第21章 第7课时 一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)-【宝典训练】2023-2024学年九年级上下册数学高效课堂(人教版)

数学·九年级·全册(R) 关第7课时 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 团一、新课学习 L.一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)的求根公2.设一元二次方程ax+bx十c=0(a≠0)的两个 式为：x= (△=b-4ac≥0). 实数根分别为x1x,则： x1十x2= (用a,b,c表示)： T1T2= (用a,b,c表示). 团二、例变稳中练 知识点1：用韦达定理求与“两根的和、两根的积” 相关的代数式的值 变1 例1 x十x2= X1x2= x1十x4= TIx:= x2-6x-15=0 x”-3x-1=0 2x2-5.x=3 x2+3.x-5=0 2.x2+5x-3=0 3x-x=0 例2已知关于x的方程x2-x一1=0的两根分 变2已知关于x的一元二次方程2x2-4x-3= 别为x1x2,则： 0有两个根x,x2,试求下列代数式的值： + (1)2+= (2)x+xi=· (2)(x1-1)(x2-1)= 知识点2：用韦达定理研究方程的系数 例3已知a,B是关于x的一元二次方程x+ 变3(2022秋·保定期末)已知关于x的一元二 (2m十3).x十m=0的两个不相等的实数根. 次方程x2十(2m-1)x十m2-1=0. (1)试确定m的取值范围： (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)当上+。=一1时，求m的值. (2)若方程两实数根分别为x,x,且满足 a B x2十x2=9,求实数m的值. 16 第二十一章一元二次方程 价三、四基三级练 级 L,若x1,x是方程3x2+5x=0的两根，则x1x22.(2022秋·平昌县期末)设x1,.x2是方程2x2一 x一1=0的两个实数根，则x1十x:= 3.(2022秋·东莞市期末)若方程2x2+6x-1= 4.(2022秋·黄埔区期末)设一元二次方程x2 0的两根为x1和x,则x1十x2等于( 3x十2=0的两根为x1,x,则x1十x2一x1x2的 A.6 B.-6 C.3 D.-3 值为 ) A.1 B.-1 C.0 D.3 二级 5.已知x1,x2是方程x2一3.x=15的两个根，则6.已知m,n是方程x2一2x一1=0的两实数根， 代数式x十x2的值是· 则+1 m n 7.(2023·龙川县校级开学)已知x,x2是一元二 8.(2022秋·惠东县期中)已知x1,x2是方程3x 次方程1一4x=一 2的两个根，则 3x一5=0的两个根，不解方程，则1+1的 T? 十x2= 值为 三级 9.(2022秋·成华区期末)已知m,n是一元二次10.若一元二次方程x2一(2m十3)x十m2=0有 方程x2十2.x一5=0的两个根，则m+mn十 两个不相等的实数根x1,x,且x:十x2= 2m的值为 x1x2,则m的值是 团四、思维拓展 11.(2022秋·孝南区期末)已知关于x的一元二次方程x一(m十2)x十m十1=0. (1)求证：该方程总有两个实数根： (2)若该方程两个实数根的差为2，求m的值. 17参考答案 三、四基三级练 4r-1=6或红-1=4.∴6=子= 15=0-} 2.1=0,x=一1 11.解：设x=y,则原方程可化为：y-3y十2=0， 3.解：x2+2x-3=0,.(x-1)(x十3)=0. 解得：y=1,为=2. .r-1=0或x十3=0..x=1,x2=-3. 当y=1时，lx=1,r=士1： 4.解：：2-7x-18=0,.(x-9)(x十2)=0. 当y=2时，x=2..r=士2. x-9=0或x十2=0.∴x1=9,=-2. .原方程的解为：=1，x=一1，x=2m=一2 5.解：，(r+2)°=3(r+2),.(x+2)-3(x十2)=0， 12.解：令=x2.则≥0. .(x+2-3)(x+2)=0.x+2-3=0或r+2=0. 