公因数，把它们一切公有的质因数和其中几个数公有的质因数以及每个数的独有的质因数全部连乘起来就是最小公倍数； 10和13互质，根据两个互质的数的最大公因数和最小公倍数的性质求解即可。 【解答】解：51是17的倍数，因此它们的最大公因数是17，最小公倍数是51； 24＝2×2×2×3，36＝2×2×3×3，它们的最大公因数为2×2×3＝12，最小公倍数为2×2×3×2×3＝72； 10和13互质，它们的最大公因数为1，最小公倍数为10×13＝130。 故答案为：17，51；12，72；1，130。 【点评】本题主要考查求两个数最大公因数和最小公倍数的方法。 例题3：连一连。 0.75 0.05 0.9 0.41 0.08 0.6 【分析】将小数化为分数时，看小数点后面有几位小数，就在1后面添几个0作为分母，把小数去掉小数点作为分子，能约分的要约分。 【解答】解：0.75＝＝ 0.05＝＝ 0.9＝ 0.41＝ 0.08＝＝ 0.6＝＝ 连线如下： 【点评】掌握小数与分数的互化是解答本题的关键。 第三部分 高频真题 一．选择题（共5小题） 1．已知a、b都是自然数，且a÷b＝12，那么a与b的最大公约数是（　　） A．a B．b C．12 D．ab 2．一根绳子，用去，还剩1.8米。用去的部分和剩下的部分比较（　　） A．用去的部分长 B．剩下的部分长 C．一样长 D．无法比较 3．将一张长方形纸对折一次，再对折一次，其中的一份用分数表示是（　　） A． B． C． D． 4．将一张长方形的纸对折3次后展开，其中的一份是这张纸的（　　） A． B． C． 5．把一根铁丝截成两段，第一段长米，第二段长度占总长度的，两段铁丝相比（　　） A．第一段长 B．第二段长 C．一样长 D．无法比较 二．填空题（共5小题） 6．分数，，中最大的是 　 　。 7．禹城市泺清河小学即将举办“吉尼斯跳绳大赛”，比赛前同学们做有关跳绳制作工艺的调研，得知某工厂用7米长的绳子正好做4根跳绳，平均每根跳绳用的绳子占7米的 　 　，每根跳绳长 　 　米。 8．　 　÷10＝＝12÷　 　＝　 　（小数）。 9．的分数单位是 　 　，再加上 　 　个这样的分数单位就是2。 10．明明将一根4米长的绳子平均分成3段，每段的长度是 　 　米，每段的长度是这根绳子的 　 　。 三．判断题（共5小题） 11．和分数单位不同，但是大小相等．　 　 12．和比较，因为8＞7，所以＞。 　 　 13．一班和二班女生都占本班的，说明两个班女生同样多．　 　． 14．若甲的等于乙的，则甲＞乙．　 　 15．把一个物体分成几份，每份就是它的几分之一。 　 　 四．计算题（共2小题） 16．写出下面各组数的最大公因数和最小公倍数．（写出过程） 24、36和48 35和14 121和99． 17．先通分，再比较大小． 和 和 和． 五．应用题（共2小题） 18．化简一个分数时，用2约了一次，用3约了两次，这时得到一个最简分数是，原来这个分数是几分之几？ 19．这个分数分母加3，约分后得，这个分数分子加上3，约分后得，猜猜这个分数是多少？ 分数的意义和性质 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 1．已知a、b都是自然数，且a÷b＝12，那么a与b的最大公约数是（　　） A．a B．b C．12 D．ab 【分析】这道题属于求两个数为倍数关系时的最大公因数：两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数；由此解答问题即可． 【解答】解：由a÷b＝12（a和b都是不为0的自然数）， 可知数a是数b的倍数，所以a和b的最大公因数是b； 故选：B． 【点评】此题主要考查求两个数为倍数关系时的最大公因数：两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数． 2．一根绳子，用去，还剩1.8米。用去的部分和剩下的部分比较（　　） A．用去的部分长 B．剩下的部分长 C．一样长 D．无法比较 【分析】把一根绳子看作单位“1”，剩下的份数是1﹣＝，用去，然后两数比较即可解答。 【解答】解：一根绳子，用去，剩下1﹣＝ ＜，所以剩下的部分长。 故选：B。 【点评】此题考查了分数大小的比较，要求学生掌握。 3．将一张长方形纸对折一次，再对折一次，其中的一份用分数表示是（　　） A． B． C． D． 【分析】要求把一张长方形的纸连续对折2次，其中的一份是这张纸的几分之几，要先求出把这张纸平均分成了几份；因为每对折一次份数就扩大2倍，对折2次，份数变为2×2＝4份；据此解答． 