九年级下册 第一章 直角三角形的边角关系-【宝典训练】2023-2024学年九年级上下册数学课时分层作业(北师大版)

数学·课时分层作业（九年级下册） ●● 九年级下册 第一章 直角三角形的边角关系 1.1锐角三角函数(1) ⊙级 三级 1.在R1△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=5,那么 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=5,tanA=2, tanA等于 则BC= &号 n号 7.如图，在R1△ABC中，∠C=90°，BC=6,AB= A音 c 10,则tanA= 2.在R1△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大 到原来的l00倍，tanA的值 ( A扩大到原来的10倍队缩小为原来的0 C.不变 D.不能确定 3.如图，下面四个梯子最陡的是 (第7题图) (第8题图) 8.如图，在平面直角坐标系中，P是∠1的边OA 上一点，点P的坐标为(3,4)，则tan∠1的值为 A C D 三级 4.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点 9.已知P(2.3),OP与x轴所夹锐角为a,求tana. A,B,O为格点，则tan∠AOB= A.2 B② 3 C.v10 5 D. 3 5.如图，某人从山脚下的点A走了300m后到达山 顶的点B,已知点B到山脚的垂直距离为70m, 10.已知，在Rt△ABC中，∠B=90°，tanA= 3.AC 求山的坡度，（结果精确到0.01） =√/13，则BC=· 1.在△ABC中，∠C=90,BC=8cm,anA=专 求AC的长. 53 宝典训练「数学·九年级全册（北师大版》 ●●●44444 1.1 锐角三角函数(2) ⊙级 €级 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，则下列等式成立的是 6.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200.sinA =0.6,求BC的长. A.sinA=AC B.sinA= BC AB AB C.sinA=BC D.sinA= BC c 2.如图，在△ABC中，∠C=90.AB=13,BC=5, 则sinA的值是 A后 B号 7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10,c0sA c高 n号 号求AB的长及mB. (第2题图) (第3题图) 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6,cosB 号则BC的长为 三级 A.4 B.25 8.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E为边 C1813 D.2 AC的中点，BC=14,AD=12,simB=台 13 13 4.如图所示，将R1△ABC放置在正方形网格中，使 (1)求线段DC的长： 三角形的各个顶点都在格点上，则tan∠BAC的 (2)求tan∠EDC的值. 值是· 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边 分别为a,b,c,若a=3,b=4,则sinB= cosB= ,tanB= 54 数学·课时分层作业（九年级下册） ●● 1.230°、45°、60°角的三角函数值 ⊙级 11.计算：tan60°+cos30°-sin45°tan45. 1.45°角的正切值为 A司 B.1 D.5 2.tan60°的值为 ( A B号 C.3 D.√2 3.Rt△ABC中∠C=90°，sinA= ?,则tanA的值是 ( A司 B号 e n号 12.计算：号×1an60°-8+1c0s30°-21×2022. 4.sin45°+cos45的值为 A.1 B.2 C.2 D.22 日级 5.比较大小：cos30 tan60°.（填“>”“<”或 “=”) 6.已知△ABC中，∠A,∠B都是锐角，且(cosA 名)+anB-1=0,则∠C 7.计算sin30°-cos60°= (只填结果). 13.如图，某同学用一个有60的直角三角板估测学 8.已知∠A是锐角，cosA= 则sinA= 3 校旗杆AB的高度，他将60°角的直角边水平放 在1.5m高的支架CD上，三角板的斜边与旗 9.计算：v2cos45- 2tan60° 杆的顶点在同一直线上，他又量得D,B的距离 三级 为5m,则旗杆AB的高度大约是多少米？（精 10.计算： 确到1m,√3取1.73) (1)2sin30°+3tan30°+tan45°： (2)cos45°+tan60cos30°. 55 宝典训练「数学·九年级全册（北师大版） ●●●444 1.3三角函数的计算 ⊙级 10.△ABC中，∠A,∠B均为锐角，且(tanA一√3) 1.已知。为悦角且m(a一10)号则。等于 +|2cosB-1|=0,则△ABC的形状是 11.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2,BC= A.45 B.55 C.60 D.65 1.