第11章 三角形（pdf书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年八年级上册数学（人教版 云南专版）无答案

第十一章三角形 11.1与三角形有关的线段 11.1.1三角形的边 冒名师导学。预习先知 ②基础过关。逐点击破 新知梳理 知识点1三角形的有关概念 ①由不在同一条直线上的三条线段 1.下面是小强用三根木棒组成的图形，其中符合三角形概念的 所组成的图形叫 是 儆三角形.顶点是A,B,C的三角 形，记作 ,读作“ ②以“是否有边相等”，可以将三角形 2.(教材P练习T1变式)如图. 分为两类：三边都不相等的三角形 (1)图中共有个三角形，分别是 和 三角形.等边三角形是 特殊的等腰三角形. (2)△CDE和△BCD的公共角是 ,公共 ③三角形两边的和 第三边： 边是 两边的差 第三边. (3)在△ABC中，∠A的对边是 例题引路 (4)在△ABC和△BEC中，∠ACB是边 和 的对角 【例1】在如图所示的图中，三角形共有 知识点2 三角形的分类 个 3.如果一个三角形的三个内角的度数分别为40°，60°，80°，那 么这个三角形是 () A.直角三角形 B.锐角三角形 【名师点拨】依据三角形的定义判断. C.钝角三角形 D.等边三角形 【学生解答】 知识点3三角形的三边关系 4.(教材P,练习T2变式)(2023·昆明官渡区校级期中)以下 列数据为三边长能构成三角形的是 ( A.1,2,3 B.2,3,4 C.14,4,9 D.7,2,4 5.(2023·福建)若某三角形的三边长分别为3,4，m,则m的 值可以是 【例2】一个三角形的三边分别为5,1十 A.1 B.5 C.7 D.9 2x,8,则x的取值范围为 6.(昭通昭阳区校级月考)已知a,b,c是△ABC的三边，a= 【名师点拨】三角形的第三边夹在两已 7,b=4,c为整数，则c的最大值为 知边的差与和之间. ?易错点在等腰三角形中，未明确腰长时，考虑不全 【学生解答】 面导致漏解或多解 7.已知等腰三角形的一边长为4，一边长为9，则它的周长 为 ( A.9 B.17或22 C.17 D.22 1名师测控·数学八年级上册 能力提升0整合运用 13.已知△ABC的三边长均为整数，△ABC的 周长为奇数， 8.(2023·昆明盘龙区期末) (1)若AC=8,BC=2,求AB的长： 如图，为估计池塘岸边A,B (2)若AC-BC=5,求AB长的最小值. 的距离，小杰在池塘的一侧选 取一点O,测得OA=10m, OB=6m,则A,B间的距离可能是( A.4m B.12m C.16m D.22m 9.(2023·昆明五华区校级期中)已知a,b,c是 三角形的三条边，则|c一a一b十c十b一a 的化简结果为 ( A.0 B.2a+2b C.2b D.2a+2b-2c 10.(教材Px习题T2变式)现有长为3cm,5cm, 7cm,9cm的四根木棒，任取其中三根组成 一个三角形，那么可以组成的三角形的个 数是 11.(原创题)如图，数一数，写一写： ● 思维拓展。学科素养 (1)图中共有多少个三角形？ 14.【分类讨论思想】已知a,b,c为△ABC的三 (2)写出其中以EC为边的三角形： 边长。 (3)若有一个公共角的两个三角形称为一 (1)若b,c满足(b-2)2+1c-3=0,且a 对“共角三角形”，则以∠B为公共角的 为方程a一4=2的解，求△ABC的周 “共角三角形”有哪些？ 长，并判断△ABC的形状： (2)若a=5,b=2,且c为整数，求△ABC周 长的最大值和最小值， 12.(救材P3例题变式)用一条长为35cm的细 绳围成一个等腰三角形， (1)如果腰长是底边长的3倍，那么各边的 长分别是多少？ (2)能围成有一边的长为1cm的等腰三角 形吗？ 第十一章三角形2 11.1.2三角形的高、中线与角平分线 冒名师导学。预习先知 基础过关⊙逐点击破 新知梳理 知识点1三角形的高 0三角形的高：从三角形的一个顶点1(2023·昆明官渡区校级期中)如图，△ABC的边BC上的 向它的对边所在的直线画垂线， 高是 之间的线段叫 A.线段AF B.线段DB C.线段CFD.线段BE 三角形的高 ②三角形的中线：三角形中，连接一个 顶点和它对边 的线段叫做 三角形的中线，三角形三条中线的 交点叫做 (第1题图) (第2题图) ③三角形的角平分线：三角形的一 2.如图，AD是△ABC的边BC上的高，则AD与BC的位 个内角的平分线与它的对边相交， 置关系是： ,∠ADB=∠ 之问的线 S△AB= 段叫做三角形的角平分线。 知识点2三角形的中线 例题引路 3.