3.3指数函数讲义-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

授课主题 3.3指数函数 年 级 高一 知 识 梳 理 一．指数函数的概念 1.定义：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 2.具有三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1. 注：（1）形式上的严格性：只有形如y=ax(a>0且a≠1)的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a大于零且不等于1： ①如果，则 ②如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，则是个常量，就没研究的必要了． 二．指数函数的图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x＞0时，y＞1 当x＞0时，0＜y＜1 当x＜0时，0＜y＜1 当x＜0时，y＞1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称 注：（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论。 （2）当时，；当时。 当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快。 当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快。 （3）指数函数与的图象关于轴对称。 三．底数与指数函数图象的关系 1.由指数函数y＝ax的图象与直线x＝1相交于点(1，a)可知在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大． 2.由指数函数y＝ax的图象与直线x＝－1相交于点可知，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．如图所示，指数函数底数的大小关系为0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1. 3.指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若；；； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可． 四．单调性的应用 1.解指数型不等式 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解； (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解； (3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解. 2.与指数函数复合的函数单调性 一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质有： (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域. (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相反的单调性. 例题讲解 知识点一、指数函数的概念 例1、下列函数：①；②；③；④．其中为指数函数的个数是(    ) A． B． C． D． 例2、若函数是指数函数，则等于(    ) A．或 B． C． D． 例3、函数是指数函数，求的值． 练习： 1．下列函数为指数函数的是(    ) A． B． C． D． 2． (多选)下列函数是指数函数的是(    ) A． B． C． D．(且) 3．（多选)下列函数中，是指数函数的是(    ) A． B． C． D． 4．指出下列函数哪些是指数函数？ （1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）． 知识点二、指数函数的解析式与函数值 例1、指数函数且图像经过点，则(    ) A．3 B．6 C．9 D．12 练习： 1．函数，且的图象经过点，则(    ) A． B． C． D．9 2．若指数函数的图象经过点，则 ． 3．已知指数函数的图像经过点，则 ． 知识点三、定义域与值域 例1、求下列函数的定义域： (1)；(2). 例2、求下列函数的值域； (1)； (2)； (3). 例3、已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 例4、求下列函数的定义域、值域. (1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a为大于1的常数) 练习： 1．函数 的定义域是(    ) A． B． C． D． 2．函数的定义域为 . 3．函数的值域是 ． 4．函数的值域为 ． 5．已知，则的值域是 ； 6．已知函数的值域为R，则a的取值范围是 7．求下列函数的定义域： (1) (2) (3) (4) 知识点四、指数函数的图像 例1、已知对不同的值，函数的图象恒过定点，则点的坐标是 . 例2、函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(    )    A． B． C． D． 例3、如图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数的图象，而，则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是________、________、________、________． 例4、若直线与函数（且）的图象有两个公共点，则的取值范围是 ． 例5、已知函数． （1）作出函数f（x）的图象； （2）指出该函数的单调递增区间； （3）求函数f（x）的值域． 