专题强化02：空间向量的应用必刷解答题（25道）-2024-2025学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题强化02：空间向量的应用必刷解答题 1．（23-24高二下·江苏盐城·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为的正方形，为等边三角形，点是线段的中点，点满足． (1)求证：平面﹔ (2)求二面角的余弦值． 2．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面平面，是边长为2等边三角形，点分别为的中点，点为线段上一点（包括端点）． (1)若为线段的中点，求平面和平面夹角的正弦值； (2)当直线与平面所成的角最大时，求出的值． 3．（23-24高二下·江苏南通·期中）如图，四棱锥的底面是菱形，平面，，点 分别是 的中点，. (1)求证：平面 (2)求证：平面 (3)求平面 与平面 所成二面角的正弦值. 4．（23-24高二下·上海·期末）如图，在中，平面平面四边形是边长为2的正方形． (1)证明； (2)若直线与平面所成的角为30°，求二面角的余弦值． 5．（23-24高二下·浙江·期中）如图，现有三棱锥和，其中三棱锥的棱长均为，三棱锥有三个面是全等的等腰直角三角形，一个面是等边三角形，现将这两个三棱锥的一个面完全重合组成一个组合体． (1)求这个组合体的体积； (2)求证：平面 (3)求二面角的余弦值． 6．（23-24高二下·福建莆田·期中）已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点． (1)求直线与平面所成角的大小； (2)求点到平面的距离． 7．（23-24高二下·江苏南京·期中）四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 8．（23-24高二下·浙江宁波·期末）如图，在五面体中，四边形为矩形，为等腰直角三角形，且.面面. (1)求证：： (2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由. 9．（23-24高二下·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，，为线段上的动点.    (1)证明：； (2)当为线段的中点时，求点到面的距离. 10．（23-24高二下·山东潍坊·阶段练习）如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 11．（23-24高二下·江苏徐州·期中）如图，在四面体中，平面，点在线段上.    (1)当点是线段中点时，求点到平面的距离； (2)若二面角的余弦值为，求的值. 12．（23-24高二下·浙江绍兴·期末）如图1，在四边形ABCD中，，现将沿着AC进行翻折，得到三棱锥，且平面平面，如图2. (1)若与平面所成的角为，证明：; (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 13．（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知三棱柱的棱长均为. (1)证明：平面平面； (2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离. 14．（23-24高二下·江苏常州·期末）如图，直线平面，四边形是梯形，，，为线段上异于端点的一点，，四边形是平行四边形. (1)若是的中点，求证：平面； (2)求二面角的大小. 15．（23-24高二下·湖南岳阳·期末）如图，在圆锥中，为圆的直径，为圆弧的两个三等分点，为的中点，； (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 16．（2024·河北·模拟预测）如图所示，三棱柱中，分别为棱的中点，分别是棱上的点，. (1)求证：直线平面； (2)若三棱柱为正三棱柱，求平面和平面的夹角的大小. 17．（23-24高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面满足，底面， 且，E为中点． (1)求证：面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 18．（23-24高二下·江苏连云港·期末）如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，平面平面. (1)证明：； (2)若点是的中点，点是线段上的点，点到平面的距离是.求： ①直线与平面所成角的正弦值； ②三棱锥外接球的表面积. 19．（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 20．（23-24高二下·四川成都·期末）如图，在斜三棱柱 中， 分别是 的中点. (1)证明: 平面 ; (2)若 ，且 ，求直线 与平面所成角的正弦值. 21．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，E是棱BC的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小. 22．（23-24高二下·湖北武汉·期末）如图，在三棱柱中，是正三角形，四边形为菱形，，. (1)证明：； (2)求二面角的正弦值. 23．（23-24高二下·江苏泰州·期末）如图，正方体的棱长为2，为的中点，点在上，. (1)求证：为的中点； (2)求直线与平面所成角的大小. 24．（23-24高二下·江苏南通·期中）如图，在直四棱柱中，底面是梯形，，且是的中点. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的正弦值. 25．（23-24高二下·江苏泰州·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，. (1)求证：平面平面； (2)设. ①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. ②在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化02：空间向量的应用必刷解答题 1．（23-24高二下·江苏盐城·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为的正方形，为等边三角形，点是线段的中点，点满足． (1)求证：平面﹔ (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于，连接，根据条件证明即可得证； （2）先证明平面，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量的坐标，分别求得平面与平面的法向量，最后由空间向量的夹角公式求解即得. 【详解】（1） 如图，连接交于，连接， 由是的中点可得，又为正方形， 所以，所以，所以，即， 又，即，所以/， 又平面，平面，所以平面； （2） 因平面平面，且平面平面，为等边三角形，点是线段的中点， 可得，又平面，故得平面. 