1.1探索勾股定理 自主学习解答题专题提升训练 2024-2025学年北师大版八年级数学上册

2024-2025学年北师大版八年级数学上册《1.1探索勾股定理》 自主学习解答题专题提升训练（附答案） 1．如图，湖的两岸有A，B两棵景观树，在与垂直的方向上取一点C，测得米，米．求两棵景观树之间的距离．    2．如图，在中，∠于点D，若，求线段的长．    3．如图，在中，，把沿直线DE折叠，使点A与点B重合，若的周长为，，求的面积．（用含m，n的代数式表示）    4．如图，将一张长方形纸片折叠，使两个顶点、重合，折痕为．已知，，求的面积． 5．如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点C落在边的点． (1)求的长； (2)求的面积． 6．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，请回答下列问题： (1)在图1中的是直角三角形吗？请说明理由； (2)在图2中的格点上，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； 7．如图，已知与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点．    (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)试说明三者之间的关系． 8．如图，在中，，，，是高． (1)求的长； (2)求的面积； (3)求的长． 9．如图，在中，，D，E分别是的中点，交的延长线于点F．    (1)求证：； (2)若．求的长． 10．拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松．如图，已知某种拉杆箱箱体长，拉杆最大伸长距离，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，点A到地面的距离，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移到处，求拉杆把手C离地面的距离（假设C点的位置保持不变）． 11．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．    12．如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 13．已知：和都是等腰直角三角形，，点在的延长线上．    求证： (1)； (2)． 14．如图，，，，．    (1)猜想图1中、有怎样的数量关系？试证明你的结论． (2)如图2，连接、、、，若、相交于点，，，则______． 15．某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑张角大小与顶部边缘离桌面高度之间的关系”的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘点离桌面的高度为，此时底部边缘点与点之间的距离为．    (1)求的长度． (2)若小组成员调整张角的大小继续探究，发现当张角为时（点D为点B的对应点），顶部边缘点D离桌面的高度为，此时底部边缘点A与点E之间的距离为，求此时电脑顶部边缘上升的高度． 16．如图1是某越野车侧面示意图，折线表示车后盖，已知，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，点和到直线的距离和分别为和．    (1)求打开后备箱后，车后盖最高点B到地面l的距离； (2)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请通过计算说明理由． 17．如图，在中，，，，若点从点出发，以每秒4厘米的速度沿折线运动（运动一周回到点时停止运动），设运动时间为秒． (1)若点运动到上某点时使的面积为，求此时的值； (2)点在上运动时，是否存在点，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18．我们对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示． (1)用不同的方法计算图1的面积，我们能得到等式：_______； (2)如图2所示，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形可以拼成一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式：______；（结果为最简） (3)根据上面两个结论，解决下面问题： ①在直角中，，三边长分别为a、b、c，已知，，求的值． ②如图3，四边形中，对角线，互相垂直，垂足为O，，在直角中，，，若的周长为4，则的面积______． 19．（1）如图①，在中，为边上的中线，则的取值范围是 ；（提示：延长到点E，使，连接）    （2）如图②，在中，，D是边上的中点，，交于点E，交于点F，连接，求证；    （3）如图③，在中，点D，E分别是边，的中点，连接，求证．（简述解题思路即可）    20．【问题提出】 （1）如图①，在中，，于点，若，，则的长为 ； 【问题探究】 （2）如图②，在中，，为边上的中线，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，是某景区的局部示意图，、是两条观景小道，该景区的规划部门计划在的上方找一点，使得、，并沿修一条骑行小道，经测量，，点为的中点，于点，米，问骑行小道的长度是否为定值?若是，请求出的长；若不是，请说明理由．      参考答案 1．解：在Rt中，由勾股定理，得： ， （米）． 答：两棵景观树之间的距离是12米． 2．解：∵ ， ∴， 又∵， ∴， ∴． 3．解：由折叠可知， ∵的周长， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．解：为折痕， 是的垂直平分线． 设，则 在中，由勾股定理，得，即， 解得． ． 5．（1）解：在中，，，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴； （2）解：由折叠的性质得：，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即， ∴的面积为． 6．解：（1）是直角三角形．理由如下： 如图，根据勾股定理，得 ，，， ∵， ∴是直角三角形． （2）根据勾三股四弦五画图如下： 则即为所求． 7．解：（1）．理由如下： ∵与都是等腰直角三角形， ∴ ， ∴． ∴， ∴． （2）．理由如下： 由（1）可得， ∴，， ∴， ∴， ∴． 8．（1）解： ， ， 故的长为； （2）解：由题意得 ， 故的面积为； （3）解：由（2）得 ， ， 解得：， 故的长为． 9．（1）证明：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在中，． 10．解：如图所示，过C作于E，则， 设，则， 由题可得，， ∵中，， 中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴拉杆把手C离地面的距离为． 11．解：设秋千的绳索长为，则， 依题意，因为 所以四边形是矩形， 则， 那么， 在中，， 故， 即 解得：， 所以绳索AD的长度是． 12．（1）证明：如图所示，连接， ∵是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. （2）解：∵是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. ∵ ∴， 即， 解得：． 13．（1）证明：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（1）可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴． 14．（1）解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，， 在和中，    ∴ ∴； （2）解：如图，、相交于点，、相交于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 15．（1）解：根据题意，得：，，， 在中，由勾股定理， 得：， 答：AB的长度为． （2）∵，，， ∴在中，由勾股定理，得：， ∴此时电脑顶部边缘上升的高度为， 答：此时电脑顶部边缘上升的高度为． 16．（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴车后盖最高点B到地面l的距离为； （2）如图所示，过点作于点D，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴由（1）得车后盖最高点B到地面l的距离为， ∴点的高度为， ∴没有碰头的危险． 17．解：（1）∵，，, ∴的面积=， 解得， 答：点P运动到上某点时使的面积为，此时t的值为3． （2）如图，连接， 在中， ∴， 则， 由勾股定理得，， 当时，， 解得， 则 18．（1）解：图1的面积为大正方形的面积，即， 图1的面积也可以看作是2个不同的正方形的面积加上2个相同的长方形的面积，即， 故可得等式：， 故答案为：； （2）解：图2的面积为直角梯形的面积，即， 图2的面积也可以看作是3个直角三角形的面积和，即， 故可得等式：， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：①∵在直角中，，三边长分别为a、b、c，，， 由（2）可得，即， ∴； ②∵在直角中，，，的周长为4， ∴， ∵在直角中，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴ ． 19．解：（1）延长到点E，使，连接， 在和中 ∴， ∴， ∵，即， ∴； （2）证明：延长到点G，使，连接，    ∵D是边上的中点 ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∴ ∵ ∴垂直平分 ∴ ∴； （3）延长到点F，使，连接    ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴． 20．解：（1）∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：12； （2），理由如下， ∵为边上的中线， ∴， ∴ ， 整理得， （3）骑行小道的长度是为定值，理由如下， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴米， ∴骑行小道的长度是为定值，定值为800米． 学科网（北京）股份有限公司 $$