将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到 2.2sin60°+tan60°的值为 ( △AB'C',连接B'C,则tan∠ACB A.5 B.2 C.23 D.2√2 3.计算sin30°+cos60的结果为 A司 B号 C.1 4.下列各式中正确的是 ( A.tan45"= 12.(1)i计算：2sin30°+(2023-x)°-tan60°： 2 B.c0s45°=1 Csin30-号 D.tan60°=3 3 5.在△ABC中，∠A,∠B都是锐角，且inA=5. 2 cosB=?则△ABC的形状是 A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 三级 6.计算：2sin60°-1an60+20os45° (2)计算：tan60°-sin45°+tan45°-2cos30°. 7.计算：(cos230°+sin30)×tan60° 8.计算：tan30°·tan60°+(cos57-sin45°)° (tan30°)t+2sin60°. 三级 9.在△ABc中，若snA-+(osB-号）=0， 则∠C的度数是 56 数学·课时分层作业（九年级下册） ●● 1.4解直角三角形 口级 7.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,AB=8, 1.在△ABC中，∠C-90,sinA-号则BC: ∠ABD=30°，∠CAD=45°，求BC的长. AC- A.3:4 B.4;3 C.3:5 D.4:5 2.如图所示，先锋村准备在坡角为a的山坡上栽 树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么 这两树在坡面上的距离AB为 () A.5coa米B.5米 米 C.5sina米D.sina A1.2) (第2题图) (第3题图) 3.如图，在平面直角坐标系中，∠a的一边与x轴正 半轴重合，顶点为坐标原点，另一边过点A(1, 三级 2),那么sina的值为 () 8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边 A 上的中线，过点A作AE⊥CD,垂足为点M,交 BZ C.2 D BC于点E,AM=2CM 4.如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点 (1)求sinB的值：(2)若CD=5,求BC的长. O.∠AOB=60°，AB=5,则AD的长是() A.5√2 B.53 C.5 D.10 0 M (第4题图)】 (第5题图) 三级 5.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,若∠BAC=a, AB=m.则底边BC- A.m·sina B.2i·sina c.2m…sin号 D.m·sin号 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，e=4√5，∠A=60°.解 这个直角三角形. 57 宝典训练「数学·九年级全册（北师大版） ●●●44444444 1.5三角函数的应用(1) ⊙级 6.如图所示，A.B两城市相距100km.现计划在这 1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30方向，距离 两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB).经测 灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间 量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B 后，到达位于灯塔P的南偏东45方向上的B处，这 城市的北偏西45的方向上，已知森林保护区的范 时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为() 围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内， 请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护 A.40√2海里 B.403海里 区？为什么？（参考数据：W3≈1.732，w2≈1.414） C.80海里 D.40√6海里 北 E 45 南 (第1题图) (第2题图) 2.如图，我们说点A在O的 30°方向上， 点B在点O的南偏西45°方向上，或者点B在点 O的 方向 3.如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平 面上目标C,此时飞机飞行高度AC=1200m,从 飞机上看地平面指挥台B的俯角a=30°，则飞机 A与指挥台B的距离为 () A.1200m B.1200√2m C.1200√/3m D.2400m 北 三级 7.如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底 部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的 仰角a=30°，从平台底部向树的方向水平前进3 (第3题图) (第4题图) 米到达点E,在点E处测得树顶A点的仰角B= 4.