精品解析：重庆市七校联考2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

2023-2024学年（下）期末考试 高2026届数学试题 考试说明： 1. 考试时间120分钟 2. 试卷总分150分 3. 试卷页数4页 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知圆柱的底面直径和高均为2，则该圆柱的侧面积为（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则， B. 单位向量的模是1，所有单位向量是相等向量 C. 相反向量的长度相等 D. 共线向量是在同一条直线上的向量 3. 已知平面和直线l，直线m，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 已知，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 与夹角为 D. 向量在向量方向上的投影向量为 5. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是2”，事件B为“第二次的点数小于4”，事件C为“两次的点数之和为偶数”，则（ ） A B. A与C相互独立 C. A与C互斥 D. B与C互斥 6. 如图（1），在矩形中，，是的中点，沿将折起，使点到达点的位置，并满足，如图（2），则下列选项错误的是（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C 平面平面 D. 平面平面 7. 如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 新高考中数学多项选择题的评分规则是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对得6分，若两个正确选项，只选对一个正确项得3分，有选错的得0分；若有三个正确选项，只选对一个得2分，只选对两个选项得4分，有选错的得0分，我们假定不会出现四个选项都正确的情况”现已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，均随机选择选项，下列表述错误的是（ ） A. 若甲只选一个选项，能得3分的概率是 B. 若乙选两个选项，能得6分的概率是 C. 若丙至少选一个选项，能得分的概率是 D. 若丁至少选两个选项，能得分的概率是 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 设为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A. 若复数，则存在复数，使得 B. 方程在上无解 C. 在复平面内对应的点位于第一象限 D. ，复数是纯虚数 10. 为了解高一年级的某次数学考试成绩情况，随机抽取了50名考生的成绩，作出的频率分布直方图如图，成绩排在前10%的学生将获得“A＋”称号，则下列选项正确的是（ ） A. 估计该市考生成绩低于70分的比例为46% B. 估计该市考生成绩的众数为75 C. 估计该市84分以上的考生将获得“A+”称号 D. 估计该市考生成绩的平均数为71.6 11. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体的棱长为a，下列说法中正确的是（ ） A. 此八面体的表面积为 B. 异面直线AE与BF所成的角为 C. 此八面体的外接球的体积为 D. 若点P为棱EB上的动点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______. 13. 如图，采用斜二测画法，是的直观图，其中，轴，轴，则______. 14. 已知三棱锥三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且，M为该三棱锥的内切球上的动点，则M，P两点间距离的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，，设，. （1）试用，表示； （2）若，，与夹角为，求. 16. 在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，，，. （1）求a的值； （2）求的值. 17. 在对重庆市某中学高一年级学生身高的调查中，采用分层抽样，抽取了一个容量为40的样本，其中男生18人，女生22人，其观测数据（单位：cm）如下： 男生：172.0174.5166.0172.0170.0165.0165.0168.0164.0 172.5172.0173.0175.0168.0170.0172.0176.0174.0 女生：163.0164.0161.0157.0162.0165.0158.0155.0164.0 162.5154.0154.0164.0149.0159.0161.0170.0171.0 155.0148.0172.0162.5 （1）从身高在的男生中随机抽取2人，求至少有1人的身高大于174.5的概率； （2）利用所学过的统计学知识比较样本中男生、女生的身高的整齐程度； （3）估计该中学高一年级全体学生身高的方差（精确到0.1）. 参考数据：其中男生样本记为，，…，，女生样本记为，，…，，其中，，，，，. 18. 如图，在三棱柱中，侧面ABCD为矩形. （1）设M为AD中点，点N在线段PC上，且，求证：平面BDN； （2）若二面角的大小为，且，，求直线BD和平面QBC所成角的正弦值. 19. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601—1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点M即为费马点，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.