练习： 1．函数(，且)的图象可能是(　　) A．   B．   C．   D．   2． 的图像大致是(    ) A． B． C． D． 3． (多选)对于函数且)，，在同一直角坐标系下的图象可能为(　　) A．   B．   C．   D．   4．函数，无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 . 5．利用函数的图象，作出下列各函数的图象： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 6．如图是指数函数①，②，③，④的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为（ ） A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c 7. 设，c＜b＜a且，则下列关系式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 知识点五、指数函数型的单调性及应用 例1、函数的单调递增区间为(　　) A． B． C． D． 例2、设函数在区间单调递增，则a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 例3、（1）已知，，，则(    ). A． B． C． D． (2)下列大小关系正确的是(    ) A． B． C． D． 例4、已知函数，则不等式的解集为 ． 例5、讨论函数的单调性，并求其值域． 例6、讨论函数的单调性． 练习： 1．已知函数，则的增区间为(    ) A． B． C． D． 2．设函数在区间上单调递增，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 3．已知，则(    ) A． B． C． D． 4．已知，则的大小关系为(    ) A． B． C． D． 5.已知函数，则不等式的解集是(    ) A． B． C． D． 6.求函数的单调区间及值域. 7．求函数的单调区间. 8．求函数(x[-3，2])的单调区间，并求出它的值域. 9．若函数(a∈R)满足，且在[m，+∞)单调递增，则实数m的最小值等于_______． 知识点六、指数函数性质的综合运用 例1、已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集． 例2、已知函数奇函数． (1)求a的值； (2)判断在上的单调性并用定义证明； (3)设，求在上的最小值． 例3、判断下列函数的奇偶性： (为奇函数) 练习： 1．已知函数． (1)若为奇函数，求的值； (2)在(1)的条件下，求的值域． 2．已知函数(，且)是奇函数，且． (1)求，的值； (2)若对于，不等式成立，求的取值范围． 3．已知二次函数，且不等式的解集为. (1)求解析式； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 4．判断函数的奇偶性：. 举一反三 1． (多选)下列函数中，是指数函数的为(    ) A． B． C． D． 2． (多选)下列函数是指数函数的是(    ) A． B． C． D．且 3．已知的值域为，则x的取值范围可以为(    ) A． B． C． D． 4．已知函数，若，则(    ) A．4 B．6 C． D． 5．若函数在区间上的最大值比最小值大4，则(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 6．函数的大致图象是(    ) A．     B．   C．   D．   7．函数的图象大致为(    ) A．   B．   C．   D．   8．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为(    ) A．9 B． C． D． 9．函数的图象大致是(    ) A． B． C． D． 10．函数()的图象可能是(    ) A． B． C． D． 11．下列大小关系正确的是(    ) A． B． C． D． 12．已知，，，，则a、b、c的大小关系是(    ) A． B． C． D． 13．已知，则(    ) A． B． C． D． 14．已知偶函数在上单调递增，若，则(    ) A． B． C． D． 15．函数的单调递增区间为(    ) A． B． C． D． 16．已知函数在区间上单调递减，则a的最小值为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 17．已知，则“”是“函数在上单调递增”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．已知函数(且)，若，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 19．已知函数若，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 20．(多选)已知，则函数的图象可能是(    ) A．   B．     C．     D．     21． (多选)已知函数(且)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)    A． B． C． D． 22．若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 23．不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为 ． 24．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是 ． 25．对且的所有正实数，函数的图象一定经过一定点，则该定点的坐标是 ． 26．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是 . 