第04讲：空间向量及其运算的坐标表示（7大题型）-2024-2025学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第04讲：空间向量及其运算的坐标表示 【考点归纳】 · 考点一、求空间点的坐标 · 考点二、空间向量的坐标运算 · 考点三、空间向量平行坐标问题 · 考点四、空间向量垂直坐标问题 · 考点五：空间向量模长坐标问题 · 考点六：　空间向量夹角坐标问题 · 考点七：空间向量坐标综合问题 【知识梳理】 知识点一　空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. (2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 知识点二　空间一点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk. 在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 知识点三　空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a. 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 知识点四　空间向量的坐标运算：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 知识点五　空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则有当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝； cos〈a，b〉＝＝ . 知识点六　空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，：则P1P2＝||＝. 【例题详解】 题型一、求空间点的坐标 1．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川成都）如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中不正确的是（    ） A．点关于直线对称的点为 B．点关于点对称的点为 C．点的坐标为 D．点关于平面对称的点为 3．（22-23高二下·甘肃天水·期中）已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系.写出向量，，的坐标.    题型二、空间向量的坐标运算 4．（23-24高二上·天津·期末）已知空间向量，，则（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二上·新疆巴音郭楞·阶段练习）已知向量，，，求： (1)；(2)；(3). 6．（19-20高二·全国·课后作业）在中，，，. （1）求顶点、的坐标； （2）求； （3）若点在上，且，求点的坐标. 题型三、空间向量平行坐标问题 7．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，若三点共线，则（    ） A． B． C．2 D．8 8．（23-24高二上·广东中山·期中）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知向量，且，则（    ） A． B． C．3 D．6 题型四、空间向量垂直坐标问题 10．（23-24高二上·江西上饶·期末）已知空间向量，，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 11．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（    ） A． B．或 C．或 D．或 12．（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（    ） A． B． C． D． 题型五：空间向量模长坐标问题 13．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（    ） A． B．0 C．3 D． 14．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知空间三点，，，则以、为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（    ）    A． B． C． D． 题型六：　空间向量夹角坐标问题 16．（23-24高二上·新疆和田·期末）已知空间向量，则向量与的夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 17．（22-23高二下·浙江杭州·期中）向量，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 18．（22-23高二上·浙江杭州·期末）设空间两个单位向量与向量的夹角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 题型七：空间向量坐标综合问题 19．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知，向量，且满足 (1)求点的坐标； (2)若点在直线（为坐标原点）上运动，当取最小值时，求点的坐标． 20．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知空间中三点，，.设，. (1)求和； (2)若与互相垂直，求实数的值. 21．（22-23高二下·福建龙岩·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点． (1)求的距离；(2)求的值． 【专项训练】 一、单选题 22．（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知，，且，则（    ） A．2 B．3 C． D． 23．（23-24高二下·甘肃·期中）在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二下·甘肃定西·阶段练习）在空间直角坐标系中，点在x轴上的射影和在平面上的射影分别点M，N，则点M，N的坐标分别为（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知点，向量，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 26．（23-24高二上·广西百色·期末）已知空间向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 27．（23-24高二上·江西吉安·期末）在三棱锥中，平面，为正三角形，，，点在线段上，且，当时，（    ） A． B． C． D． 28．（2024高三·全国·专题练习）在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高二上·上海·阶段练习）设是空间中给定的2023个不同的点，则使得成立的点的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2023个 D．4046个 二、多选题 30．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知空间向量，则（    ） A． B．在上的投影向量为 C．若向量，则点在平面内 D．向量是与平行的一个单位向量 31．（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，且于点E，则（    ）    A． B． C． D． 32．（23-24高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．向量关于平面的对称向量的坐标为 B．若，则 C．若，则 D．若且，则， 33．