【解答】解：把一张长方形的纸连续对折2次，就相当于把这张纸平均分成了： 2×2＝4份 其中的一份是这张纸的：1÷4＝； 答：其中的一份用分数表示是； 故选：C． 【点评】本题关键是理解：把一张长方形的纸连续对折n次，则就相当于把这张纸平均分成了2n份；本题的知识点是：分数的意义． 4．将一张长方形的纸对折3次后展开，其中的一份是这张纸的（　　） A． B． C． 【分析】把这张正方形纸的总面积看作单位“1”，对折一次即是把单位“1”平均分成两份，每份占单位“1”的，再对折就是平均分成4份，对折第三次时平均分成了8份，每份就占单位“1”的，据此解答即可． 【解答】解：1÷（2×2×2）＝ 故选：C。 【点评】此题考查了分数的意义，要根据题意认真答题，掌握解答此类题目的基本方法． 5．把一根铁丝截成两段，第一段长米，第二段长度占总长度的，两段铁丝相比（　　） A．第一段长 B．第二段长 C．一样长 D．无法比较 【分析】先求出第一段占全长的几分之几，用1﹣＝计算，然后比较与的大小即可． 【解答】解：1﹣＝ 所以第二段长． 答：两段铁丝相比第二段长． 故选：B。 【点评】本题要注意区分量率的不同，要理解米和不能比较大小；只有同类的量才能比较大小；所以关键是求出米占全长的几分之几． 二．填空题（共5小题） 6．分数，，中最大的是 　　。 【分析】异分母分数大小比较，先把异分母分数转化成分子相同的分数，分子相同，分母越小数越大，据此解答。 【解答】解：＝1﹣ ＝1﹣ ＝1﹣ 因为＞＞，所以＜＜。 故答案为：。 【点评】此题考查了分数大小的比较，要求学生掌握。 7．禹城市泺清河小学即将举办“吉尼斯跳绳大赛”，比赛前同学们做有关跳绳制作工艺的调研，得知某工厂用7米长的绳子正好做4根跳绳，平均每根跳绳用的绳子占7米的 　　，每根跳绳长 　　米。 【分析】把这根7米长的绳子看作单位“1”，求平均每根跳绳用的绳子占7米的几分之几，用1除以总根数；求每根跳绳长多少米，用总米数除以4。 【解答】解：1÷4＝ 7÷4＝（米） 答：平均每根跳绳用的绳子占7米的，每根跳绳长米。 故答案为：，。 【点评】解决此题关键是弄清求的是“分率”还是“具体的数量”，求分率：平均分的是单位“1”；求具体的数量：平均分的是具体的数量，要注意：分率不能带单位名称，而具体的数量要带单位名称。 8．　4　÷10＝＝12÷　30　＝　0.4　（小数）。 【分析】根据分数与除法的关系：分子做被除数，分母做除数；＝2÷5；再根据商不变性质：被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商不变；2÷5＝（2×2）÷（5×2）＝4÷10，2÷5＝（2×6）÷（5×6）＝12÷30；再根据分数化小数的方法：用分子除以分母，得到的商就是小数；＝2÷5＝0.4，据此解答。 【解答】解：4÷10＝＝12÷30＝0.4 故答案为：4；30；0.4。 【点评】本题考查了除法、分数之间的关系、分数与小数的互化。 9．的分数单位是 　　，再加上 　13　个这样的分数单位就是2。 【分析】表示把单位“1”平均分成9份，每份是，取其中的5份。根据分数单位的意义，把单位“1”平均分成若干份，表示其中1份的数叫分数单位。因此，这个分数的分数单位是，它有5个这样的分数单位。2＝，即18个这样的分数单位是2，需要再添上（18﹣5）个，即13个这样的分数单位就是2。 【解答】解：的分数单位是，再加上13个这样的分数单位就是2。 故答案为：，13。 【点评】把单位“1”平均分成若干份，用分数表示，分母是平均分成的份数，分子是要表示的份数。分数（m、n均为不等于0的自然数），就是这个分数的分数单位，n就是这个分数单位的个数。 10．明明将一根4米长的绳子平均分成3段，每段的长度是 　　米，每段的长度是这根绳子的 　　。 【分析】求每段长是这根绳子的几分之几，平均分的是单位“1”，求的是分率；求每段长的米数，平均分的是具体的数量4米，求的是具体的数量；都用除法计算。 【解答】解：4÷3＝（米） 1÷3＝ 则明明将一根4米长的绳子平均分成3段，每段的长度是米，每段的长度是这根绳子的。 故答案为：，。 【点评】此题考查了分数的意义，要求学生掌握。 三．判断题（共5小题） 11．和分数单位不同，但是大小相等．　√　 【分析】判定一个分数的单位看分母，分母是几，分数单位就是几分之一；据此得解． 【解答】解：根据分数的性质可知，＝ 但是的分母是4，所以它的分数单位是； 而的分母是8，所以它的分数单位是； 所以原题说法正确； 故答案为：√． 【点评】此题主要考查分数的单位：把单位“1”平均分成几份，表示其中一份的数就是它的分数单位． 