27．比较下列各组数的大小： (1)与；(2)，，；(3)与. 28．比较下列各题中两个值的大小： (1)，；(2)，；(3)，． 29．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交. (1)求该函数的解析式，并画出图象； (2)判断该函数的奇偶性和单调性； (3)求不等式的解. 课 堂 小 结 一．函数图象 1.抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点. 2.巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移). 3.利用函数的性质：奇偶性与单调性. 4.在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”.　　 二.y＝af(x)型函数的定义域、值域的求法 (1)形如y＝af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域. (2)形如y＝af(x)的函数的值域，先求出u＝f(x)的值域，再结合y＝au的单调性求出y＝af(x)的值域.若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论. 2.y＝f(ax)型函数的定义域、值域的求法 三．比较指数幂大小的常用方法 1.底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断 2.底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象的变化规律来判断或者按幂函数性质判断 3.底数不同，指数不同：通过中间量来比较 课 后 作 业 1．设，若函数为单调函数，且对任意实数，都有，则的值等于(    ) A． B． C． D． 2．已知，且，则下列各式一定成立的是(    ) A． B． C． D． 3．已知函数，若，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 4． (多选)下列函数中既是奇函数又是增函数为(    ) A． B． C． D． 5．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 6．已知函数，则使得成立的的取值范围是 . 7．已知函数且，若，，则实数的取值范围是 . 8．已知函数 (1)解关于的不等式； (2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 9．已知定义域为的函数是奇函数且为减函数. (1)求实数的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 3.3指数函数 年 级 高一 知 识 梳 理 一．指数函数的概念 1.定义：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 2.具有三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1. 注：（1）形式上的严格性：只有形如y=ax(a>0且a≠1)的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a大于零且不等于1： ①如果，则 ②如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，则是个常量，就没研究的必要了． 二．指数函数的图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x＞0时，y＞1 当x＞0时，0＜y＜1 当x＜0时，0＜y＜1 当x＜0时，y＞1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称 注：（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论。 （2）当时，；当时。 当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快。 当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快。 （3）指数函数与的图象关于轴对称。 三．底数与指数函数图象的关系 1.由指数函数y＝ax的图象与直线x＝1相交于点(1，a)可知在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大． 2.由指数函数y＝ax的图象与直线x＝－1相交于点可知，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．如图所示，指数函数底数的大小关系为0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1. 3.指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若；；； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可． 四．单调性的应用 1.解指数型不等式 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解； (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解； (3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解. 2.与指数函数复合的函数单调性 一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质有： (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域. (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相反的单调性. 