专题 2-4 二次函数与一元二次方程、不等式【10类题型】- 2024-2025学年 新高一数学暑假衔接与新课重难点预习（人教A版2019）

2024-2025学年 新高一数学暑假衔接与新课重难点预习（人教A版2019） 专题2-4 三个二次：二次函数与一元二次方程、不等式 模块一 总览 热点题型解读（目录） 【题型1】三个“二次”关系的应用 【题型2】一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式 【题型3】 由一元二次不等式的解集求参数 【题型4】解含参一元二次不等式 【题型5】一元二次不等式的实际问题 【题型6】含参一元二次不等式恒成立问题（1）：判别式法 【题型7】含参一元二次不等式恒成立问题（2）：参变分离法 【题型8】含参一元二次不等式恒成立问题（3）：变更主元法解 【题型9】能成立问题（不等式有解） 【题型10】一元二次方程根的分布* 【课后作业】 模块二 【核心题型突破】·举一反三 【题型1】三个“二次”关系的应用 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式与的解集的关系，可归纳为： 若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解． 通过以上论述，可对“三个二次”的关系有一个较为全面的了解，在解题中，我们要不失时机的渗透“三个二次”三位一体的思维意识，实现“三个二次”之间的相互转换，能自然规范的运用函数方程思想、数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想，提高数学解题思维水平。 知识点诠释： （1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集． 1． （23-24高一上·湖南长沙·月考）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．  B．  C．    D．   【巩固练习1】关于x的不等式的解集为，且，则a= A． B． C． D． 【巩固练习2】（多选）关于的不等式，下列说法不正确的是（    ） A．若关于的不等式解集为或，则二次函数的零点为， B．若关于的不等式解集为或，则的解集为 C．若关于的一元二次不等式解集为，则且 D．若关于的不等式的解集与关于的二次不等式的解集相同都是，则 【题型2】一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式 1、一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形 总结：一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、元二次方程求解，步骤如下： (1)化二次项系数为正； (2)若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则可得到两根x1，x2，那么“y>0”型的解为x<x1或x>x2(俗称“大于取两边”)，“y<0”型的解为x1<x<x2(俗称“小于取中间”)； 2、解绝对值不等式的常见方法 法一：等式两边同时平方；法二：分类讨论去绝对值；法三：利用绝对值的几何意义 3、简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 例： 策略一： 同乘分母的平方 （也可以提公因式） 策略二：也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号： 同乘： 策略三：先将一端变为0，再讨论分子分母是否同号，注意分母不能为0 2． 解下列不等式． (1) (2) 3． 解不等式：(1) (2) 4． 的解集为 【巩固练习1】解下列一元二次不等式： (1)； (2)． 【巩固练习2】不等式的解集为 ． 【题型3】 由一元二次不等式的解集求参数 先判断开口方向，再结合图像，通过韦达定理列出参数相关的方程组 5． 已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或B．或C． D． 6． （多选题）（2024·高一·江苏·专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 【巩固练习1】（多选题）（2024·高一·湖南株洲·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【巩固练习2】（多选题）（2024·高一·山东聊城·期末）不等式的解集是，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（多选题）若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A．且 B． C． D．不等式的解集是 【题型4】解含参一元二次不等式 对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏 7． 解关于的不等式：. 8． 解关于x的不等式. 【巩固练习1】解不等式 【巩固练习2】当时，解关于的不等式. 【巩固练习3】解关于的不等式：． 【题型5】一元二次不等式的实际问题 一元二次不等式有解问题一般可以结合函数图像通过分析开口方向以及判别式正负来确定参数范围 9． 河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 【巩固练习1】某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（    ） A．220元 B．240元 C．250元 D．