专题 方程思想在勾股定理中的应用（四大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

八年级上册数学《第一章 勾股定理》 专题 方程思想在勾股定理中的应用 题型一 利用直角三角形三边的和差倍分关系求边长 1．（2024春•徐闻县校级月考）直角三角形的斜边为，两条直角边之比为2：3，则最短的直角边长是（　　）cm A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024春•海珠区期中）已知直角三角形的面积为6cm2，两直角边的和为7cm，则它的斜边长为（　　）cm． A．5 B．6 C． D． 3．直角三角形的斜边为20cm，两直角边之比为3：4，那么这个直角三角形的周长为（　　） A．27cm B．30cm C．40cm D．48cm 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知a：b＝3：4，c＝10，则△ABC的面积为（　　） A．24 B．12 C．28 D．30 6．（2024春•金州区月考）直角三角形的斜边比一直角边长8，另一直角边长为12，则斜边长为 　　 ． 7．（2024春•襄州区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，AB＝BC+1，求Rt△ABC的面积． 8．（2024春•利通区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，求CE的长． 9．（2023秋•建湖县期末）如图，在△ABC中；AB＝AC，BC＝13，D是AB上一点，BD＝5，CD＝12． （1）求证：CD⊥AB； （2）求AC长． 题型二 利用公共边相等结合勾股定理列方程求长度 1．（2024•新城区校级一模）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝7，BD⊥AC，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，AC，BC＝13，AD、CE分别是△ABC的高线与中线，点F是线段CE的中点，连接DF，若DF⊥CE，则AB＝（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 3．（2023秋•浑南区期末）如图，四边形ABCD，AB⊥BC，AB∥CD，AB＝BC＝4，CD＝2，点F为BC边上一点，且CF＝1，连接AF，DG⊥AF垂足为E，交BC于点G，则BG的长为 　 ． 4．（2023秋•南京期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC于点D，AB＝17，AC＝10． （1）若CD＝6，则AD＝　 ，BD＝　 ； （2）若BC＝20，求CD的长． 5．已知在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣AE2＝AC2． （1）求∠A的度数； （2）若DE＝3，BD＝4，求AE的长． 6．如图，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AD＝24cm，BC+CD＝34cm，C是直线l上一动点，请你探索当C离B多远时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？ 7．（2024春•包河区期中）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，对角线AC，BD相交于点O，且BD垂直平分AC，过A点作AE∥CD交BC点E． （1）求证：AE＝BC； （2）若BE＝2，，求EC的长度． 8．（2023秋•南海区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝2，AD⊥BC，垂足为D． （1）求证：∠B＝2∠CAD． （2）求BD的长度； （3）点P是边BC上一点，且点P到边AB和AC的距离相等，求点P到边AB距离． 题型三 实际问题中的方程思想 1．（2024•礼县模拟）如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离CD＝1.5米．竹竿高出水面的部分AD长0.5米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度BD为（　　） A．2米 B．2.5米 C．2.25米 D．3米 2．（2024•久治县二模）如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m当梯子的顶端A沿墙向下滑的距离AC与梯子底端B向外移的距离BD相等时，AC的长是　 　m． 3．（2023秋•内江期末）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推4m至C处时（即水平距离CD＝4m），踏板离地的垂直高度CF＝3m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A．4m B．5m C．6m D．8m 4．（2024春•凉州区期中）如图，有两只猴子在一棵树CD高5m的点B处，它们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？树顶D到池塘A的距离有多少米？ 5．（2023秋•运城期末）如图，，OA＝18cm，OB＝6cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？ 6．（2023秋•双塔区校级期中）如图所示的是一个拉箱的示意图，箱体长AB＝65cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，在箱体的底端装有一圆形滚轮，其直径为6cm．