如图，取的中点为，连接，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 则，， 所以，，则， 设平面的法向量为，由， 则，故可取； 又平面的一个法向量为， 所以， 由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 2．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面平面，是边长为2等边三角形，点分别为的中点，点为线段上一点（包括端点）． (1)若为线段的中点，求平面和平面夹角的正弦值； (2)当直线与平面所成的角最大时，求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得到面，建立如图所示的空间直角坐标系，求出面与面的法向量，利用面面角的向量法，即可求出结果； （2）设设，求出平面的法向量和，利用线面角的向量法得到，利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】（1）因为是正三角形，点为的中点，， 又平面平面 ，平面面，面， 所以面， 设F是中点，以E为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以 设面的一个法向量为，由，得到， 令，得到，所以， 又易知面的一个法向量为，则 所以平面和平面夹角的正弦值为. （2）设，又 则， 设平面的一个法向量为，由，得到， 令，得到，则， 设直线与平面所成的角， 所以， 又，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时，取最大， 又，在区间上单调递增， 所以直线与平面所成角最大时，，又， 所以直线与平面所成角最大时，. 3．（23-24高二下·江苏南通·期中）如图，四棱锥的底面是菱形，平面，，点 分别是 的中点，. (1)求证：平面 (2)求证：平面 (3)求平面 与平面 所成二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质判定推理即得. （2）法一，连接，利用三角形重心定理结合线面平行的判定推理即得；法二，取的中点，利用线面平行的判定、面面平行的判定性质推理即得. （3）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面 与平面法向量，再利用面面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）连接，在菱形中，由，得， 由点为的中点，得，而，则， 又平面，平面，于是，又，平面， 所以平面. （2）法一、连接，连接， 在三角形中，为中线，则为重心，即有， 而，于是，平面，平面， 所以平面   法二、取的中点，连接，在三角形中，为的中点，则， 平面，平面，因此平面， 在三角形中，由，，得， 平面，平面，因此平面， 又平面，平面，， 于是平面平面，而平面， 所以平面. （3）由（1）知，直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ， ，设平面的法向量为， 则，令，得， ，设平面法向量， 则，令，得，设平面与平面所成的角为， 则，因此， 所以平面与平面所成的角的正弦值为. 4．（23-24高二下·上海·期末）如图，在中，平面平面四边形是边长为2的正方形． (1)证明； (2)若直线与平面所成的角为30°，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，从而得到，进而即可证明平面； （2）取的中点，连结，先证明平面，再取的中点，以为基底，建立空间直角坐标系，再根据向量夹角公式即可求解． 【详解】（1）因为四边形是正方形，所以， 又平面平面，平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面，， 所以平面． （2）由（1）可得为直线与平面所成的角，即， 所以，所以，取的中点，连结， 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 取的中点，则， 以为基底，建立空间直角坐标系， 所以，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，即，取，则， 取平面的法向量， 设二面角的大小为， 则， 因为二面角为锐角，所以， 即二面角的余弦值为． 5．（23-24高二下·浙江·期中）如图，现有三棱锥和，其中三棱锥的棱长均为，三棱锥有三个面是全等的等腰直角三角形，一个面是等边三角形，现将这两个三棱锥的一个面完全重合组成一个组合体． (1)求这个组合体的体积； (2)求证：平面 (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）将多面体补形为正方体，则多面体的体积可用正方体体积减去三个棱锥体积即可求得； （2）由面面平行证得线面平行； （3）在正方体中建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，利用向量夹角公式即可求得． 【详解】（1）由题意，可将组合体补形为正方体， 如图所示，由，可得正方体棱长为， 故多面体的体积； （2）在正方体中，平面平面，平面， 故平面，即平面； （3）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则有，令，则，所以， 取平面的一个法向量为， 则， 由图可知，二面角的平面角为钝角， 故二面角的余弦值为. 6．（23-24高二下·福建莆田·期中）已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点． (1)求直线与平面所成角的大小； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量求解即可； （2）利用空间向量求解即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为， 所以如图以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量， 则，即，取，得， 设直线与平面所成角为， 则， 又，所以， 所以直线与平面所成角的大小为. （2）设点到平面的距离为，因为， 所以， 所以点到平面的距离为. 7．（23-24高二下·江苏南京·期中）四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解答 (2) (3)存在， 【分析】（1）取的中点，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可求解； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解平面与平面的夹角，即可求解； （3）设，利用空间向量法求解与平面的夹角，从而求解. 