例题讲解 知识点一、指数函数的概念 例1、下列函数：①；②；③；④．其中为指数函数的个数是(    ) A． B． C． D． 【解析】指数函数解析式为且， 对于①②④，、和不符合指数函数解析式特征，①②④错误； 对于③，符合指数函数解析式特征，③正确.故选：B. 例2、若函数是指数函数，则等于(    ) A．或 B． C． D． 【解析】因为函数是指数函数，所以.故选：C 例3、函数是指数函数，求的值． 【解析】由是指数函数，可得解得，所以． 练习： 1．下列函数为指数函数的是(    ) A． B． C． D． 【解析】根据指数函数的定义知， 可得函数不是指数函数；函数不是指数函数； 函数是指数函数；函数不是指数函数.故选：C. 2． (多选)下列函数是指数函数的是(    ) A． B． C． D．(且) 【解析】对于A选项，为指数函数；对于B选项，不是指数函数； 对于C选项，不是指数函数；对于D选项，当且时，且， 则(且)为指数函数.故选：AD. 3．多选)下列函数中，是指数函数的是(    ) A． B． C． D． 【解析】由指数函数形式为且，显然A、D不符合，C符合； 对于B，且，故符合.故选：BC 4．指出下列函数哪些是指数函数？ （1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）． 【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）=，符合指数函数的定义，而（2）中底数不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数的乘积；（4）中底数，所以不是指数函数． 知识点二、指数函数的解析式与函数值 例1、指数函数且图像经过点，则(    ) A．3 B．6 C．9 D．12 【解析】由题意，得，故，故选：C 练习： 1．函数，且的图象经过点，则(    ) A． B． C． D．9 【解析】由题意可知，，，且，得，所以，.故选：D 2．若指数函数的图象经过点，则 ． 【解析】设指数函数且，过点，，解得：，， .故答案为：. 3．已知指数函数的图像经过点，则 ． 【解析】设(，且)，由于其图像经过点 ， 所以，解得或(舍去)， 因此，故 .故答案为：. 知识点三、定义域与值域 例1、求下列函数的定义域： (1)；(2). 【解析】(1)由题意可得，即，又指数函数单调递增，得. 所以函数的定义域为； (2)由题意，得，得，又指数函数单调递减，且. 所以函数的定义域为. 例2、求下列函数的值域； (1)； (2)； (3). 【解析】(1)的定义域为R，值域为； (2)由知，故的定义域为； 由知，故的值域为； (3)的定义域为；由知，故的值域为. 例3、已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】当时，，当时， ， 因为函数的值域为，所以，得， 所以实数的取值范围是，故选：D. 例4、求下列函数的定义域、值域. (1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a为大于1的常数) 【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切xR，3x≠-1).∵ ， 又∵ 3x>0， 1+3x>1，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴值域为(0，1). (2)定义域为R，，∵ 2x>0， ∴ 即 x=-1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，∴ 值域为[). (3)要使函数有意义可得到不等式，即，又函数是增函数，所以，即，即，值域是. (4)∵ ∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)， 又∵ ，∴ ， ∴值域为[1，a)∪(a，+∞). 练习： 1．函数 的定义域是(    ) A． B． C． D． 【解析】由题意得所以，即， 又指数函数为上的单调减函数，所以，解得.故选：C. 2．函数的定义域为 . 【解析】由题意可得，解得：，所以函数的定义域为. 3．函数的值域是 ． 【解析】由函数值域为，则函数的值域为.故答案为： 4．函数的值域为 ． 【解析】因为函数在上是增函数，所以， ，故函数值域为：，故答案为：. 5．已知，则的值域是 ； 【解析】当 时, 根据指数函数的图象与性质知， 当 时, . 综上: 的值域为 .故答案为：. 6．已知函数的值域为R，则a的取值范围是 【解析】当时，，而函数在上单调递增，又是增函数， 因此函数在上单调递增，，即函数在上的值域为， 当时，函数的值域为，而函数的值域为R，因此， 而当时，，必有，解得， 所以a的取值范围是. 7．求下列函数的定义域： (1) (2) (3) (4) 【解析】(1)R (2)要使原式有意义，需满足3-x≥0，即，即． (3) 为使得原函数有意义，需满足2x-1≥0，即2x≥1，故x≥0，即 (4) 为使得原函数有意义，需满足，即，所以a>1时，；0<a<1时，. 知识点四、指数函数的图像 例1、已知对不同的值，函数的图象恒过定点，则点的坐标是 . 【解析】由指数函数的图象恒过点，而要得到函数的图象， 可将指数函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位. 则点平移后得到点.则点的坐标是 例2、函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(    )    A． B． C． D． 【解析】由图象可知，函数为减函数，从而有； 法一：由图象，函数与轴的交点纵坐标，令，得， 由，即，解得 . 法二：函数图象可看作是由向左平移得到的，则，即.故选：D. 