当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A′处．请求点C离地面的距离（假设点C的位置保持不变） 7．（2023秋•佛山校级期末）铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距25km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图），已知DA＝10km，CB＝15km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请求出收购站E到A站的距离． 8．（2023秋•叙州区期末）“村村通”公路是我国的一项重要的民生工程，如图，A，B，C三个村都分别修建了一条互通公路，其中AB＝BC，现要在公路BC边修建一个景点M（B，C，M在同一条直线上），为方便A村村民到达景点M，又修建了一条公路AM，测得AC＝13千米，CM＝5千米，AM＝12千米． （1）判断△ACM的形状，并说明理由； （2）求公路AB的长． 9．（2023秋•广陵区校级期末）如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态． （1）根据题意，BF＝　 　 m，BC＝　 m，CD＝　 　m； （2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度． （3）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送 　 　m． 题型四 翻折问题中的方程思想 1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D为AC上一点，将△ABD沿BD折叠，使点A恰好落在BC上的E处，则折痕BD的长是（　　） A．5 B． C．3 D． 2．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（　　） A．cm B．cm C．cm D．无法确定 3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，延长BC至E，使得CE＝BC，将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，连接DE，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•鄞州区期末）如图，有一张直角三角形的纸片，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3．现将三角形折叠，使得边AC与AB重合，折痕为AE，则CE长为 　 　． 5．（2023春•巴南区期中）如图，E是矩形ABCD的边CD上一点，将△ADE沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AD＝10，CF＝4，则DE的长为 　 　． 6．（2024春•红桥区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，AB的垂直平分线与AB交于点D，与BC交于点E，连接AE，求AE的长度． 7．（2024春•召陵区校级月考）如图，在长方形ABCD中，将长方形沿EF折叠，使点C的对应点与点A重合，点D的对应点为点G． （1）求证：AE＝AF； （2）若AB＝4，BC＝8，求△ABE的面积． 8．（2024春•道县校级月考）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，则△BEG的周长是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级上册数学《第一章 勾股定理》 专题 方程思想在勾股定理中的应用 题型一 利用直角三角形三边的和差倍分关系求边长 1．（2024春•徐闻县校级月考）直角三角形的斜边为，两条直角边之比为2：3，则最短的直角边长是（　　）cm A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】设两条直角边长分别为2x和3x，再利用勾股定理建立方程求解即可得． 【解答】解：由题意，设两条直角边长分别为2x cm和3x cm， 则， 解得x＝2或x＝﹣2＜0（不符合题意，舍去）， 则最短的直角边长是2x＝2×2＝4（cm）， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． 2．（2024春•海珠区期中）已知直角三角形的面积为6cm2，两直角边的和为7cm，则它的斜边长为（　　）cm． A．5 B．6 C． D． 【分析】设一条直角边长为x cm，则另一条直角边为（7﹣x）cm，根据面积列出方程求解后将负根舍去即可． 【解答】解：设一条直角边长为x cm，则另一条直角边为（7﹣x）cm， 根据题意得：x（7﹣x）＝6， 解得：x1＝3，x2＝4， 斜边的长为5（cm）； 方法二：设两直角边为x和y，则xy＝6，x+y＝7． ∴xy＝12， ∴（x+y）2＝49， ∴x2+y2+2xy＝49． ∴x2+y2＝49﹣2xy＝25． ∴斜边长5（cm）； 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理的知识，解题的关键是能够根据直角边表示出另一条直角边的长并熟悉直角三角形的面积计算方法． 3．直角三角形的斜边为20cm，两直角边之比为3：4，那么这个直角三角形的周长为（　　） A．27cm B．30cm C．40cm D．48cm 【分析】根据两直角边之比，设出两直角边，再由已知的斜边，利用勾股定理求出两直角边，即可得到三角形的周长． 【解答】解：根据题意设直角边分别为3xcm与4xcm，由斜边为20cm， 根据勾股定理得：（3x）2+（4x）2＝202， 整理得：x2＝16， 解得：x＝4， ∴两直角边分别为12cm，16cm， 则这个直角三角形的周长为12+16+20＝48cm． 