280元 【巩固练习2】某市有块三角形荒地，如图所示，（单位：米），现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地，其中点分别在线段上，若要求绿地的面积不少于7500平方米，则的长度（单位：米）范围是（    ）      A． B． C． D． 【巩固练习3】如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为多少米？ 【题型6】含参一元二次不等式恒成立问题（1）：判别式法 一元二次不等式在R上的恒成立问题 与恒成立问题有关的词有：“任意”、“全体实数”、“都”、“一切实数”等. 方法是通过二次函数的图像来理解. 1.若ax2+bx+c>0恒成立，则a>0，Δ<0； 2.若ax2+bx+c<0恒成立，则a<0，Δ<0； 3.若ax2+bx+c≠0恒成立，则Δ<0. 10． （2023上·广东深圳·高一校考）若关于x的不等式对恒成立，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 11． （多选），关于的不等式恒成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知对任意的实数x，恒成立，则实数a的取值范围是________. 【巩固练习2】已知函数，若对任意实数x，函数值恒小于0，则a的取值范围是________ 【巩固练习3】若不等式在实数范围内恒成立，则实数的取值范围是________. 【题型7】含参一元二次不等式恒成立问题（2）：参变分离法 含参一元二次不等式在区间上的恒成立问题一般通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题 参变分离法：如果能够将参数分离出来,建立起明确的参数和变量的关系, ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 12． 若不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13． （2023上·广东深圳·高一深圳外国语学校校考）当时，关于x的不等式恒成立，则的取值范围是 ． 【巩固练习1】若不等式在时不等式恒成立，则实数的取值范围为________；若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为________. 【巩固练习2】若不等式对任意成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【题型8】含参一元二次不等式恒成立问题（3）：变更主元法解 变更主元：在有几个变量的问题中,常常有一个变量处于主要地位,我们称之为主元。在解含有参数的不等式时,有时若能换一个角度,变参数为主元,则可以得到意想不到的效果。 14． 已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为 ． 【巩固练习1】若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是 ． 【巩固练习2】函数，若恒成立，则实数x的取值范围是 ． 【巩固练习3】已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y＜0恒成立，求实数x的取值范围． 【题型9】能成立问题（不等式有解） 一元二次不等式有解问题一般可以结合函数图像通过分析开口方向以及判别式正负来确定参数范围 15． 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知命题：“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 【巩固练习3】若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是____． 【题型10】一元二次方程根的分布* 一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想.一般考虑以下几方面： 1. 开口（若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况 ）. 2. 判定给定点处函数值的正负.（开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△＞0 恒成立） 3. 判定△符号. 4. 判定对称轴的位置.       总之，耐心去分类讨论（分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解），借助图象去分析就可以得到结论，无需记忆. （1）二元二次方程在上根的分布情况 ①方程有两个不等的实数根; ②方程有两个相等的实数根; ③方程没有实数根 （2）一元二次方程的根的“0”分布 ①方程有两个不等正根； ②方程有两个不等负根 ③方程有一正根和一负根,设两根为 （3）一元二次方程的根的“”分布 ①两根都小于； ②两根都大于 ③一根小于，一根大于 （4）一元二次方程根在区间的分布 ①两根都在内 ②两根都在外 ③两根仅有一根在内 ④一根在内,另一根在内 类型一 ：根的“0”分布 16． 已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。 17． （2024·高一·山东潍坊·阶段练习）关于x的方程至少有一个负实根，求的取值范围． 类型二 ：两根与的大小比较 18． 已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 . 类型三 ：根在区间上的分布 19． 若方程的一个根在区间上，另一根在区间上，则实数的取值范围为　 　． 20． 已知方程的两根分别在区间之内，则实数的取值范 围为　 　． 21． 若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，且， 则实数的取值范围是(　　) 【巩固练习1】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ． 