如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向 60°，求树高AB.(结果保留根号) 的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家 北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位 置到公路的距离AB是 米。 a 3级 5.如图，从热气球C处测得地 30 456 面A,B两点的俯角分别为 30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线 上，则A、B两点的距离是 米 58 数学·课时分层作业（九年级下册） 0● 1.5三角函数的应用(2) 口级 长为半径的圆形区域为危险区域，参考数据：② 1.如图所示，斜坡AB和水平面的夹角为α，下列命 ≈1.414，√3≈1.732) 题中，不正确的是 A.斜坡AB的坡角为a R 且斜坡AB的坡度为船 C.斜坡AB的坡度为tana D.斜坡AB的坡度为S 2.如图，一人乘雪橇沿30“的斜坡笔直滑下，滑下的 距离s(米)与时间1（秒）间的关系为=101十2， 若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为 A.72m 三级 B.36√3m 5.如图，水库大坝的横 B C.36m 断面是梯形，坝顶宽 1:3 1:2.5 D.185m 6m,坝高23m,斜坡 D 三级 AB的坡度=1：3，斜坡CD的坡度=1：2.5，求 3.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高 斜坡AB的坡角a,坝底宽AD和斜坡AB的长.（精 为18cm,深为30cm,为方便残疾人士，拟将台 确到0.1m) 阶改为斜坡，设台阶的起点为A,斜坡的起始点 为C,现设计斜坡BC的坡度i=1:5,则AC的 长度是 cm. 18 cm 7 4.我市某建筑工地，欲拆除该工地的一危房AB(如 图)，准备对该危房实施定向爆破.已知距危房 AB水平距离60米(BD=60米)处有一居民住宅 楼，该居民住宅楼CD高15米，在该住宅楼顶C 处测得此危房屋顶A的仰角为30°，请你通过计 算说明在实施定向爆破危房AB时，该居民住宅 楼有无危险？（在地面上以点B为圆心，以AB 59 宝典训练「数学·九年级全册（北师大版》 ●●●44444444 1.6利用三角函数测高 一级 5.如图，一辆小车沿着坡度为i=1:√3的斜坡从点 1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离 A向上行驶了50米到点B处，则此时该小车离 灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到 水平面的垂直高度为 灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是( A.2海里 B.2sin55海里 ⊙有 A北 D302. C.2cos55海里 y D.2tan55海里 (第5题图) (第6题图) 2.如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD,BC∥ 6.如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度， AD,迎水坡AB的长为10米，斜坡AB的坡度i 将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为 =1:合·则河提高BE等于 18√3m的地面上，若测角仪的高度为1.5m,测 得教学楼的顶部A处的仰角为30°，则敦学楼的 A.45米 高度是 B.25米 三级 C.4米 7.小丽为了测量旗杆AB的高度，小丽眼睛距地面 D.5米 1.5米，小丽站在C点，测出旗杆A的仰角为 3.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30方向，距离 30°，小丽向前走了10米到达点E.此时的仰角为 灯塔60海里的A处，它沿正南方向航行一段时间 60°，求旗杆的高度. 后，到达位于灯塔P的南偏东45方向上的B处，这 时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为 ( A.30√2海里 B.30√5海里 C.60海里 D.30√6海里 三级 4.小明在学完解直角三角形》一章后，利用测角仪和校 园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB的长度相等，小明先将PB拉到 PB的位置，测得∠PBC=a(BC为水平线)，测角仪 BD的高度为1米，则旗杆PA的高度为 1 A.Isina 米 B-米 1一米 C.I-sina 60 数学·课时分层作业（九年级下册） ●● 第一章 回顾与思考 ⊙级 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=13,BC=5, 1.cos60°的相反数是 求sinB和tanB的值. A-9 以-号 c-9 n-号 2.如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为点D,若AC =6√2，∠C=45°，tanB=3,则BD等于() A.2 B.3 C.3√2 三级 D.23 B D 3 cosC=2 8.