例3、如图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数的图象，而，则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是________、________、________、________． 【答案】 【解析】由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知，C2的底数＜C1的底数＜C4的底数＜C3的底数． 例4、若直线与函数（且）的图象有两个公共点，则的取值范围是 ． 【解析】当时，通过平移变换和翻折可得如图所示的图象，则由图可知，即与矛盾． 当时，同样通过平移和翻折可得如图所示的图象，则由图可知，即，即为所求． 例5、已知函数． （1）作出函数f（x）的图象； （2）指出该函数的单调递增区间； （3）求函数f（x）的值域． 【解析】（1）图象如图所示： （2）由图象可知，函数的单调递增区间为（－∞，0）， （3）由图象可知，函数的值域为（0，1]． 练习： 1．函数(，且)的图象可能是(　　) A．   B．   C．   D．   【解析】A，B选项中，，于是，所以图象与y轴的交点的纵坐标应在之间， 显然A，B的图象均不正确； C，D选项中，，于是，图象与y轴的交点的纵坐标应在小于，所以D项符合.故选：D 2． 的图像大致是(    ) A． B． C． D． 【解析】由题知，根据，，，则，排除B，D， 当时，没有意义，排除A.故选：C 3． (多选)对于函数且)，，在同一直角坐标系下的图象可能为(　　) A．   B．   C．   D．   【解析】当a＞1时，f(x)＝ax是指数函数，单调递增，且图象过点(0，1)， 而g(x)＝ax2﹣x＝a(x)2，对称轴x1，故A正确，B错误； 当0＜a＜1时，f(x)＝ax是指数函数，单调递减，且图象过点(0，1)， 而g(x)＝ax2﹣x＝a(x)2，对称轴x，故D正确，C错误.故选：AD． 4．函数，无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 . 【解析】则定点坐标为. 5．利用函数的图象，作出下列各函数的图象： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 【解析】(1)将图象向右平移一个单位即得，如下图，    (2)将右侧图象以y轴为对称轴作出左侧图象，去掉原图象左侧部分即得，如下图，    (3)将图象向下平移一个单位即得，如下图，    (4)以x轴为对称轴，画出与对称的图象即得，如下图，    (5)将(3)所得图象在x轴下方部分，翻折到上方即得，如下图，   6．如图是指数函数①，②，③，④的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为（ ） A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c 【答案】B 7. 设，c＜b＜a且，则下列关系式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【解析】f（x）=|3x-1|= 故可作出f（x）=|3x-1|的图象如图所示，由图可知，要使c＜b＜a且f（c）＞f（a）＞f（b）成立，则有c＜0且a＞0，故必有，所以3c+3a＜2． 故选D． 知识点五、指数函数型的单调性及应用 例1、函数的单调递增区间为(　　) A． B． C． D． 【解析】令，解得，所以函数的定义域为， 因为开口向下，对称轴为， 可知在上单调递增，在上单调递减，且在定义域内单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减，又因为在定义域内单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减，即函数的单调递增区间为.故选：B. 例2、设函数在区间单调递增，则a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递增， 则有函数在区间上单调递增，因此，解得， 所以的取值范围是.故选：A 例3、（1）已知，，，则(    ). A． B． C． D． (2)下列大小关系正确的是(    ) A． B． C． D． 【解析】(1)，即；，即； ，即.所以有.故选：B. (2)由幂函数在R上单调递增，则， 又指数函数在R上单调递减，则.则故选：A. 例4、已知函数，则不等式的解集为 ． 【解析】构建函数，，可得函数单调递增， ，，则函数单调递增， 且，因此函数在上是增函数． ，， 解得，于是不等式的解集为． 故答案为：. 例5、讨论函数的单调性，并求其值域． 【解析】解法一：∵函数的定义域为（－∞，+∞），设x1、x2∈（－∞，+∞）且有x1＜x2， ∴，， ． （1）当x1＜x2＜1时，x1+x2＜2，即有x1+x2－2＜0． 又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＜0，则知． 又对于x∈R，恒成立，∴． ∴函数在（－∞，1）上单调递增． （2）当1≤x1＜x2时，x1+x2＞2，即有x1+x2－2＞0． 又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＞0，则知 ．∴． ∴函数在[1，+∞）上单调递减． 综上，函数在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数． ∵x2―2x=(x―1)2―1≥－1，，． ∴函数的值域为（0，3]． 解法二：∵函数的定义域为R，令u=x2－2x，则． ∵u=x2―2x=(x―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数，在其定义域内是减函数，∴函数在（－∞，1]内为增函数． 又在其定义域内为减函数，而u=x2―2x=(x―1)2―1在[1，+∞）上是增函数，∴函数在[1，+∞）上是减函数． 