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，长方体中，，，点为线段上一点，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高二上·广东珠海·期末）在下列四个选项，其中正确的有（   ） A．与向量同方向的单位向量 B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D．已知向量，，则在上的投影向量为 三、填空题 35．（23-24高二下·上海虹口·期末）若向量与平行，则实数的值为 . 36．（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 37．（23-24高二上·福建福州·期末）已知为单位向量.，若，则在上的投影向量为 . 38．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知是空间的一个单位正交基底，且，则与夹角的余弦值为 . 39．（23-24高二上·河北邯郸·期末）如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，设，则的最小值为 . 四、解答题 40．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间直角坐标系中的三点，，. (1)若，且，求向量的坐标； (2)已知向量与互相垂直，求的值. 41．（2024高二上·全国·专题练习）已知. (1)若，分别求λ与m的值； (2)若，且与垂直，求. 42．（24-25高二上·全国·课前预习）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，，分别在棱，上，，．    (1)求线段的长． (2)求与所成角的余弦值． 43．（23-24高二上·安徽铜陵·期中）已知空间中三点，，.设，. (1)求；(2)若与互相垂直，求实数的值. 44．（2023高三·全国·专题练习）如图四棱锥，且，平面平面，且是以为直角的等腰直角三角形，其中为棱的中点，点在棱上，且.求证：四点共面. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲：空间向量及其运算的坐标表示 【考点归纳】 考点一、求空间点的坐标 考点二、空间向量的坐标运算 考点三、空间向量平行坐标问题 考点四、空间向量垂直坐标问题 考点五：空间向量模长坐标问题 考点六：　空间向量夹角坐标问题 考点七：空间向量坐标综合问题 【知识梳理】 知识点一　空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. (2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 知识点二　空间一点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk. 在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 知识点三　空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a. 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 知识点四　空间向量的坐标运算：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 知识点五　空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则有当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝； cos〈a，b〉＝＝ . 知识点六　空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，：则P1P2＝||＝. 【例题详解】 题型一、求空间点的坐标 1．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据终点坐标减去起点坐标，即为所求向量的坐标，即可得解. 【详解】设， 则， 所以，解得， 所以点坐标为. 故选：B. 2．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中不正确的是（    ） A．点关于直线对称的点为 B．点关于点对称的点为 C．点的坐标为 D．点关于平面对称的点为 【答案】C 【分析】利用空间点的对称性即可逐项判断得出结论. 【详解】由图可得，则点关于直线对称的点为，故A正确； 由于，所以点关于点对称的点为，故B正确； 点的坐标为，故C不正确； 由于点，则点关于平面对称的点为，故D正确. 故选：C. 3．（22-23高二下·甘肃天水·期中）已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系.写出向量，，的坐标.    【答案】答案见解析 【分析】根据空间坐标系分别写出对应点的坐标，再利用向量的坐标运算法则即可得出结果. 【详解】根据题意可得， 又E，F分别为棱，的中点，可得， 利用向量坐标运算法则可得，即； ，即； ，即； 所以可得，，. 题型二、空间向量的坐标运算 4．（23-24高二上·天津·期末）已知空间向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由空间向量的坐标线性运算即可得解. 【详解】由题意空间向量，， 则. 故选：A. 5．（22-23高二上·新疆巴音郭楞·阶段练习）已知向量，，，求： (1)；(2)；(3). 【答案】(1)(2)2(3)4 【详解】（1）由，得 （2） （3） 6．（19-20高二·全国·课后作业）在中，，，. （1）求顶点、的坐标； （2）求； （3）若点在上，且，求点的坐标. 【答案】（1），；（2）；（3）. 【分析】（1）利用向量的坐标运算可求得点、的坐标； （2）计算出向量、的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值； （3）由可得，可求得向量的坐标，进而可求得点的坐标. 【详解】（1）设点为坐标原点，， 则. ，则； （2），则， 又，因此，； （3）设点为坐标原点，，则， 则， 所以，点的坐标为. 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，同时也考查了空间向量数量积的计算，考查计算能力，属于中等题. 题型三、空间向量平行坐标问题 7．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，若三点共线，则（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】A 【分析】根据三点共线得向量共线，然后根据向量共线的坐标形式列式计算即可. 【详解】因为三点共线，所以与共线，又向量， 所以，所以，所以. 故选：A 8．（23-24高二上·广东中山·期中）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量平行的坐标表示可得答案. 【详解】，， 因为，所以，解得. 故选：A. 9．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知向量，且，则（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】求出，根据向量平行得到方程组，求出，得到答案. 【详解】，因为， 设，则，解得， 所以. 故选：C 题型四、空间向量垂直坐标问题 10．（23-24高二上·江西上饶·期末）已知空间向量，，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】根据空间向量运算的坐标表示进行计算即可. 【详解】由题意可得， 因为，所以， 解得. 故选：D. 11．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据的坐标分别求出与的坐标表示，由与互相垂直，得与的数量积为零即可求解． 【详解】， ， 由与互相垂直， 有， 解得或． 故选：C． 12．