【巩固练习2】已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是 ． 【巩固练习3】方程的两根分别在与内，则实数的取值范围为(　　) 【巩固练习4】已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是　 　． 【巩固练习5】已知方程的两根为，且，则的取值范围是　　． 模块三 【课后作业】 1． 不等式的解集为，函数的图象大致为（ ） A．B．C．D． 2． （多选题）（2024·高一·山东泰安·期中）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 3． 已知函数若关于的不等式的解集是，则的值为_____． 4． 不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5． 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长（单位：m）的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 6． 若不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7． 已知关于的方程有一根大于，另一根小于，则实数的取值范围是(　　) 8． 关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 9． 解下列关于的不等式：． 10． （23-24高一上·江苏镇江·期中）（1）解关于的不等式. （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 11． 已知，不等式恒成立，求的取值范围。 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年 新高一数学暑假衔接与新课重难点预习（人教A版2019） 专题2-4 三个二次：二次函数与一元二次方程、不等式 模块一 总览 热点题型解读（目录） 【题型1】三个“二次”关系的应用 【题型2】一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式 【题型3】 由一元二次不等式的解集求参数 【题型4】解含参一元二次不等式 【题型5】一元二次不等式的实际问题 【题型6】含参一元二次不等式恒成立问题（1）：判别式法 【题型7】含参一元二次不等式恒成立问题（2）：参变分离法 【题型8】含参一元二次不等式恒成立问题（3）：变更主元法解 【题型9】能成立问题（不等式有解） 【题型10】一元二次方程根的分布* 【课后作业】 模块二 【核心题型突破】·举一反三 【题型1】三个“二次”关系的应用 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式与的解集的关系，可归纳为： 若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解． 通过以上论述，可对“三个二次”的关系有一个较为全面的了解，在解题中，我们要不失时机的渗透“三个二次”三位一体的思维意识，实现“三个二次”之间的相互转换，能自然规范的运用函数方程思想、数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想，提高数学解题思维水平。 知识点诠释： （1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集． 1． （23-24高一上·湖南长沙·月考）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．  B．  C．    D．   【答案】A 【解析】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和1，且， 则变形可得 故函数的图象开口向下， 且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合.故选：A 【巩固练习1】关于x的不等式的解集为，且，则a=（　　） A． B． C． D． 【分析】看问题：求实数a的值．（属于求值问题） 想方法：寻找等量关系建立关于所求量的方程，利用方程思想求解， 看条件：的解集为，且， 定措施：由题意知是方程的两根，根据韦达定理及建关于a方程去求值。 【答案】A 【解析】因为关于x的不等式的解集为，所以，又，所以， 解得，因为，所以. 【巩固练习2】（多选）关于的不等式，下列说法不正确的是（    ） A．若关于的不等式解集为或，则二次函数的零点为， B．若关于的不等式解集为或，则的解集为 C．若关于的一元二次不等式解集为，则且 D．若关于的不等式的解集与关于的二次不等式的解集相同都是，则 【答案】BC 【解析】A选项：若关于的不等式解集为或， 则，且其对应方程有两个解，， 所以对应函数的两个零点为和，A选项错误； B选项：若关于的不等式解集为或， 则，且其对应方程有两个解，， 且，，即，， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为，B选项正确； C选项：若关于的一元二次不等式解集为， 则且其对应方程无解，即，C选项正确； D选项：若关于的不等式的解集为，则，且， 关于的二次不等式的解集是， 则，且，无法确定其比例关系，D选项错误；故选：BC. 