九年级上册 1.3 正方形的性质与判定(3)-【宝典训练】2023-2024学年九年级上下册数学高效课堂(北师大版)

第一章特殊平行四边形 1.3正方形的性质与判定(3)》 自主学习反馈 二、填空题 6.在四边形ABCD中.已知∠A=∠B=∠C 一、选择题 ∠D=90°，若添加一个条件即可判定该四边形 1.下列说法中，正确的是 ( 是正方形，则这个条件可以是 A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 ,(填一个即可) B.对角线互相平分的四边形是菱形 7.如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线 C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形 AC与BD相交于点O,点E在DC边的延长 D.对角线相等的平行四边形是矩形 线上.若∠CAE=15°，则AE 2.(2023春·饶平县校级期末)如图，两把完全 一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个 四边形，这个四边形一定是 A.矩形 (第7题图) (第8题困) B菱形 8.如图，已知正方形ABCD的对角线交于点O, C.正方形 过O点作OE⊥OF,分别交AB,BC于点E, D.无法判断 F,若AE=4,CF=3,则EF的长为· 3.正方形的一条对角线的长为3，则此正方形的 三、解答题 边长是 () 9.(2022春·越秀区期末)如图，四边形ABCD A.3 2 B.3 C.3√2 n 是正方形，对角线AC,BD相交于点F,∠E= 4.在正方形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分 90°，ED=EC.求证：四边形DFCE是正方形 别任意取点E,F,G,H.这样得到的四边形 EFGH中，是正方形的有 () A.1个 B.2个 C.4个 D.无穷多个 5.(2022秋·东莞市校级期中)如图，正方形 ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE= BF=CG=DH=5,则四边形EFGH的面积 是 ( A.30 B.34 C.36 D.40 1 宝典训练数学·九年级，全册（北师大版） 10.如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥BC,E, 课堂能力提升 F是平行四边形ABCD对角线BD上的两 12.如图，AD是△ABC的角平分线，DE,DF分 点，连接AE、CE,AF、CF、构成的四边形 别是△ABD和△ACD的高，则下列结论： AECF是一个菱形 ①OA=OD:②AD⊥EF:③AE+DF=AF+ 求证：平行四边形ABCD是正方形. DE;④当∠BAC=90°时，四边形AEDF是 正方形.其中一定正确的是 () A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 13.如图，矩形ABCD中，AD=6,DC=8,菱形 EFGH的三个顶点E,G,H分别在矩形ABCD 的边AB,CD,DA上，AH=2,连接CF. (1)若DG=2,求证：四边形EFGH为正方形： (2)若DG=6,求△FCG的面积. 11,如图，已知正方形ABCD,P是对角线AC上 任意一点，E为AD上的点，且∠EPB=90°， PM⊥AD,PN⊥AB.求证： (1)四边形PMAN是正方形： (2)EM=BN. 12参考答未 ,四边形OBEC为矩形，，.OE=CB 1.A2.B3.C4.C5.D6.D (2)解：设OC=r,则OB=2r,.BC=√OC+OB-√5x 二、填空题 :BC=OE=25..x=2. 7.AB=BC(答案不唯一)8.∠BAD=90(答案不唯一) 0X=2.0B=4.Sem=专AC·BD=20C.0B=16, 9.AC=BD或AB⊥BC(答案不难一) 10.∠BAD=90或AC=BD 课堂能力提升 三、解答题 14.A 11,证明：由四边形ABCD的顶点坐标分别是A(一2,0)， 1.3正方形的性质与判定(1) B(0,-2),C(2,0),D(0,2).