九年级上册 第一章 微专题2 利用特珠四边母的性质巧解动点问题-【宝典训练】2023-2024学年九年级上下册数学高效课堂(北师大版)

第一章特殊平行四边形 微专题2利用特殊四边形的性质巧解动点问题 利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看成特殊点解决问题，再运用从特殊到一般 的思想，将特殊，点转化为一般点（动点）来解答。 技巧①平行四边形中的动点问题 4.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点E、F分别 L.如图1，在□ABCD中，AB=4,动点E从B点 为AD、DC上的动点，∠EBF=60°，点E从点A 出发，沿B一C一D一A运动到A点停止，设运 向点D运动的过程中，AE+CF的长度() 动路程为x,△ABE的面积为y,且y与x变 A.逐渐增加 量之间的关系如图2所示，则下面说法正确的 B.逐渐减小 是 ) C.保持不变且与EF的长度相等 D.保持不变且与AB的长度相等 03710 图1 图2 A.平行四边形ABCD的面积为3 B.平行四边形ABCD的周长为16 C.BC边长为3 (第4题图) (第5题图) D,△ABE的面积最大值为6 技巧③矩形中的动点问题 技巧②菱形中的动点问题 5.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=5,点E 2.如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠BAD 为CB上一动点（不与点C重合），将△CDE 60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一 个动点，则PE十PB的最小值为 沿DE所在直线折叠，点C的对应点C恰好 落在AE上，则CE的长是 () A.2 B.1 C.2 D.3 (第2题图) (第3题图) 6.已知矩形ABCD中，AB=6.点E为AD上一 A.1 B.3 C.2 D.√5 个动点，连接CE,将△CDE沿CE折叠，点D 3.如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上 动点，过点P作PE⊥BC于点E,PF⊥AB于 落在点F处，当点F为线段AB的三等分点 点F,若菱形ABCD的周长为20，面积为24， 时，AE的长为 则PE+PF的值为 ( A.4 B24 C.6 13 金典训练数学·九年级·全册（比师大版） 7.在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,AC 技巧④正方形中的动点问题 的垂直平分线EF分别交AD,BC于点E,F, 8.如图，正方形ABCD的面积为25cm,点E为 垂足为O. BC边上一动点，点F为CD边上一动点，连接 (1)如图1，连接AF,CE.试说明四边形AFCE AE,AF,点E和点F在运动的过程中始终保 为菱形，并求AF的长： 持∠EAF=45°，则△CEF的周长 (2)如图2，动点P,Q分别从A.C两点同时出发 沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点 P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→ C停止.在运动过程中，已知点P的速度为 A.10 cm B.8 cm C.6 cm D.4 cm 5cm/s,点Q的速度为4cm/s,运动时间为 9.如图，将正方形AOBC放在平面直角坐标系 ts,当以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平 中，点O是坐标系原点，A点坐标为（一1,3）. 行四边形时，求t的值， (1)求出点B,C的坐标： (2)在x轴上有一动点Q,过点Q作PQ⊥x 轴，交BC于点P,连接AP,将四边形 AOBP沿AP翻折，当点O刚好落在y轴 上点E处时，求点P,D的坐标 14富数爆堂宝典训炼数学九年级全册（北师大版） ,四边形PMAN是矩形.PM=PN, .四边形PMAN正方形： :∠A0B=90A0-AB=号×2-1. (2):四边形PMAN是正方形， 由勾股定理，得BO=DO=3 ∴PM=PN,∠MPN=90.∠EPB=g0°， :△AEF沿EF折叠后A与O重 '∠MPE+∠EPN=∠NPB+∠EPN=90. 合，AE=OE, .