故选：D． 【点评】此题考查了勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知a：b＝3：4，c＝10，则△ABC的面积为（　　） A．24 B．12 C．28 D．30 【分析】由a与b的比值，设a＝3k，b＝4k，再由c的长，利用勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，得出a、b的长，即可求出△ABC的面积． 【解答】解：∵a：b＝3：4， 设a＝3k，b＝4k， 在Rt△ABC中，a＝3k，b＝4k，c＝10， 根据勾股定理得：a2+b2＝c2， 即9k2+16k2＝100， 解得：k＝2或k＝﹣2（舍去）， 则a＝3k＝6，b＝4k＝8， ∴△ABC的面积ab6×8＝24． 故选：A． 【点评】此题考查了勾股定理，以及比例的性质，熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程求出a和b是解本题的关键． 6．（2024春•金州区月考）直角三角形的斜边比一直角边长8，另一直角边长为12，则斜边长为 　　 ． 【分析】设一条直角边为a，则斜边为a+8，再根据勾股定理求出a的值即可． 【解答】解：设一条直角边为a，则斜边为a+8， ∵另一直角边长为12， ∴（a+8）2＝a2+122， 解得a＝5， ∴a+8＝13． 故答案为：13． 【点评】本题考查的是勾股定理，根据题意设出直角三角形的斜边及直角边的长是解答此题的关键． 7．（2024春•襄州区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，AB＝BC+1，求Rt△ABC的面积． 【分析】根据题意表示出AB，BC的长，再利用勾股定理得出AB的长． 【解答】解：设AB＝x，则BC＝x﹣1， 在Rt△ACB中，AB2＝AC2+BC2， 故x2＝52+（x﹣1）2， 解得：x＝13， 即AB＝13． ∴BC＝12， ∴SRt△ABCAC•BC5×12＝30． 【点评】此题主要考查了勾股定理，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型． 8．（2024春•利通区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，求CE的长． 【分析】先证明AE＝BE，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【解答】解：连接AE． ∵DE为AB的垂直平分线， ∴AE＝BE． 在△ABC中， ∵∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5， ∴BC＝4． 设CE＝x，则BE＝AE＝4﹣x． 在Rt△ACE中，由勾股定理，得x2+32＝（4﹣x）2， 解得． ∴CE的长为． 【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 9．（2023秋•建湖县期末）如图，在△ABC中；AB＝AC，BC＝13，D是AB上一点，BD＝5，CD＝12． （1）求证：CD⊥AB； （2）求AC长． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）根据勾股定理列方程即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵BC＝13，BD＝5，CD＝12， ∴BD2+CD2＝52+122＝132＝BC2， ∴△CDB是直角三角形，∠CDB＝90°， ∴CD⊥AB； （2）解：∵AB＝AC， ∴AC＝AB＝AD+BD＝AD+5， ∵∠ADC＝90°， ∴AC2＝AD2+CD2， ∴（AD+5）2＝AD2+122， ∴AD， ∴AC5． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 关性质及定理是解题的关键． 题型二 利用公共边相等结合勾股定理列方程求长度 1．（2024•新城区校级一模）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝7，BD⊥AC，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】设CD＝x，则AD＝7﹣x，在Rt△ABD和Rt△CBD中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：设CD＝x，则AD＝7﹣x， ∵BD⊥AC， ∴∠BDA＝∠BDC＝90°， 在Rt△ABD和Rt△CBD中，由勾股定理得：BD2＝AB2﹣AD2＝BC2﹣CD2， 即52﹣（7﹣x）2＝42﹣x2， 解得：x， 即CD的长为， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得出方程是解题的关键． 2．如图，在△ABC中，AC，BC＝13，AD、CE分别是△ABC的高线与中线，点F是线段CE的中点，连接DF，若DF⊥CE，则AB＝（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【分析】连接DE，根据直角三角形的性质得到AB＝2DE，根据线段垂直平分线的性质得到DE＝DC，得到AB＝2CD，根据勾股定理列式计算得到得到答案． 【解答】解：连接DE， ∵AD⊥BC，点E是AB的中点， ∴AB＝2DE， ∵DF⊥CE，点F是线段CE的中点， ∴DE＝DC， ∴AB＝2CD， 在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2， 在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣DC2， ∴AB2﹣BD2＝AC2﹣DC2，即（2CD）2﹣（13﹣CD）2＝（）2﹣DC2， 解得，CD＝5， ∴AB＝2CD＝10， 故选：A． 