值域的求法同解法一． 例6、讨论函数的单调性． 【解析】注意．因而原函数是指数函数与二次函数y=t2－2t+2的复合函数． 令，则y=t2―2t+2．由在R上递减，又y=t2―2t+2在（―∞，1]上递减，在[1，+∞）上递增，而当，则x≥0；当，则x≤0． ∴函数在（－∞，0]上递减，在[0，+∞）上递增． 练习： 1．已知函数，则的增区间为(    ) A． B． C． D． 【解析】函数定义域为， 令，又在上单调递增，的增区间为， 所以的增区间为.故选：A. 2．设函数在区间上单调递增，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【解析】令，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 因为外层函数在上为减函数，函数在区间上为增函数， 所以，内层函数在上为减函数，故.故选：D. 3．已知，则(    ) A． B． C． D． 【解析】最小，又，在上单调递增， 所以，即，综上，，故选：A． 4．已知，则的大小关系为(    ) A． B． C． D． 【解析】，因为，所以，因此.故选：B. 5.已知函数，则不等式的解集是(    ) A． B． C． D． 【解析】因为，所以在上是奇函数. 因为在上是增函数，又在上是减函数，所以在上是增函数. 所以，所以， 所以不等式的解集是. 6.求函数的单调区间及值域. 【解析】设u=-x2+3x-2， y=3u，其中y=3u为R上的单调增函数，u=-x2+3x-2在上单增， u=-x2+3x-2在上单减，则在上单增，在上单减. 又u=-x2+3x-2， 的值域为. 7．求函数的单调区间. 【解析】当a>1时，外层函数y=au在上为增函数，内函数u=x2-2x在区间上为减函数，在区间上为增函数，故函数上为减函数，在区间上为增函数； 当0<a<1时，外层函数y=au在上为减函数，内函数u=x2-2x在区间上为减函数，在区间上为增函数，故函数在区间上为增函数，在区间上为减函数. 8．求函数(x[-3，2])的单调区间，并求出它的值域. 【解析】令， 则， ∵ x[-3，2]， ∴ ， ∴， ∴ 值域为[，57]， 再求单调区间. (1) 即 即x[1，2]时，是单调减函数，是单调减函数，故是单调增函数. (2)即即x[-3，1]时，是单调减函数，是单调增函数，故是单调减函数，∴ 函数的单调增区间是[1，2]，单调减区间是[-3，1]. 9．若函数(a∈R)满足，且在[m，+∞)单调递增，则实数m的最小值等于_______． 【解析】由得函数关于x=1对称，故a=1，则，由复合函数单调性得在[1，+∞)递增，故m≥1，所以实数m的最小值等于1． 知识点六、指数函数性质的综合运用 例1、已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集． 【解析】(1)(1)因为为奇函数，定义域为， 因为，即，所以，经检验，符合题意． (2)因为，所以，所以， 因为为奇函数，，所以， 由(1)知：因为在R上递增，所以在上是增函数， 所以，解得，所以不等式的解集是. 例2、已知函数奇函数． (1)求a的值； (2)判断在上的单调性并用定义证明； (3)设，求在上的最小值． 【解析】(1)解：是定义域为的奇函数，；经检验符合题意； (2)在上单调递增．证明如下：， 则， 因为，所以，所以，，可得． 即当时，有；所以在上单调递增． (3)， 令，又，则， 所以，，对称轴为， 则当时，；当，；当时，． 例3、判断下列函数的奇偶性： (为奇函数) 【解析】f(x)定义域关于原点对称(∵定义域关于原点对称，且f(x)的定义域是定义域除掉0这个元素)，令，则 ∴ g(x)为奇函数， 又 ∵为奇函数，∴ f(x)为偶函数. 练习： 1．已知函数． (1)若为奇函数，求的值； (2)在(1)的条件下，求的值域． 【解析】(1)因为为奇函数，所以， 即，所以. (2),令，则 ， 因为，所以，所以的值域． 2．已知函数(，且)是奇函数，且． (1)求，的值； (2)若对于，不等式成立，求的取值范围． 【解析】(1)因为函数是奇函数，所以，即，得， 所以，，得或(舍)，综上，，； (2)由(1)知，，则恒成立， ，，所以，对恒成立， 即恒成立，设，函数由外层函数和内层函数复合而成， 当，，单调递增，当，单调递增， 所以根据复合函数的单调性可知，函数单调递增，最小值为， 即，则. 3．已知二次函数，且不等式的解集为. (1)求解析式； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 【解析】(1)由题意知的解集为，故方程的两个根是1和3， 故，即，故. (2)由题意在上有解，即在上有解， ∵，∴在上的最大值， 设，则，则 又，当且仅当即时，等号成立， ∴，即实数的取值范围为. 4．判断函数的奇偶性：. 【解析】定义域{x|xR且x≠0}， 又 ， ∴ f(-x)=f(x)，则f(x)偶函数. 举一反三 1． (多选)下列函数中，是指数函数的为(    ) A． B． C． D． 【解析】形如(且)形式的为指数函数，以上满足的条件的为AD.故选：AD. 2． (多选)下列函数是指数函数的是(    ) A． B． C． D．且 【解析】由指数函数的定义知，A、D选项是指数函数.选项B：，不是指数函数. 选项C：不是指数函数.故选：AD. 3．已知的值域为，则x的取值范围可以为(    ) A． B． C． D． 【解析】令，则，由题知，，解得或， 即或，解得或.故选：D 4．已知函数，若，则(    ) A．4 B．6 C． D． 【解析】，设，则，即是奇函数， 故，即，即， 因为，所以.故选：B. 5．若函数在区间上的最大值比最小值大4，则(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】∵在R上单调递增，∴在 上单调递增， ∴当x=2时，取得最小值为4；当x=a时，取得最大值为 ，∴，解得：a=3. 6．函数的大致图象是(    ) A．     B．   C．   D．   