精品解析：广东省佛山市南执高级中学2023-2024学年高二下学期期末模拟（二）数学试题

期末模拟卷（二） 一、单选题 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前n项和为，点，均在数列的图象上，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 0 3. 函数，若在是减函数，则实数a的取值范围为（ ） A B. C. D. 4. 的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，则为（ ） A. 6 B. 5 C. 8 D. 4 5. 某宾馆安排五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且不能住同一房间，则不同的安排方法有（ ）种 A. 64 B. 84 C. 114 D. 144 6. 已知，则（ ） A. B. 此二项展开式系数最大的项为第4项 C. 此二项展开式的二项式系数和为32 D. 7. 若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是 A. B. C. D. 8. 斐波那契数列满足，其每一项称为“斐波那契数”.如图，在以斐波那契数为边长的正方形拼成的长方形中，利用下列各图中的面积关系，推出是斐波那契数列的第（ ）项. A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 二、多选题 9. 三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数之比为，则（ ） A. 从三个地区中任选一人，此人未患流感的概率大于0.96 B. 等可能从三个地区中选取一人，此人患流感的概率为0.05 C. 从三个地区中任选一人，此人选自地区且患流感的概率为0.017 D. 从三个地区中任选一人，若此人患流感，则此人选自地区的概率为 10. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 使得成立最大正整数 C. D. 中最小项为 11. 已知函数，下列选项正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 有唯一的零点 C. 若时，恒成立，则 D. 设，为两个不相等的正数，且，则 三、填空题 12. 已知随机变量，，则_______. 13 随机变量服从正态分布，若，则_________. 14. 已知定义在上的函数满足，且，则的解集是______． 四、解答题 15. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 16. 已知是公比不等于1的等比数列，为数列的前项和，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设，若，求数列的前项和. 17. 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （1）求的分布列； （2）若要求，确定的最小值； （3）以购买易损零件所需费用期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？ 18. 已知函数 （1）讨论单调性； （2）当时，若恒成立，求实数的最大值． 19. 在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，， （1）计算； （2）设数列满足，求的通项公式； （3）设排列满足，求， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末模拟卷（二） 一、单选题 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用求导法则及基本函数的导数，对各个选项逐一分析判断，即可求出结果. 【详解】对于选项A，因为，所以选项A错误， 对于选项B，因为，所以选项B正确， 对于选项C， 因为，所以选项C错误， 对于选项D，因为，所以选项D错误， 故选：B. 2. 已知等差数列的前n项和为，点，均在数列的图象上，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】求出等差数列的公差，可求得关于的表达式，利用二次函数的基本性质可求得当取最小值时对应的正整数的值. 【详解】依题意可知，，则，解得， 故，当或5时，的最小值为. 故选：B 3. 函数，若在是减函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，导函数小于等于0恒成立，分离参数求新函数最值即可求解． 【详解】函数， 若函数在区间上是减函数，则在恒成立， 即在恒成立， 由对勾函数性质可知在单调递减，故，所以. 故选：C. 4. 的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，则为（ ） A. 6 B. 5 C. 8 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质，其奇数项的二项式系数之和为进行求解. 【详解】根据题意，的展开式中奇数项的二项式系数之和为， 所以. 故选：A 5. 某宾馆安排五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且不能住同一房间，则不同的安排方法有（ ）种 A. 64 B. 84 C. 114 D. 144 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：5个人住三个房间，每个房间至少住1人，则有（3，1，1）和（2，2，1）两种，计算出每一种的，再排除A、B住同一房间，问题得以解决． 