三角形一边上的中线一定把原三角形分成两个 ( 【例1】如图，在△ABC中，AE是中线， A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形 AD是角平分线，AF是高，∠BAC= C.直角三角形 D.周长相等的三角形 70°，∠CAF=10°，BE-2,AF=3,填空： 4.如图，AD是△ABC的中线，则点D是线段 (1)∠BAD= (2)∠DAF= 的中点，BD=CD= ,S△BD (3)S么 【名师点拨】注意三角形的中线平分三 2 若S△ABD=3,则SAC= 角形的而积 知识点3 三角形的角平分线 【学生解答】 5.如图，在△ABC中，∠1=∠2=∠3=∠4，则下列说法中， 正确的是 () A.AD是△ABE的中线 B.AE是△ABC的角平分线 【例2】如图，CD是△ABC的角平分 线，E是BC边上的一点，且∠1=∠2. C.AF是△ACE的高线 D.AE是△DAF的中线 试判断DE与AC的位置关系并说明 理由。 【学生解答】 D (第5题图) (第6题图) (第7题图) 6.如图，BD是△ABC的角平分线.已知∠ABC=60°，则 ∠DBC的度数为 ?易错点对三角形的高的定义不理解而致错 7.如图，AD⊥BC于点D,那么图中以AD为高的三角形有 个. 3名师测控·数学八年级上册 能力提升0整合运用 ⊙思维拓展。学科素养 8.(2023·昆明西山区校级月考)如图，在 12.【通性通法·面积法】已知在△ABC中， △ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中 AB=AC,D是BC边上任意一点，过点D 线，CF是角平分线，CF交AD于点G,交BE 分别向AB,AC引垂线，垂足分别为E,F 于点H,下列说法正确的是 (1)如图①，当点D在BC的什么位置时， ①△ABE的面积=△BCE的面积： DE=DF?并证明： ②∠AFG=∠AGF; (2)如图②，过点C作AB边上的高CG,试 ③∠FAG=2∠ACF: 猜想DE,DF,CG的长之间存在怎样的 ④AF=FB. B D 数量关系，并说明理由， A.①②③④ B.①②④ C.①②③ D.③④ 9.如图，在△ABC中，D,E,F分别是BC, AD,CE的中点，SAA=4cm2,则S△r等 图D 图② 于 A.2 cm2 B.1 cm2 C.enp (第9题图) (第10题图) 10.(教材P,习题Tx变式)如图，在△ABC中， AD⊥BC,BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别是 D,E,F.若AC=4,AD=3,BE=2,则 BC= 11.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,AE 是BC边上的中线，AF平分∠BAC,且 ∠BAF=40°，AD=3cm,BE=3cm. (1)求∠BAC的度数： (2)求BC的长及△ABC的面积. 【延伸设问】如图，已知等边三 角形ABC的高为7cm,P为 △ABC内一点，PD⊥AB于 EF万 点D,PE⊥AC于点E,PFI BC于点F,则PD+PE+PF= cm. 【规律总结】①等腰三角形底边上任意一点 到两腰的距离之和 腰上的高： ②等边三角形内一点到各边上的距离之和 任意一边上的高。 第十一章三角形4 11.1.3 三角形的稳定性 基础过关。逐点击破 网能力提升。整合运用 知识点三角形的稳定性 6.【真实问题情境】如图，工人师傅做了一个长 1.下列多边形具有稳定性的是 方形窗框ABCD,E,F,G,H分别是四条边 上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉 一根木条，这根木条不可以钉在 2 A.A,C两点之间 2.(红河期末)如图，为了使一扇旧术门不变 B.E,G两点之间 形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木 C.B,F两点之间 条，这样做的原理是 D.G,H两点之间 A两点之间，线段最短 7.(1)下列图形中，具有稳定性的是 B垂线段最短 (只填图形序号)》 C.三角形具有稳定性 D.两边的和大于第三边 如合①☒ ② ④ (2)对不具有稳定性的图形，请适当地添加 线段，使之具有稳定性 (第2题图) (第3题图) 3.如图，伸缩门可自由伸缩，开关方便，随处可 见，它凸显了四边形的 ) A.稳定性 B.不稳定性 C.对称性 D.美观性 4.(2023·昭通永善县期中)人站在晃动的公 共汽车上，若分开两腿站立，则需伸出一只 8.