若M是的“费马点”，，. （1）求角A； （2）若，求bc的值； （3）在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数n的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年（下）期末考试 高2026届数学试题 考试说明： 1. 考试时间120分钟 2. 试卷总分150分 3. 试卷页数4页 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知圆柱的底面直径和高均为2，则该圆柱的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆柱侧面积公式即可得解. 【详解】由题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2，故圆柱的侧面积为：. 故选：B. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则， B. 单位向量的模是1，所有单位向量是相等向量 C. 相反向量的长度相等 D. 共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，正确理解相等向量和相反向量的含义即可判断；对于B，由单位向量方向不确定即得；对于C，根据相反向量的定义易得；对于D，由共线向量的定义即可判断. 【详解】对于A，由只知两向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B，因单位向量的方向不确定，故B错误； 对于C，根据定义，一对相反向量只有方向相反，模长一定相等，故C正确； 对于D，因平面向量是自由向量，故两条共线向量既可以在一条直线上， 也可以在两条平行线上，还可以有一个为零向量，故D错误. 故选：C. 3. 已知平面和直线l，直线m，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，利用线面垂直的性质易得；对于B,C,只需举出反例即可排除；对于D，从线面平行的内涵即可判断. 【详解】对于A，因，则垂直于平面内的所有直线，故必有，即A正确； 对于B，由，，当时可以符合条件，但不满足，故B错误； 对于C，由，，当时可以符合条件，但不满足，故C错误； 对于D，当，时，与除了平行，还可以异面，故D错误. 故选：A. 4. 已知，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 向量在向量方向上的投影向量为 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量坐标，分别计算向量的和，差的坐标，运用两向量数量积坐标公式和夹角坐标公式计算即可判断A,B,C选项，利用投影向量的计算公式可判断D项. 【详解】对于A，因，则，即A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，由，因，则，故C错误； 对于D，向量在向量方向上的投影向量为，故D正确. 故选：D. 5. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是2”，事件B为“第二次的点数小于4”，事件C为“两次的点数之和为偶数”，则（ ） A. B. A与C相互独立 C. A与C互斥 D. B与C互斥 【答案】B 【解析】 【分析】列举所有基本事件，由古典概型公式即可求解A，由互斥事件的定义分析CD,由相互独立事件的定义即可求解B． 【详解】根据题意，连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数， 有，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共36个不同结果， 对于A，事件为“第一次的点数是2”，包含6种情况，则，A错误； 对于B，事件为“两次的点数之和为偶数”，包含18个结果，则， 事件，即包含3个结果，则， 则有，事件、相互独立，B正确． 对于C，事件、可以同时发生，故不互斥，C错误； 对于D，事件、可以同时发生，不互斥，D错误； 故选：B． 6. 如图（1），在矩形中，，是的中点，沿将折起，使点到达点的位置，并满足，如图（2），则下列选项错误的是（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】C 【解析】 【分析】首先证明平面，利用面面垂直的判定定理即可判断AB，在平面图形中取中点，连接，交于，即可得到，连接，即可得到即为二面角的平面角，利用勾股定理得到，即可判断CD. 【详解】由题意可得，， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，平面，所以平面平面，平面平面，AB说法正确； 如图（3）取中点，连接，交于，则和均为等腰直角三角形， 所以，所以，即， 如图（4），连接，因为，，所以即为二面角的平面角， 设，则，在中，，为中点，所以， 所以，所以， 所以平面平面，D正确； 因为平面平面，由于与平面不垂直， 所以平面与平面不垂直，C错误； 故选：C. 7. 如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取中点，连接，求出的取值范围，再根据 结合数量积的运算律求解即可. 【详解】取中点，连接， 因为是边长为2的正方形，动点在以为直径的半圆上， 所以当在点或点时，取得最大值， 当在弧中点时，取得最小值， 的取值范围为， 又因为，，， 所以 ， 因为的取值范围为， 所以的取值范围为，的取值范围为， 故选：B 8. 