如图，AD是△ABC的中线，tanB= 2 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=3.AC=10,则 AC=√2.求：(1)BC的长：(2)sin∠ADC的值. S△A等于 () A.3 B.300 号 D.150 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°.若AB=2, 则cosB= .BC= 三级 5.在锐角三角形ABC中，已知∠A,∠B满足 nA-名'+13-aml=0,期∠C 6.计算：tan60°-2sin45+cos60°. 61富数操堂宝典训练数学九年城全册（北师大版） 九年级下册 二级 5.< 67行089.1- 第一章直角三角形的边角关系 三级 1,1锐角三角函数(1)】 10.解：(1)原式=2+3. (2)原式=2. 一级 1.C2.C3.B4.A 1山.解：原式-()+（停）-（号）×1-3+是-立-3 5.解：在△ABC中，∠ACB=90°， BC=70m,AB=300m, 12解：式-×-+9-2×1=1-2+2-=1 .AC=√AB-BC=√300-70≈291.7(m), tan4--z007*0.24 2 答：山的坡度为0,24. 13.解：由已知可得四边形CDBE是矩形， 二级 ..CE=DB=5 m.BE=CD=1.5 m. 在R1△ACE中， 6101.是8号 三级 n∠AcE5 9,解：如图，P(2,3), AE=CE·tan∠ACE=5·tan60°=5√3(m), w号 .AB=53+1.5=8.65+1.5=10.15≈10(m), 即旗杆AB的高度大约是10m, 10.2 11.解：在△ABC中，∠C=90°，BC=8m, 1.3三角函数的计算 amA-C-音Ac-3-m 一级 4 1.B2.C3.A4.C5.C 1,1锐角三角函数(2) 二级 一级 7. 1.B2A3A415音号号 8.解：原式=5×3+1-厚+5=2. 二级 6.解：在Rt△ABC中， 三级 in-%,即%-0.60-20×0.6-12m. 9.120° 10.等边三角形11.号 7.解：在R△ABC中， 12.1)解：原式=2×号+1-（8)=1+1-3=-1 cosA= 即品-号AB- AC AC 12 (2)解：原式=B-(号）+1-2×9-厅-支+1-月-之 六sinB=A元=coA=1 1.4解直角三角形 三级 8,解：(1)在Rt△ABD中， 一级 D-2血-号脚裙号 1.A2.B3.A4.B 二级 ÷AB=5AD=15 5.C 4 6.解：∠A=60°..∠B=90°-∠A=30. 由勾股定理，得BD=√AB-AD=√15-12=9， "'sinA=4 .DC=BC-BD=14-9=5. (2)在R△ACD中， ,DE是斜边AC上的中线， 六a·mA=15·sn60'=45X9-6 DE-TAC-EC. ∴b=-a=√(43)-6=25. 7.解：AD⊥BC于点D,∠ADB=∠ADC=90 .∠EDC=∠C, 在Rt△ABD中， m∠EC=mC-提-是 AB=8,∠ABD=30°， 1.230°、45°、60角的三角函数值 ∴AD=AB=4,BD=3AD=4瓦. 一级 在R1△ADC中，∠CAD=45,∠ADC=90, 1.B2.C3.C4.C ,∴，DC=AD=4,∴.BC=BD+DC=45+4. 60 参考答米 三级 三级 8.解：(1)∠ACB=90,CD是斜边AB的中线· 5.解：如答图，过点B作BE⊥AD .CD=BD,.∠B=∠DCB. 于点E,过点C作CF⊥AD于点 1:3 1:25 :AE⊥CD..∠ACD+∠CAM=90. F. '∠DCB+∠ACD=90', 在R1△ABE和RI△CDF中， ∴.∠DCB=∠CAM.∴∠B=∠CAM. BE 1 CF 1 在Rt△ACM中， AE=3FD=2.5 AM=2CM, ∴AE=3BE=3×23=69(m), ∴.AC=√AM+CM=√(2CM)+CM=5CM F1D=2.5CF=2.5×23=57.5(m). ,AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m), ∴sinB=sn∠CAM=CM-CM=⊥=5 AC5CM后5 :斜坡的坡度=号≈0,333 (2)CD=5,,AB=2CD=25. ÷-0.3833.即taw-0.333.a1826. 由(1)知sinB=互 需=mAB-盟品2*2am 23 AC=AB:nB=25×5-2 答：斜坡AB的坡角a约为1826'，坝底宽AD为132.5m,斜坡 AB的长约为72.7m. BC-AB-AC=√(25)-2=4. 1.6利用三角函数测高 1.5三角函数的应用(1) 一级 一级 1,C2.A3.A 1.A2.北偏东西南3.D4.250 二级 二级 4.C5.25米6,19.5m 5.100(5+1) 三级 6,解：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区，理由如下： 7.解：∠ADG=30∠AFG=60, 过点P作PC⊥AB,C是垂足. ∴∠DAF=30,∴.AF=DF=10米. 