（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当的空间直角坐标系，由共线向量表示出，又，结合已知可得，由此即可得解. 【详解】建立空间直角坐标系如图， 则，，，，， 设，由，得， 所以，，， 所有，， 因为，， 所以，得. 故选：C. 题型五：空间向量模长坐标问题 13．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据向量的垂直和平行，先求出的值，再求所给向量的模. 【详解】由， 由，. 所以. 故选：D 14．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知空间三点，，，则以、为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量求出两向量夹角的余弦值，确定夹角的度数，利用正弦定理求出，即可求出平行四边形面积为. 【详解】因为，，，所以,， 所以，，所以 ，所以， 平行四边形面积为，在中与正弦定理有： ，设平行四边形的面积为， 所以. 故选：B 15．（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出点P的轨迹结合函数求最值即可. 【详解】   依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设， 所以， 即，所以， 而， 由二次函数的单调性可知， 当时，，则. 故选：B 题型六：　空间向量夹角坐标问题 16．（23-24高二上·新疆和田·期末）已知空间向量，则向量与的夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意直接由空间向量夹角的余弦值公式运算即可. 【详解】由题意空间向量， 所以向量与的夹角的余弦值为. 故选：B. 17．（22-23高二下·浙江杭州·期中）向量，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】D 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算公式建立方程求解即可. 【详解】因为， 所以， ，， 所以，即， 解得或（舍去）， 故选：D. 18．（22-23高二上·浙江杭州·期末）设空间两个单位向量与向量的夹角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设，结合空间向量模长、夹角的坐标公式列方程组求得，再由即可求结果. 【详解】由题意可得，则，即， 又，即，且， 所以. 故选：C 题型七：空间向量坐标综合问题 19．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知，向量，且满足 (1)求点的坐标； (2)若点在直线（为坐标原点）上运动，当取最小值时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由向量共线列方程组，解出即可； （2）由向量的坐标运算分别求出，再由坐标计算结合二次函数求出最值即可； 【详解】（1）设，则， 因为． 所以，解得． 所以； （2）因为点在直线为坐标原点）上运动， 所以． 所以， ． 所以 ． 当时，取得最小值． ． 20．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知空间中三点，，.设，. (1)求和； (2)若与互相垂直，求实数的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用空间向量的加减运算和模长计算，即可求解. （2）分别先算出、利用垂直求实数的值即可. 【详解】（1）∵，，，，. ∴， 于是， ， . （2）∵， ， 又与互相垂直， ∴. 即. ∴，. 21．（22-23高二下·福建龙岩·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点． (1)求的距离； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）以点C作为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量的模长公式计算即可； （2）利用向量夹角运算公式计算的值； 【详解】（1） 如图，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，依题意得，，，． ，∴ ∴． 所以的距离为. （2） 依题意得，，，， ∴，， ，，， ∴． 【专项训练】 一、单选题 22．（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知，，且，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量垂直的坐标运算公式求解即可. 【详解】因为，，且，所以， 解得. 故选：D 23．（23-24高二下·甘肃·期中）在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用关于坐标轴对称的特点求出坐标即可. 【详解】点关于x轴对称的点的坐标为. 故选：B 24．（23-24高二下·甘肃定西·阶段练习）在空间直角坐标系中，点在x轴上的射影和在平面上的射影分别点M，N，则点M，N的坐标分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间中点在坐标轴和坐标平面上的射影的特点进行求解. 【详解】点在x轴上的射影横坐标不变，纵坐标和竖坐标为0，即， 点在平面上的射影横坐标和竖坐标不变，纵坐标为0，即. 故选：D. 25．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知点，向量，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合投影向量的公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为点，则，且， 所以， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：C 26．（23-24高二上·广西百色·期末）已知空间向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算,模长,数量积及投影向量的坐标运算公式逐一计算,即可判断. 【详解】对于选项A:因为,所以，故选项A错误； 对于选项B:因为,,所以，故选项B错误； 对于选项C: 因为,,所以，故选项C错误； 对于选项D: 因为,,所以，，， 在上的投影向量为，故选项D正确. 故选：D. 27．（23-24高二上·江西吉安·期末）在三棱锥中，平面，为正三角形，，，点在线段上，且，当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标运算求解参数即可. 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系如图所示，    ∵，， ∴，，，， ∴，， 已知是棱上一点，（）， 则， ∵，∴，解得． 故选：C 28．（2024高三·全国·专题练习）在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，应用向量垂直的坐标表示可得，再应用向量模长的坐标表示及二次函数性质求最小值. 【详解】设，，且，， ∴，，又， ∴，即． ∵， ∴， 当且仅当时等号成立. 故选：B 29．（23-24高二上·上海·阶段练习）设是空间中给定的2023个不同的点，则使得成立的点的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2023个 D．4046个 【答案】B 【分析】设出点的坐标，利用向量坐标运算得到方程，表达出点的坐标，得到答案. 【详解】设， 则， ，， ， ， ， 所以满足条件的点的个数为1个. 故选：B. 二、多选题 30．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知空间向量，则（    ） A． B．在上的投影向量为 C．若向量，则点在平面内 D．