原方程可化为：一21一8=0 了=1,0=-2. 解得：11=4，a=一2， 6.解：2y+4y=y+2..2y(y+2)-(y+2)=0. 因为t=一2<0和1≥0不相符， .(y+2)(2y-1)=0..y+2=0或2y-1=0. 1=4,即x2=4=2,x=-2 1 ∴为=一24=7 第6课时一元二次方程的根的判别式 7.解：(r-2)2-2x十4=0..(r-2)2一2(x-2)=0. 一、新课学习 .(x-2)(x-2-2)=0.∴.x一2=0或x-2-2=0. 1.r=二±=4ac(4-6-1ac≥0) x1=2,r2=4 2a 8.解：：22-3.r-5=0..(2r-5)(r+1)=0. 2.(1)两不相等 -土VB-4a 5 六2x-5=0或+1=0.六w=2m=-1 (2)两 相等 (3)无 四、思维拓展 9.12或1410.6 二、例变稳中练 【例1】C 【变1】A 微专题1解一元二次方程综合（含整体思想、换元法）】 【例2】解：(1)b一4ae=4m+1: 1.解：：25(1+x)=36,.(1+r)=1.44. (2),-4ac=4m+1>0, .1+x=±1.2..x1=0.2.=-2.2. ,不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根。 2.解：200(1-x)=162..(1-x)=0.81 【变2】证明：：4=一4(m-1)=m2-4m+4=(m-2)≥0， 1-x=±0.9.r1=0.1.=1.9. ,方程总有两个实数根： 8=06=14=-号=司 【例3】m≥-1 【变3】4<-9 【例4】e<5且k≠1 【变4】m<一3 5.解：x一8x十13=0，.x2-8r=-13. 三、四基三级练 .x2-8+16=-13+16..(x-4)2=3 1,122.Λ3.k≤14.m>25.C6.m≤2且m≠1 -4=土5.x=5+4=-5十4. 四、思维拓展 6.解：原方程化简为：32-4r一2-0， 7.(1)证明：a=1,b=一(k+4),c=k+3, .4=(-4)P-4×3×(-2)=40>0 ,∴.△=[-(k+4)]-4×1×(k+3) ∴r=4生@-2±西 =+8k+16一4k一12=+4k+4=(k+2)≥0. 2×3 3 ,此方程总有两个实数根： m=2+0 0%=2-0 (2)解：“x2一(k十4)x+3+=0, 3 ,(x-1)[x-(k十3)]=0.r=1或r=k+3. 7解：号rr-1=45rr-D=90. :此方程恰有一个根小于0， .k+3<0..k<-3 ∴.x2-x-90=0..(x-10)(r+9)=0. 8.解：(1)：关于r的一元二次方程x3-2(m+1)x+m+5=0有 .r-10=0或x+9=0.=10.=-9. 实数根， 8.解：(2r十4)(2x十6)=8，.(x十2)(r十3)=2. .△=[-2(m+1)]一4(m+5)=8m-16≥0，，.m≥2. .r+5.x+6=2..x+5r+4=0 当方程有两个实数根，m的取值范围为m≥2， .(x十1)(r十4)=0..x十1=0或x+4=0. (2)当7为底时，由题意得，△=0，则8m一16=0， .r=-4,0=-1. 解得m=2,此时一元二次方程x一6x十9=0 9.解：令y=十r,则由原方程，得 解得x=3.因为3+3<7，舍去： 3y2-4y-12=0..(y-6)(y+2)=0. 当7为腰时，将r=7代人得49一14(m十1)十m十5=0， 解得y=6或y=一2， 即m=4或m=10. 当y=6时.2+r=6.∴.(r+3)(x-2)=0. 经检验，当m=10时，别一根为15不合题意， 解得1=一3，=2. 综上可得m=4. 当y=-2时广十x=一2，即2十x十2=0， :△=1一4×1×2=一7<0，该方程无解. *第7课时一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）】 综上所述，该方程的解为：=一3，=2. 一、新课学习 10.解：设r-1=y,则原方程可化为y2-10y+24=0. 解得头=6，为=4， 1.