详解：5个人住三个房间，每个房间至少住1人，则有（3，1，1）和（2，2，1）两种， 当为（3，1，1）时，有C53A33=60种，A、B住同一房间有C31A33=18种，故有60﹣18=42种，当为（2，2，1）时，有•A33=90种，A、B住同一房间有C31C32A22=18种，故有90﹣18=72种， 根据分类计数原理共有42+72=114种， 故选C． 点睛：本题考查了分组分配的问题，关键是如何分组，属于中档题．排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素,高考中常见的排列组合问题还有分组分配问题，即不同元素分到不同组内时，通常先分组后分配. 6. 已知，则（ ） A. B. 此二项展开式系数最大的项为第4项 C. 此二项展开式的二项式系数和为32 D. 【答案】D 【解析】 【分析】对A：借助二项式的展开式的通项公式计算即可得；对B：计算出第4项的系数可得其小于0，再计算出第1项的系数可得其大于0，可得其错误；对C：借助二项式系数和为计算即可得；对D：借助赋值法，令代入计算后结合即可得. 【详解】对A：，则，故A错误； 对B：，即第4项的系数为， 令，有，故B错误； 对C：，故此二项展开式的二项式系数和为，故C错误； 对D：令，则，又， 故，故D正确. 故选：D. 7. 若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：∵函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，∴对任意的a＜x1＜x2＜b，有 也即在a,x1,x2,b处它们的斜率是依次增大的．∴A 满足上述条件， 对于B 存在使，对于C 对任意的a＜x1＜x2＜b，都有，对于D 对任意的x∈[a，b]，不满足逐渐递增的条件，故选A． 考点：单调性与导函数的关系. 8. 斐波那契数列满足，其每一项称为“斐波那契数”.如图，在以斐波那契数为边长的正方形拼成的长方形中，利用下列各图中的面积关系，推出是斐波那契数列的第（ ）项. A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】利用斐波那契数列递推公式可得，再求出即可求解判断作答. 【详解】依题意，，有， 于是，而， 因此， 则， 所以是斐波那契数列的第2024项. 故选：C 二、多选题 9. 三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数之比为，则（ ） A. 从三个地区中任选一人，此人未患流感的概率大于0.96 B. 等可能从三个地区中选取一人，此人患流感的概率为0.05 C. 从三个地区中任选一人，此人选自地区且患流感的概率为0.017 D. 从三个地区中任选一人，若此人患流感，则此人选自地区的概率为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据全概率公式、条件概率公式分别计算即可判断． 【详解】设事件“此人患了流感”，事件“此人来自地区”，事件“此人来自地区”，事件“此人来自地区”， 由题意可得： ， ， 对于A，由全概率公式，可得： ， 所以，故A正确； 对于B，等可能从这三个地区中选取一个人，即， 则 ，故B项错误； 对于C，，故C错误； 对于D，由条件概率公式，可得，故D正确； 故选：AD． 10. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 使得成立的最大正整数 C. D. 中最小项为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据题目条件得到，，从而得到，，A正确；B选项，，，B错误；C选项，先得到，从而得到；D选项，得到当时，，当时，，当时，，并得到. 【详解】A选项，，即，故， 故，故，故，A正确； B选项，，， 故使得成立的最大正整数，B错误； C选项，由于， 故， 则， 故，C正确； D选项，由于， 故当时，，当时，， 当时，，当时，， 故当时，，当时，，当时，， 由，得， ， 由不等式的同向可乘性可得，，故， 故中最小项为，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，下列选项正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 有唯一的零点 C. 若时，恒成立，则 D. 设，为两个不相等的正数，且，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和最值，进而求最值；由A选项知函数单调性，结合零点存性定理，即可判断选项B；构造函数，对函数进行求导，结合定点即可判断选项C；将等价变形为即，构造函数，对进行求导，利用导数得到函数的单调性，进而即可判断选项D． 【详解】对于A选项：已知，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值，故选项A正确； 对于B选项：由A知，在上单调递增，又时，， 所以恒成立，即在内没有零点， 在上单调递减，又，，所以由零点存在定理可得，在内有唯一的零点，所以有唯一的零点，故B正确； 对于C选项：不妨设，函数定义域为， 可得，因为，由题意因为当时，恒成立， 即当时，恒成立，所以在单调递减， 所以此时，解得， 若，此时恒成立，所以在上单调递减， 则，符合题意， 综上，满足条件的的取值范围为，故选项C正确； 对于D选项：因为为两个不相等的正数，等价变形得， 即，所以， 由A选项知，在上单调递增，在上单调递减， 不妨设，所以， 不妨设，函数定义域为， 当时，，所以在上是单调递减， 所以，即 因为，所以， 所以，由A选项知，在上单调递减， 整理得，，即，故D错误， 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：选项A、B是导数的基础题型，关键是计算仔细；选项C的关键是构造函数，利用导数结合单调性的性质，就能求出参数范围，选项D的关键是等价变形易知恒等式，构造成题干中的函数，得到，然后借助导数进行单调性的分析可最后得出结果. 