如图，AB,BC,CD是三根长度分别为1cm, 2cm,5cm的木棒，它们之间连接处可以活 手去抓栏杆才能站稳，这是利用了 动，现在A,D之间拉一根橡皮筋，请根据四 边形的不稳定性思考：这根橡皮筋的最大长 5.(2023·楚雄期末)西双 度为多少厘米？最短长度为多少厘米？ 版纳大桥是云南省境内 一座桥梁，位于西双版纳 州府景洪市，跨越澜沧江，是西双版纳十大标 志性建筑之一.如图，西双版纳大桥中的斜拉 索、索塔和桥面构成了一个三角形，这样使其 更稳固，其中运用的数学原理是 5名师测控·数学八年级上册 11.2与三角形有关的角 11.2.1 三角形的内角 第1课时三角形的内角和 冒名师导学。预习先知 基础过关○逐点击破 新知梳理 知识点1三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 1.在△ABC中，若∠A=65°，∠B=45°，则∠C等于() 例题引路 A.110° B.70 C.659 D.45 【例1】在△ABC中，∠B=3∠A,∠C 2.(2023·四川遂宁)若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个 =5∠A,求∠A,∠B,∠C的度数. 三角形是 三角形 【名师点拨】通过设未知数利用三角形 知识点2三角形内角和定理与三角形的角平分线、平 内角和定理列方程解决 行线的综合 【学生解答】 3.(2023·江苏徐州)如图，在△ABC中，若 120 DE∥BC,FG∥AC,∠BDE=120°，∠DFG 115°，则∠C的度数为 4.(昭通期末)如图，AD平分∠BAC,其中∠B=35°，∠ADC 82°，求∠BAC,∠C的度数 【例2】如图，在△ABC中，∠C=90°， AD平分∠BAC,且∠B=3∠BAD,求 ∠B的度数， 【名师点拨】由∠B=3∠BAD,∠BAC 知识点3三角形内角和定理的应用 =2∠BAD,可得3∠BAD+2∠BAD 十∠C=180°，即可求解 5.(教材P3练习工2变式)如图，一种滑翔伞的形状是左右对称 【学生解答】 的四边形ABCD,其中∠B=40°，∠CAD=60°，则∠BCD 的度数为 北E (第5题图) (第6题图)》 6.(昆明宫渡区校级期中)如图，经测量，B处在A处的南偏 西60°的方向，C处在A处的南偏东20°方向，BE为正北方 向，且∠CBE=100°，则∠ACB的度数为 第十一章三角形6 能力提升。整合运用 ⊙思维拓展⊙学科素养 7.如图，∠1+∠2+∠3+∠4的度数为( 12.(昭通盐津县期中)如图，在△ABC中，AD A.360°B.180°C.280° D.320 平分∠BAC,P为线段AD上的一个动点， PE⊥AD交BC的延长线于点E (1)若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数； (2)当P点在线段AD上运动时，猜想∠E (第7题图) (第9题图) 与∠B,∠ACB的数量关系，并证明. 8.(宣威期中)在△ABC中，已知∠A十∠C= 2∠B,∠C-∠A=80°，则∠C的度数是( A.60° B.80° C.100° D.120 9.(昆明一模)如图，在△ABC中，AD是 △ABC的角平分线，DE⊥AC.若∠B=40°， ∠C=60°，则∠ADE的度数为 10.(2023·昆明五华区校级期中)在△ABC 中，CD平分∠ACB交AB于点D,AH是 △ABC的边BC上的高，且∠ACB=70°， ∠ADC=80°，求∠BAH的度数， 1L.如图，按规定，一块模板中AB,CD的延长 线应相交成85°角.因交点不在板上，不便 测量，工人师傅连接AC,测得∠BAC 32°，∠DCA=65°，此时AB,CD的延长线 相交所成的角是否符合规定？为什么？ 7名师测控·数学八年级上册 第2课时 直角三角形中两个锐角的关系 基础过关。逐点击破 网能力提升。整合运用 知识点1直角三角形的两个锐角互余 7.(2023·昆明西山区期末)如图，在△ABC 1.(2023·昭通月考)已知直角三角形ABC 中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC 中，有一个锐角等于50°，则另一个锐角的度 若∠B=65°，则∠1的度数为 数是 ( A.125 A.50° B.45 C.40 D.30° B.135 C.145 2.如图，已知l∥AB,CD⊥l于点D.若∠C= D.155 40°，则∠1的度数是 ( ) 8.(教材P,习题Tw变式)如图，AB∥CD,直线 A.30 B.40° C.50° D.60° EF分别交AB,CD于点E,F,∠BEF的平 分线与∠DFE的平分线相交于点P,试说明 △EPF为直角三角形. 038D (第2题图) (第3题图) 3.