12．和比较，因为8＞7，所以＞。 　×　 【分析】同分子的分数大小比较，分母大的分数就小，反之就大。 【解答】解：和比较，因为8＞7，所以＜。 故题干的说法是错误的。 故答案为：×。 【点评】此题主要考查分数大小的比较方法的灵活应用。 13．一班和二班女生都占本班的，说明两个班女生同样多．　×　． 【分析】根据“一班和二班女生人数各占本班人数的”，可知一班女生人数占一班总人数的，二班女生人数占二班总人数的，由于没有说明两个班的总人数相等，所以无法确定两个班的女生人数一样多．据此进行判断． 【解答】解：一班女生人数占一班总人数的，把一班总人数看作单位“1”， 二班女生人数占二班总人数的，把二班总人数看作单位“1”， 由于单位“1”的量不同，又没有说明两个班的总人数相等，所以无法确定两个班的女生人数一样多． 故答案为：×． 【点评】此题关键是理解由于单位“1”的量不同，即使分率相同，对应的具体的数量也不一定相同． 14．若甲的等于乙的，则甲＞乙．　×　 【分析】把甲数（或乙数）看作“1”，根据分数乘、除法的意义求出相对应的乙数（或甲数），然后再把甲、乙两数进行比较，即可确定甲＞乙是否对． 【解答】解：设甲数为“1” 则乙数为1×÷＝ 1＜ 即若甲的等于乙的，则甲＜乙 原题说法错误． 故答案为：×． 【点评】由题意，甲×＝乙×，在积一定时，一个因数大，另一个因数必然小，此题也可通过直接比较与的大小即可确定甲、乙的大小． 15．把一个物体分成几份，每份就是它的几分之一。 　×　 【分析】把单位“1”平均分成若干份，表示其中的1份或几份的数叫作分数，据此判断。 【解答】解：把一个物体平均分成几份，每份就是它的几分之一。 原题说法错误。 故答案为：×。 【点评】解答本题需熟练掌握分数的意义，突出“平均分”。 四．计算题（共2小题） 16．写出下面各组数的最大公因数和最小公倍数．（写出过程） 24、36和48 35和14 121和99． 【分析】求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可． 【解答】解：24＝2×2×2×3 36＝2×2×3×3 48＝2×2×2×2×3 最大公约数是2×2×3＝12 最小公倍数是2×2×2×2×3×3＝144 35＝5×7 14＝2×7 最大公约数是7，最小公倍数是2×5×7＝70 121＝11×11 99＝11×9 最大公约数是11，最小公倍数是11×11×9＝1089 【点评】考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；三个数的公有质因数连乘积是最大公约数，三个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答． 17．先通分，再比较大小． 和 和 和． 【分析】根据分数的基本性质，把几个异分母分数（式）化成与原来分数（式）相等的同分母的分数（式）的过程，叫做通分．据此将各组中的分数通分后化为同分母的分数比较大小即可． 【解答】解：（1）和 ＝， ＝， 所以＝； （2）和 ＝，＝， ， 所以＞； （3）和 ＝，＝， ， 所以＞． 【点评】比较异分母分数大小的时候，一般要先将异分母分数化成同分母分数后，再进行比较． 五．应用题（共2小题） 18．化简一个分数时，用2约了一次，用3约了两次，这时得到一个最简分数是，原来这个分数是几分之几？ 【分析】约分是根据分数的基本性质把分数的分子和分母同时除以分子分母的公因数，把分数化成分子分母是互质数的最简分数，据此可知：分子和分母同时除以2再除以3再除以3就得到了，根据乘除法的互逆关系，要求原分数只要把的分子分母再同乘2乘3乘3的积即可． 【解答】解： 答：原来这个分数是． 【点评】本题主要根据约分的意义，约分是同除以2、3、3的积，求原分数只要把后来的分数的分子分母再同乘2、3、3的积即可． 19．这个分数分母加3，约分后得，这个分数分子加上3，约分后得，猜猜这个分数是多少？ 【分析】假设原来的分数是，根据“若分母加上3，约分后为”，原分数就变为，与相等；再根据“若分子加3，约分后为”，原分数就变为，与相等；把这两个方程进一步转化为是求一个未知数的方程，进而求得分子和分母的数值，问题得解。 【解答】解：假设原来的最简分数是， 因为＝，所以3x＝y+3， 因为＝，所以2y＝3x+9， 所以2y＝y+3+9 2y﹣y＝y+3+9﹣y y＝12 把y＝12代入3x＝y+3， 3x＝12+3 3x÷3＝15÷3 x＝5 答：这个分数是。 【点评】此题主要考查分数的基本性质及列方程的应用。 学科网（北京）股份有限公司 $$