【题型2】一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式 1、一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形 总结：一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、元二次方程求解，步骤如下： (1)化二次项系数为正； (2)若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则可得到两根x1，x2，那么“y>0”型的解为x<x1或x>x2(俗称“大于取两边”)，“y<0”型的解为x1<x<x2(俗称“小于取中间”)； 2、解绝对值不等式的常见方法 法一：等式两边同时平方 法二：分类讨论去绝对值 法三：利用绝对值的几何意义 3、简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 例： 策略一： 同乘分母的平方 （也可以提公因式） 策略二：也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号： 同乘： 策略三：先将一端变为0，再讨论分子分母是否同号，注意分母不能为0 2． 解下列不等式． (1) (2) 【解析】（1）对于方程，因为，所以方程有两个相等的实数根， 解得， 画出二次函数的图象，如图， 结合图象得不等式的解集为； （2）原不等式可化为， 对于方程，方程有两个实数根，解得， 画出二次函数的图象，如图， 结合图象得不等式的解集为 故所求不等式的解集为. 3． 解不等式：(1) (2) 【答案】（1）或；（2） 【解析】（1）方法一：（分类讨论） ①当时，原不等式变为：， 解得，所以； ②当时，原不等式变为：， 解得，所以； 综上所述，原不等式的解集为． 方法二：或，解得或， 所以原不等式的解集为． （2） 则有，即，解得或 4． 的解集为 【答案】 【解析】由, 可得, 即, 所以, 解得, 所以原不等式的解集为. 故答案为: . 【巩固练习1】解下列一元二次不等式： (1)； (2)． 【解析】（1）由，得， 即，所以， 所以不等式得解集为； （2）由，得，无解， 所以不等式的解集为. 【巩固练习2】不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】，即，则且．解得， 不等式的解集为. 故答案为：. 【题型3】 由一元二次不等式的解集求参数 先判断开口方向，再结合图像，通过韦达定理列出参数相关的方程组 5． 已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【解析】因为关于x的一元二次不等式的解集为， 所以且方程的解为， 所以，所以， 则不等式，即为不等式， 则，解得， 所以不等式的解集为.故选：D. 6． （多选题）（2024·高一·江苏·专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 【答案】AC 【解析】关于的不等式的解集为， 所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确； 且方程的两根为、4， 由韦达定理得，解得. 对于B，，由于，所以， 所以不等式的解集为，故B不正确； 对于C，因为，所以，即， 所以，解得或， 所以不等式的解集为，故C正确； 对于D，，故D不正确. 【巩固练习1】（多选题）（2024·高一·湖南株洲·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【答案】ABD 【解析】因为不等式的解集为或，则，是方程的两根，则，解得，故A正确，C错误； 因为，故B正确； 不等式可以化简为，解得，故D正确； 故选：ABD 【巩固练习2】（多选题）（2024·高一·山东聊城·期末）不等式的解集是，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】因为不等式的解集是， 可得，且，所以，所以， 所以A、C正确，D错误． 因为二次函数的两个零点为，且图像开口向下， 所以当时，，所以B正确． 【巩固练习3】（多选题）若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A．且 B． C． D．不等式的解集是 【答案】ABD 【详解】因为的解集为，解集属于两根之内的情况，所以，又因为，所以；A．，故正确；B．因为，所以，故正确；C．因为解集为，所以，故错误；D．因为即为，即，解得，故正确 【题型4】解含参一元二次不等式 对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏 7． 解关于的不等式：. 【解析】不等式，即， 当时，原不等式即，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为或； 当时，解得或，即不等式的解集为或； 综上可得：当时不等式的解集为， 当时不等式的解集为或， 当时不等式的解集为或. 8． 解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【解析】由题意可知，可化为 （1）当时，不等式化为，解得， （2）当时，不等式化为，解得， （3）当时，不等式化为，解得或， （4）当时，不等式化为，解得， （5）当时，不等式化为，解得或， 综上所述，时，不等式的解集为 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为; 【巩固练习1】解不等式 【解析】即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【巩固练习2】当时，解关于的不等式. 【解析】当时，代入不等式可得，解得； 当时，化简不等式可得即， 由得不等式的解为， 当时，化简不等式可得即， 由得不等式的解为或， 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 【巩固练习3】解关于的不等式：． 【分析】根据条件得，讨论与的大小，求解即可． 