【详解】（1）如图1，取的中点，连接 因为且，又因为分别是的中点， 所以且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 因为，所以，令， 又因为，所以， 如图2，以为原点，所在方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则， 所以 设点坐标为，则， 由得，则， 所以，， 设平面的一个法向量为， 由，令，则， 所以面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 所以平面的一个法向量为， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为． （3）存在，，理由如下： 设， 所以设，，所以， 所以， 因为与平面所成角的正弦值为，所以， 整理得，解得或（舍）， 所以存在满足条件的点，，则. 8．（23-24高二下·浙江宁波·期末）如图，在五面体中，四边形为矩形，为等腰直角三角形，且.面面. (1)求证：： (2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)或. 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的判定性质推理即得. （2）取的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）由矩形，得，而平面平面，平面平面， 平面，则平面，又面，于是， 而，，平面， 因此平面，又平面， 所以. （2）取的中点，作，连接，由（1）知，平面， 而平面，则，又，，则，即两两垂直， 以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系， 假定在线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，设， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 于是，整理得，解得或， 所以在线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，此时或. 9．（23-24高二下·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，，为线段上的动点.    (1)证明：； (2)当为线段的中点时，求点到面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证出平面和平面，进而可得； （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用空间向量法求出点到平面的距离． 【详解】（1）平面，平面， ， 又平面， 平面，又平面， ， 中，为的中点，， 平面，平面， 平面，. （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设为平面的法向量，    则，令，则，故， 则点与平面的距离. 10．（23-24高二下·山东潍坊·阶段练习）如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法判断线面垂直； （2）利用向量法求二面角的正弦值； （3）利用向量法求点到面的距离. 【详解】（1）在正三棱柱中，取中点，过作，连接， 由平面，得平面，平面，则，，而，即两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 有，于是，， 即，，而又平面， 所以平面. （2）由（1）知，平面，则是平面的法向量， 设平面的法向量，而，， 则，取，得， 则，设二面角的平面角为， 因此， 所以二面角的正弦值为． （3）由（2）知是平面的法向量，而向量， 所以点到平面的距离为． 11．（23-24高二下·江苏徐州·期中）如图，在四面体中，平面，点在线段上.    (1)当点是线段中点时，求点到平面的距离； (2)若二面角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得到平面的距离； （2）设点，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，解出的值，即可得解. 【详解】（1）由平面，，得两两垂直， 以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图：    由为的中点，则、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，得，而， 所以点到平面的距离为. （2）设点，，，， 设平面的法向量为，则，取，得， 显然平面的一个法向量为， 则，解得， 此时点为的中点，所以. 12．（23-24高二下·浙江绍兴·期末）如图1，在四边形ABCD中，，现将沿着AC进行翻折，得到三棱锥，且平面平面，如图2. (1)若与平面所成的角为，证明：; (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过作于，则由平面平面，可得平面，所以为与平面所成的角，则，再结合已知的数据可证得，然后由线面垂直的判定定理可得平面，则； （2）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：过作于， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以为与平面所成的角， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 在中，，所以， 所以，所以, 因为，所以，即， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以； （2）过作于，由（1）可知平面， 所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 连接，取的中点，连接, 因为，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以， 因为，所以， 所以，所以，所以，得， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 因为， 所以，令，则， 设平面的法向量为， 因为， 所以，令，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 13．（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知三棱柱的棱长均为. (1)证明：平面平面； (2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）取的中点，连接，可证得，，则平面，然后利用面面垂直的判定定理可证得结论； （2）以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 所以， 所以，所以， 由题设可知，为边长为2的等边三角形，所以， 因为，所以，所以， 又因为平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）由（1）可知两两垂直， 所以以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 所以， . 