【点评】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 3．（2023秋•浑南区期末）如图，四边形ABCD，AB⊥BC，AB∥CD，AB＝BC＝4，CD＝2，点F为BC边上一点，且CF＝1，连接AF，DG⊥AF垂足为E，交BC于点G，则BG的长为 　 ． 【分析】连接AG，过点D作DM⊥AB于点M，则四边形DMBC为矩形，由勾股定理求出AD，AF，DF的长，设EF＝x，则AE＝5﹣x，得出，求出EF＝1，证明Rt△AEG≌Rt△ABG（HL），由全等三角形的性质得出EG＝BG，设BG＝y，则EG＝3﹣y，由勾股定理得出12+y2＝（3﹣y）2，解方程求出y，则可得出答案． 【解答】解：连接AG，过点D作DM⊥AB于点M，则四边形DMBC为矩形， ∴DM＝BC＝4， ∴AD2， ∵CF＝1，BC＝AB＝4， ∴BF＝3， ∴AF5， ∵DC＝2， ∴DF， 设EF＝x，则AE＝5﹣x， ∵AD2﹣AE2＝DF2﹣EF2， ∴， ∴x＝1， ∴EF＝1， ∴AE＝4， ∴AE＝AB， 在Rt△AEG和Rt△ABG中， ， ∴Rt△AEG≌Rt△ABG（HL）， ∴EG＝BG， 设BG＝y，则EG＝3﹣y， ∵EF2+EG2＝FG2， ∴12+y2＝（3﹣y）2， ∴y， ∴BG， 故答案为：； 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 4．（2023秋•南京期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC于点D，AB＝17，AC＝10． （1）若CD＝6，则AD＝　 ，BD＝　 ； （2）若BC＝20，求CD的长． 【分析】（1）由勾股定理可得出答案； （2）设CD＝x，则BD＝20﹣x，由勾股定理可得出102﹣x2＝172﹣（20﹣x）2，则可得出答案． 【解答】解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵AB＝17，AC＝10，CD＝6， ∴AD8， ∴BD15． 故答案为：8，15； （2）设CD＝x，则BD＝20﹣x， ∵AC2﹣CD2＝AD2，AB2﹣BD2＝AD2， ∴AC2﹣CD2＝AB2﹣BD2， ∴102﹣x2＝172﹣（20﹣x）2， 解得x， ∴CD． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 5．已知在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣AE2＝AC2． （1）求∠A的度数； （2）若DE＝3，BD＝4，求AE的长． 【分析】（1）连接CE，根据线段垂直平分线的性质转化线段BE到△AEC中，利用勾股定理的逆定理可求∠A度数； （2）设AE＝x，则AC可用x表示，在Rt△ABC中利用勾股定理得到关于x的方程求解AE值． 【解答】解：（1）连接CE，∵D是BC的中点，DE⊥BC， ∴CE＝BE． ∵BE2﹣AE2＝AC2， ∴AE2+AC2＝CE2． ∴△AEC是直角三角形，∠A＝90°； （2）在Rt△BDE中，BE5． 所以CE＝BE＝5． 设AE＝x，则在Rt△AEC中，AC2＝CE2﹣AE2， 所以AC2＝25﹣x2． ∵BD＝4， ∴BC＝2BD＝8． 在Rt△ABC中，根据BC2＝AB2+AC2， 即64＝（5+x）2+25﹣x2， 解得x＝1.4． 即AE＝1.4． 【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是利用勾股定理求解线段长度，选择直角三角形借助勾股定理构造方程是解这类问题通用方法． 6．如图，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AD＝24cm，BC+CD＝34cm，C是直线l上一动点，请你探索当C离B多远时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？ 【分析】设BC＝xcm，则CD＝（34﹣x）cm，再根据勾股定理及勾股定理的逆定理列出方程，求出x的值即可． 【解答】解：设BC＝xcm时，三角形ACD是以DC为斜边的直角三角形， ∵BC+CD＝34， ∴CD＝34﹣x， 在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝36+x2， 在Rt△ACD中，AC2＝CD2﹣AD2＝（34﹣x）2﹣576， ∴36+x2＝（34﹣x）2﹣576， 解得x＝8． ∴当C离点B8cm时，△ACD是以DC为斜边的直角三角形． 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 7．（2024春•包河区期中）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，对角线AC，BD相交于点O，且BD垂直平分AC，过A点作AE∥CD交BC点E． （1）求证：AE＝BC； （2）若BE＝2，，求EC的长度． 【分析】（1）根据平行线的性质及等量代换求出∠ABC＝∠AEB，根据等腰三角形的判定得出AB＝AE，根据线段垂直平分线的性质得出AB＝BC，等量代换即可得解； （2）过点A作AF⊥BE于点F，根据等腰三角形的性质求出BF＝EF＝1，再根据勾股定理求解即可． 【解答】（1）证明：∵AE∥CD， ∴∠AEB＝∠DCB， ∵∠ABC＝∠DCB， ∴∠ABC＝∠AEB， ∴AB＝AE， ∵BD垂直平分AC， ∴AB＝BC， ∴AE＝BC； （2）解：过点A作AF⊥BE于点F， ∵AB＝AE， ∴BF＝EFBE＝1， 在Rt△ABF和Rt△ACF中， AB2﹣BF2＝AF2＝AC2﹣CF2， ∵AB＝AE＝BC＝2+CE，CF＝EF+CE＝1+CE， ∴（2+CE）2﹣12（1+CE）2， ∴CE＝1（负值已舍）， ∴EC的长度为1． 