【详解】原不等式可化为， 讨论与的大小． （1）当，即时，不等式的解为或； （2）当，即时，不等式的解为； （3）当，即时，不等式的解为或． 综上：当时，不等式的解为或；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为或． 【题型5】一元二次不等式的实际问题 一元二次不等式有解问题一般可以结合函数图像通过分析开口方向以及判别式正负来确定参数范围 9． 河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 【答案】C 【解析】依题意，每天有间客房被租出， 该连锁酒店每天租赁客房的收入为． 因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元， 所以，即，解得． 因为且，所以，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元．故选：C． 【巩固练习1】某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（    ） A．220元 B．240元 C．250元 D．280元 【答案】C 【解析】依题意，每天有套礼服被租出， 该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为 元. 因为要使该礼服租赁公司每天租赁6.24万元， 所以， 即，解得.因为且，所以， 即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元.故选：C. 【巩固练习2】某市有块三角形荒地，如图所示，（单位：米），现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地，其中点分别在线段上，若要求绿地的面积不少于7500平方米，则的长度（单位：米）范围是（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【解析】中，，为等腰直角三角形， 设米，则米，米， 依题意有，解得. 即的长度（单位：米）范围是.故选：B. 【巩固练习3】如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为多少米？ 【答案】花卉的宽度至少为 【解析】设花卉带的宽度为，则，可得， 所以，草坪的长为，宽为， 则草坪的面积为， 因为草坪的面积不超过总面积的一半，则， 整理可得，解得，又因为，可得. 所以，花卉的宽度至少为. 【题型6】含参一元二次不等式恒成立问题（1）：判别式法 一元二次不等式在R上的恒成立问题 与恒成立问题有关的词有：“任意”、“全体实数”、“都”、“一切实数”等. 方法是通过二次函数的图像来理解. 1.若ax2+bx+c>0恒成立，则a>0，Δ<0； 2.若ax2+bx+c<0恒成立，则a<0，Δ<0； 3.若ax2+bx+c≠0恒成立，则Δ<0. 10． （2023上·广东深圳·高一校考）若关于x的不等式对恒成立，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据含参一元不等式恒成立对分类讨论即可得a的取值集合． 【详解】当时，不等式化为对恒成立； 当，要使得不等式对恒成立，则，解得 综上，a的取值集合为 11． （多选），关于的不等式恒成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由，关于的不等式恒成立得，求得的取值范围，然后根据充分条件与必要条件的概念判断即可得出答案． 【详解】，关于的不等式恒成立，则，解得． 对于A，因为，符合题意，故A正确； 对于B，是充要条件，故B错误； 对于C，因为，符合题意，故C正确； 对于D，因为当时，不一定成立，不符合题意，故D错误 【巩固练习1】已知对任意的实数x，恒成立，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的恒成立问题，结合判别式分析运算. 【详解】因为对任意，恒成立， 则，解得 【巩固练习2】已知函数，若对任意实数x，函数值恒小于0，则a的取值范围是________ 【答案】 【分析】根据给定条件，分段讨论，再结合二次函数的图象性质列式求解作答. 【详解】当时，恒成立，则； 当时，依题意，二次函数的图象总在x轴下方， 于是，解得，则 【巩固练习3】若不等式在实数范围内恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】由题意知在上恒成立，只需，解得的取值范围. 【详解】根据条件可以转化为， 不等式在上恒成立，等价于在上恒成立， 只需满足，，解得 【题型7】含参一元二次不等式恒成立问题（2）：参变分离法 含参一元二次不等式在区间上的恒成立问题一般通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题 参变分离法：如果能够将参数分离出来,建立起明确的参数和变量的关系, ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 12． 若不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案：B 【解析】将不等式在上有解，转化为不等式在上有解求解. 【详解】因为不等式在上有解， 所以不等式在上有解， 令，则， 所以， 所以实数的取值范围是 13． （2023上·广东深圳·高一深圳外国语学校校考）当时，关于x的不等式恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】参变分离得，再利用基本不等式求的最小值即可得答案． 【详解】关于x的不等式恒成立 即，时恒成立， ， 又， 当且仅当，即时等号成立，． 