新高考中数学多项选择题的评分规则是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对得6分，若两个正确选项，只选对一个正确项得3分，有选错的得0分；若有三个正确选项，只选对一个得2分，只选对两个选项得4分，有选错的得0分，我们假定不会出现四个选项都正确的情况”现已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，均随机选择选项，下列表述错误的是（ ） A. 若甲只选一个选项，能得3分的概率是 B. 若乙选两个选项，能得6分的概率是 C. 若丙至少选一个选项，能得分的概率是 D. 若丁至少选两个选项，能得分的概率是 【答案】C 【解析】 【分析】利用古典概型，求出各种情况的概率进行判断即可. 【详解】对于A，“甲同学仅随机选一个选项，能得3分”为事件, 甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率，A正确； 对于B，“乙同学仅随机选两个选项，能得6分”为事件， 乙同学仅随机选两个选项，能得6分的概率，B正确； 对于C，“丙同学仅随机至少选择一个选项，能得分”为事件， ， 丙同学仅随机至少选择一个选项，能得分的概率，C错误； 对于D，“丁同学仅随机至少选择两个选项，能得分”为事件G， 所以丁同学仅随机至少选择两个选项，能得分的概率，D正确. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 设为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A. 若复数，则存在复数，使得 B. 方程在上无解 C. 在复平面内对应的点位于第一象限 D. ，复数是纯虚数 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用共轭复数计算判断A选项，特殊复数法判断B选项，计算复数判断象限判断C选项，应用纯虚数的定义得出参数判断D选项. 【详解】若复数，则存在复数=，使得,A选项正确； ，方程，因此B不正确； , 对应的点位于第一象限，C选项正确； 当时, 复数是纯虚数，D选项正确; 故选：ACD 10. 为了解高一年级的某次数学考试成绩情况，随机抽取了50名考生的成绩，作出的频率分布直方图如图，成绩排在前10%的学生将获得“A＋”称号，则下列选项正确的是（ ） A. 估计该市考生的成绩低于70分的比例为46% B. 估计该市考生成绩的众数为75 C. 估计该市84分以上考生将获得“A+”称号 D. 估计该市考生成绩的平均数为71.6 【答案】ABC 【解析】 【分析】先由图求出的值，对于A，求出左起一二两组的频率之和即得；对于B，观察最高矩形小组的中点值即得；对于C，统计84分以上的考生所占的比率即可判断；对于D，根据图中各组的频率与小组中点值代入平均数公式计算即得. 【详解】由题意可得，，解得， 对于A，估计该市考生的成绩低于70分的比例为：，故A正确； 对于B，由图知，成绩在的这一组，矩形最高，故可估计该市考生成绩的众数为75，即B正确； 对于C，由图知，该市84分以上的考生约占比率为：，依题意，这些考生将获得“A+”称号，故C正确； 对于D，由题意，估计该市考生成绩的平均数为：，故D错误. 故选：ABC. 11. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体的棱长为a，下列说法中正确的是（ ） A. 此八面体的表面积为 B. 异面直线AE与BF所成的角为 C. 此八面体的外接球的体积为 D. 若点P为棱EB上的动点，则的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，从正八面体的定义理解易得；对于B，通过证明为菱形，平移得到异面直线所成角即得；对于C，推理计算得到中点 到正八面体的各顶点距离相等，即可求出外接球体积；对于D，通过平面翻折将不共面的两线段化成共面,利用三点共线即可求得. 【详解】对于A，因正八面体每个面都是正三角形，则其表面积为：，故A正确； 对于B，如图1，连接,取中点，连接, 依题意，点是点和点在底面的射影，故在一条直线上， 且故四点共面，又，故得菱形. 则，于是即直线AE与BF所成的角或补角，而由知，故B错误； 对于C，如图2，因是正方形，则，由可得, 结合B项结论可知也是正方形，即点到正八面体的所有顶点的距离都等于， 即此八面体的外接球的半径为，故其体积为，故C错误； 对于D，如图3，将绕着边翻折到，使其与在同一个平面上. 连接，交于点，此时三点共线，取得最小值：，故D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查与几何体有关的表面积，外接球和线段和最短问题，属于难题. 解题的关键在于充分理解几何体的相关结构特征，将其划归成基本图形解决，对于线段和最短问题，一般进行平面翻折，将不共面问题化成共面解决. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数乘法法则计算化简，再求其共轭复数即得. 【详解】由，则. 故答案为：. 13. 如图，采用斜二测画法，是的直观图，其中，轴，轴，则______. 【答案】 【解析】 【分析】在直观图中，利用勾股定理可得，再由斜二测画图法求出及，借助勾股定理求解作答． 【详解】在中，，，故 故， 由斜二测画图法知：，， 在中，， 所以． 故答案为： 14. 已知三棱锥三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且，M为该三棱锥的内切球上的动点，则M，P两点间距离的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出到平面的距离，再根据等体积法求出三棱锥内切球的半径，进而求出球面上一点到距离的最小值. 