【解析】因为 又，根据指数函数的性质知，时，函数为增函数，排除B、D； 时，函数为减函数，排除A．故选：C． 7．函数的图象大致为(    ) A．   B．   C．   D．   【解析】因为，所以，定义域为；因为， 所以，故，所以为奇函数，排除B， 当逼近于，逼近于，排除D，由，，则，排除C，故选：A. 8．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为(    ) A．9 B． C． D． 【解析】曲线且中，由，得，因此该曲线过定点， 即，于是，又， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为16.故选：C 9．函数的图象大致是(    ) A． B． C． D． 【解析】定义域为，且， 即为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B、D； 当时，，所以，故排除C；故选：A 10．函数()的图象可能是(    ) A． B． C． D． 【解析】当时，，因此，且函数在上单调递增，故A、B均不符合；当 时，，因此，且函数在上单调递减，故C符合，D不符合．故选：C． 11．下列大小关系正确的是(    ) A． B． C． D． 【解析】对于A，函数在R上单调递增，则，A错误； 对于B，函数在R上单调递增，则， 函数在R上单调递减，则，因此，B错误； 对于C，函数在R上单调递增，则，C正确； 对于D，函数在R上单调递减，则，D错误.故选：C 12．已知，，，，则a、b、c的大小关系是(    ) A． B． C． D． 【解析】因为，，，，且在上递增，，，故选：A 13．已知，则(    ) A． B． C． D． 【解析】由单调递增，则可知，即B正确. 故选：B. 14．已知偶函数在上单调递增，若，则(    ) A． B． C． D． 【解析】因为偶函数在上单调递增，所以在上单调递减． ，所以只需比较的大小即可．因为，所以，即． 又因为，所以，即，故． 而在上单调递减，所以，即．故选：B． 15．函数的单调递增区间为(    ) A． B． C． D． 【解析】令，则，因为为单调递减函数， 且函数是开口向上对称轴为轴的抛物线，所以的单调递减区间为， 所以函数的单调递增区间为.故选：A. 16．已知函数在区间上单调递减，则a的最小值为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】令，因为是增函数，所以在区间上单调递减， 所以，解得，所以的最小值为.故选：D 17．已知，则“”是“函数在上单调递增”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】若函数在上单调递增，则，即， 所以由推得出函数在上单调递增，即充分性成立， 由函数在上单调递增推不出，即必要性不成立， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.故选：A 18．已知函数(且)，若，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【解析】因为函数定义域为，且， 所以函数为偶函数，则， 因为，则，即，所以， 所以可以转化为，则，所以，故选：B. 19．已知函数若，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】得， 当以及时，均为单调递增函数，且当时，当时，因此为上的单调递增函数，由得，故选：D 20．(多选)已知，则函数的图象可能是(    ) A．   B．     C．     D．     【解析】由于当时，，排除B，C， 当时，，此时函数图象对应的图形可能为A， 当时，，此时函数图象对应的的图形可能为D.故选：AD. 21． (多选)已知函数(且)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)    A． B． C． D． 【解析】由图象可知，函数(且)在上单调递增，则， 且当时，，可得.对于A选项，，A对； 对于B选项，，B对；对于C选项，，C错； 对于D选项，由题意可知，，则，所以，，D对.故选：ABD. 22．若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【解析】令，由题意得的值域为， 又的值域为，所以解得所以的取值范围为．故答案为： 23．不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【解析】由题设，对任意恒成立，而，所以.故答案为： 24．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是 ． 【解析】 当a＞1时，通过平移变换和翻折变换可得如图(1)所示的图象，则由图可知1＜2a＜2，即＜a＜1，与a＞1矛盾；当0＜a＜1时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图(2)所示的图象，则由图可知1＜2a＜2，即＜a＜1.综上可知，＜a＜1.故答案为：. 25．对且的所有正实数，函数的图象一定经过一定点，则该定点的坐标是 ． 【解析】由函数，当时，可得，所以该函数恒经过定点.故答案为：. 26．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是 . 【解析】函数是上的增函数，所以，解得. 27．比较下列各组数的大小： (1)与；(2)，，；(3)与. 【解析】(1)，在上单调递减，又，，即. (2)，，在上单调递增，又，， 即. (3)，，. 28．比较下列各题中两个值的大小： (1)，；(2)，；(3)，． 【解析】(1)因为，所以函数在其定义域上单调递减， 又，所以； (2)方法一：在同一平面直角坐标系中画出指数函数与的图象， 如图所示，当时，由图象观察可得；    方法二：构造幂函数()， 则该函数是减函数，又，所以； (3)因为幂函数在上单调递增， 且，所以， 又根据指数函数在上是减函数， 可得，所以． 