【巩固练习1】若不等式在时不等式恒成立，则实数的取值范围为________；若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为________. 答案：, 【解析】首先分离参数可得，然后结合对勾函数的性质求得，从而可确定的取值范围． 【详解】（1）因为不等式，所以在区间上恒成立，，当x=1时取等号，故 （2）不等式对一切恒成立， 由对勾函数的性质可知函数 在区间上单调递增， 且当时，，所以 故实数的取值范围是． 【巩固练习2】若不等式对任意成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题得不等式对任意成立， 所以 所以，即，解之得或. 故选：A 【题型8】含参一元二次不等式恒成立问题（3）：变更主元法解 变更主元：在有几个变量的问题中,常常有一个变量处于主要地位,我们称之为主元。在解含有参数的不等式时,有时若能换一个角度,变参数为主元,则可以得到意想不到的效果。 14． 已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意构造函数关于a的函数，则可得，从而可求出x的取值范围． 【详解】由题意，因为当，不等式恒成立， 可转化为关于a的函数， 则对任意恒成立， 则满足， 解得， 即x的取值范围为 【巩固练习1】若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】把题意转化为，设，由一次函数的单调性列不等式组，即可求解． 【详解】可转化为． 设，则是关于m的一次型函数． 要使恒成立，只需，解得． 【巩固练习2】函数，若恒成立，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】采用变换主元的策略，看作关于的一次函数，利用端点函数值不小于0建立不等式组求解即可． 【详解】令，当时，恒成立， 只需 即 解得或． 所以实数x的取值范围是． 故答案为： 【巩固练习3】已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y＜0恒成立，求实数x的取值范围． 【答案】 【详解】解　y＜0⇔mx2－mx－6＋m＜0⇔(x2－x＋1)m－6＜0． ∵1≤m≤3， ∴x2－x＋1＜恒成立， ∴x2－x＋1＜⇔x2－x－1＜0⇔＜x＜． ∴x的取值范围为． 【题型9】能成立问题（不等式有解） 一元二次不等式有解问题一般可以结合函数图像通过分析开口方向以及判别式正负来确定参数范围 15． 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 答案：A 【分析】先求出命题为真时实数的取值范围，即可求出命题为假时实数的取值范围. 【详解】若“，”是真命题， 即判别式，解得：， 所以命题“，”是假命题， 则实数的取值范围为：. 【巩固练习1】若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案：A 【分析】根据题意转化为不等式在上有实数解，结合函数的单调性，求得，即可求解. 【详解】由不等式在上有实数解， 等价于不等式在上有实数解， 因为函数在上单调递减，在单调递增， 又由， 所以，所以，即实数的取值范围是. 【巩固练习2】已知命题：“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用分离参数法得，只需求出不等式右边的最大值即可． 【详解】，， 设，对称轴为，在上单调递增， 故，即， ，，使得成立， ，，，故 【巩固练习3】若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是____． 【答案】 【解答】当时，不等式为有解，故，满足题意； 当时，若不等式有解， 则满足，解得或； 当时，此时对应的函数的图象开口向下， 此时不等式总是有解，所以， 综上可得，实数a的取值范围是. 【题型10】一元二次方程根的分布* 一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想.一般考虑以下几方面： 1. 开口（若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况 ）. 2. 判定给定点处函数值的正负.（开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△＞0 恒成立） 3. 判定△符号. 4. 判定对称轴的位置.       总之，耐心去分类讨论（分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解），借助图象去分析就可以得到结论，无需记忆. （1）二元二次方程在上根的分布情况 ①方程有两个不等的实数根; ②方程有两个相等的实数根; ③方程没有实数根 （2）一元二次方程的根的“0”分布 ①方程有两个不等正根； ②方程有两个不等负根 ③方程有一正根和一负根,设两根为 （3）一元二次方程的根的“”分布 ①两根都小于； ②两根都大于 ③一根小于，一根大于 （4）一元二次方程根在区间的分布 ①两根都在内 ②两根都在外 ③两根仅有一根在内 ④一根在内,另一根在内 类型一 ：根的“0”分布 16． 已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。 解析 方法一： 当时，若要满足题意，必须； 当时，若要满足题意，必须； 即，解得。 方法二：(韦达定理) 设是的两个根，若要满足题意等价于 ，解得。 17． （2024·高一·山东潍坊·阶段练习）关于x的方程至少有一个负实根，求的取值范围． 【解析】①当时，解得，满足条件； ②当时，显然方程没有零根， 由，得 设方程的两个实数根为 若方程有两异号实根，则 ，解得； 若方程有两个负的实根，则，解得 ． 综上，若方程至少有一个负的实根，则． 类型二 ：两根与的大小比较 18． 