可知OA=OB=0C=0D=2, 知识导引 .四边形ABCD为矩形. 1,相等直角 又，AC⊥BD,∴.四边形ABCD是正方形 2.(1)直角相等(2)相等垂直平分 12.证明：四边形ABCD是矩形，.∠BAD=∠ADE=90. (3)①四②两条对角线 ·∠ABF+∠AFB=90,AELBF, 自主学习反馈 .∠DAE+∠AFB=90°.∴∠ABF=∠DAE 一、选择题 ∠ABF=∠DAE, 1.B2.B3.C4.A5.D6.B7.C 在△ABF和△DAE中，∠BAF=∠ADE=90°， 二、填空题 BF=AE. 8492.5102a-a+2 '.△ABF≌△DAE(AAS)..AB=AD 矩形ABCD是正方形. 三、解答题 课堂能力提升 11,证明：在正方形ABCD中，AB=AD=CD,∠BAD=∠ADC= 13.(1)证明：，EG垂直平分BD,.EB=ED,GB=GD,BF=DF 90°， ∴∠EBD=∠EDB.'∠EBD=∠DBC, DQ=CP...AD-DQ=CD-CP..AQ=DP. .∠EDF=∠GBF .△ABQ2△DAP(SAS)..∠DAP=∠ABQ ∠EDF=∠GBF, ,∠DAP+∠BAP=90, 在△EFD和△GFB中，∠EFD=∠GFB. .∠ABQ+∠BAP=90..BQ⊥AP DF=BF. 12.解：(1)种草坪的面积是(a2一4)m: .△EFD≌△GFB (2)当u=84,b=8时.种草坪的面积是a-46=(a十2b)(a (2)四边形EBGD是菱形 2b)=(84+2×8)(84-2×8)=100×68=6800(m). 理由：由(1)可知△EFD≌△GFB,.ED=BG. 所以种这块草坪共需投资5×6800=34000（元）. ,BE=ED■DG=GB.,四边形EBGD是菱形. 13.(1)证明：四边形ABCD是正方形 (3)∠ABC=90 .AB=CB.∠ABC=90. 1.3正方形的性质与判定(3)】 ”△EBF是等楼直角三角形， 自主学习反馈 其中∠EBF=9O,.BE=BF 一、选择题 ∴.∠ABC-∠CBF=∠EBF-∠CBF. 1.D2.B3.A4.D5.B ∴.∠ABF=∠CBE. 二、填空题 AB=CB. 6.AB=BC(答案不唯一)7.88.5 在△ABF和△CBE中.∠ABF=∠CBE, 三、解答题 BF=BE. 9.证明：四边形ABCD是正方形，.∠FDC=∠DCF=45 .△ABF≌△CBE(SAS). :∠E=90°，ED=EC,∴∠EDC=∠ECD=45. (2)解：△CEF是直角三角形.理由如下： .∠FCE=∠FDE=∠E=90,.四边形DFCE是矩形. :△EBF是等腰直角三角形，∴∠BFE=∠FEB=45. ,DE=CE,∴四边形DFCE是正方形. .∠AFB=180°-∠BFE=135. 10.证明：如答图，连接AC交BD于O, 又△ABFQ△CBE,∠CEB=∠AFB=135 'AB⊥BC, ∴.∠CEF=∠CEB-∠FEB=135-45=90. .∠ABC=90°， ∴△CEF是直角三角形. :四边形ABCD是平行四边形， 课堂能力提升 .四边形ABCD是矩形， 14.g :四边形AECF是一个菱形， 1.3正方形的性质与判定(2) AC⊥EF, 然图 知识导引 .ACBD. 1.有一组邻边相等，并且有一个角是直角 .矩形ABCD是正方形， 2.(1)一组邻边相等(2)互相垂真 即平行四边形ABCD是正方形 (3)一个角是直角(4)菱形矩形(5)互相垂直平分且相等 11.证明：(1)四边形ABCD是正方形。 自主学习反馈 .∠BAD=90,AC平分∠BAD. 一、选择题 'PM⊥AD.PN⊥AB,.PM=PN,∠PMA=∠PNA=90. 3 富数爆堂宝典训炼数学九年级全册（北师大版） ,四边形PMAN是矩形.PM=PN, .四边形PMAN正方形： :∠A0B=90A0-AB=号×2-1. (2):四边形PMAN是正方形， 由勾股定理，得BO=DO=3 ∴PM=PN,∠MPN=90.∠EPB=g0°， :△AEF沿EF折叠后A与O重 '∠MPE+∠EPN=∠NPB+∠EPN=90. 