29．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交. (1)求该函数的解析式，并画出图象； (2)判断该函数的奇偶性和单调性； (3)求不等式的解. 【解析】(1)由题意知，则，故，∴，图象如图：    (2)∵，∴，为偶函数， 又，∴在上单调递减，在上单调递增． (3)由(1)图象知：，即不等式的解集为 课 堂 小 结 一．函数图象 1.抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点. 2.巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移). 3.利用函数的性质：奇偶性与单调性. 4.在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”.　　 二.y＝af(x)型函数的定义域、值域的求法 (1)形如y＝af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域. (2)形如y＝af(x)的函数的值域，先求出u＝f(x)的值域，再结合y＝au的单调性求出y＝af(x)的值域.若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论. 2.y＝f(ax)型函数的定义域、值域的求法 三．比较指数幂大小的常用方法 1.底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断 2.底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象的变化规律来判断或者按幂函数性质判断 3.底数不同，指数不同：通过中间量来比较 课 后 作 业 1．设，若函数为单调函数，且对任意实数，都有，则的值等于(    ) A． B． C． D． 【解析】对任意的，总有且，所以， 又因为函数为单调函数，可得，即， 可设(其中为常数)，所以， 所以 ，所以，所以，可得.故选：D. 2．已知，且，则下列各式一定成立的是(    ) A． B． C． D． 【解析】根据题意，，其定义域为，有，则为偶函数， 设，则有，当时，在区间，上，为增函数，且， 在，上也是增函数，故在，上为增函数， 当时，在区间，上，为减函数，且，在上是减函数， 故在，上为增函数，综合可得：函数在，上为增函数， 依次分析选项：对于A，有，A正确；对于B，有，B错误； 对于C，有，C错误；对于D，，D错误．故选：A． 3．已知函数，若，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】令，， 所以为奇函数，不等式，等价于， 即，因为为奇函数，所以， 因为均为减函数，根据单调性的性质可知，为减函数，则，解得： 4． (多选)下列函数中既是奇函数又是增函数为(    ) A． B． C． D． 【解析】对于A，在和上为增函数，但在定义域上不是增函数，A错误；对于B，的定义域为，，为定义在上的奇函数； 当时，，由二次函数性质知：在上单调递增； 结合奇函数性质知：在上单调递增，是定义在上的增函数，B正确； 对于C，的定义域为，，为定义在上的奇函数； 在上单调递增，在上单调递减，是定义在上的增函数，C正确； 对于D，定义域为，， 为定义在上的奇函数； 在上单调递增，且恒大于零，在上单调递减， 在上单调递减，即为定义在上的增函数，D正确.故选：BCD. 5．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 【解析】当时，在上单调递增，所以时，； 当时，， ①若，则在上单调递增，在上单调递减， 则时，，即时，， 又时，， 此时，函数的值域为，不满足题意，舍去； ②当时，函数此时值域为，不满足题意，舍去； ③当时，在上单调递减， 则时，，即时，， 因为函数的值域为， 又时，； 则时，且， 不等式解得：， 不等式等价于时，， 设()， 因为在上单调递增，在上是增函数， 所以在上单调递增，又， 所以时，等价于，即， 则不等式解得：， 所以时，的解集为， 综上：实数的取值范围是， 故答案为：. 6．已知函数，则使得成立的的取值范围是 . 【解析】因为，则， 令，则的图象是由的图象向右平移个单位得到， 又，即为偶函数， 且当时，所以在上单调递增，则在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减，且关于对称， 所以时，有，解得.故答案为： 7．已知函数且，若，，则实数的取值范围是 . 【解析】， 若，由于单调递减，则在上单调递增； 若，由于单调递增，则在上单调递减， 又，故， 故不等式对恒成立， 即对恒成立， 当时，对恒成立， 由于对勾函数在单调递减，在单调递增，而当时，， 当时，，因此； 当时，对恒成立，当时，，得， 综上可知：或， 故答案为：或 8．已知函数 (1)解关于的不等式； (2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【解析】(1)由题意，在中，， ∴，∴， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为 (2)在中， 当时，， ∵， ∴函数的值域是， 在中， ∵对任意的，总存在，使成立， ∴的值域是的值域的子集， 当时，，则，解得 当时，，则，解得， 当时，，不成立； 综上，实数m的取值范围. 9．已知定义域为的函数是奇函数且为减函数. (1)求实数的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】(1)因为为奇函数且定义域为，所以，所以， 当时，， 满足条件为奇函数，故. (2) 为奇函数， ， 又因为函数在上为减函数， 所以对恒成立， 则对恒成立， 令，其图象对称轴为，开口向上， 所以在上单调递增，故， 故要使对恒成立，则，即. 5 学科网（北京）股份有限公司 $$