【点评】此题考查了勾股定理、平行线的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理、线段垂直平分线的性质是解题的关键． 8．（2023秋•南海区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝2，AD⊥BC，垂足为D． （1）求证：∠B＝2∠CAD． （2）求BD的长度； （3）点P是边BC上一点，且点P到边AB和AC的距离相等，求点P到边AB距离． 【分析】（1）由等腰三角形的性质，三角形内角和定理，即可证明； （2）设CD＝x（x＞0），由勾股定理得到AB2﹣BD2＝AC2﹣DC2，列出关于x的方程，求出x的值，即可得到答案； （3）由三角形面积公式得到BC•ADAB•PMAC•PN，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠BAC＝∠C， ∵∠BAC+∠C+∠B＝180°， ∴∠B+2∠C＝180°， ∵AD⊥BC， ∴∠CAD+∠C＝90°， ∴2∠C+2∠CAD＝180°， ∴∠B＝2∠CAD， （2）解：设CD＝x（x＞0）， 在Rt△ABD和Rt△ACD中， ∵AB2﹣BD2＝AC2﹣DC2＝AD2， ∴102﹣（10﹣x）2x2， ∴x＝2， ∴BD＝BC﹣CD＝10﹣2＝8； （3）解：作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，且PM＝PN，连接AP， 在Rt△ABD中，AD6， ∵△ABC的面积＝△PAB的面积+△PAC的面积， ∴BC•ADAB•PMAC•PN， ∴10×6＝（10+2）PM， ∴PM＝10﹣2， ∴P到AB的距离是10﹣2． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，关键是掌握由勾股定理列出关于CD的方程；由三角形面积公式得到BC•ADAB•PMAC•PN． 题型三 实际问题中的方程思想 1．（2024•礼县模拟）如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离CD＝1.5米．竹竿高出水面的部分AD长0.5米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度BD为（　　） A．2米 B．2.5米 C．2.25米 D．3米 【分析】设BD＝x米，则AB＝BC＝（x+0.5）米，由勾股定理得CD2+BD2＝BC2，列出方程，解方程即可． 【解答】解：设BD＝x米，则AB＝BC＝（x+0.5）米， 在Rt△CDB中，由勾股定理得：CD2+BD2＝BC2， 即1.52+x2＝（x+0.5）2， 解得：x＝2， ∴水渠的深度BD为2米， 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 2．（2024•久治县二模）如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m当梯子的顶端A沿墙向下滑的距离AC与梯子底端B向外移的距离BD相等时，AC的长是　 　m． 【分析】先根据勾股定理求出OB的长，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：∵∠O＝90°，AB＝2.6，OA＝2.4， ∴OB1， 设AC＝BD＝x， ∴OC＝2.4﹣x，OD＝1+x， ∴CD2＝OC2+OD2， ∴2.62＝（2.4﹣x）2+（1+x）2， 解得：x＝1.4， ∴AC＝1.4． 故答案为：1.4． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 3．（2023秋•内江期末）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推4m至C处时（即水平距离CD＝4m），踏板离地的垂直高度CF＝3m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A．4m B．5m C．6m D．8m 【分析】设AC的长为x，则AB＝AC＝x m，故AD＝AB﹣BD＝（x﹣2）m．在直角△ADC中利用勾股定理即可求解． 【解答】解：由题意可知，CF＝3m，BE＝1m， ∴BD＝2m． 设AC的长为x m，则AB＝AC＝x （m）， 所以AD＝AB﹣BD＝（x﹣2）m． 在直角△ADC中，AD2+CD2＝AC2，即（x﹣2）2+42＝x2， 解得：x＝5． 故选：B． 【点评】本题考查勾股定理的实际应用．找到直角三角形，利用勾股定理即可． 4．（2024春•凉州区期中）如图，有两只猴子在一棵树CD高5m的点B处，它们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？树顶D到池塘A的距离有多少米？ 【分析】已知BC，要求CD求BD即可，可以设BD为x米，找到两只猴子经过路程相等的等量关系，即BD+DA＝BC+CA，根据此等量关系列出方程即可求解． 【解答】解：设BD为x米，且存在BD+DA＝BC+CA， 即BD+DA＝15，DA＝15﹣x， 在直角△ACD中，AD为斜边， 则CD2+AC2＝AD2， 即（5+x）2+102＝（15﹣x）2 解得x＝2.5， ∴AD＝15﹣x＝12.5米， CD＝BC+BD＝5米+2.5米＝7.5米， 答：树高7.5米，树顶D到池塘A的距离有12.5米． 【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出BD+DA＝BC+CA的等量关系并根据直角△ACD求BD是解题的关键． 5．（2023秋•运城期末）如图，，OA＝18cm，OB＝6cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？ 