合，AE=OE, .∠MPE=∠NPB. 又：∠BAC=60", ∠PMA=∠PNB=90°， ,,△AEO为等边三角形， 在△EPM和△BPN中，{PM=PN, ∴，AE=AO=1. 答图 ∠MPE=∠NPB, .BE=2一1=1=AE ∴.△EPM≌△BPN(ASA..EM=BN. 同理可得AF=DF,∴EF为△ABD的中位线。 课堂能力提升 12.B ∴EF=D=×5+5)=E 13.(1)证明：四边形EFGH为菱形. B.C10.A11,C .HG-EH. 12.(1)证明：由折叠的性质，得 :AH=2.D=2, ∠EPH=∠EBC=90°，PE=BE, .DGAH. ∴.∠EBP=∠EPB, HG=EH. '·∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP,即∠PBC=∠BPH. 在R△DHG和Rt△AEH中， DG-AH. ,AD∥BC..∠APB=∠PBC,∴.∠APB=∠BPH. .Rt△DHG≌Rt△AEH..∠DHG=∠AEH (2)△PDH的周长不变.证明如下： :∠AEH+∠AHE=90°.∠DHG+∠AHE=90. 如答图，过点B作BQ⊥PH,垂足为Q, ∴.∠GHE=90:四边形EFGH为菱形， 由(1)知∠APB=∠BPH, .四边形EFGH为正方形： 在 △ABP 和 △QBP 中 (2)解：如答图，作FQLCD于点Q,连接GE ∠APB=∠QPB. 四边形ABCD为矩形，.AB∥CD. ∠A=∠BQP=90, ∴.∠AEG=∠QGE.即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE.: BP=BP, 四边形EFGH为菱形 .△ABP≌△QBP, 答图 ,HE=GF,HE∥GF ∴.AP=QP,AB=QB ∴∠HEG=∠FGE.∴.∠AEH=∠QGF 'AB=BC..BC=BQ. 在△AEH和△QGF中， D G BH=BH. 在Rt△BCH和Rt△BQH中， ∠A=∠Q, BC=BQ. ∠AEH=∠QGF, ,Rt△BCH≌Rt△BQH,∴.CH=QH, HE=FG. .△PDH的周长为PD+DH+PH=PD+DH+AP+HC= .△AEH2△QGF AD+CD-8. .AH=QF=2. 微专题2利用特殊四边形的性质巧解动点问题 答图 DG=6.CD=8. 1.C2.B3.B4.D5.B 0G=2,5m的图积=号0G,PQ=号×2X2=2 6.2 7.解：(1)，四边形ABCD是矩形， 微专题1特殊平行四边形中的折叠问题 ,∴.AD∥BC,.∠OAE=∠(OF,∠AE)=∠CF) 1.C2.B3.D :EF垂直平分AC,垂足为O, 4.解(1)设EF=r, .OΛ■0C. 根据题意，得△CDE2△CFE,∴.DE=EF=r,CF=CD=6. .△AOE2△COF..OE=OF .AE=AD-DE=8-. ∴四边形AFCE为平行四边形. AC=√/AB+BC=√6+8=10. 又：EF⊥AC,∴四边形AFCE为菱形. .AF=AC-CF=4. 设AF=CF=xcm,则BF=(8-x)cm, 在R△AEF中，有AE=AF+EF, 在R1△ABF中，AB=4em, 由勾股定理得4+(8一x)=产.解得x=5, 即(8一x)=4+r2,解得r=3,即EF=3. ,∴.AF=5cm. (2)解：由(1)知AE=AD-DE=8-3=5, (2)显然当P点在AF上，Q点在CD上 Sm=号AE+BC·AB=号×6+8)X6=39. 时，A,C,P,Q四点不可能构成平行四边 5.C6.C7.C 形：同理P点在AB上时，Q点在DE或 8,解：如答图，连接BD,AC CE上，也不可能构成平行四边形.因此 :四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,AC平分∠BAD. 只有当P点在BF上，Q点在ED上时， 才能构成平行四边形，如答图，连接AP, 答图 :∠BAD=120. .∠BAC=60..∠AB0=90°-60=30 CQ,若以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形，则PC