如图，AB,CD相交于点O,AC⊥CD于点C 若∠BOD=38°，则∠A的度数为 4.(昭通昭阳区期中)在△ABC中，∠A=90°， 且∠B一∠C=30°，那么∠B的度数为 知识点2 有两个角互余的三角形是直 角三角形 9.【探究与证明】如图①，在△ABC中，AD⊥ 5.已知∠A=42°，∠B=48°，则△ABC为( BC于点D,CE⊥AB于点E. A.锐角三角形 B.钝角三角形 (1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由： C.直角三角形 D.以上都不对 (2)如果∠ABC是钝角，如图②，那么(1)中 6.(教材P:练习T变式)如图，点E是△ABC 的结论是否还成立？ 中AC边上的一点，过点E作ED⊥AB,垂 足为D.若∠1=∠B,则△ABC是直角三角 形吗？为什么？ 图② 第十一章三角形8 11.2.2三角形的外角 冒名师导学。预习先知 基础过关⊙逐点击破 新知梳理 知识点1三角形外角的定义 ①三角形的一边与另一边的延长线组 1.下列各图中，∠1是△ABC的外角的是 成的角，叫做 ②(1)三角形的外角等于 的两个内角的和： 类A (2)三角形的外角和等于 例题引路 2.如图， 是△ABC的一个外角. 【例1】下列各图中，∠1是△ABC的外 角的是 C D D D XA4 (第2题图) (第3题图) (变式题图) 知识点2 三角形外角的性质 3.(2023·玉溪峨山县期末)如图，∠A=40°，∠C=110°，则 【学生解答】 ∠CDB的度数是 ( A.70° B.130 C.1509 D.160 【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 【变式】如图，∠ACD是△ABC的外角.若∠ACD=110°， 90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD ∠B=50°，则∠A等于 ( 的平分线BE交AC的延长线于点E. A.40 B.50 C.55 D.60° (1)求∠CBE的度数： 4.(保山期末)如图，在△ABC中，CD是角平分线，∠A= (2)过点D作DF∥BE,交AC的延长 30°，∠CDB=65°，则∠B的度数为 线于点F,求∠F的度数， A659 B.70 C.80 D.85 【名师点拨】(1)根据三角形外角的性 (第4题图) (第5题图) (第6题图) 质先可求出∠CBD,再根据角平分线 5.(德宏校级开学)将一副三角尺按如图方式重叠，则∠1的 的定义可求出∠CBE:(2)利用“直角 度数为 三角形两锐角互余”求出∠CEB,再利 6.如图，已知直线，l2,l两两相交，且1⊥14.若∠α=50°， 用平行线的性质即可求出∠F的度数 则∠3的度数为 【学生解答】 7.(2023·昆明西山区期中)如图，点D在AB上，点E在AC 上，BE,CD相交于点O.若∠A=45°，∠BOD=60°，∠C 35°，求∠B的度数. 9名师测控·数学八年级上册 能力提升。整合运用 件不合格，这是为什么呢？请你帮助检验 8.(曲靖陆良县期末)如果三角形三个外角度数之 工人予以解释 比是3：4：5，那么此三角形一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 D C钝角三角形 D.不能确定 9.(2023·昆明西山区校级月考)如果将一副 三角尺按如图的方式叠放，那么∠1的度 数为 ( ) A.105 B.120° C.75 D.45 思维拓展○学科素养 60 13.【探索归纳】 (第9题图) (第10题图) 10.(昆明官渡区期未)如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD,使点B恰 图①D 图② 图③ 好落在AC边上的点E处.若∠A=24°，则 (1)如图①，已知△ABC为直角三角形，∠A= ∠BDC的度数为 90°，若沿图中虚线剪去∠A,则∠1十∠2 11.(教材P1,习题T变式)如图，在△ABC中， 等于 ∠A=40°，BD平分∠ABC,CE⊥AB于点 A.90 B.135 E,∠BDC=7O°，BD,CE相交于点F,求 C.270° D.315 ∠ACB和∠BFC的度数. (2)如图②，已知在△ABC中，剪去∠A后 得到四边形BCEF,试探究∠1+∠2与 ∠A的关系，并说明理由： (3)如图③，若没有剪掉，而是把它折成如 图③的形状，试探究∠1十∠2与∠A的 关系，并说明理由. 12.一个零件的形状如图所示，按规定，∠A应 等于90°，∠B,∠C应分别是35°和32°，检 验工人量得∠BDC=162°，就判定这个零 第十一章三角形10