3.1平方根　自主学案　2023—2024学年浙教版数学七年级上册　

浙教版数学七年级上册自主学案 第3章　实　数 3.1　平方根 教材的地位 和作用 　 本节课是在前面学习了乘方运算的基础上安排的,在乘方的基础上引入了开方运算,使代数运算得以完善.本节课是今后学习二次根式、方程、函数等知识的重要基础.另外本节内容也是学习实数的准备知识,为以后学习三次根式做铺垫,提供了知识积累 重点 难点 重点 　平方根的概念 难点 　平方根的概念和平方根的表示方法 易错点 　求一个正数的平方根时容易遗漏负的平方根 知识点一　平方根的概念与性质 一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做a的二次方根.可表示为±(a≥0). 平方根的性质: ①一个正数有　两　个平方根,它们互为　相反数　;  ②0的平方根是　0　;  ③负数没有平方根. 1.因为(　±7　)2=49,所以49的平方根是　±7　.  2.“的平方根是±”,用数学式子可以表示为 (B) A.=± B.±=± C.= D.-=- 知识点二　算术平方根的概念 正数的　正平方根　称为算术平方根,0的算术平方根是　0　.一个数a(a≥0)的算术平方根记做“ 　”.  3.下列说法正确的是 (D) A.±9是81的算术平方根 B.-3是-9的算术平方根 C.0没有算术平方根 D.2既是4的平方根,也是4的算术平方根 【题型探究】 类型一　求一个数的平方根 例1 (教材补充例题)下列各数是否有平方根?若有,请求出它的平方根;若没有,请说明理由. (1)100;(2)1;(3)0.25;(4)-4. 　　解:(1)∵100>0,∴100有平方根. ∵(±10)2=100,∴100的平方根为±10. (2)∵1>0,∴1有平方根. ∵==1,∴1的平方根是±. (3)∵0.25>0,∴0.25有平方根. ∵(±0.5)2=0.25,∴0.25的平方根是±0.5. (4)-4没有平方根,因为负数没有平方根. 【归纳总结】 求一个数的平方根的“三点注意”: (1)求一个正数的平方根,不能只考虑其正的平方根而把负的平方根遗漏; (2)若被开方数为带分数,要先将其化为假分数; (3)若一个正数a不能写成有理数的平方的形式,则可以将a的平方根表示成±. 类型二　开平方的意义及运算 例2 (教材例2针对训练)说出下列各式的意义并计算: (1)±;　(2);　(3)-. 解: (1)±表示144的平方根,±=±12. (2)表示2的算术平方根,==. (3)-表示0.09的负平方根(或0.09的算术平方根的相反数),-=-0.3. 【归纳总结】 开平方的意义及运算: 形式(a>0) 意义 运算结果 的符号 ± 正数a的平方根 ± 正数a的算术平方根 + - 正数a的算术平方根的相反数 - 类型三　利用算术平方根解决简单的实际问题 例3 (教材补充例题)已知一个长方形的宽是长的,它的面积是162 cm2,求这个长方形的周长. 解:设这个长方形的宽为x cm,则长为2x cm. 根据题意,得2x2=162,解得x=±9. ∵x>0,∴x=9. 则长方形的长为2×9=18(cm), ∴这个长方形的周长为2×(9+18)=54(cm). 【归纳总结】 根据题意灵活地设未知数,然后根据平方根的概念求出未知数,要注意未知数的取值应使实际问题有意义. 【学以致用】 1．下列说法正确的是(　A　) A．∵52＝25，∴5是25的算术平方根 B．∵(－5)2＝25，∴－5是25的算术平方根 C．∵(±5)2＝25，∴5和－5都是25的算术平方根 D．∵(±5)2＝25，∴25是5和－5的平方根 2．计算 ＋ 的结果是(　B　) A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】 原式＝＋＝＋＝3. 3. 的算术平方根是(　D　) A．± B. C．±2 D．2 【解析】 ＝4，4的算术平方根是2. 4．已知一个正方体的表面积为24 dm2，则这个正方体的棱长为__2__dm. 5．若一个自然数的算术平方根是x，则下一个自然数的算术平方根是____. 6．对于两个不相等的有理数a，b，定义新运算“*”：a*b＝(a＋b>0)，例如：13*3＝＝ .求6*(5*4)的值． 解：由题意，得5*4＝＝3， ∴6*(5*4)＝6*3＝＝＝1. 7．小明家客厅的地面是用正方形地板砖铺成的，面积为21.6 m2，小明数了一下地面所铺的地板砖正好是60块．请你帮小明计算一下，每块地板砖的边长为多少米？ 解：每块地板砖的面积为21.6÷60＝0.36(m2)， 正方形地板砖的边长为＝0.6(m)． 答：每块地板砖的边长为0.6 m. 8．(1)通过计算下列各式的值探究问题： ①＝__4__，＝__16__，＝__0__，＝____. 探究：对于任意非负有理数a，＝__a__. ②＝__3__，＝__5__，＝__1__. 探究：对于任意负有理数a，＝__－a__. ③计算： . (2)综上所述，对于任意有理数a，＝__|a|__. 解：(1)③原式＝＝2. 9．[几何直观]如图1是由5个边长为1的正方形组成的“十”字形，把图2中的4个深灰色直角三角形对应剪拼到4个浅灰色直角三角形的位置，从而得到图3.求： 第9题图 (1)图2中1个浅灰色直角三角形的面积． (2)图3中大正方形的边长． 解：(1)图2中1个浅灰色直角三角形的面积为×1×＝. (2)∵大正方形的面积等于5个小正方形的面积之和，即5×12＝5， ∴图3中大正方形的边长为. 学科网（北京）股份有限公司 $$