【详解】因为，且三条侧棱两两垂直， 则△是边长为的正三角形， 如图，设三棱锥的内切球与平面相切于， 根据已知条件知三点共线，且为△的中心， 连接与球交于点，此时最小， 连接与交于，由已知得， ，， 而，， 设球的半径为，则由等体积法得， ， 即，解得， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：等体积法是求三棱锥的内切球半径的重要方法，是解决本题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，，设，. （1）试用，表示； （2）若，，与的夹角为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算即可结合图形关系求解， （2）根据模长公式即可求解. 【小问1详解】 在中，， 则， 【小问2详解】 已知，，与的夹角为， 则， 则 16. 在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，，，. （1）求a的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用余弦定理可得：进一步求解即可. （2）利用余弦定理和两角和与差的公式求解即可. 【小问1详解】 中，，，， 由余弦定理可得， 即, 整理可得：，解得或(舍)， 所以； 【小问2详解】 由余弦定理可得， 在三角形中，可得sin, 所以 17. 在对重庆市某中学高一年级学生身高的调查中，采用分层抽样，抽取了一个容量为40的样本，其中男生18人，女生22人，其观测数据（单位：cm）如下： 男生：172.0174.5166.0172.0170.0165.0165.0168.0164.0 172.5172.0173.0175.0168.0170.0172.0176.0174.0 女生：163.0164.0161.0157.0162.0165.0158.0155.0164.0 162.5154.0154.0164.0149.0159.0161.0170.0171.0 155.0148.0172.0162.5 （1）从身高在的男生中随机抽取2人，求至少有1人的身高大于174.5的概率； （2）利用所学过的统计学知识比较样本中男生、女生的身高的整齐程度； （3）估计该中学高一年级全体学生身高的方差（精确到0.1）. 参考数据：其中男生样本记为，，…，，女生样本记为，，…，，其中，，，，，. 【答案】（1） （2）样本中男生的身高比较整齐； （3）52.1 【解析】 【分析】（1）身高在区间，的3名男生分别记为，，身高在，的三名男生分别记为，，利用列举法能求出至少有1人的身高大于的概率； （2）分别求出男生女生身高的平均数和方差，比较平均数和方差的大小，能求出结果； （3）利用分层抽样的平均数与方差公式即可得解. 【小问1详解】 身高在区间共有4名男生，其中2名男生身高位于分别记为，， 身高在，的三名男生分别记为，， 从身高在中的男生中抽取2人，基本事件总数6个，分别为： ，，，，， 其中至少有1人的身高大于包含的基本事件有5个，分别为： ，，，，， 至少有1人的身高大于的概率为. 【小问2详解】 男生身高的平均数为， 男生身高的方差为， 女生身高的平均数为， 女生身高的方差为， ，样本中男生的身高比较整齐； 【小问3详解】 把总体样本的平均数记为，方差记为， 则， ， 18. 如图，在三棱柱中，侧面ABCD为矩形. （1）设M为AD中点，点N在线段PC上，且，求证：平面BDN； （2）若二面角的大小为，且，，求直线BD和平面QBC所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，由题可得，然后利用线面平行的判定定理即得； （2）在平面中，过点作射线，可得为二面角的平面角，过点作，可得平面，则即为直线和平面所成的角，利用锐角三角函数计算可得. 【小问1详解】 连接交于，连接， 因为侧面为矩形，所以， 又为中点，所以， 又因为，所以， 所以，又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 在平面中，过点作射线， 因为底面为矩形，所以， 所以为二面角的平面角，且， 又平面， 所以平面，在平面中，过点作，垂足为，连接， 因为平面，平面， 所以，又，平面，平面， 所以平面，则即为直线和平面所成的角， 于是为点到平面的距离，且， 设直线和平面所成角为， 则， 所以直线和平面所成角的正弦值为． 【点睛】关键点点睛：本题（2）关键在于过点作射线，可得为二面角的平面角. 19. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601—1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点M即为费马点，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.若M是的“费马点”，，. （1）求角A； （2）若，求bc的值； （3）在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数n的取值范围. 【答案】（1） （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理与和角公式即可推理计算得到； （2）设利用向量数量积定义式和等面积计算即得； （3）利用余弦定理，推理求出，将恒成立转化为在上恒成立问题，求出在上的最小值即得. 【小问1详解】 由可得，， 由正弦定理，，即， 因代入可得：， 因，则，故，得； 【小问2详解】 设则由可得， ，整理得，①， 又由可得，， 整理得，； 【小问3详解】 在中，由余弦定理，，即② 分别在中，由余弦定理，， 将三个等式左右分别相加，， 将①，②代入整理得，，于是， 从而，， 依题意，当时，不等式恒成立，即在上恒成立， 因，当且仅当时等号成立， 故有，即实数n的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合图形利用等面积得到，求得的值；多次利用余弦定理推理得到，从而求得，将不等式恒成立问题转化为求相关函数的最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$