生延2-女台 数学九年级全册(R) 二、例变稳中练 当x=3时，18-2r=18-2×3=12>10,不符合题意，舍去： 【例1】 当r=6时，18一2x=18-2×6=6<10,符合题意. ,十：= r2= 答：此时的x的值为6. 【变1】解：(1)设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长 x-3x-1=0 3 -1 为(42-一3x)米， x2+3.r-5=0 -3 -5 依题意，得(42-3r)x=144.解得=6，=8. 由于=8>7，所以不合题意，舍去， -2r2+5r-3=0 所以x=6符合题意. 【变1】 答：生态园垂直于墙的边长为6米： (2)依题意，得(42一3x)x=150. r十n= n= 整理，得x2-14r十50=0. x2-6-15=0 6 -15 因为△=(-14)2-4×1×50=-4<0. 所以该方程无解， 2.x2-5r=3 3 2 2 所以生态园的面积不能达到150平方米. 号-=0 2 【例2】2【变2】1 三、四基三级练 【例2】(1)-1(2)3 【变2)- 。2-号 1.1.5m2.4500cm 3.解：设水平彩条宽度为xcm,则竖直彩条的宽度为2rcm, 【例3】解：(1)：关于r的一元二次方程x2十(2m+3)x十m=0有 两个不相等的实数根，.△>0.即△=(2m十3)一4m2>0, 由题意得：8r十6×2-2rX-是×8X6 解得m>一是 整理得：2-10r+9=0, 解得：r=1或r=9(不合题意舍去)， (2)@,3是方程的两个实数根， .r=1.2x=2. ∴a十8=一(2m+3),a3=m. 答：水平彩条宽度为1cm,则竖直彩条的宽度为2cm. 1+】=1.六(29+3)三-· 四、思维拓展 4.解：设花面的宽度为AB=x米， 解得m=3m=一15m>-子六m=3 则BC=28+2-3r■(30-3)米， 【变3】解：(1)，方程有实数根，.△≥0. 根据题意，得(30一3r)r=72, 解得：m=4,3=6. (2m-1-4X1X(m-D≥0，解得：m≤号 :当r=4时.30-3r=18>16, (2)方程两实数根分别为，· ∴不符合题意，舍去.宽为6米，长为12米. 十=-2m+1=m-1 答：花圃的长为12米，宽为6米. 十=9，(m十)-2m=9 第9课时实际问题与一元二次方程(2)（增长率问题） ,.(-2+1)2一2(m2-1)=9. 一、新课学习 解得：m=3(舍去)或m-1.:m<异m=-1 1,(1)11(2)12.12.a(1士r)a(1土x) 三、四基三级练 二、例变稳中练 1.02专3D4A5396-27288-号 【例1】解：设这个百分数是「，根据题意得： 100×(1十x)=144,(1十x)2=1.44, 9.010.3 1十r0,.1十x=1.2,x=0.2=20%. 四、思维拓展 答：增长的百分数为20%. 11.(1)证明：△=[一(m十2)]F一4×1×（十1）=m2十4m十4一4m 【变1】解：设该地这两年中欧班列开行量的年平均增长率为， 一4=m2≥20. 依题意得：500(1+r)=1280, ,该方程总有两个实数根： 解得：x=0.6=60%,.x1=一2.6（不合题意，舍去）. (2)解：不妨设方程的两实数根为1凸且>· 答：该地这两年中欧班列开行量的年平均增长率为60%， 则1-=2.∴.(1-：)=(1十x:)-4r=4 【例2】解：设这种药品成本的年平均下降率是x, 又，1十x=m十2，x1x=m十1， 5000(1-r)2=3200, .(程十2)2一4(m十1)=4，。m=2或m=一2， 解得=0.2，=1.8（含去）. 故m的值为2或一2， 答：该药品成本的年平均下降率是20%。 第8课时实际问题与一元二次方程(1)（几何问题） 【变2】解：设每次降价的百分率为x, 根据题意得：4000(1一r)1=4000一760， 二、例变稳中练 解得：x=0.1=10%,=1.9(不合题意，舍去). 【例1】解：，帮栏总长度为18m,AB的长为xm, 答：每次降价的百分率为10% .BC的长为(18-2x)m. 【例3】解：设每次降价的百分比是x, 根据题意得：r(18一2x)=36, 整理得：x2-9r十18=0，解得：r1=3,x=6, 依题意得1×1-=1×碧，