因为，则， 设平面的法向量为， 则即 取， 所以是平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为， ， 化简整理得 解得，或（舍去）， 所以， 又因为， 所以. 设点到直线的距离为，则， 所以. 14．（23-24高二下·江苏常州·期末）如图，直线平面，四边形是梯形，，，为线段上异于端点的一点，，四边形是平行四边形. (1)若是的中点，求证：平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）借助中位线的性质可得线线平行，结合线面平行的判定定理即可得； （2）结合所给位置关系，建立适当空间直角坐标系，借助空间向量夹角公式计算即可得. 【详解】（1）连接，设其与交于，由四边形是平行四边形，则为中点， 连接，又是的中点，则， 由平面,平面,故平面； （2）由平面，平面，则，， 有，，平面，故平面， 又平面，故，故、、两两垂直， 故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、， 则、、, 令平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 令，则有，，，， 即，， 则， 由图可知，二面角为钝角，故二面角的余弦值为， 则二面角的大小为. 15．（23-24高二下·湖南岳阳·期末）如图，在圆锥中，为圆的直径，为圆弧的两个三等分点，为的中点，； (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的性质得到，再根据条件得到，利用线面垂直的判定定理得到面，再利用面面垂直的判定定理，即可证明结果； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量及，再利用线面角的向量法，即可求出结果. 【详解】（1）因为面圆，又面圆，所以， 又为圆弧的两个三等分点，所以，得到， 又，所以, 又，面，所以面， 又面，所以平面平面. （2）取的中点，连接，如图，以所以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 因为为的中点，， 所以， 又因为，，所以， 则，， 设平面的一个法向量为，由，得到， 取，得到，，所以， 设直线与平面所成的角为， 所以. 16．（2024·河北·模拟预测）如图所示，三棱柱中，分别为棱的中点，分别是棱上的点，. (1)求证：直线平面； (2)若三棱柱为正三棱柱，求平面和平面的夹角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接交于，连接，则可证得，再由可证得四边形为平行四边形，则∥，再由线面平行的判定定理可证得结论； （2）以为原点，以所在的直线为轴，过与平行的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：取的中点，连接交于，连接， 因为分别为棱的中点，所以∥∥， 所以，所以， 所以， 因为，所以，所以， 因为分别为棱的中点，所以， 因为∥∥，所以，∥， 所以四边形为平行四边形， 所以∥， 因为平面，平面， 所以直线平面； （2）解：连接，因为三棱柱为正三棱柱， 所以为等边三角形，所以， 所以以为原点，以所在的直线为轴，过与平行的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以， 设平面和平面的夹角为，则， 因为，所以. 17．（23-24高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面满足，底面， 且，E为中点． (1)求证：面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法一：取SC的中点设为F，连接EF、DF，可证四边形为平行四边形，得，从而得证； 方法二：取BC的中点设为F，连接，通过证明面面，从而得证； 方法三：则以A为原点，分别为x、y、z轴正方向建系，确定平面的一个法向量，证即可； （2）利用两平面的法向量求其夹角余弦值. 【详解】（1）方法一：取SC的中点设为F，连接EF、DF， 由题意可知E、F分别为的中点，则，且， ∵，∴，且， 则且， ∴四边形为平行四边形， ∴， 且面，面 ∴面； 方法二：取BC的中点设为F，连接， 由分别为中点，所以， 且面，面，∴面， ∵，∴，且， 则且， ∴四边形为平行四边形，∴， 且面，面，∴面， 而面，且， 所以面面，面， 从而得到面； 方法三：由题可知底面，，故两两垂直． 则以A为原点，分别为x、y、z轴正方向建系， ， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 所以， 而， 所以，又且面， ∴面； （2）根据（1）方法三，可知平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值. 18．（23-24高二下·江苏连云港·期末）如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，平面平面. (1)证明：； (2)若点是的中点，点是线段上的点，点到平面的距离是.求： ①直线与平面所成角的正弦值； ②三棱锥外接球的表面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)； 【分析】（1）由平面平面先证平面，得，从而根据线面垂直的判定定理得平面即可得证； （2）①建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离确定点的坐标，再利用线面角的向量法求解；②取的中点，其为直角三角形外心，则三棱锥外接球的球心在过点且垂直于平面的直线上，即可确定半径，得解. 【详解】（1）取的中点，连接，在直角梯形中，， 则四边形为正方形，所以， 在等腰直角三角形 中，， 为等腰直角三角形，而，故， 则有，所以， 因为平面平面平面平面，平面 ， 所以平面，又平面，所以， 又因为，直线有公共点，平面 所以平面又平面得； （2）以A为坐标原点，分别以所在的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，， ，，， 设，则，则， 设平面的一个法向量为， 则 ，得 ， 取 ，则 ，得平面的一个法向量为， 点P到平面的距离为， 解得，此时，， ①设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值； ②取的中点，其为直角三角形外心，且， 则三棱锥外接球的球心在过点且垂直于平面的直线上， 即平面，设， 由， 得， 解得， 故外接球的半径为， 其表面积为， 故三棱锥外接球表面积为. 【点睛】关键点睛：求解外接球的相关问题，关键是根据题意结合几何题的特征，确定外接球的球心位置，进而求出半径，即可求解. 19．（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接，，利用、得四边形是平行四边形，从而利用线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用点到平面距离的向量公式求解即可. 【详解】（1）取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面的法向量分别为， 则有，取， 则有， 即点到平面的距离为. 