∠MPE=∠NPB. 又：∠BAC=60", ∠PMA=∠PNB=90°， ,,△AEO为等边三角形， 在△EPM和△BPN中，{PM=PN, ∴，AE=AO=1. 答图 ∠MPE=∠NPB, .BE=2一1=1=AE ∴.△EPM≌△BPN(ASA..EM=BN. 同理可得AF=DF,∴EF为△ABD的中位线。 课堂能力提升 12.B ∴EF=D=×5+5)=E 13.(1)证明：四边形EFGH为菱形. B.C10.A11,C .HG-EH. 12.(1)证明：由折叠的性质，得 :AH=2.D=2, ∠EPH=∠EBC=90°，PE=BE, .DGAH. ∴.∠EBP=∠EPB, HG=EH. '·∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP,即∠PBC=∠BPH. 在R△DHG和Rt△AEH中， DG-AH. ,AD∥BC..∠APB=∠PBC,∴.∠APB=∠BPH. .Rt△DHG≌Rt△AEH..∠DHG=∠AEH (2)△PDH的周长不变.证明如下： :∠AEH+∠AHE=90°.∠DHG+∠AHE=90. 如答图，过点B作BQ⊥PH,垂足为Q, ∴.∠GHE=90:四边形EFGH为菱形， 由(1)知∠APB=∠BPH, .四边形EFGH为正方形： 在 △ABP 和 △QBP 中 (2)解：如答图，作FQLCD于点Q,连接GE ∠APB=∠QPB. 四边形ABCD为矩形，.AB∥CD. ∠A=∠BQP=90, ∴.∠AEG=∠QGE.即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE.: BP=BP, 四边形EFGH为菱形 .△ABP≌△QBP, 答图 ,HE=GF,HE∥GF ∴.AP=QP,AB=QB ∴∠HEG=∠FGE.∴.∠AEH=∠QGF 'AB=BC..BC=BQ. 在△AEH和△QGF中， D G BH=BH. 在Rt△BCH和Rt△BQH中， ∠A=∠Q, BC=BQ. ∠AEH=∠QGF, ,Rt△BCH≌Rt△BQH,∴.CH=QH, HE=FG. .△PDH的周长为PD+DH+PH=PD+DH+AP+HC= .△AEH2△QGF AD+CD-8. .AH=QF=2. 微专题2利用特殊四边形的性质巧解动点问题 答图 DG=6.CD=8. 1.C2.B3.B4.D5.B 0G=2,5m的图积=号0G,PQ=号×2X2=2 6.2 7.解：(1)，四边形ABCD是矩形， 微专题1特殊平行四边形中的折叠问题 ,∴.AD∥BC,.∠OAE=∠(OF,∠AE)=∠CF) 1.C2.B3.D :EF垂直平分AC,垂足为O, 4.解(1)设EF=r, .OΛ■0C. 根据题意，得△CDE2△CFE,∴.DE=EF=r,CF=CD=6. .△AOE2△COF..OE=OF .AE=AD-DE=8-. ∴四边形AFCE为平行四边形. AC=√/AB+BC=√6+8=10. 又：EF⊥AC,∴四边形AFCE为菱形. .AF=AC-CF=4. 设AF=CF=xcm,则BF=(8-x)cm, 在R△AEF中，有AE=AF+EF, 在R1△ABF中，AB=4em, 由勾股定理得4+(8一x)=产.解得x=5, 即(8一x)=4+r2,解得r=3,即EF=3. ,∴.AF=5cm. (2)解：由(1)知AE=AD-DE=8-3=5, (2)显然当P点在AF上，Q点在CD上 Sm=号AE+BC·AB=号×6+8)X6=39. 时，A,C,P,Q四点不可能构成平行四边 5.C6.C7.C 形：同理P点在AB上时，Q点在DE或 8,解：如答图，连接BD,AC CE上，也不可能构成平行四边形.因此 :四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,AC平分∠BAD. 只有当P点在BF上，Q点在ED上时， 才能构成平行四边形，如答图，连接AP, 答图 :∠BAD=120. .∠BAC=60..∠AB0=90°-60=30 CQ,若以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形，则PC 参考答来 -QA. .CD=AB=10.AD=BC=5. :点P的速度为5cm/s,点Q的速度为4cm's.运动时间为ts. 又：将矩形ABCD沿EF折叠，使点A.D分别落在矩形AB .PC-5t em.QA=(12-4t)em. CD外部的点A,,D,处， 51=12-41,解得1=3 4 .