三、填空题 12. 已知随机变量，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】借助二项分布期望公式与方差公式，结合方差的性质计算即可得. 【详解】由，故，则， 则. 故答案为：. 13. 随机变量服从正态分布，若，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为且， 所以， 则. 故答案为： 14. 已知定义在上的函数满足，且，则的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断的单调性，进而利用换元即可求解. 【详解】令，， 则由题意可得在上恒成立， 所以在上单调递减， 又因为， 所以当时，，当时，， 令，则，即的解集为， 所以，解得， 综上， 故答案为： 四、解答题 15. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果. 【详解】（1）当时，，则，，， 此时，曲线在点处的切线方程为，即； （2）因为，则， 由题意可得，解得， 故，，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数增区间为、，单调递减区间为. 当时，；当时，. 所以，，. 16. 已知是公比不等于1等比数列，为数列的前项和，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设，若，求数列的前项和. 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】试题分析:（1）求等比数列通项公式，只需两个独立条件，解出首项及公比，再代入通项公式即可，本题可根据，列关于首项及公比两个独立条件，解方程组即可，（2）先化简，为一个等差数列，再将裂项成两项之差，最后根据列项相消法求和. 试题解析:解：（1）设数列的公比为， ，，所以，解得，. （2），， ， . 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或. 17. 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （1）求的分布列； （2）若要求，确定的最小值； （3）以购买易损零件所需费用期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？ 【答案】（1）答案见解析 （2）19. （3） 【解析】 【分析】（1）由已知得的可能取值为、、、、、、，分别求出相应的概率，由此即能求出的分布列； （2）由的分布列可得，，即可得解； （3）购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出时费用的期望和当时费用的期望，比较其大小即可得. 【小问1详解】 由柱状图并以频率代替概率可得， 一台机器在三年内需更换的易损零件数为、、、的概率分别为、、、； 则的可能取值为、、、、、、， 则有， ， ， ， ， ， ； 所以的分布列为 16 17 18 19 20 21 22 【小问2详解】由（1）知，，故的最小值为19； 【小问3详解】 记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）， 当时， ； 当时， ； 可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选. 18. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）当时，若恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再分、两种情况讨论，分别求出函数的单调性； （2）参变分离可得，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而求出的取值范围. 【小问1详解】 函数定义域为，且， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 综上可得：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 由，得，显然，从而恒成立， 令，， 则． 令，，因为在上单调递增，且，， 所以，， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以． 因为，所以， 所以， 所以，即的最大值为． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 19. 在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，， （1）计算； （2）设数列满足，求的通项公式； （3）设排列满足，求， 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用逆序数的定义，依次分析排列中的逆序个数， 从而得解； （2）利用逆序数的定义得到，从而利用构造法推得是等比数列，从而得解； （3）利用逆序数的定义，结合等差数列的求和公式得到，再利用裂项相消法即可得解. 【小问1详解】 在排列中，与5构成逆序的有4个，与1构成逆序的有0个， 与2构成逆序有0个，与4构成逆序的有1个，与3构成逆序的有0个， 所以. 【小问2详解】 由（1）中的方法，同理可得， 又，所以， 设，得， 所以，解得，则， 因为， 所以数列是首项为1，公比为5的等比数列， 所以，则. 【小问3详解】 因为， 所以， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$