则∠APC=30,∠BPC=45, 在R△FA中， AC=PC·tn30°，BC=PC·tan45 AC+BC=AB. AG=AF·sn∠AFG=10×号=5万米. .PC·tmn30+PC·tan45=100. AB=(1.5+55)米. 即9rC+P0=10.(S+1DPC=10, 答：旗杆AB的高度为(1.5+53)米. p℃=，3×100=50X(3-1.732)≈63.40>50. 第一章回顾与思考 3+5 一级 计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区， 三级 1B2A8D4号 7.解：树高AB是35+12米」 二级 2 5.75 1.5三角函数的应用(2) 6解：原式=(5-2x号+号 一级 1.B2.C =3-+-- 二级 7.解：在△ABC中，∠C=90, 3.210 ∴AC-√AB-BC=√13-5-12. 4,解：设有危险，理由如下： 在△AEC中. nB-mB-瓷- :∠AEC=90, 三级 a∠ACE-5 8.解：(1D如答图，过点A作AE⊥BC于点E. :∠ACE=30°，CE=BD=60米 mG=号∠0=45 .AE=203≈34.64（米）. 在Rt△ACE中，'CE=AC· 又AB=AE+BE,BE=CD=15米， ∴.AB49.64(米)， mc=Ex号1. 60>49.64,即BD>AB. AE=CE=1. ,在实施定向爆玻危房AB时，该居民住宅楼没有危险. 61 富数操堂宝典练数学九年城全册（北师大版） 在R△ABE中，：mB子，能-子 .AE 1 2 :.BE=3AE=3...BC=BE+CE=4: (2)①当u=3,=-2时，抛物线y=3-2的开口向上，对称 (2)由(1)可知BC=4,CE=1. 轴为y轴， AD是△ABC的中线.CD=ZBC=2. 顶点坐标为(0，一2)： ③当a=一3，n=2时，抛物线y=一3+2的开口向下，对称轴 .DE-CD-CE-1. 为y轴，顶点坐标为(0,2). AELBC.DE=AE=1,∴.∠ADC=45°， 三级 ·sin∠ADc=g 2 9,解：当r-1时y-}×+4-克 第二章二次函数 又因为车顶离隧道的顶部至少要有0,5米的距离，所以限高为 5-0.5=.25(米) 2.1二次函数 即货车的限高应是3.25米. 一级 1,D2.A3B4.D5.C 2.2二次函数的图象与性质(3) 二级 一级 6.27.18.69.①-11010.a(1+x7 1.B2.A3.A4.左1下25.(1.-3)x=1减小 1山，解：y=一7子+15x 二级 6.y=-3(x-2)2+57.二8.为>为> 三级 9,解：”抛物线y■ax向右平移1个单位， 12.解：(1)m=4. ∴平移后的抛物线顶点坐标为(1,0)，表达式为y=4(x1), (2)m=-1或m=3生亚或M=3±，2四 :抛物线y=a2向右平移1个单位后经过点(3,4)， a(3一1)2=4，解得4=1， 13,解：(1)y是x的一次函数，则m一m=0,解得m=1或m=0, ·平移后的表达式为y=(x一1) m≠0，.州=1. (2)y是x的二次函数，只须m一n≠0， 10,解：D加=一之·平移方法：将二次函数y一一之的图象先向 ,m≠1且m≠0. 右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到二次函数 2.2二次函数的图象与性质(1) y=-之（一3）+4的图象（平移方法不唯一 一级 (2)开口向下，对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,4). 1.C2.C3.B4.(0,0)5.2元 三级 二级 11.解：(1)，抛物线经过点(1，一3)， 6,C7,y%<为8.-2y增大减小 9.解：(1)a=2: -3=9如a=-方 (2)当a<0时，y的值随x值的增大而减小. “抛物线的函数表达式为y=一号（十2 三级 10.解：(1)，抛物线y=x的对称轴为y轴，而线段AB⊥y轴， (2)对称轴是直线x=一2.顶点坐标为（一2.0）. 点A与点B关于y轴对称， (a=-<0， 点A的横坐标为一3，点B的做坐标为3，代人解析式即可求 .当<一2时，y随x的增大而增大 得点A,B的纵坐标为9，A(一3.9)，B(3,9) (2)设C(a,a3), 2.2二次函数的图象与性质(4) .AC=(-3-a)2+(9-4),BC=(3-a)+(9-a).: 一级 ∠ACB=90°， 1.B2.B3.D4.向下x=2(2.-3)-3 ,AC+BC=AB,即(-3-a)2+(9-a)P+(3-a)+(9 5,四6.①6③ 42)）1=62, 二级 解得d=8或a2=9(舍去)，a=士2Z. 7.解：(1)抛物线y=x向右平移h个单位长度所得到的抛物线解 ∴点C的坐标为(-2√②，8)或(2厚，8. 析式为y=(x一h)°，把(3,1)代人得(3-h)=1,解得h=2或h =1,即h的值为之或4： 2.2二次函数的图象与性质(2) (2)当h=2时.抛物线的解析式为y=(r一2)°，当r=0时，y= 一级 4,抛物线与y轴的交点坐标为(0,4)：当h4时，抛物线的解析 1.C2.A3.D4.y=x2-55.y轴(0.3)相同 式为y=(r-4)',当r=0时，y=16,抛物线与y轴的交点坐标 二级 为(0,16) 6.D7.y轴(0,6)增大 三级 8.解：(1)由题意，得a-3或-3，n一2或一2， 8.解：(1)跑物线过原点(0,0)， an<0, ,2m一m=0,,.m,=0,m4=2 62-