【分析】由题意可知，若设BC＝xcm，则AC＝xcm，OC＝OA﹣AC＝（18﹣x）cm，这样在Rt△BOC中，利用勾股定理就可建立一个关于“x”的方程，解方程即可求得结果． 【解答】解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即BC＝CA， 设BC＝xcm，则AC＝xcm，OC＝OA﹣AC＝（18﹣x）cm， ∵∠AOB＝90°， ∴由勾股定理可知OB2+OC2＝BC2， 又∵OC＝（18﹣x）cm，OB＝6cm， ∴62+（18﹣x）2＝x2， 解方程得出x＝10（cm）． 答：机器人行走的路程BC是10cm． 【点评】本题考查了勾股定理，解题的关键是，抓住“机器人与小球同时出发，速度相等”这两个条件，得到BC＝AC，从而将已知量和未知量集中到Rt△BOC中，就可利用勾股定理建立方程来求解． 6．（2023秋•双塔区校级期中）如图所示的是一个拉箱的示意图，箱体长AB＝65cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，在箱体的底端装有一圆形滚轮，其直径为6cm．当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A′处．请求点C离地面的距离（假设点C的位置保持不变） 【分析】过C作CE⊥DN于E，延长AA'交CE于F，根据勾股定理即可得到方程652﹣x2＝1002﹣（55+x）2，求得A'F的长，即可利用勾股定理得到CF的长，进而得出CE的长． 【解答】解：如图所示，过点C作CE⊥DN于点E，延长AA′交CE于F，则∠AFC＝90°． 设A′F＝xcm，则AF＝（55+x）cm， 由题可得，AC＝AB+BC＝65+35＝100（cm），A′C＝65cm． ∵Rt△A′CF中，CF2＝652﹣x2， Rt△ACF中，CF2＝1002﹣（55+x）2， ∴652﹣x2＝1002﹣（55+x）2， 解得x＝25， ∴A'F＝25（cm）， ∴CF60（cm）． 又∵EF＝AD＝3cm， ∴CE＝60+3＝63（cm）， ∴点C离地面的距离为63cm． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． 7．（2023秋•佛山校级期末）铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距25km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图），已知DA＝10km，CB＝15km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请求出收购站E到A站的距离． 【分析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形DAE和直角三角形CBE中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，得出AD2+AE2＝BE2+BC2，设AE为xkm，则BE＝（25﹣x） km，将BC＝10代入关系式即可求得． 【解答】解：∵C、D两村到E站距离相等， ∴CE＝DE， 在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2， ∴AD2+AE2＝BE2+BC2． 设AE为xkm，则BE＝（25﹣x） km， 将BC＝10，DA＝15代入关系式为x2+102＝（25﹣x）2+152， 解得x＝15， ∴E站应建在距A站15km处． 【点评】此题考查勾股定理的应用，基础知识要熟练掌握． 8．（2023秋•叙州区期末）“村村通”公路是我国的一项重要的民生工程，如图，A，B，C三个村都分别修建了一条互通公路，其中AB＝BC，现要在公路BC边修建一个景点M（B，C，M在同一条直线上），为方便A村村民到达景点M，又修建了一条公路AM，测得AC＝13千米，CM＝5千米，AM＝12千米． （1）判断△ACM的形状，并说明理由； （2）求公路AB的长． 【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出结论； （2）设AB＝BC＝x千米，则BM＝（x﹣5）千米，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）△ACM是直角三角形，理由如下： ∵AC＝13千米，CM＝5千米，AM＝12千米， ∴CM2+AM2＝AC2， ∴△ACM是直角三角形，∠AMC＝90°； （2）设AB＝BC＝x千米，则BM＝（x﹣5）千米， 由（1）可知，∠AMC＝90°， ∴∠AMB＝180°﹣∠AMC＝90°， 在Rt△ABM中，由勾股定理得：122+（x﹣5）2＝x2， 解得：x＝16.9， 答：公路AB的长为16.9千米． 【点评】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 9．（2023秋•广陵区校级期末）如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态． （1）根据题意，BF＝　 　 m，BC＝　 m，CD＝　 　m； （2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度． （3）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送 　 　m． 【分析】（1）由题意得BF＝1.6m，BC＝3m，DE＝0.6m，证四边形BCEF是矩形，得CE＝BF＝1.6m，则CD＝CE﹣DE＝1m； （2）设秋千的长度为x m，则AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）当BF＝2.6m时，CE＝2.6m，则CD＝CE﹣DE＝2m，得AC＝AD﹣CD＝3m，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长即可． 