20．（23-24高二下·四川成都·期末）如图，在斜三棱柱 中， 分别是 的中点. (1)证明: 平面 ; (2)若 ，且 ，求直线 与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点E，连接OE，，可得四边形为平行四边形，则有，利用线面平行的判定定理可证得平面； （2）可证得平面ABC，以O为原点，OA，，OC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成的角正弦值. 【详解】（1）连接交于点E，连接OE，， ∵O，E分别是AB，的中点，D为的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形，则． ∵平面，平面， ∴平面． （2）连接OC， ∵，, ∴为正三角形， ∴， ∵，且都在面， ∴平面ABC，而面，故， 由，易知△ABC是等腰直角三角形， ∴， 以O为原点，OA，，OC所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，则，，，， 由，可得，且，， 设平面的法向量为， ∴，即，令，， 设直线与平面所成的角为，则， 即直线与平面所成的角正弦值为． 21．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，E是棱BC的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，与相交于点O，在三角形中，，由线面平行的判定定理证明即可； （2）以A为原点，分别以AB，AC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可. 【详解】（1）连接，与相交于点O， 在三角形中，， 因为平面，平面， 所以平面. （2），以A为原点，分别以AB，AC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则 A（0，0，0），（0，0，1），（2，0，1），E（1，1，0）， 所以，，， ， 设平面的一个法向量为， 由得，，取，的， 设平面的一个法向量为， 由得，，取，的， 设平面与平面的夹角为θ，则， 由图可知二面角为锐角，则二面角的大小为. 22．（23-24高二下·湖北武汉·期末）如图，在三棱柱中，是正三角形，四边形为菱形，，. (1)证明：； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，取的中点为，连接，由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得平面，即可证明； （2）方法一：根据题意，结合二面角的定义可得为二面角的平面角，再由余弦定理代入计算，即可求解；方法二：根据题意，取为的中点，过作平面的垂线，以该垂线为轴，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及二面角的计算公式代入计算，即可求解. 【详解】（1）取的中点为，连接， 由题知是正三角形，， 又，，为正三角形， ，又，平面， 又，所以平面，平面， 所以. （2）方法1：几何法 不妨设，则有，又， ， 取的中点，连接，因为为正三角形，所以， 取的中点，连接，则， 可得为二面角的平面角， 在中，，同理可得， ， 由余弦定理，， . 方法2：建系法 取为的中点，过作平面的垂线，以该垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，依题，， 则， ， ， 设平面法向量为，则 ， 所以， 同理，平面的法向量， ，， 设锐二面角为， 则. 23．（23-24高二下·江苏泰州·期末）如图，正方体的棱长为2，为的中点，点在上，. (1)求证：为的中点； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)30° 【分析】（1）根据线面垂直的性质得，再证明，最后得到，即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量和法向量，根据线面角的空间向量求法即可得到答案. 【详解】（1）连接，在正方体中，因为平面， 平面，所以. 因为，，所以，且均在同一平面内， 所以，因为为的中点，所以为的中点. （2）在正方体中，，，两两互相垂直， 如图建立空间直角坐标系. 则，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，即 令，则.于是. 设直线与平面所成的角为，则 因为，所以直线与平面所成角的大小为30°. 24．（23-24高二下·江苏南通·期中）如图，在直四棱柱中，底面是梯形，，且是的中点. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再由点到平面距离的向量求法求解. （2）求出平面的法向量，结合（1），利用面面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）在直四棱柱中，，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 而，且是的中点， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 所以点到平面的距离. （2）设平面的法向量，则，令，得， 设二面角的大小为，则， 所以二面角的正弦值 25．（23-24高二下·江苏泰州·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，. (1)求证：平面平面； (2)设. ①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. ②在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)①或；②不存在点，理由见解析 【分析】（1）利用面面垂直的性质可证得平面，再利用面面垂直的判定定理即可证得结论； （2）①依题建系，设，利用题设条件，分别求得相关点和向量的坐标，利用空间向量坐标的夹角公式列出方程，求解即得的值； ②假设存在点，可由推得，得点坐标，由得方程，因此方程无实数解，假设不成立. 【详解】（1）在四棱锥中，平面平面，， 平面，平面平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）如图以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立如图所示直角空间坐标系， 设，则，由， ，，， 则，，因，则，， 所以， ①设平面的法向量为，由，，得： ，可取 设直线与平面所成角为， 则有：，， 即：，化简得：， 解得或，即或. ②如图，假设在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上， 由，得，所以， 所以， 又得，，所以， 由得，即， 亦即（*）， 因为，所以方程（*）无实数解， 所以线段上不存在点，使得点，，在以为球心的球上. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$