已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 . 【答案】 【解析】设， 因为方程 的一个实根小于2，另一个实根大于2， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 类型三 ：根在区间上的分布 19． 若方程的一个根在区间上，另一根在区间上，则实数的取值范围为　 　． 答案 解析 设函数， 方程的一个根在区间上，另一根在区间， ，∴，即， 则 即实数的取值范围是； 故答案为：(4，2)． 20． 已知方程的两根分别在区间之内，则实数的取值范 围为　 　． 答案 解析 设， 方程的两根分别在区间，之内， 可得，， 即有，且， 即为，解得． 故答案为：． 21． 若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，且， 则实数的取值范围是(　　) 答案 解析 由题意设， 方程有两个不相等的实根，且，， ，则，解得 【巩固练习1】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】令函数，依题意，的两个不等实根满足， 而函数图象开口向上，因此，解得， 所以实数a的取值范围为. 【巩固练习2】已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件及方程的根与函数零点的等价关系，再结合二次函数的性质即可求解． 【详解】显然，关于的方程对应的二次函数 当时，二次函数的图象开口向上， 因为的两个实根一个小于，另一个大于等价于二次函的图象与轴的两个零点一个小于0，另一个大于， 所以，即，解得； ②当时，二次函数的图象开口向下， 因为的两个实根一个小于，另一个大于等价于二次函的图象与轴的两个零点一个小于0，另一个大于， 所以，即，解得； 综上所述，实数的范围是． 【巩固练习3】方程的两根分别在与内，则实数的取值范围为(　　) 答案 解析 令 方程的两根分别在与内， ，， ， 的取值范围为． 【巩固练习4】已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是　 　． 解析 关于的方程对应的二次函数 若，即图象开口向上， 的两个实根一个小于，另一个大于， 只需，且， 即且，则； 若，即图象开口向下， 的两个实根一个小于，另一个大于， 只需，且， 即且，则． 综上可得的范围是． 故答案为：． 【巩固练习5】已知方程的两根为，且，则的取值范围是　　． 答案 解析 由程， 知对应的函数图象开口方向朝上 又方程的两根满足, 则 ,即 ,即 ， 故答案为 【课后作业】 模块三 【课后作业】 1． 不等式的解集为，函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，和1是的两根，由根与系数的关系知，，求得：，，所以，开口向下，令，即，解得两个根分别为-2，1 2． （多选题）（2024·高一·山东泰安·期中）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】由于不等式的解集为， 所以和是的两个实数根， 所以，故， ，故AB正确， 对于C,不等式为，故，故C错误， 对于D, 不等式可变形为， 解得，故D正确 3． 已知函数若关于的不等式的解集是，则的值为_____． 【答案】 【解析】因为函数,关于的不等式的解集是，的两根为：和；所以有：且； 且； 4． 不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案：B 【分析】由题意列不等式组求解 【详解】当即时，恒成立，满足题意， 当时，由题意得，解得， 综上，的取值范围是 5． 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长（单位：m）的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图，过作于，交于，易知，即， 则，．所以矩形花园的面积， 解得． 6． 若不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案：B 【解析】将不等式在上有解，转化为不等式在上有解求解. 【详解】因为不等式在上有解， 所以不等式在上有解， 令，则， 所以，所以实数的取值范围是 7． 已知关于的方程有一根大于，另一根小于，则实数的取值范围是(　　) 答案 解析 设， 若方程有一根大于，另一根小于，则只需要， 即，得， 即实数的取值范围是 8． 关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】设，开口向上， 由题意知， 即，解得， 所以． 故答案为：． 9． 解下列关于的不等式：． 【答案】答案见解析. 【分析】对分三种情况讨论得解. 【详解】由得或. 当，即时，不等式解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为． 综上：时，不等式解集为；时，解集为；时，解集为． 10． （23-24高一上·江苏镇江·期中）（1）解关于的不等式. （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）. 【解析】（1）不等式化为：， 当时，解得；当时，不等式无解；当时，解得， 所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （2）当时，恒成立，则， 当时，不等式， 依题意，，，而最大值为2，因此， 所以实数的取值范围是. 11． 已知，不等式恒成立，求的取值范围。 【答案】或 【详解】解因为时，不等式恒成立，即恒成立。当时，不等式不成立，所以。令(其中为自变量)，，问题转化为在时恒大于0，则解得或。所以的取值范围为或 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$