【解答】解：（1）由题意得：BF＝1.6m，BC＝3m，DE＝0.6m， ∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE， ∴四边形BCEF是矩形， ∴CE＝BF＝1.6m， ∴CD＝CE﹣DE＝1.6﹣0.6＝1（m）， 故答案为：1.6，3，1； （2）∵BC⊥AC， ∴∠ACB＝90°， 设秋千的长度为xm， 则AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， 即（x﹣1）2+32＝x2， 解得：x＝5（m）， 即秋千的长度是5m； （3）当BF＝2.6m时，CE＝2.6m， ∵DE＝0.6m， ∴CD＝CE﹣DE＝2.6﹣0.6＝2（m）， 由（2）可知，AD＝AB＝5m， ∴AC＝AD﹣CD＝5﹣2＝3（m）， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC4（m）， 即需要将秋千AD往前推送4m， 故答案为：4． 【点评】此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键． 题型四 翻折问题中的方程思想 1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D为AC上一点，将△ABD沿BD折叠，使点A恰好落在BC上的E处，则折痕BD的长是（　　） A．5 B． C．3 D． 【分析】根据折叠的性质和勾股定理即可得到结论． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8， ∴BC10， ∵将△ABD沿BD折叠，使点A恰好落在BC上的E处， ∴AD＝DE，∠DEB＝∠A＝90°，BE＝AB＝6， ∴∠CED＝90°，CE＝10﹣6＝4， ∵CD2＝DE2+CE2， ∴（8﹣AD）2＝AD2+42， ∴AD＝3， ∴BD3， 故选：C． 【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． 2．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（　　） A．cm B．cm C．cm D．无法确定 【分析】设CD＝xcm，则BD＝BC﹣CD＝（8﹣x）cm，再根据折叠的性质得AD＝BD＝8﹣x，然后在△ACD中根据勾股定理得到（8﹣x）2＝62+x2，再解方程即可． 【解答】解：设CD＝xcm，则BD＝BC﹣CD＝（8﹣x）cm， ∵△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE， ∴AD＝BD＝8﹣x， 在△ACD中，∠C＝90°， ∴AD2＝AC2+CD2， ∴（8﹣x）2＝62+x2，解得x， 即CD的长为cm． 故选：C． 【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理． 3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，延长BC至E，使得CE＝BC，将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，连接DE，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接BD交AC于点F，由折叠的性质得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，由勾股定理求出CF的长，则可由中位线定理求出DE的长． 【解答】解：连接BD交AC于点F， ∵将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处， ∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC， ∴BF＝DF，∠BFC＝90°， ∵AB＝4，BC＝3， ∴AC5， 设CF＝x，则AF＝5﹣x， ∵AB2﹣AF2＝BF2，BC2﹣CF2＝BF2， ∴42﹣（5﹣x）2＝32﹣x2， ∴x， ∴CF， ∵CE＝BC， ∴CFDE， ∴DE． 故选：D． 【点评】本题考查了折叠的性质，勾股定理，中位线定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 4．（2023秋•鄞州区期末）如图，有一张直角三角形的纸片，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3．现将三角形折叠，使得边AC与AB重合，折痕为AE，则CE长为 　 　． 【分析】解法一：先根据勾股定理求得BC的长，再根据折叠的性质得到CE＝DE，AC＝AD，∠C＝∠EDA＝90°，则BD＝AB﹣AD，∠EDB＝90°，设CE＝DE＝x，在Rt△BDE中根据勾股定理列出方程，求解即可． 解法二：先根据勾股定理求得BC的长，再根据折叠的性质可推出∠EDB＝90°，以此可得△BDE∽△BCA，设CE＝DE＝x，根据相似三角形的性质即可解答． 【解答】解：在Rt△ABC中， 由勾股定理得BC4， 根据折叠的性质可知CE＝DE，AC＝AD＝3，∠C＝∠EDA＝90°， ∴∠EDB＝90°，BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2， 设CE＝DE＝x，则BE＝4﹣x， Rt△BDE中， DE2+BD2＝BE2， 即x2+22＝（4﹣x）2， 解得：， ∴CE． 故答案为：． 【点评】本题主要考查翻折变换、勾股定理，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案 5．