根据轴对称的性质可得A,E=AE,AD,=AD,D1F=DF 设线段D,F与线段AB交于点M,阴影部分的周长为 “以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，13 (A.E+EM+MD,+A D)+(MB+MF+FC+CB) =AE+EM+MD +AD+MB+MF+FC+CB 8.A (AE+EM+MB)+(MD +MF+FC)+AD+CB 9.解：(1)如答图.分别过点A,B作x轴的垂线，垂足为G.H: =AB+(FD,十FC)+10 ,四边形AOBC是正方形， =AB+(FD+FC)+10 .A)=),∠AOB=90,∴.△AG2△O0HB, =10+10+10=30. .AG=OH,O=BH,A点坐标为（一1,3）， AG=3,0G=1. 山，解：两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是，理由如 .OH=3.BH=1..B(3.1) 下： 同理可得C2,4) 四边形ABCD是正方形， (2),点O与点E关于AP成轴对称， .OB=OC,∠OBE=∠OCF=45°，∠BC'=90. .A)=AE,AP⊥(OE且平分OE, :四边形AB'CO是正方形.∴∠EOF=90 .E0.6). .∠EOF=∠BOC. AP∥x轴，点P纵坐标是3∴.B,D关于直线 ·∠EOF-∠BOF=∠BOC-∠BOF.即∠BOE=∠COF AP对称，.D3,5). ∴，△BOE2△COF.∴Smr=Saaw. :点P在直线BC上 B ∴两个正方形重叠部分的面积等于S, .设直线BC为y=r+,将B(3,1),C(2,GO OH 4)代人 答图 Sw-1X1-1.iSm- 可得26+方-4 13k十b=1. 解之得/一3 “两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是 b=10, y=-3+10,当y=3时=子 12.1)解：在菱形ABCD中，AG=CG,AC⊥BD,BC=令BD=2 ×16=8. Pr号a 由勾殷定理得AG=√AB一BG=110一8=6， 第一章《特殊平行四边形》热门考点整合应用 AC=2AG=2×6=12. 1.B2.B3.A4.B5.D “菱形ACD的面积=是AC·BD=号×12×16=96， 6.AC=BD或AB⊥BC 7.证明：(1)，DE⊥AB,DF⊥BC,.∠AED=∠CFD=g0, (2)解：不发生变化.理由如下：如答图1，连接 ,四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C AO,则S6AD=Sam十SNe, I∠AED=∠CFD, ∴吉BD·AG=2AB0E+ .在△AED和△CFD中，∠A=∠C, AD.0E.即号×16×6-号×100E+ 1 DE-DF. .△AED≌△CFD(AAS): (2)△AED≌△CFD,.AD=CD 专×100E :四边形ABCD是平行四边形， 解得OE+OF=9.6,是定值，不变. .四边形ABCD是菱形. (3)解：发生变化.如答图2，连接AO,则 8证明：，BE∥AC,CE∥DB,∴四边形OBEC是平行四边形. Sw=5am-5w号BD·AG 又四边形ABCD是菱形，∴.AC⊥BD ∠COB=90.∴.平行四边形OB是矩形. AB OEAD.OF. 1 B.证明：，四边形ABCD是正方形， 即×16×6=2×10·0E-号×10 答图2 .CD=CB.∠DXCF=∠BCF=45.DC∥AE.∠CBE=90, .∠CDF=∠E. ·OF 又，CF=CF,.△DCF≌△BCF 解得OE一OF=9,6,是定值，不变，.OE+OF的值发生变化， ∠CDF=∠CBF.·∠CBF=∠E OE,OF之间的数量关系为OE-OF=9.6. :H为GE的中点∠CBE=90,HB=HG=号6E 13.(1)证明：如答图.连接A)并延长交℃于H. ”AB-AC,OB-(OC,∴AH是BC的中垂线，即AH⊥BC于点H. .∠HGB=∠HBG :D.E,F,G分别是AB,OB,OC,AC的中点 ,∠CDG+∠CGD=90°，∠CGD=∠HGB=∠HBG. .IDG∥EF∥BC,DE∥AH∥GF .∠FBG十∠HBG=90.即∠FBH=90,.FB⊥BH. .四边形DEFG是平行四边形. 10.解：：在矩形ABCD中，4B=10,BC=5, :EF∥BC,AH⊥BC.AH⊥EF