向量是与平行的一个单位向量 【答案】ABD 【分析】由空间向量垂直和平行坐标运算判断AD,由空间向量基本定理判断C,由投影向量判断B. 【详解】由已知可得，A正确； 由于，所以在上的投影向量即为，B正确； 若在平面ABC内，则存在实数x，y，使得，而, 所以， 上述方程组无解，故点E不在平面ABC内，C错误; 由，故，且， 所以正确． 故选：ABD． 31．（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，且于点E，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据空间向量的坐标运算可得，从而可求解. 【详解】根据题意，可得，，，则，， 设，， 因为，则，即解得，所以，故A正确； 所以，故D正确； 故选：AD. 32．（23-24高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．向量关于平面的对称向量的坐标为 B．若，则 C．若，则 D．若且，则， 【答案】AC 【分析】根据向量的对称可判断A;根据空间向量垂直的坐标表示可判断B; 根据空间向量模长的坐标表示可判断C;结合题意联立，,计算即可判断D. 【详解】对于选项A:根据题意可知向量关于平面的对称向量的坐标为,故A正确； 对于选项B:若，则，即，故B错误； 对于选项C:若，则，故C正确； 对于选项D:若且，或，故D错误． 故选：AC. 33．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，长方体中，，，点为线段上一点，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】以点为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，求出向量的坐标，利用二次函数的基本性质可求出的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】以点为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，其中， 则， ， 所以，， 因为，则，所以，， 所以，， 故选：BD． 34．（23-24高二上·广东珠海·期末）在下列四个选项，其中正确的有（   ） A．与向量同方向的单位向量 B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D．已知向量，，则在上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】由与同方向的单位向量为计算即可得A；根据空间向量的有关定义及其结论，可判断B、C项；根据投影向量的概念，计算可得D项. 【详解】对A：由向量， 则与其同方向的单位向量为，故A正确； 对B：由，故不能得到P，A，B，C四点共面，故B错误； 对C：因为三个不共面的向量可以成为空间的一个基底， 所以当两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底时， 则这两个向量共线，故C正确； 对D：在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 35．（23-24高二下·上海虹口·期末）若向量与平行，则实数的值为 . 【答案】4 【分析】根据向量平行得到关于m的等式，解出m即可. 【详解】因为与平行， 所以存在实数使即， 所以解得 故答案为：4. 36．（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用，且不共线，即可求出结果. 【详解】因为空间向量与夹角为钝角， 所以，得到，即， 由，得到，此时与共线反向，夹角为，不合题意， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 37．（23-24高二上·福建福州·期末）已知为单位向量.，若，则在上的投影向量为 . 【答案】 【分析】根据模与向量的关系求出的值，再根据在上的投影向量公式求出答案即可. 【详解】， 由题可得： ，可得， 则在上的投影向量为. 故答案为：. 38．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知是空间的一个单位正交基底，且，则与夹角的余弦值为 . 【答案】 【分析】根据单位正交基底的特征，结合数量积公式，即可求解. 【详解】由题意可知，， ，， 所有. 故答案为： 39．（23-24高二上·河北邯郸·期末）如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，设，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用空间向量求两点间的距离，求最值即可. 【详解】设的中点为，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图. 由，可得， 则， 所以当时，取最小值. 故答案为：. 四、解答题 40．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间直角坐标系中的三点，，. (1)若，且，求向量的坐标； (2)已知向量与互相垂直，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）首先求出，设，根据向量模的坐标表示得到方程，解得，再代入即可得解； （2）首先求出，的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为，所以设， 又，即，解得， 所以或； （2）因为，，， 所以， ， 所以， 又向量与互相垂直， 故，解得. 41．（2024高二上·全国·专题练习）已知. (1)若，分别求λ与m的值； (2)若，且与垂直，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用向量平行的条件即可求解； （2）利用向量的模公式及向量垂直的条件即可求解. 【详解】（1）因为， 所以设， 所以，解得， 所以，. （2）因为，且与垂直， 所以,化简得,解得. 故. 42．（24-25高二上·全国·课前预习）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，，分别在棱，上，，．    (1)求线段的长． (2)求与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得的长. （2）利用向量法求得与所成角的余弦值. 【详解】（1）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以，即线段的长为. （2），，，， 所以，， ，． 所以， 所以． 所以，与所成角的余弦值为．    43．（23-24高二上·安徽铜陵·期中）已知空间中三点，，.设，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出向量的坐标，然后利用向量模的计算公式求解即可； （2）先求出两向量的坐标，再利用垂直的坐标形式列式求解即可. 【详解】（1），，，，， ，， 于是， . （2）， ， 又与互相垂直，， 即， ，解得. 44．（2023高三·全国·专题练习）如图四棱锥，且，平面平面，且是以为直角的等腰直角三角形，其中为棱的中点，点在棱上，且.求证：四点共面. 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，根据条件写出相应点的坐标，利用空间向量基本定理即可求证即可. 【详解】证明：由，且， 取的中点，连接，则，且， 所以， 又是以为直角的等腰直角三角形，所以. 过点作，垂足为，则点为的中点，且， 因为平面平面，且平面平面， 所以平面， 故以所在的直线分别为轴，轴，过点作垂直于平面的轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 因为为棱的中点，所以，又因为点在棱上，且， 所以，则，，， 令， 则， 则，解得， 故，则共面，且向量有公共点， 所以四点共面. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$