（2023春•巴南区期中）如图，E是矩形ABCD的边CD上一点，将△ADE沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AD＝10，CF＝4，则DE的长为 　 　． 【分析】根据题意可得BF＝6，由折叠可知AD＝AF＝10，DE＝EF，在Rt△ABF中，根据勾股定理求得AB＝8，设DE＝EF＝x，则CE＝CD﹣DE＝8﹣x，在Rt△CEF中，根据勾股定理列出方程，求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AD＝10， ∴∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝10，AB＝CD， ∵CF＝4， ∴BF＝BC﹣CF＝10﹣4＝6， 根据折叠可得，AD＝AF＝10，DE＝EF， 在Rt△ABF中，AB8， ∴CD＝AB＝8， 设DE＝EF＝x，则CE＝CD﹣DE＝8﹣x， 在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2， ∴（8﹣x）2+42＝x2， 解得：x＝5， ∴DE＝5． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键．折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 6．（2024春•红桥区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，AB的垂直平分线与AB交于点D，与BC交于点E，连接AE，求AE的长度． 【分析】连接AE，由垂直平分线的性质可得AE＝BE，设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x，在△ACE中利用勾股定理可得x的长，即得AE的长． 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，AB＝10， ∴， ∵ED是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， 设AE＝BE＝x， ∵AC＝6，BC＝8， ∴CE＝8﹣x， ∵∠ACE＝90°， ∴AC2+CE2＝AE2， 即62+（8﹣x）2＝x2， 解得x， 故． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 7．（2024春•召陵区校级月考）如图，在长方形ABCD中，将长方形沿EF折叠，使点C的对应点与点A重合，点D的对应点为点G． （1）求证：AE＝AF； （2）若AB＝4，BC＝8，求△ABE的面积． 【分析】（1）解法一：根据矩形的性质得到AD∥BC，进而得到∠AFE＝∠CEF，根据折叠的性质得∠CEF＝∠AEF，以此得的∠AFE＝∠AEF，最后根据等角对等边即可证明； 解法二：根据矩形的性质和折叠的性质可得AB＝CD＝AG，∠B＝∠D＝∠G，由同角的余角相等得∠BAE＝∠GAF，以此可通过ASA证明△ABE≌△AGF，以此即可证明； （2）设BE＝x，则CE＝AE＝8﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理列出方程，求得BE的长，再根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】（1）证明：解法一：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠AFE＝∠CEF， 根据折叠可知，∠CEF＝∠AEF， ∴∠AFE＝∠AEF， ∴AF＝AE； 解法二：∵四边形ABCD为矩形， ∴CD＝AB，∠C＝∠D＝∠B＝∠BAD＝90°， 根据折叠可知，∠C＝∠EAG＝90°，∠D＝∠G＝90°，CD＝AG， ∴∠B＝∠G＝90°，AB＝AG， ∵∠BAE+∠EAF＝90°，∠GAF+∠EAF＝90°， ∴∠BAE＝∠GAF， 在△ABE和△AGF中， ， ∴△ABE≌△AGF（ASA）， ∴AE＝AF； （2）解：根据折叠可知，CE＝AE， 设BE＝x，则CE＝AE＝8﹣x， 在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2， ∴42+x2＝（8﹣x）2， 解得：x＝3， ∴BE＝3， ∴6． 【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 8．（2024春•道县校级月考）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，则△BEG的周长是多少？ 【分析】连接GD，证明Rt△ADG≌Rt△FDG（HL）得出AG＝FG，设AG＝FG＝x，则EG＝x+6，BG＝12﹣x，勾股定理求得x＝4，则AG＝GF＝4，BG＝8，进而勾股定理求得GE，即可求解． 【解答】解：连接GD，如图所示， 由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°， ∴∠DFG＝∠A＝90°， ∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL）， ∴AG＝FG， ∵正方形边长是12， ∴BE＝EC＝EF＝6， 设AG＝FG＝x，则EG＝x+6，BG＝12﹣x， 由勾股定理得：EG2＝BE2+BG2， 即：（x+6）2＝62+（12﹣x）2， 解得：x＝4， ∴AG＝GF＝4，BG＝8， ∴， ∴△BEG的周长为BE+EG+GB＝6+8+10＝24． 【点评】本题考查了折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，关键是勾股定理的熟练应用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 $$